CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Список литературы
1. Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью //ДАН СССР. 1977. № 5. C. 800—803.
2. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств: Монография. Пенза: 2005.
3. Долгарев А.И. Растраны на различных структурах. Киев: 1996.
4. Долгарев А.И. ЕМ-пространства: Дис. канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 1991.
Dolgarew
CLONE OF AFFINE TRANSFORMATION OF ODULAR SPACE ON RASTRAN
The Lie odule of transformation of odular space on rastran of dimension 3 is considered. It is placed, that it is twice solvable, and also is the extension rastran by linear space of dimension 1.
УДК 514.75
Н.А. Елисеева
(Калининградский государственный технический университет)
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ В РАССЛОЕНИИ НОРМАЛЕЙ ПЕРВОГО РОДА НА Л-ПОДРАССЛОЕНИИ Я(П)-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
На оснащенном в смысле Нордена — Картана Л-подрасслоении в расслоении его нормалей 1-го рода построены 24 нормальные связности. Указаны условия совпадения некоторых из них. В работе используется следующая система индексов:
А.И. Долгарев
I,К = 0,п ; I, К, Р, Q = 1, п; р, q, s, г, г,/ = 1, г; г, ] = г +1,т;
а, /3 = т +1, п -1; и, V, м, х = г +1, п -1; и, V, М = г +1, п . Пусть Н(П)-распределение отнесено к реперу первого порядка Л} и оснащено в смысле Нордена — Картана [1; 2].
Введем нормальные связности в расслоении нормалей первого рода на базисном Л-подрасслоении Н (П)-распределения, следуя работе [3]. Перейдем к другому проективному реперу В },
адаптированному нормализации [ур ,у°} [1] базисного Л-подрасслоения Н (П)-распределения:
В° - Ло, Вр - Лр + у°рЛ°, Ви - Ли, вп - хп,
где Хп = Л + ур Лр +Г„Ли; & = [& ,Гп}, УХХ + Щ = ХЩ;
Л = 1 л^лр> ул= Х„к^К; лп = 1 л^лпр, Улп +Фап=лапкФК.
Уравнения инфинитезимальных перемещений нового репера имеют вид ёВ^ = ОК В^ , где формы Ок выражаются
через 0)к следующим образом:
О° = Щ - ур (< -урп<), оq = у°9КшК + уущ -°р = а°р-уЩ, -ууЛ<-у>1),
°° = - «, ор = Щ - у р (щ + у°щп) + у'°ш°,
О°п = <, О = Щ - Хип(Щ + уЩ) + уЩ ,
Оп =а>П +у0оЩ , (1)
О° = Щ - у°р (Щ - уЩ), оп = Щ + у>° + Х< - У° (у К х
О =Щ-урпщ. + лщр-уупщ-урл^),
О и и ^и п
V = Щ - л.ж
О я п
V = Щ
V V п V
к
47
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
пр уа-
п=ккаК-к +
Рассмотрим систему форм (0°, ©V }
©0 = п + ГК ПК, ©V =П - ¿¡ПО + гК ПК. (2)
В силу (1) соотношения (2) можно представить в виде:
©оуа:-а) - (г>:к,
©I=а-у° (ука-VI уж;+хяа:»+урар+л:а -
- (гу+0: а: +Г>0к ,
©и=аи - ка - ¿и (ао - ура0;+ууа:) - (гу +
+ Г1Г„ )а: +Г>оК,
©:+ура;-к ура;+л:а:) - (гу+г:к: а:+г:а, ©:=а: - (гу+г:,к к+га, ©:=а:+ура;+ка - а+у к - ура) -
- (гу +с к: а:+Г>°к .
Для того чтобы система форм (3) удовлетворяла структурным уравнениям Картана - Лаптева [4]
о©0,=©: л©:+1 в^ар л а о©=©: л©: +1 в1ва л а
А.И. Долгарев
необходимо и достаточно, чтобы функции , Г^ удовлетворяли следующим дифференциальным уравнениям:
ёГ0 + 2Г° +Г ма>° + Гп (К + упа>° + ЛК0) -Г° ам -Г0 ап =Г0 кК,
ир ир 0 ир м ир\ п п п п м / мр и щ р ирК 0 ^
гг"'0 I ОУ0 0 . т^м 0 . т^п / 0 . п 0 . ом 0\ т-'0 м т-'0 м т-'0 К + 2Г:®0 + К +У>Ч +Л„ам) -Г™К =Гш«а0 5
тг-'0 т->0 /г\ 0 п\ , т-м 0 , т^п / 0 , п 0 , пм 0\ -1-10 м -1-10 К ёГип +Гип (2®0 ~а„ ) + Гш,К +Ггш (К + У>п + ЛК0.)"Г*™®: = ГипК0 5
7т-'0 , т""0 /л 0 . т^м 0 . т 'п / 0 . п 0 . пм 0\ 1 '0 п 1 '0 К
ёГ„р + Гпр (2®0 - К ) + ^пр^0 + Гпр К + УЩ + Лпа0) - ГК = ГпррК®0 ,
п-"0 т_,0 0 . т-'м 0 , т^п / 0 , п 0 , ом 0\ т-|0 м т-|0 К
01т + Гт (2®0 - К ) + ГК + Гт, К + У>д + Л„®^) -ГтК = Гт,К ®0 ,
ёГ°т + 2Г:(Щ-Щ) + ГЩ +С(К +УУ1 +л:ш1) = ГппКК, + г;К + г;®; - г>м - г;®р = г;® ,
ТГ-'V . т-^ 0 , С^ 0 . С^ 0 . Т-1Х V т-^ х Т—^ х т—^ К
01 +1 к + д а + д а +1 а -1 а -1 а =1 кп ,
им им 0 им ми им х хм и их м имК 0 5
ос+г: к0 - к)+гК+д:К+уК+хм®) - СК=гж, (5)
Л—"'V т—' V / 0 , -I—^м V -I—'V п -I—'V К
°Г„р +Г„р (®0 ) +Г„рК -Г„п®р =ГпрК®0 ,
ОГ1 + Г: (К - К)+д; К + Упк + хю + г„:к - г® = г^К,
огпп +гпп (®00 - 2®и")+г;;®: =гппК®0К, ОГп +Гп (®0 +К)-Гп К -Гап = Г" К ,
ир ир У 0 п у мр и ип р ирК 0 '
ОГп + Г К +К) -Гп аn -Гп аn = Г" аК,
; ; V 0 п / м V : им V :К 0 ^
01 +1 к+а -1 а =1 у к 5
ип ип 0 : мп : ипК 0 ^
гг—^—l; 0 ^—l; п -т^п К
аГ +Г К - Г К =Г кп ,
пр пр 0 щ р прК 0 ^
ёгп + ГК - гпмк+= г>0К,
агп:+с к0 - к)+2(К + у„к0 + лмК) = гпК®0К.
Определение. Говорят [5], что система форм [©0, ©V}
определяет центропроективную линейную связность Vх в
49
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
расслоении нормалей первого рода (нормальную центропро-ективную связность первого рода), если она удовлетворяет структурным уравнениям Картана - Лаптева (4). Функции
Го = Г: = Г" = Г" = Г: = 0 Го = Го =-у°у° Го = (у0)2
ир ир :р :: ир 5 и: :и : и ' :: Vг : / ?
Г1 = 2у , С = С = ¿У1 , Г1: = -(51К: + ¿1Ки ) ,
Г: =Г: =-К, Го =кк +Г:у0, Го =Г "у0,
:и и: и ) и" и V и: : ' :р :р : '
где я: = кок , +а =кОкаК , К =-1 лр
г
ук+а=ка, к=--Лр, уя°о+а =каКа,
г
будут удовлетворять уравнениям (5), если в качестве тензоров Г^р, Г: взять любой из следующих охватов:
о 1
Г : = о Г : =л: ; (6)
х и ^ 5 А и: иV "> \ /
о
Г ":р = 0, Г ; =1 (Л:р: + ар + л:рУл:) + ъу,
2 1 3 1
г ; = -(лр + 1р +л:рЛ)+ъу, Г ; = -(лр + бр +л\кп)+ъу,
4 5
Г : =л: +у0 +л: у" +л: к , Г : = ъ -у0 + ъ: у", (7)
тр р: г р р"г : р: : у А щ> ^р р р" : у '
6 7
Г:= а -у0 +л: у", Г: = I -у° +л у",
:р р р "р : :р р р "р:
8 9
Г : = е -у0 +л: у" , Г : = С + 3В -4у + 2Ъ: у" ,
:р р р "р : : р р Р М :
10 11
Г ; = Ср -у°р + л:9уп, I1; = л:Р"Тп", л-= о.
Функции, входящие в охваты (7), построены, следуя работам [6, 7] и имеют вид:
ар л: Кчр, Уар + аро1 - л^а" + < = а^К,
г + 2
А.И. Долгарев
1р=—ккр, ч+ка - лпа+а=\рка,
т - г
1
Ср =-
-лрпал\р, Уер + еа0 - лпа +< = е^К
: - т -1
Ъ: =1 (л: + л: ), УЪ" + Ъ>оо = Ъ" КарК, р" ^^ р" "р! р" р" 0 0 '
Ъ = Ъ: Ъ", УЪ =-Ъ а -а0 + Ъ: а* + Ъ аК,
р р"' : ' р р 0 р р* : рК о '
г + 2
В: = 1 Ъ:
р" = ^ (р"),
Х~1Т>: I о о: ^о I 7 : 7 : 7 : 1 п г : т->: ^К
У В „ + 2В + Ъ, а- Ъ, Ъл а — г, Ъ а = В ,
р" р"' о (р" ') (р" ')з : ^ *(р "') : р"К О '
Вр = тЪ В^, УВр = -ВраО - а^ + ЪрХ +1 г>„* + В^ар,
спт=Впрч, - црВ ), ус-"=-2спРа+(...) к а
С = ЪрЪХсрс* , а 1п с+аО-а: = СаК. (8)
def
Ъ: Ъ: с;"rсstf , а 1п с + аО - а: = сКаО
Продолжение уравнений (8) приводит к дифференциальным уравнениям (выпишем только для величин с ):
уср + са + л:ра" +ар = сркаК,
аеТ
Тр = + ¥р УТр = Тр аК
Обозначим структурные формы (3) при охватах (6), (7) софт фт _
О '
ответственно через © О , © I (ф = О,1; т = 0,11). Рассматривая попарные комбинации охватов (6) и (7), получим 24
от 1т
нормальные связности У , У .
51
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Если Л-подрасслоение голономно, то в этом случае
5 6
лм = Кч 5 Ьр = ар и слеДовательно, тенз°ры г 1р и г 1р совпадают. Эти тензоры будут также совпадать в случае, если М-подрасслоение голономно, или М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, Ь), или в случае голономности ^-распределения, или взаимности Л-,Ь-,М-распределений. Таким образом, приходим к предложению:
Теорема. На оснащенном в смысле Нордена - Картана Л-подрасслоении в расслоении его нормалей 1-го рода индуци-
0т №
руются 24 нормальные связности Vх, Vх , задаваемые
фт фт
системами слоевых форм [ © 0 , © V} , причем связности
ф11 ф5 ф 6
V х определены при Л^ = 0. Связности V и V будут
совпадать в случаях:
1) голономного Л-подрасслоения;
2) голономности М-подрасслоения или если М-распределение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л, Ь);
3) голономности Н-распределения или взаимности Л-,Ь-,М-подрасслоений.
Список литературы
1. Елисеева Н.А. #(П)-распределения проективного пространства. Калининград, 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН. №206-В2002.
2. Елисеева H.A. Двойственный образ □ (П)-распределения проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. Вып. № 33. С. 29—34.
А.И. Долгарев
3. Фисунов П.А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе. Чебоксары, 1998. Деп. в ВИНИТИ РАН - № 627-В98.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т.2. С. 275—382.
5. Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Проблемы
геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. С. 55—74.
6. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. 1975. Т. 7. С. 117—151.
7. Попов Ю.И. Инвариантные подпространства, ассоциированные с H(M(A)) -распределением проективного пространства. I. Калининград, 1984. Деп. в ВИНИТИ. № 4481—84.
N. Eliseeva
NORMAL CONNECTIONS, INDUCED IN A BUNDLE OF NORMALS OF THE 1-ST KIND ON Л-SUB BUNDLE OF H(n)-DISTRIBUTION
Twenty four normal connections are constructed on equipped in sens of Norden-Cartan L-subbundle in a bundle of its normals of the 1-st kind. The coincidence conditions of some connections are indicated.
УДК 514.75
М.В. Кретов
53
