CC BY
7
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
2. Лумисте Ю.Г. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. (1966). Т. 69. С. 434—469.
3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—248.
4. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюзного Матем. съезда. Л., 1964. Т. 2. С. 226—233.
5. Шевченко Ю.И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37.
6. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
7. Полякова К.В. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1996. Вып. 27. С. 63—70.
K. Polyakova
SURFACE IN THE PROJECTIVELY CONNECTED SPACE
Projectively connected space is investigated, some conditions on components of its curvature-torsion tensor are found. The surface is considered in the projectively connected space; it is proved, curvature of group connection is a tensor, containing 4 subtensors. G.F. Laptev's and Yu.G. Lumistes ways of the giving of connections are compared. It is shown, the ways lead to the same structure equations for the connection forms and comparisons on the components of the curvature object.
УДК 514.75
Ю.И. Попов
(Российский государственный университет им. ммануила. Канта)
141
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ БАЗИСНОГО ПОДРАССЛОЕНИЯ ^—РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Вводятся двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей 1-го и 2-го рода базисного Л-подрасслоения данного Ж-распределения [1].
В статье используется следующая схема индексов:
,Т,К,Ь,Р,д = 1П ; Л,Ь,К = 0"п ; р,я,1:... = 1,г ;
1,] = г + 1,т ; = г + 1,п -1 ; а, | = т + 1,п -1 ;
а,| = т + 1,п, 1, j = |г + 1,т,п}; рр,с^ = {1,г,п}; 8 = т - г.
1. Пусть п-мерное проективное пространство Рп отнесено к проективному точечному реперу Я = { А }, деривационные формулы которого
.К ,
=ш-КАк. С1)
Формы ©К подчинены уравнениям структуры проективного пространства:
БюК = л ©К, Ё ©Л = О . (2)
I =о
Относительно репера Я1 1-го порядка ^^-распределение задается уравнениями (без соответствующих замыканий) [1]:
©п =ЛРс© , =Л^0 , юа = Лпа|©о,
©а=ларК©К, ©а = л^юК, юр = л>к , (3) ©а=л«К ©К, ©а=лраК ©К, ©р=лр1к©к .
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
Пусть ^^-распределение оснащено в смысле Нордена — Картана [1]. Выберем другой точечный проективный репер
{В}, адаптированный нормализации {у^, ур ] Л-распределения В0 = А0, Вр = Ар +урА0 , Ву= Ау, Вп = Ап +у^Ар +ЛУПАУ, (4) где
^ур + < = у !>К, ^ур+юр = урк^К, vл; + ю; = л;>К .(5)
Уравнения инфинитезимальных перемещений нового репера имеют вид
¿В =^КвК • (6)
Дифференцируя (4) с учетом соотношений (1) — (6), выразим формы ПК через юК :
/"»о О 0( р р п\
По =Юо -ур(ю0 -уПЮо) ,
пр = уОкюК + уОуПюП - уру0(юр - урюП),
пр = юр - уОюО, пр = юр - урк + у^юП) + уОюр, п=ю: - л;юо, п;=< - л; (»о+у>о)+уо«;,
по =юп, по =юп + у>о, по =ю0 -ур(ю;-у р юо), по =юо +у р®о +л>! -уо(урк юК +у>р -уо уо®о -у рлХ), (7)
пр = юр - у о юо, по = уркюК + л>Р - уо^юр + л;о ю;), пр = ю; - лро юо, п; = л>К + уо®; - + л; юр), пр =юр, по =юо +уоюо +л>; •
Рассмотрим систему форм {©^, ©V ]:
©о = по + пК ©; = п; + г! пК (8)
и и иК о ? и и иК о • V"/
В силу (7) формы (8) можно представить в таком виде:
143
©V = ©V+v°(vn ©V -©V) - (rvoqvn+rvu +Г>К, ©p =©p -vq[v^K ©K +Avn ©q -v n(v p ©p +Avn ©V)]+v p©p + +Avn ©°+(r^qvn +c Aun)®n +Гк©к,
©u = ©"v -Aun ©V -§V(©° -vp®p +v°vp ©P) -
- (TUqvn +rvuw AWH +rv>K,
(9)
©u=AunK®K+v n ©u - Aun (v n ©n+Avn ©n) - (rnqvn+rnw aw к+гпк ©к , ©v = ©v - (r;vn + rw aw к + ГК©К,
©n =©n -©o +v p ©P +Avn ©n +vp(©p -v n©n) -
- ед +C Avn)©n +Г>К-
Система форм {©u, ©U} (9) определяет нормальную цен-тропроективную связность 1 -го рода Vх [2] (центропроектив-
ную линейную связность Vх) в расслоении нормалей 1 -го рода, если она удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [3]:
D©0 = ©* л©; + R¡pq©p0 л©;
d©U = ©; л©; + RPQ©P л©Q. (io)
Для того чтобы система форм (9) удовлетворяла структурным уравнениям Картана — Лаптева (10), необходимо и достаточно, чтобы охваты компонент объекта связности
{гк ; ГРК} имели следующий вид:
р<° _ p"V _ T->v _ T->v _ -pin _ r\ pO _ -pü _ °1°
Г up _ Г up _ Г np _ г nn _ Г up _ 0 Г vn _ Г nv _ XnAV,
рю _ / °\2 p>n _r\ °
rnn _ (Xn) , rnn _ 2Xn, ^^
u u u O v v O v O n n O
Г vn Г nv ^vXn' Г uw ^u^ w ' ^w ^u' nv vn ^V'
pi° _ л °л ° i pn - .O P'O _ p,n o
uv ^ u ^ v uvv n' np npXn'
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
1 ^ ( ) где хо =уо +л;оГ;, уо =-^(урр-лорЧуруо), Г; = {яо, А°а]
к =-1 лр;р ; УЯ°у +юЦ =Го¥КюК. г
В качестве тензоров Г° , П можно взять любой из следующих охватов:
о 1
г 11 = 0 Г 11 =ло (12)
А иу А иу ^иУ (12)
0 11 2 1
г п = 0 Г п = -(л° +яо) + Ъо уч Г п = -(ло + 1о) + Ъо уч
1 ор 0, 1 ор 2 (лро +яр) + Ърчуо, 1 ор 2 (лро + 1р) + Ърчуо ,
3 1 4
Г п = —(ло + е) + Ъо уч Г п = ло +уо +ло уч
1 ор= 2 (лро + ер) + Ърчуо, 1 ор=лро +ур +лрчуо, 5 6
Г п = Ъо-уо + Ъо уч, Г п = Яо -уо +ло уч,
ор ^р р рч о' ор р р рч о'
7 8
' ^ = 1о -уо +ло уч, Г е , . л ,
ор р р рч о> ор ^р р чр о
Г п = 1о -уо +ло уч, Г п = ео -уо +ло уч, (13)
ор *р ур "р^'^ ор ^р ур чруо' У*-'/
9 10
Г оор= Ср + 3Вр - 4ур + 2Ъочуо, Г оор= Ср - ур - л>о, 11
г1 ;= ъОЧтпч,
где Гор = л;, Ър = -^-ЪХр, 1р =1 Ь°р, ер =-^Ер.
г + 2 г + 2 в о - т -1
Структурные формы (9) при охватах (11) — (13) обозначим,
5е & „ ___
соответственно, © о, © й , где 8 = 0,1 ; 8 = 0,11 . Рассматривая
попарные комбинации охватов (12) — (13), получим 24 нор-
08 18
мальные связности V ; V .
оо оо „
2. Следуя работе [4], запишем выражения форм {© о, © Щ} ,
оо
определяющих связность V , в следующем виде:
145
00
б) := +v0(vn < -о+А»:+к« - а; л>п,
00
000 :=шП +vРюр +л;юР -v0[vnкюК + Л>? -VпКюр + лр<)]-
- хП А>р + хП(хП-А°Л;Х
00
б) V = < + А°Х -Лип(юр + А°Х) -5>0 -А°„< -Vрюр -
- (хп-v pv р-А°„ Л^П)юП],
00
0)0 П;=ЛПкюК +vрюр -ЛVn(vпюп +Л^пю^) + хПК -ЛРюП), (14)
оо
©п л п п
V =юр +Арюп ,
оо
000 пп = юп -ю0 + А°Х +Vрюр +vпюр +Лрпюр + (2хп -А°уЛ - vpvn)юn . В силу соотношений (11) — (14) находим зависимости между
5е 5е Л
формами 0 0, 0 V и формами (14):
5е 00 5 5е 00 е
0 р= 00 0+ г РиХК -Лип юп), 0 0=0 п0 + г п>п« - vnюn),
5е оо 5е оо
0 " =0 0 у =0 у ,
V ^ V9 п п '
5е 00 5 5е 00 е
V = 00 р + г ™(юи - Л>п), п =00 пп + ]] 0яК - vnюn).
Заметим, что: а) если БИ-распределение имеет поле симметрического тензора Л^ или б) в случае голономности од-
5 6
ного из Л-, М-, ^-распределений — тензоры Г 0р, Г 0р совпа-
дают так как лn)q = bpq, Ьр = А-0,. В результате справедлива
Теорема 1. На оснащенном в смысле Нордена — Картана Л-подрасслоении данного БИ—распределения в расслоении его нормалей 1-го рода индуцируются 24 нормальные связности
0е 1е 5е 5е ,
V 1; V 1 , определяемые системой слоевых форм {0 0, 0 V}
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
(9), связанных зависимостями (15), причем в случае голоном-ности одного из Л-, М-, Н-распределений или для БИ-распределения с полем симметрического тензора Л°ч
85 86
связности V 1 и V 1 совпадают.
3. Пусть Л-подрасслоение БИ-распределения оснащено в смысле Нордена — Бортолотти. В силу наличия подмногообразия , двойственного исходному БИ-распределению [1],
8е 8е ,
системам форм {0 0, ® Л соответствуют двойственные им
системы форм {0 0, ® й) , имеющие аналогичные строения (формы и функции, входящие в выражения форм, записываются с чертой сверху). Эти системы форм определяют нормальные связности V 1 в расслоении нормалей 2-го рода,
8Е
двойственные по отношению к связностям V относительно
инволютивного преобразования J [1]. Формы {0 0, 0 V) имеют
следующий вид:
00
0 0= + ЛЛХ + Л (К + ^ЛЛК + + ОД ],
00
0 п=< ^Х-vpшp П[у0К©К - - ^©0 + К©ЭД + + ц0[Лип ©и + (ЦП +ПКЮ,
00
0 и = Л7 [^ + (ЯП„П + )ЛхпЛПо©п - ЛПХУ (Г„©х - ©:)
+ЛХп ЛПху©и +8Ж ©^ +vp ©п + (Ц0 + г„ лп +v°v п)©п +©п],
оо
0 >Л"т(Л© ),
147
00
0 0= ЛГ [А°„К юК + А0„ (vpюp + АХ) + К (Лп„п + а; )юп + vpЮw ] + + Ю юр,
0 п = ю0 - ю0 + vрюп - ЛХ + А0юи + vpюp +
+ (2Ц0 + А° Л"п +vpv0)ю0,
(16)
5е 00 5
0 V=0 V + г 1 ц п[юи +лг(л1^п +А;)юп;
5е 00 е
0 0= 0 0+ г 0чцПК + л®(л;п + vp)юn],
5е 00 5е 00 5е 00 5
0 и = 0 Vй, 0 и =0 и, 0 о =0 0+г 0Х +Л7(лп„1 +А0„)юп;,
5е 00 е
0 0=0 0+г ПК + Л0р(лпрп ^рк;.
Каждая из систем форм {0 0, 0 удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [3]:
5е 5е 5е 5е
йрдю
Б0 и=0Гл0 ? + Я PрQЮoP лю? ,
5е 5е 5е 5е
Б0 У=0 Гл0 Г + Я VрQю0) лю? .
Итак, справедлива теорема, двойственная теореме 1: Теорема 2. На оснащенном в смысле Нордена — Борто-лотти Л-подрасслоении данного БИ-распределения в расслоении его нормалей 2-го рода индуцируется 24 нормальные
Несвязности V 1, определяемые системой слоевых форм (16),
причем в случае голономности одного из Л-, М-, Н-распределений или для БИ-распределения с полем симмет-
85 86
рического тензора ЛП связности V 1 и V 1 совпадают.
00
Л.В. Степанова, Т.Л. Мелехина
Список литературы
1. Попов Ю.И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства. Калининград, 2003. Деп. в ВИНИТИ. 29.09.2003. № 1743-В2003.
2. Чакмазян А.В. Связность в нормальных распределениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn //Проблемы геометрии /ВИНИТИ. М., 1987. Т. 10. С. 55—74.
3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий: Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований //Тр. Моск. математ. общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.
4. Столяров А.В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1996. № 6. С. 9—14.
Yu. Popov
DUAL NORMAL CONNECTIONS OF BASIS SUBBUNDLE OF SH-DISTRIBUTION IN PROJECTIVE SPACE
We introduce dual normal connections, induced in the bundles of the 1-st and 2-nd kind normals of basis A-subbundle of the given SH-distribution [1].
УДК 514.75
М.В. Сорокина
(Пензенский государственный педагогический университет)
ОБ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМАХ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНОЙ СТРУКТУРЫ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ
149
