Построение эмпирико-математической модели соосного винта с использованием результатов косвенных измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XXXIX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 200 8

№ 3

УДК 629.7.015.3.035.5

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СООСНОГО ВИНТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Н. А. ЗЛЕНКО

Предложен алгоритм оценки коэффициентов многофакторного регрессионного уравнения, позволяющий учитывать функциональную связь между откликами. Эффективность алгоритма демонстрируется на примере построения эмпирико-математической модели соосного винта.

Система регрессионных уравнений, определяющих функциональную связь между независимыми переменными (факторами) и характеристиками объекта (откликами), в сочетании с набором ограничений на область варьирования факторов называется эмпирико-математической моделью (ЭММ) объекта. Выбор вида ЭММ и способ оценки коэффициентов регрессии существенным образом зависит от физических особенностей исследуемого объекта, плана эксперимента (режимов, на которых проводились экспериментальные исследования) и наличия или отсутствия взаимосвязей между откликами.

Основными характеристиками, определяющими степень аэродинамического совершенства винта, являются безразмерные коэффициенты тяги а, мощности в, а также значение к.п.д. винта п. В процессе экспериментальных исследований воздушных винтов для различных углов установки лопастей ф и числа М набегающего потока определяется набор зависимостей а(Х) и

в(Х), где X — относительная поступь винта. Значение к.п.д. винта п экспериментально не определяется, а вычисляется, исходя из полученных коэффициентов тяги а и мощности в по формуле а (х)х

П(Х) = —-——. Для соосных винтов суммарные коэффициенты тяги а и мощности в функцио-в(х)

нально связаны с характеристиками переднего и заднего винтов: а = а1 +а2, в = в1 +в2, где а1, а2 и в1, в2 — безразмерные коэффициенты тяги и мощности переднего и заднего винтов соответственно.

В работе [1] предлагается оценивать коэффициенты регрессии независимо для каждого из уравнений, входящих в ЭММ сверхзвукового воздухозаборника. Подобный подход к построению эмпирико-математической модели аэродинамических характеристик (ЭММ АХ) воздушного винта возможен только для режима взлета — посадки, где наибольшее внимание уделяется величине тяги, создаваемой винтом, и потребляемой им мощности, а величина к.п.д. не представляет особого интереса. Игнорирование функциональной связи между откликами позволяет обеспечить необходимую точность аппроксимации откликов а и в. Однако при восстановлении характеристик п(Х) возможны значимые отклонения регрессионной кривой от экспериментальных точек в районе П^х. На рис. 1 иллюстрируется качество аппроксимации экспериментальных характеристик соосного винта для случая, когда в многофакторную ЭММ АХ этого винта были включе-

Рис. 1

ны регрессионные уравнения только для коэффициентов тяги и мощности переднего и заднего винтов а15 а2, Р1, Р2. Маркеры на графиках соответствуют результатам эксперимента, а сплошная линия — значениям, восстановленным с помощью ЭММ АХ винта. Видно, что в отличие от остальных характеристик, где достигается высокая точность аппроксимации, на характеристиках п(Х) отклонения регрессионных значений от экспериментальных заметно выше. Это объясняется тем, что максимум к.п.д. обеспечивается при малых значениях а и в, поэтому даже в случаях, когда погрешность аппроксимации по модулю абсолютной величины не превышает ошибку измерений, в области а ~ 0, в ~ 0 регрессионное значение п = Ха/в может значимо отличаться от соответствующего экспериментального значения.

В настоящей работе предлагается алгоритм построения ЭММ АХ винта, позволяющий при оценке коэффициентов регрессии учитывать функциональную связь между откликами. Применение этого алгоритма повышает точность аппроксимации в целом и позволяет использовать всю информацию, полученную в эксперименте. Кроме того, в случаях, когда необходимо выделить один или несколько откликов (с точки зрения точности аппроксимации), в рамках данного алгоритма допускается возможность перераспределения «нагрузки» на регрессионные уравнения, определяющие вид эмпирико-математической модели.

Алгоритм оценки коэффициентов регрессии при наличии функциональной связи между откликами. Для объекта, характеристики которого определяются несколькими независи-

(г)

мыми откликами у , г = 1 + Ь, эмпирико-математическая модель представляет собой систему регрессионных уравнений, задающих функциональную связь между откликами и вектором факторов х:

у(г)(Х ) = ^ (Ь(г), х), г = 1 + Ь

где у(г) (х) — регрессионное значение отклика у(г); Ь(г) — вектор коэффициентов.

Вектор Ь ' в рамках метода наименьших квадратов определяется отдельно для каждого

п2

, где

уравнения путем минимизации квадратичной формы Q (Ь(г )) = ^

I=1

уГ -Рг(&', Х

п — количество экспериментальных точек; ^ — статистический вес измерений. Если регрессионные уравнения (1) линейны по коэффициентам:

у(г^х)=&(гV^х)’ (г=1+1)’

(2)

1=1

где к — размерность вектора Ь(г), ф(г) (Х) — заданные скалярные функции вектора факторов х,

то метод наименьших квадратов сводится к решению системы нормальных уравнений [2], которая формируется следующим образом. Исходя из имеющейся матрицы исходных данных

Х11 • 55 •н

II Х21 ’ • Х2т

Хп1 • Хпт

где Ху — ]-й компонент вектора х, соответствующий 1-й экспериментальной точке, и учитывая вид уравнения (2), заполняется матрица Фишера:

Ф1 (Х1) • • Фк (Х1 )

Ф(г) = Ф1 (Х2 ) • • Фк (Х2 )

Ф1 (Хп ) • ых к Ф

После этого система нормальных уравнений определяется как

(фг ) )= ф; wг7(г ),

(г)

(3)

где «*» — признак транспонирования матрицы; Г1 ’ — вектор экспериментальных значений от-

(г)

клика у■ ’; Wг — весовая матрица (в случае некоррелированных измерений — это диагональная матрица, главная диагональ которой содержит значения статистических весов измерений).

"*(г)

Вектор Ь ' является решением этой системы уравнений:

\-1

= ( Wг Фг

Ф; WгYy

Задача построения ЭММ усложняется, если между откликами появляется функциональная связь, т. е. значения некоторых откликов (ниже эти отклики именуются как косвенные отклики) можно вычислить исходя из значений независимых (базовых) откликов:

У

(р ) =

/р (У

(1) ..., У^)

(4)

где р = (д + 1)I; д — количество базовых откликов; I — общее число откликов. Совершенно

очевидно, что в случаях, когда регрессионные значения откликов должны удовлетворять условию (4), в системе (1) не могут присутствовать уравнения для косвенных откликов, коэффициенты регрессии которых оцениваются независимо от других уравнений. В противном случае подобная ЭММ, безусловно, обеспечит минимальную ошибку аппроксимации каждого отклика, но

условие (4) будет, в общем случае, нарушено, что может оказаться неприемлемым на этапе эксплуатации ЭММ. Если же в системе (1) остаются только уравнения для базовых откликов, а регрессионные значения для косвенных откликов вычисляются на основании (4), то снижается адекватность ЭММ из-за того, что при оценке коэффициентов регрессии не используется информация об экспериментальных значениях косвенных откликов.

Для того чтобы избежать перечисленных выше трудностей, в случаях, когда имеется функциональная связь между откликами, предлагается следующий алгоритм построения ЭММ. Система регрессионных уравнений (1), определяющая зависимость базовых откликов от факторов, дополняется условиями (4), характеризующими связь между базовыми и косвенными откликами:

где пг, Пр — число измерений соответствующих базовых и косвенных откликов; уг, Ур — весовые коэффициенты, определяющие (на основе экспертных оценок) степень важности каждого отклика в данной ЭММ.

Минимизация квадратичной формы (6) обеспечивает совместное определение коэффициентов регрессии системы (5) и позволяет учесть всю информацию, полученную в процессе экспериментальных исследований. Кроме того, в рамках данного алгоритма появляется возможность в случае необходимости варьировать точность аппроксимации того или иного отклика путем изменения значений весовых множителей уг, ур. В частном случае, когда все ур = 0, задача сводится к варианту независимого определения коэффициентов регрессии для каждого базового отклика.

Построение эмпирико-математической модели аэродинамических характеристик соосного винта. Работоспособность и эффективность вышеизложенного алгоритма демонстрируется на примере построения ЭММ АХ соосного винта. Факторами в этой ЭММ АХ являются относительная поступь винта X, угол установки лопастей переднего винта ф и разница углов установки лопастей заднего и переднего винтов Дф. В качестве базовых откликов принимаются безразмерные коэффициенты тяги переднего и заднего винтов аь а2 и коэффициенты мощности в и Р2, косвенными откликами полагаются суммарные коэффициенты тяги и мощности

В настоящей работе для представления базовых откликов используются линейные по коэффициентам регрессионные уравнения полиномиального вида:

(5)

где д — число базовых, а I — общее число откликов. Коэффициенты регрессии Ь(Г' системы (5) определяются в результате минимизации следующей квадратичной формы:

Г=1 І =1

(6)

р=д+1 І=1

а = аі +а2,

(7)

Р = в1 + Р2

и значение к.п.д. винта

(8)

й ( ф, Аф) = Г 4-^(1) ( ф, Aф), І=0

к2

у2 ( Ф, аф) = ГВ^(2) ( Ф, AФ), І=0

п(Х)

(9)

где у, (к. ф, Аф) — регрессионные значения а! или Р,: у2 (к. ф, Аф) — регрессионные значения а2 или Р2; Д , В1 — коэффициенты

регрессии; (X, ф, Аф), ^'2'(?цф, Аф) —

аналитические функции, определяемые как члены многомерного полинома.

Следует отметить, что функциональная связь между п и а, Р обладает особенностью:

при Р = 0 существует разрыв второго рода. Типичная характеристика п(^) приводится на рис. 2

и имеет две области, на границе которых функция не определена. Для того чтобы избежать осложнений на этапе оценивания коэффициентов регрессии, условие (8) преобразуется к виду:

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 2

Ха-пР = ^(а1 + а2 )-п(Р1 +Р2 ) = 0.

(10)

Окончательно эмпирико-математическая модель аэродинамических характеристик соосного винта формируется исходя из уравнений (9) и соотношений (7), (10):

а1 (г )=Г а(1)^(1)(г)

І=0

а2 (г) = Г°г(2)^(2)(Х)

І=0

в1 (г )=Г Ь(1)*;(1|(г),

І=0

в2 (г) = ГЬ/2)^(2)(Х),

І=0

а (г ) = Г а()р1Р(х ) + Г а(()рг2 )(;Є ), І=0 І=0

в (г ) = £ ь<^(1)(г)+Г ь,(2 ^(2)(г),

(11)

І=0

І=0

Г а,(1)/?(1|(г ) + Г а‘2)^;(2|(г)

І=0

І=0

-п

Г ь<^(1)(г )+Г ь/2,.гг|2,(г)

і=0

І=0

где г = (А,, ф, Аф) — вектор факторов. Система уравнений (11) имеет 2(к + к2) + 4 коэффициентов, которые должны оцениваться совместно по имеющейся выборке экспериментальных данных. Матрица Фишера Ф и вектор экспериментальных значений откликов У имеют вид:

Ф =

Фа1 0 0 0

0 Фа2 0 0

0 0 ФР1 0

0 0 0 ФР2

Фа1 Фа2 0 0

0 0 ФР1 ФР2

Фа1ЕХ Фа 2 ЕХ -Фр^п -ФР2ЕП

/ ^ ^ * П* П* ^ ^ * П* П* /л* \

У = (,012, р15 р2, а! +а2, р! +р2, 0 ),

где

Фа1 = ФР1 =

Фа 2 = ФР2 =

^(А) - ^(А)

^(п) •• - Мн(п)

) ■ • М(2)(х1)

М0(2)(п) ■ • ^(А,)

0 — матрица, все элементы которой равны нулю; Е — единичная матрица; X = (, ..., Xп), ті* = ( ..., Пп),

а* = (( ..., аіп ), ( = 1 + 2),

в* = (, ..., р,п), ( = 1 -2),

0 — нулевой вектор.

Для одиночного винта или в случае, когда раздельные характеристики переднего и заднего винтов не представляют интереса, ЭММ (11) упрощается:

а (

(х)=£аМ2) (х) Р(х)=£ЪМ2) (х)

і=0

к2

і=0

0 = X

£ )(х)

і=0

-п

£ ьМ2 '(х)

і=0

(12)

и имеет 2(2 +1) неизвестных коэффициентов. Соответственно изменяется вид матрицы Фишера и вектора экспериментальных значений отклика:

Ф 0

Ф = 0 Фр

Фа ЕХ -ФрЕп

Г = ( (* ,0*).

Рис. 3

Коэффициенты регрессии, входящие в систему уравнений (11), определялись методом наименьших квадратов с использованием всей информации, которая была получена в эксперименте. При этом, согласно рекомендациям работы [2], применялась процедура шаговой регрессии для того, чтобы избежать включения в ЭММ незначимых членов, которые могут привести к ухудшению предсказательных свойств ЭММ. Оказалось, что при незначительном изменении точности аппроксимации базовых откликов, аппроксимация экспериментальных значений к.п.д. улучшилась.

В качестве иллюстрации на рис. 3 для случая ф = const, Дф = const приводятся результаты восстановления базовых a1 (X, ф, Дф), а2 (X, ф, Дф), в1 (X, ф, Дф), в2 (X, ф, Дф) и косвенных характеристик а(, ф, Дф) = а1 (X, ф, Дф) + а2 (X, ф, Дф), P(X, ф, Дф) = в1 (X, ф, Дф) + Р2 (X, ф, Дф), Xa(X, ф, Дф)

П (X) = — ---------------— винта с помощью ЭММ различного вида. На графиках пунктирная линия

p(X, ф, Дф)

соответствует случаю, когда ЭММ представляется в виде (5), где все уr, yp = 1, а сплошная — ЭММ вида (5), но весовой коэффициент ур, соответствующий отклику п принимает значение 100. Сравнивая представленные на рис. 3 результаты с рис. 1, где эти же характеристики аппроксимировались с помощью ЭММ, содержащей регрессионные уравнения только для базовых откликов, можно констатировать, что представление ЭММ аэродинамических характеристик соосного винта в виде (5) заметно увеличивает адекватность описания косвенных откликов при незначимом уменьшении качества представления базовых откликов.

В заключение следует отметить, что предложенный алгоритм оценки коэффициентов регрессии многофакторной эмпирико-математической модели при наличии функциональной связи

между откликами улучшает предсказательные свойства ЭММ. Приведенный выше пример построения ЭММ АХ соосного винта демонстрирует возможность использования данного алгоритма даже в условиях, когда один из косвенных откликов имеет разрыв второго рода в области варьирования факторов.

ЛИТЕРАТУРА

1. ЗленкоН. А. Система многомерных уравнений регрессии для описания поля дроссельных характеристик сверхзвукового воздухозаборника // Ученые записки ЦАГИ. 1981.

Т. XII, № 2.

2. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Статистика,

1973.

Рукопись поступила 23/ШП 2006 г.