CC BY
10
УДК 519.6
II. ДЕМК1В, 1С. КОСТЕНКО
Нацюнальний ушверситет "Львiвська пол^ехшка"
1НТЕРПОЛЯЦ1ЙНИЙ ДР1Б ДЛЯ ФУНКЦП ОДШС1 ЗМ1ННО1 З ОДНИМ
ДВОКРАТНИМ ВУЗЛОМ
Будуетъся та досл1джуетъся ттерполяцтний др1б типу Ермта для функцП odmei зм1нно1 з одним двократним вузлом. Наведено деюлька приклад1в.
Ключовi слова: ¡нтерполяцгя, континуальна множина вузлгв, ланцюговi дроби.
И.И. ДЕМКИВ, И.С. КОСТЕНКО
Национальный университет "Львовськая политехника"
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ДРОБЬ ДЛЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ С ОДНИМ
ДВУКРАТНЫМ УЗЛОМ
Строится и исследуется интерполяционная дробь типа Эрмита для функции одной переменной с одним двукратным узлом. Приведены несколько примеров.
Ключевые слова: интерполяция, континуальное множество узлов, цепные дроби.
I.I. DEMKIV, I.S. mSTENm
Lviv polytechnic National University
INTERPOLATION FRACTION FOR FUNCTION OF ONE VARIABLE WITH ONE TWOFOLD NODE
An interpolation fraction of Hermite type for function pf one variable with one twofold node is constructed and investigated. Several examples are given.
Keywords: interpolation, continual set of nodes, chain fractions.
Вступ
Уперше штерполяцшш штегральш ланцюгов1 дроби (I ШД) були введет у робоп [1]. У тй також доведено, що вказане там визначення ядер е необхвдною умовою, щоб штегральний ланцюговий др1б був ш-
терполяцшним для функцюнал1в F: Li (0,1) —> R1 на континуальнш множит вузл1в
xn (.,§n ) = xo (•) + ¿H(- )[x (•) - Xi-1 (•)] (1)
i=1
§n ) e ^ ={zn : 0 < Z1 < ...< Zn < 1}.
Тут через xi (z)e Q[0,1], i = 0,1,... позначеш дов1льш, фшсоват елементи з простору Q[0,1] -кусково-неперервних на в1др1зку [0,1] функцш з1 сшнченою к1льк1стю точок розриву першого роду. H (t)
- функцш Хев1сайда.
Для скороченого запису сшнченного ШД використаемо наступш позначення
a = D— = + aA +...+ aA
b + a2 i=1 bi \b1 \b2 \b b2 +
b
n
Дослвджуваний у [1] та I ШД мае одну ваду. Якщо у формул! (1) покласти Xi (z) = Xi = const,
i = 0, n, x (z) = x = const, то I ШД не перейде у штерполяцшний ланцюговий др1б для функцП одте! змшно!. Щоб позбутися ще! вади у [2] уведений новий клас I ШД вигляду
Qn (x (•)) = K0 + D4^1, (2)
i=1 1
an
11 1 m
де qm (x (-)) = Ji^ j Km (z m )П[ x (z )-xi-1 (zl )]dzi.
0 Ъ zm_1 I=1
У [2] доведено, що для того щоб 1ЛД вигляду (2) був iнтерполяцiйним для гладкого функцюналу F(х(•)): Q [0,1] —> Я1 на континуальнш множинi вузл1в (1), необхвдно, щоб його ядра визначались за формулами
Аг „.-Г1 ^ (хр Мр))
4 (%p) = (-1)p П[Xi &) - Xi-1 &)] D-
i=1 -1
11 1
dzi, m = 1,3,...,n, p = 2,3,...,n,
qm (xp (-,%p)) = jj... j Km (zm)П^хр(zi,%p)-Xi-1 (zi)
0 z1 zm-1 i =1
qo (xp (., %p )) = F(xo (•)) - F(xp (•, %p )) -1, 4 = F(Xo (•)),
K{ & ) = -[x1 &)-xo & )]-1 &F(xo (•) + H(•-&)(x1 (•)-xo (•))),
а достатньою умовою e виконання правила подстановки (див. [2]).
Правило пiдстановки накладае суттeвi обмеження на функцiонал. Тому в робот [3] дослiджуeться I 1ЛД, який не вимагае виконання правила пiдстановки. Якщо в одержаному у [2] та [3] I 1ЛД покласти
xi (z) = xi = const, i = o, n +1, x (z) = x = const, то одержимо однаковi дроби вигляду
г n+1 q, (x)
Qn +1 (x) = F(xo) + D^ , (3)
i=1 1
де
q1 (x) = (x - xo)Fou q2 (x) = -П-— [1 - /2 (x2)] =
i=1 x2 - xi_1
n+1 x - x.
я„+1 (х) = -П-I1 - /п+1 (хп+1)];
г=1 хп+1 хг-1
^ (х) = (х - х0 ) ^(^¡У^ •• - ^^ (х) = Ь ЧЙ ■
qo (х) = F(хо)-F(х)-1, к = 3,4,...,п . (4)
Тут використано позначення
Fok = F(хк)-F(хо) , к = 1,2,... . хк - х0
Правильною е наступна теорема.
Теорема 1. Ланцюговий дрiб (3), (4) е ттерполяцшним для функци F(х): [а,Ь] — Я1 з вузлами х1 е [а, Ь], г = 0, п.
Метою цШ роботи е побудова на основi (3), (4) ланцюгового дробу Qn+l (х), що штерполюе
функцЮ F(х): [а,Ь] — Я1 з вузлами х^ е[а,Ь], г = 0,п, один з яких двократний. Нехай хк - двократний. Тодi треба побудувати ланцюговий дрiб, що задовольняе наступт умови
Qn+1 (х) = F(хг), Qn+l'(xk) = F'(xk), 1 < к < п +1, хк+1 = хк г = 0,п +1. (5)
Побудова штерполяцшного дробу.
Розглянемо Qn+l (х) вигляду (3), (4). Послщовнють вузлiв х0, х1, х2,...,хп+1 подамо у виглядi х0, х1, ..., хк , хк+1 = хк +ак, ..., хк+2, —, хп+1, де ак е Я . Шсля нескладних перетворень та переходу до границ при а к — 0 одержимо
х - х,
7-1
91 ( х) = 91 ( х) = ( х - х0 ) %; 91 ( х) = 92 ( х) = -П
7=1 х2 - х7-1
С1 - /2 (х2)];
•••> 9к (х) = 9к (х) = -П
х - х,
7-1
[1 - /к (хк)];
=1 хк х7-1
/2Е (х) = /2 (х) ; ; /кЕ (х) = /к (х);
(6)
9Е+1 ( х ) = - 11т
х - хк
П
7-1
а к хк+1 - хк 7=1 хк+1 - х7-1
1 - /к+1 ( хк +1)
= 11т
х - хк
П
7 -1
ак ^0 ак 7=1 хк +ак - х7-1
9Е (хк +ак ) -1 /к (хк +ак)-1
= 11т
х - хк
П
х - х,
7-1
ак ак 7=1 хк + ак - х7-1
9Е (хк +ак)-9Е (хк) - /Е (хк + ак)-/Е (хк)
=( х - хк )П
7 -1
7=1 хк х7-1
/Е (хк + ак )- 1
9Е'( хк )- /кЕ'( хк ) /к (хк)-1
Е лл_ (х - хк )2 х - х-1 (хк +2 - хк )2 7=1 хк +2 - х-1
9к+2 ( х) = -
1 - /к+2 ( хк +2 )
п+1 ( х - х- V
9и+1 ( х ) = - П } =к+2
]
хп+1 Х}
х - хк хп +1 - хк
2к
х - х1 -1 / 7=1 хп+1 - х7-1
П
1 -/п+1 ( хп +1)
(7)
/р ( х ) = В
*9Р>-7 ( х )
7 =1
-1
р = к + 2, п +1
,( х ) = F ( х0 )-F ( х )-1
п+1 9Е
(х )=F (х0)+в
9Е ( х)
(8)
7=1
Теорема 2. Ланцюговий дрiб (6), (7), (8) е ттерполяцшним для функци F (х): [а, Ь] ^ Р1 з вузлами
х{ е [а, Ь], 7 = 0, п та задовшъняе штерполяцшш умови (5). Доведення. Зпдно теореми 1 маемо
би+1 (х7) = F (х7), хк +1 = хк 7 = 0 п + 1.
Перевiримо штерполяцшшсть похщно! у точцi хк 1 < к < п +1.
1
бп+/(хк )= 11т - бп+1 (хк +ак )- бп+1 (хк )
ак ак1-
= 11т
ак ^0 ак
Як+1 (хк +ак)- (?к (хк)
= Нт — [F ( хк +ак )-F ( хк )] = Р ( хк ) • ак ^0 акЬ
Отже, теорему доведено. Частковий випадок.
Розглянемо випадок двох вузлiв. Нехай, наприклад, вузол х0 - однократний, а вузол х1 - двократ-ний. З (6) - (8) одержимо
9Е ( х) 92 ( х)
$ (х(•)) = F(xo) + ^ + ^, (9)
де 91
1Е ( х ( F ( х1)-F ( х0 )),
Iх! - х0^
д2Е (х)= -
(х - х0 )(х - х1)
(х1 - х0 ) ' (х1) - (( х1) - (х0 ))
(10)
( х1 - х0 ) |_ ( х1 - х0 )(F ( х1)-F ( х0 ))
Дрiб (9) - (10) е штерполяцшним для функцп F(х): [а,Ь] — Я1 з вузлами х0, х1 i задовiльняе наступнi iнтерполяцiйнi умови
С , , 17, , . ,
(11)
$ (х0) = F(х0); Q2E (х1 ) = F(х1), Q2E'(х1 ) = F'(х).
шх х0, х1 здшснюеться з (11). Виходячи з означе
(х1 +а2)-Q2E (х1)
Доведения штерполяцшносп функци у вузлах х0, х1 здiйснюеться безпосередньою перевiркою. Також легко перевiримо третю iнтерполяцiйну умову з (11). Виходячи з означення похвдно! маемо
^Е ( , \ ^Е,
лЕ ',
QE' (х1 )= 11Ш
а2 —0
а2
= 11ш
«2^ + «2(х, + «2 -х0)(х' -х0}^)-(*(2Г')-F(х0
1 (х1 - х0 )
а2 —0 «2
1 + q2 (х1 +«2)
= ^ ( х1).
„3
Приклад 1. Для функци у = х побудуемо iнтерполяцiйний дрiб (9) - (10). Одержимо
Q2E (х(•)) = х0
(х13 - х0 )
х — х0 х1 - х0
1 - х03 + 23 (х-х0)(х-х1)
х1 - х0
Iнтерполяцiйнi умови у вузлах х0, х1 здiйснюються безпосередньою перевiркою. Легко перевiрити i третю штерполяцшну умову
„Е / , \ „Е / \ Е / \ Е ,
Q2E ' ( х1 )= 11ш
1 д\ (х1 +«2)-д\ (х1)-д\ (х1)д2 (х1 +«2)
«2—0« 1+дЕ: (х1 +«2)
= (х0 + 2 х1)(х1 - х0 ) + хо + х1х0 + х2 = 3х12.
Висновок
Таким чином, у роботi побудовано штерполяцшний ланцюговий дрiб типу Ермiта з одним двократним вузлом. Побудований дрiб типу Ермгга задовiльияе iнтерполяцiйним умовам, не залежить вiд напрямкiв диференцшвання, единий. Проiлюстровано побудову такого дробу Ермiта для часткового випадку.
Список використаноТ лiтератури
1. Михальчук Б.Р. 1нтерполящя нелiнiйних функцiоналiв за допомогою штегральних ланцюгових дробiв / Б.Р. Михальчук // Укр. мат. журн. — 1999. —Т. 51.№ 3.— С. 364 — 375.
2. Макаров В.Л. Новий клас iнтерполяцiйиих штегральних ланцюгових дробiв / В.Л. Макаров, 1.1. Демшв // Доп. НАН Укра1ни. — 2008. —№ 11.— С. 17 - 23.
3. Демшв 1.1. 1нтерполяцшш штегральш лаицюговi дроби, що не вимагають правила постановки / 1.1. Демк1в // Вюник Кшвського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка / Кшвський нацюнальний унiверситет iменi Тараса Шевченка. (Фiзико-математичнi науки). — 2011. —№ 4.— С. 125132.
