Эмпирико-математическая модель компрессора аэродинамической трубы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т о м X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

197 9

№ 3

УДК 533.697:621.51 623.735.33.015

ЭМПИРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПРЕССОРА АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ

И. Д. Вершинин, Н. А. Зленко, А. Г. Кукинов

Экспериментальные зависимости степени сжатия и к. п. д. от приведенного расхода, полученные при испытаниях модели компрессора аэродинамической трубы, представлены в виде эмпирико-мате-матической модели. Названная модель состоит из двух уравнений регрессии, каждое из которых содержит 56 коэффициентов.

С целью получения предварительных данных о характеристиках проектируемого компрессора аэродинамической трубы была изготовлена и испытана модель компрессора в уменьшенном масштабе. Схематическое изображение компрессора представлено на рис. 1. Компрессор имеет цилиндрическую проточную часть и состоит из четырех ступеней. Входной направляющий аппарат (ВНА), установленный перед рабочим колесом (PKI), а также направляющие аппараты HAI, HAH, НАШ и HA1V всех ступеней, за исключением спрямляющего аппарата (CA), имеют поворотные лопатки. Каждый из направляющих аппаратов снабжен отдельным электромотором с дистанционным управлением, и с помощью поводкового механизма лопатки направляющих аппаратов могут поворачиваться на углы 8,- (i — СМ-4) от расчетных положений. Диапазон изменения углов составляет — 25°-;-25°.

В процессе испытаний модели компрессора при различных значениях относительной приведенной частоты вращения л = ипр/ишах и углов ß; определялись зависимости степени сжатия и к. п. д. ■») от приведенного расхода воздуха Gnp через модель.

ВНА PNI HAI PK в HAU \ркш НАШ РКШ HAN CA

У- C С t

Цель данной работы заключалась в отыскании способа аналитического представления полученного экспериментального материала в виде эмпирико-математической модели, т. е. в виде системы уравнений, описывающих зависимости величин 7сй и ■>) от значений Опр, п и ¡3,-. Такое представление более компактно, чем графическое, а также более удобно для анализа характеристик компрессора.

Полученные в испытаниях экспериментальные данные распределены по всему диапазону расходов (?пр, соответствующему практически всему диапазону чисел М потока в рабочей части аэродинамической трубы. При выполнении настоящей работы с целью получения лучшей аппроксимации в области чисел М, представляющей наибольший интерес, в рассмотрение были включены лишь данные для 18 кг/с<Опр<22 кг/с.

Проекции всех точек пространства независимых переменных (факторного пространства), в которых проводились эксперименты при 18 кг/с <Х?пр •< 22 кг/с, на плоскости р0), р2), (Рр р3) и р4) показаны на рис. 2. На этом рисунке точке факторного пространства, в которой ставился эксперимент, соответствует центр окружности, а общее число точек внутри окружности равно

ч V Ч р, 1 А

К. /

У г ® ' С ЧУ

р < У

ьР ( №

С. г О , и4 г

3 ) с

У

3

ч

) ® ® к у

® /- А г. © Ч

у ( г® Ч ? У

и г 0 Ь с > Г р е>

ЛX

(5 ц с- (!) ч

У

-25° -20е-151-10° 5° 0 5° 10° 15° 20°-,25°-20°-15°-10° -5°

5° 10° 15° 20° рг

числу характеристик компрессора, которые были сняты при значениях рг, равных координатам центра окружности (при различных значениях я). Рис. 2 дает наглядное представление о геометрии той области многомерного факторного пространства, в которой проводились испытания.

Общее число комбинаций {Рг, я}, при которых получались характеристики, частично или полностью расположенные в полосе 18 кг/с <; (?Пр 22 кг/с, составляет 57. Общее число задававшихся в экспериментах значений бпр равно 297. Иначе говоря, имеется 57 экспериментальных зависимостей лк (Опр) с общим числом точек 297 и такое же количество зависимостей к] (Опр) с тем же общим числом точек.

Некоторые из включенных в рассмотрение экспериментальных данных представлены на рис. 3 (обозначены кружочками).

Перед изложением основного содержания данной работы необходимо сделать следующее замечание. Отличительной особенностью многих объектов, которые исследуются методами экспериментальной аэродинамики, является то, что минимальная имеющая смысл „единица информации", которая получается в эксперименте, представляет собой не отдельное значение зависимой переменной, а целый набор связанных между собой значений зависимых переменных—„характеристику". Примерами объектов такого типа могут служить агрегаты ВРД: воздухозаборник, компрессор, турбина. Процедура снятия характеристик заключается в том, что вначале задается набор (вектор) регистрируемых независимых переменных, а затем производится изменение некоторой дополнительной („скрытой") независимой переменной (например, положения дросселя), значения которой сами по себе не представляют интереса и потому зачастую не регистрируются. При каждом значении дополнительной переменной регистрируется набор зависимых переменных. В наиболее простых (и чаще всего встречающихся) случаях регистрируются две зависимые переменные, и характеристикой объекта называется связь между этими переменными. К только что указанному типу объектов относится и рассматриваемый здесь компрессор аэродинамической трубы.

Отмеченные особенности способа получения экспериментального материала влекут за собой и некоторые особенности построения эмпирико-матема-тических моделей таких объектов. Представляется целесообразным проводить построение модели в два этапа. На первом этапе на основании априорных сведений об объекте, используя визуальный анализ характеристик и другие известные методы выбора аппроксимирующих однофакторных зависимостей, находится вид формулы, с помощью которой, меняя только числовые коэффициенты, можно описать каждую из характеристик. На втором этапе, также используя,

если это возможно, априорную информацию, ищутся уравнения многомерной регрессии, которые описывают трансформацию характеристик при изменении регистрируемых независимых переменных.

Следует отметить, что зависимые переменные, связь между которыми называется характеристикой объекта, являются по существу случайными величинами. Лишь в силу сложившихся традиций одна из них принимается в качестве независимой переменной и при построении графиков откладывается по оси абсцисс, а другая считается зависимой и откладывается по оси ординат. При построении модели одна из этих зависимых переменных (или их комбинация) присоединяется к независимым переменным и также считается независимой. Таким образом, в рассматриваемом здесь случае оказывается нарушенной одна из основных предпосылок регрессионного анализа — предположение о том, что все независимые переменные (все аргументы функции отклика) измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении отклика. Вследствие этого оказываются неприменимыми известные методы регрессионного анализа и, в частности, не применим стандартный способ проверки адекватности модели, основанный на ^-критерии.

Осуществляя намеченную выше программу действий, необходимо найти единые аппроксимирующие формулы для описания отдельных характеристик компрессора — зависимостей як (бпр) и ^ (^пр) — во всей рассматриваемой области факторного пространства {рг, п). Учитывая, что каждый из коэффициентов этих формул в дальнейшем превращается в функцию шести переменных со своими коэффициентами, крайне желательно, чтобы формулы имели простейший вид с минимальным количеством коэффициентов. Кроме того, необходимо, чтобы вид аппроксимирующих формул не противоречил априорным представлениям о рассматриваемых зависимостях.

Поскольку рассматриваемый здесь компрессор представляет собой компрессор с малой степенью повышения полного давления и умеренной окружной скоростью, представляется целесообразным выполнить замену переменных, положив

У тск — 1 дк — 1

~ ДОпр/2и)2 > Г ~ „2 ■

В случае несжимаемой жидкости величины X и У являются параметрами подобия: первая из них характеризует коэффициент сопротивления сети, а вторая с точностью до постоянного множителя равна коэффициенту напора.

В процессе выполнения настоящей работы был апробирован ряд формул и в конце концов удалось аппроксимировать отдельные характеристики компрессора с помощью достаточно простых уравнений, содержащих по два коэффициента:

У = АхХ+А2Хз, (1)

•С= 1 -ехр ДЯ»), (2)

Л Л

где через У и q обозначены значения, предсказываемые уравнениями регрессии (в отличие от экспериментальных значений У и т)). Такое же обозначение используется и для других встречающихся ниже величин. Уравнения (1) и (2) удовлетворяют очевидным априорным условиям: lira У= О, liimi = 0 и т)<1. Эти

Х-+0 Л-0

уравнения приводятся к линейному относительно коэффициентов виду, что весьма удобно с точки зрения последующего применения метода наименьших квадратов. Действительно, положив в уравнении (1)

Л Л

ух = у/х и Xi = Х\

а в уравнении (2)

•получим:

Л In (1 — ц) X

У2 =

Yi = A1 + A2Xu (3)

У, = А3 + А,Х. (4)

У,

19

1Л

V

у, 1,4

1>2,

VI

г,г

2,0

1

1 О о

0 0,1 0,2 0,3 X,

х> °о

о о

1Л

16

0ос О

3 о

о ОЛ ол х

<4

|Ь о о

0 0,2 0,4 х

о о о

П = 0,801, 1", рГ1Г,р=1Г, р,= 15'

' о 0,1 ¿7? 0,3 X, о 0,2 0,4 X

Рис. 4

п-1

Представление о пригодности этих простейших уравнений для описания реальных зависимостей можно получить, обратившись к рис. 4. На рис. 4 в координатах (Л], К,) и (X, К2) построены приведенные выше на рис. 3 экспериментальные характеристики.

На следующем этапе построения эмпирико-математической модели компрессора необходимо задать вид уравнений, описывающих трансформацию характеристик при изменении вектора {Рг, я}. Иначе говоря, на втором этапе коэффициенты Ак (к = 1-^-4) считаются функциями от Р/ и я. Поскольку априорная информация о виде уравнений Ак (Р,-, я) отсутствует, вид этих уравнений приходится постулировать. В данной работе было принято, что каждый из коэффициентов Ак может быть представлен полиномом второй степени, т. е. в виде скалярного произведения векторов и х (индекс „т" означает транспонирование):

Ак = Ь\ х,

где

ь\ = \ь\,ъЪ . .., ь2Д

лст = |1, п. Во. Рь Рг. Рз, Р«. п\ яро. Ир1. яр2, яРз, яр4> & Ро Рк Ро Ра. РоРз. РоР4> Р?. р1 р2» Р,Рз,'р1р4. Р1. Р2Рз, Р2Р4. Р1. РзР4, Р|.

Таким образом, эмпирико-математическая модель компрессора состоит из двух уравнений регрессии, каждое из которых содержит 56 подлежащих определению коэффициентов:

А

А

Т) :

У = ф\х)Х + (Ь\ х) Хз, -ехр {(Ь1х)Х+(Ь]х) X*].

(5)

(6)

Очевидно, что для определения коэффициентов уравнений (5) и (6) желательно использовать какую-либо из стандартных программ. В математическое обеспечение ЭВМ БЭСМ-6 входит стандартная программа РБ12, реализующая

метод наименьших квадратов. Однако имеется ряд причин, по которым эта программа не может быть непосредственно использована в данном случае. Прежде всего в силу программных ограничений число коэффициентов уравнения регрессии не должно превышать 50. Кроме того, программа РЭ12 позволяет вычислить лишь коэффициенты полиномов специального вида, который отличается от вида полиномов, входящих в правые части уравнений (3) и (4). Наконец, если бы специальная программа, реализующая метод наименьших квадратов применительно к данной задаче, и была составлена, то расчет по ней занимал бы очень много времени.

В настоящей работе применен метод определения коэффициентов регрессии, который, отличаясь от стандартного метода наименьших квадратов, позволяет использовать программу Р512 и существенно сократить затраты машинного времени. Вначале каждая из экспериментальных характеристик обрабатывалась отдельно. При этом уравнения (3) и (4) преобразовывались к виду:

У^А'^А^Х.-Щ, У2 = А3 + А'2{Х~Х).

Преимущество такой записи состоит в том, что коэффициенты А[ и А2, а также А3 и А4 попарно статистически независимы, т. е. независимы их статистические веса. Затем по экспериментальным данным для каждой характеристики методом наименьших квадратов находились коэффициенты А2 н А4. Кроме того, находились статистические веса этих коэффициентов, которые с точностью до постоянного множителя оределяются выражениями:

N г=1

N ¡=1

где N—число точек характеристики. Значения А2 и А4 считались откликами

при заданном векторе {л, Р/}, и методом наименьших квадратов с учетом весов с помощью программы РБ12 определялись коэффициенты регрессии уравнений

А2 = Ь2тХ, (7)

А\ = Ь'^Х. (8)

Далее для каждой из экспериментальных зависимостей У1 (Хх) и У2 (X) определялись входящие в уравнения (3) и (4) свободные члены А1 и Аг при условии,

л,

что угловые коэффициенты А2 и А, равны соответственно коэффициентам А2

Л,

и А4, вычисленным по уравнениям (7) и (8). Каждому из найденных значений Ах и А3 приписывался вес, равный числу точек соответствующих экспериментальных зависимостей У1 (Л1,) или У2 (X). Затем коэффициенты А1 и А2 рассматривались в качестве переменных, зависящих от л и рг, относительно которых предполагалось, что они могут быть описаны уравнениями регрессии, имеющими вид

Л т л

Л, = Ь\х, А3 = Ь3х.

Компоненты векторов и Ь3 определялись методом наименьших квадратов с учетом весов аналогично компонентам векторов Ь2 и

Найденная изложенным способом эмпирико-математическая модель компрессора имеет следующий вид:

У = (5,4862* —53,0226*3) + (—8.4517ЛГ + 104,909X3) п + (0,0445* + 0,0323*3) р0-[-+ (-0,3284* + 0,4400*3) р, + (0,6392* - 1,1623*3) р2 + (-0,3487* + 0,7589*3) + + (0,0271* —0,1804*3) + (4,1806* - 52,8314*3) + (—1,0440*-0,0215*з)~7гр0 +

+(0,2456* -0.4642*3) лз, + (-0,4555* + 1,5194*3) + (0,2459*—1,2903*3) лр3 + +(-0,0230* - 0,3356*0 л34 +(-0,0013*-0,0004*з) ^ + (0,0159*-0,0207*з) р0 ^ + -(-0.0205*+ 0,0383*3) р0 р2 + (0,0105* — 0,0148*з) р0р3 + - (-0,0054*+0,0010*3) р0 р4+ (—0,0047* — 0,0283*3) + -(-0.0855* - 0,0754*3) р2 + (0,0917* + 0,1902*з) ^ р3 + -г(-0,0174* —0,0758*3) Р] р4 + (0,1649* + 0,2260*3) + -К-0,2498*+ 0,4966*3) р2 рз + (0,0351*+ 0.1143*3) р2 р4 + +(0.0777* + 0,1867*3) р:* + (—0,0096*—0,0333**) р3 р4+(-0,0016*— 0,0091*3)

г, = I—ехр [(—18,0915* +45,0848*2) + (23,3535* — 87,2208А2) л + + (0.4266А - 0,6471*2) р0 + (—0,2641*—3,8771*2) (1,5341* + 4,9408*2) р2 + + (-1.7101* — 2.0621 АЗ) р3 +(0,2573* + 0,9619*3) р4 + (—10,8061 А+46,4314*2) л2+ +(-0,1526*+0,3132*2) лр0+ (—1,9792*+ 7,7237*2)+ + (3,4031 *-12,5958*2) + (_ 1,7481*+ 6,8158*2) "лр3+(0,0996*— 1,3096*2) лР4 + +(-0,0094*+0,0123*2) р2+(0,0547* +0,0753*2) р0 р!+(-0,0048*-0,02568*2) рор2+ + (-0,0007*+0,1417*2) р0р3+(-0,0298*+0,0094*2) р0 р4 + (0.3700А-1,1304*2) р* + + (—3,2236*+6,1999*2) р1 р2 +(2,7243* —4,3799*2) рх р3+ +(-0,5394*+0,7097*2) ^ р4+(4,6405* - 7,7479*2) р^ + + (—6,7324*+10,4686*2) р2 р3 +(1,0338*— 1,5359*2) р2 р4 + +(-0,0065*—0,0420*3) р|].

Примеры предсказанных эмпирико-математической моделью зависимостей ((3Пр) и т)(Опр) приведены на рис. 3, на котором эти зависимости показаны сплошными линиями.

В результате сопоставления всех экспериментальных значений У и к| с предсказанными было найдено, что среднеквадратичные отклонения предсказанных лл

значений У и т) от измеренных составили соответственно 4,8-10 и 1,0-10 . По данным проведенных ранее испытаний, среднеквадратичная ошибка измерения к. п. д. составляет = 0,01.

Как уже отмечалось выше, в силу того, что принятая в качестве независимой переменная * измеряется с ошибками, сравнимыми с ошибками измерения зависимых переменных, строгую оценку адекватности модели провести нельзя. Однако из рассмотрения графиков, аналогичных приведенным на рис. 3, которые были построены для всех включенных в рассмотрение характеристик, можно заключить, что почти во всех рассмотренных точках факторного пространства согласование между предсказанными и экспериментальными результатами вполне удовлетворительное. Таким образом, предложенная модель представляет собой эффективную „свертку" многомерных данных и может быть использована для решения различных задач, связанных с интерполяцией между узлами, т. е. точками факторного пространства, в которых ставились эксперименты.

Здесь необходимо обратить внимание на некоторые свойства использовавшегося при построении модели экспериментального материала и на те особенности модели, которые вытекают из этих свойств. Использовавшиеся данные получены в результате эксперимента, который в соответствии с принятой в математической теории планирования эксперимента терминологией следует назвать пассивным. Иначе говоря, при проведении эксперимента не делалось попыток разместить экспериментальные точки в факторном пространстве таким образом, чтобы обеспечить наилучшие статистические свойства эмпирико-математической модели. Неизбежным следствием пассивности эксперимента является то, что независимые переменные оказываются сильно коррелированными. Кроме того, в пассивном эксперименте, как правило, независимые переменные варьируются в узком интервале значений и поэтому математическая модель оказывается пригодной только в небольшой части доступной для экспериментирования области. В рассмотренном в данной работе случае все названные особенности пассивного эксперимента также имеют место. Обратившись к рис. 2, можно видеть, что

подавляющее большинство точек факторного пространства, в которых ставился эксперимент, расположено в узких вытянутых областях и занимает сравнительно небольшую часть доступной для экспериментирования области. Специально проведенный расчет показал, что коэффициенты корреляции г между некоторыми независимыми переменными очень велики: /-(р2, Р1) = 0,98; г(р3, р1) = 0,91. Это означает, что между переменными р3 и р,, р3 и ^ существует почти линейная зависимость.

В силу указанных особенностей исходных данных нельзя интерпретировать индивидуальные коэффициенты регрессии как количественные характеристики влияния отдельных независимых переменных. Учитывая специфическую форму обследованной в испытаниях области, с большой осторожностью следует подходить и к использованию модели для экстраполяции, т. е. надежного предсказания поведения объекта в точках, находящихся за пределами указанной области.

Тем не менее предложенная эмпирико-математическая модель может быть использована при планировании испытаний натурного компрессора с целью приближенного определения области факторного пространства, в которой характеристики компрессора при заданной потребной характеристике аэродинамической трубы будут близки к оптимальным.

Действительно, задав некоторую точку (як, Опр), расположенную на потребной характеристике аэродинамической трубы, можно найти соответствующее значение X. Тогда приведенные выше уравнения регрессии, в которые подставлено это конкретное значение X, будут описывать все характеристики г.к(Опр), проходящие через заданную точку. Далее можно поставить и решить задачу о выборе такой комбинации {п, р,-}, которая, обеспечивая согласование характеристик компрессора и трубы, обеспечивает максимум к. п. д. или какой-либо другой целевой функции.

В заключение следует отметить, что предложенный здесь вид уравнений регрессии, по всей вероятности, окажется пригодным и для представления результатов испытаний натурного компрессора. При таком представлении существенно упростится выбор оптимальной программы его регулирования.

Рукопись поступила 23/У 1978 г.