CC BY
37
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 67, в. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1951 г.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОДИНОЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАСЕЧКИ (для арифмометра)
Б. Ф. КРУТОЙ
При разработке новых формул для решения одиночной обратной засечки (задачи Потенота) преследовалась цель дать такие формулы, чтобы все вычисления вести исключительно на арифмометре, без применения таблиц тригонометрических функций в промежуточных действиях. Это возможно, если в промежуточных формулах не вводятся явно операции с угловыми величинами и их функциями. При наличии этого условия все выкладки становятся наиболее простыми и механичными, что гарантирует от ошибок логического порядка.
Руководствуясь такими соображениями, мы пришли после ряда проб к нижеследующему решению одиночной обратной засечки (в начале 1933 г.).
Решение
Условие задачи: £ точке 1 (хх,у{)у подлежащей определению, измерены углы а и Р_между направлениями на твердые ^опорные) точки 2 (х2, у2), 3 (х31 Уг)> 4 у4)> координаты которых х2, у2\ Уь известны,
А
---А
Фиг. 1
Требуется по этим данным найти координаты хи уг искомой точки I (фиг. 1).
Приступим к решению задачи. Прежде всего для упрощения последующих вычислений перенесем начало координат в точку 2, обозначив координаты точек относительно нового начала с индексом'. Мы будем иметь (табл. 1):
Таблица 1
1
ХГу = Х\ — А'з
У1 = Ух
—
л' ч — — — О
X з = Д*з — Х<*
X 4 — Х±-Хо
У'1—У±—У2
Выразим затем тангенсы дирекционных углов tVZi линий 1.2, 1.3, 1.4 через координаты точек 1, 2,3,4 в новой системе:
1
У*-У,
и— х 1 х \ х % х 1 х 4 х 1
(1)
Тогда, заметив, что
ОС = ~~~ ^1*2 ^ —— ~ ^1*2 »
тангенсы углов а и 3 можем представить в следующем виде:
_У 3-/1
(2)
X 5 .X 1
Ух
1 , , Уз - _ У
1 Г _ V * . I
а
Х'п — х
Ам — А-
У4-У1 х\ - х\
У.
(3)
1+^1.2 1 I _У<— У1- _У1
I ; ^ * /
•X I X 1 Х\
= ь
Займемся преобразованием этой системы двух уравнений с двумя неизвестными х\, у\:
а (х'ъ х\ — х'2! + Уз ух —= У3 х'1 —У1 — х'3 ^^ +
+ х'У1=/3х\ — х'3у'1
Ь (~х'4 х\ - х'\ + /4у х - у'\)=у\х\ —у\х\ - ^у, + +х\у'1=у'4х1' -у\у\
ах"\ — {ах\ - Уз)л'! — (а у\ + х73)у\ + ау\ = О Ъх'\ - (¿¡?4 - у\)х\ - Г^У4 + *'4)у\ + Ъу'\ = О Введя обозначения:
ал'з —Уз = к Ьх\ —у\ — т
«Уз + -^з = I Ьу\ + — п, (5)
23
(4)
предыдущую систему запишем так:
ах\2 - кх\ — 1у\ + ау'\ — О
Ьх'\ - тх\ - пу\ + Ъу'\ = 0 (4а)
Умножив первое уравнение на — Ь, а второе на ~\~аш складывав, выразим у\ через х\\
Ьк — ат , л, , /п,
У1 =---л 1 = Мх1> (6)
Ы — ап
где
лл , Ыг — ат
М = ^--— . (7)
ап — Ы
Подставим теперь значение у\ из (6) в (4а):
ах?\ — кх\ — 1Мх\ + а/И2 х'2х = О Ьхг\ - тх\ - пМх\ -4 - ЬМ- х'2х = О или после сокращения на х\:
а(1+АР)х\ = к.+ 1М 6(1 =
Отсюда получим:
^ _ кА-Ш _ тп + лД! ' 1 ¿>(1+Ж2)
Заметив, что = и Ух — У2т{тУ'и найдем окончательно:
*=-ь-=+ т+пМ- (9)
* а(1+АР) - 6(14-Ж2)
Заключительным контролем вычислений может служить следующая формула:
а —а = , (Ю)
1 + ей
где
а=у*~у1 (И)
Промежуточного же контроля — двойное вычисление — можно не делать, так как он контролирует лишь функцию М~М(к,1,т,п). Поэтому, если при вычислении к, /, т, п будет сделана ошибка, то 2 значения х\ сойдутся, а задача все-таки будет решена неверно.
Соберем все необходимые для вычисления формулы в порядке последовательного получения соответствующих величии.
1)1 еа = а 4)а?8+3?8 = / 7) Ьк~ат = М
_ ап — Ы
— Ь 5) Ьх\ —у\ = т , , ,ЖА
} ьг с, , /тг + лАГ
о) л; ,
3) ал:'3 — У'з = к 6) ¿у '4 + х\ == л ~ а (1 + М2) Ь (I + М2)
24
Одиночная обратная засечка Для арифмометра
По Б. Ф. Крутому
Чертеж
Формулы
К/гг ц \ Переносим начало координат в точку 2, обозначив
^ г? координаты точек относительно нового начала с
^ I индексом'. Тогда:
х\ — 0 х'3 = X« — х2 л'4 = х4 — ЛГ2 — — Ха У1 = ° /4 Л
Р е ш е н и е
32 *х -2078.671 33 У\ —370.880 25 М -4.318583
! 1 -1261.199 2 У4 -468.360 26 пМ —680.008
3 —2887.709 -2114.203 4 Уз -687.190 27 Л42 +18.65016
с 5 6 У2 —217.431 28 т + пМ + 1935.337
30' +35.532 31 У1 -153.449 29 6( 1 + М*) + 54.467
7 х\ +853.004 9 ?4 —250.929 30 +35.5323
8 — 773.506 10 Уз -469.759 31 -153.449
11 Ь? 4 -695.543 13 Ъ~х\ 4-2364.416 34 35 Уц—Ух *3 — - 316.310 -809.038
12 ау'з +3213.537 14 а х\ + 5291.415 36 а +0.390971
15 Ьу\ + х\ = п + 157.461 17 Ъх\- +2615.345 37 38 с ¿ — с -4.318614 + 4.709585
,16 +2440.031 18 ах' з — + 5761.174 39. «р* ■ 40 ей 1 + с4 — 1.688453 -0.688453
¡19 ап -1077.162 22 Ьк ' + 15969.225 Контроль
20 Ы + 6763.449 23 от ¡—17891.104 41 (1- с -6.84082
а — 1 + с<*
ап — Ы —7840.611 24 Ьк — дт + 33860.329 -6.84082
1) tga = в
2) 1*3 = 6
tg а гг — 6.84082 а = + 2.77187 = 6
Ь) *у'4+ = *
' 1 а(1 + /И') хъ-хх
т + пМ Ь(\ + М2)
10) хг^хг + х'}
11) Ух-У2+Ух
Контроль
14) « « _ а-с
— а
Р е ш е н и
32 I
3
5
30х
7
8
I1
X з
—2078.671 —1261.199 —2887.709 —2114.203
+35.532 853.004 —773.506
11 12
15
16
ЬУ 4
лУз
—695.543 +3213.537
*у4 + *'4 = л
19
20
21
ап
Ы
ап — Ы
+ 157.461 +2440.031
-1077.162 + 6763.449
—7840.611
33 2
4 6
У\
У4
-У2
-370.880 -468.360 -687.190 -217.431
31
9 10
У*
?4
Уз
-153.449 -250.929 -469.759
13
14
Ьх\ а х\
4-2364.416 +5291.415
17
18
Ъх' 4 — — у\ = т
ах' з —
+2615.345 + 5761.174
22 23
1>4
6* от
' + 15969.225 —17891.104
ЬЬ — для
+ 33860.329
25
26 27
Л* лЛГ М*
28
29
гя + л Л1 6(1 +М2)
30
31
34
35
36
37
38
39
«р1
40
41
.VI
— 4.318583 е —680.008 +18.65016
+ 1935.337 + 54.467
+35.5323 — 153.449
Ух
- 316.310 II
— 809.038
и
с
й — с
ей 1 + с4
Л - с
а ~
1 Агсй
+0.390971 -4.318614 + 4.709585 -1.688453 -0.688453 Контроль -6.84082 - 6.84082
9 )у\ = Мх\ = с Контроль:
ю)^ = "х,-¡~ л-', а-с
ЛЗ 'П
В заключение заметим, что формулы, близкие к^нашим, но полученные на основании других соображений, были опубликованы в 1936 году цоцентом Томского политехнического института В. С. Нуварьевьш1),. Впрочем В. С. Нуварьев указывает на возможность вывода своих формул, исходя также из выражений (3).
К настоящей работе прилагается формуляр вычислений.
1) Нуварьев Б. С. Решение задач Потенота и Ганзена на плоскости и в координатах Гаусса— Крюгера, ГОНТИ, 1936.
