Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пусть для уравнений (2) имеем f1 = 0,i = 1,m и при любой детальной функции <р такой, что sup E\p(v)\p < ж случайный процесс f = (fi,..., fm) для уравнения (1), соот-

v<0

ветствующего уравнению (2), принадлежит некоторому нормированному подпространству & пространства ln, норма в котором удовлетворяет неравенству

\\f ||ь < K sup (E\^(j)\p)1/p, j<0

где K — некоторое положительное число. Тогда справедлива следующая лемма.

Лемма. Если для уравнения (1), соответствующего уравнению (2), допустима пара (mp,b), то тривиальное решение уравнения (2) p -устойчиво по начальной функции. Разумеется, в лемме пространство b можно заменить на пространство bY. Тогда из

допустимости пары (mp,bY) для уравнения (1), соответствующего уравнению (2), будет

p

однородного уравнения (2), если y(s) = exp{^s}(s Е N+), в > 0, и асимптотическая p

если y(s) ^ 5 > 0 (s Е M+) для некоторого числа 5 и lim y(s) =

Для установления допустимости пары (m"p, bY) для уравнения (1) необходимо проверить принадлежность решения Xf (.,xo) уравнения (1) иространству mp при любых xo Е ЦП, f Е bY и выполнимость для него неравенства (3). Выполнимость этих условий проверяется, используя эквивалентное преобразование уравнения (1).

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана проектом по аналитической ведомственной целевой программе РНПВШ № 2.1.1/9516.

Kadiev R.I. Admissible pairs of spaces and stability with respect to the initial function for linear functional difference equations Ito. The problem an admissible of pairs spaces for linear functionally difference the equations of Ito and its application for stability studying to the initial function is considered.

Key words: admissibility of spaces pairs; stability to the initial function; functional difference equations Ito.

Кадиев Рамазан Исмаилович, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, e-mail: kadiev [email protected].

УДК 517.988.6

ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ, УПЛОТНЯЮЩИХ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАМКНУТОГО ОПЕРАТОРА

© С.Н. Калабухова

Ключевые слова: мера некомпактности; еюръективный оператор; уплотняющее отображение.

Данная статья посвящена изучению отображений, уплотняющих относительно замкнутого линейного оператора. В ней приводятся примеры отображений, уплотняющих относительно таких операторов, и рассматривается теорема о разрешимости уравнений с уплотняющими относительно замкнутых линейных сюръективных операторов отображениями.

Пусть Е\, Е2 — банаховы пространства, А : О (А) С Е\ ^ Е2 — замкнутый линейный сюръективный оператор, Г(А) С Е\ х Е2 — график оператора А. Пусть £ : Г(А) ^ Е\ — отображение проектирования на область определения оператора А, т. е. 1(х, у) = х.

Рассмотрим некоторые свойства многозначного отображения А-1 : Е2 ^ Сп(Е\), где А-1(у) = {х е Е1 | А(х) = у}. Определение 1. Число

т!{ЦхЦ I х е Е1, А(х)= у}\ 11У11 )

называется нормой многозначного отображения А-1.

Если подпространство Кег(А) не является дополняемым в пространстве Е1, то не

А,

имеет место следующее утверждение.

Лемма1. Для любого числа к, ||А-1|| < к и любой точки х0 е О (А) существует непрерывное отображение д : Е2 ^ Е1, такое, что выполнены следующие условия:

1) А(д(у)) = у для любого у е Е2;

2) ||х0 — д(у)Ц ^ кЦА(х0) — уЦ для любо го у е Е2.

Е2

венная, правильная мера некомпактности ф.

Оиределенпе2. Будем говорить, что однозначное отображение / : О(/) С Е1 ^ Е2 (А, ф)

1) из неравенства ф(А(О)) ^ ф(/(О) следует, что ф(А(О)) = 0;

2) композиция / ◦ £ : Г (А) ^ Е2 является непрерывным отображением.

Пусть А : О (А) С Е1 ^ Е2 — замкнутый сюрьективный линейный оператор, В : О (В) С Е1 ^ Е2 — замкнутый линейный оператор.

Определение 3. Будем говорить, что оператор В подчинен оператору А, если:

(1) О(А) С О(В);

(2) для любого х е О (А) справедливо неравенство ||А(х)|| ^ ЦВ (х)||. Рассмотрим некоторые примеры уплотняющих отображений.

Пример!.. Предположим, что оператор В подчинен оператору А, множество X — ограниченное подмножество в О (А). Пусть р : X х Е2 ^ Е2 — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число k е (0,1), что для любой точки х е X и любых у1,у2 е Е2 справедливо неравенство Цр(х,у1) — р(х,у2)Ц ^ кЦу1 — у2Ц;

2) для любого у е Е2 отображение р(-,у) : X ^ Е2 является вполне непрерывным.

Рассмотрим отображение / : X ^ Е2, / (х) = р(х, В (х)). Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Хаусдорфа х.

/

(А, х)

Пример2. Пусть, как и раньше, А : О (А) С Е1 ^ Е2 — замкнутый сюрьективный линейный оператор, В : Е1 ^ Е2 — замкнутый оператор подчиненный оператору А. Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Куратовского а. Предположим, что непрерывное отображение /1 : X ^ Е1 удовлетворяет следующему условию:

существует такое число к е (0,1), что для любых точек х1,х2 е X справедливо неравенство

Шх1) — /1(х2)Ц < ЩВ(х1) — В(х2)Ц,

/1 В

||А-1|| = 8пр(

уеЕ? \

Примером такого отображения является отображение /1 = д о В, где д : Е2 ^ Е2 — сжимающее отображение.

Пусть /2 : X ^ Е2 — вполне непрерывное отображение. Рассмотрим отображение / = /1 + /2.

/

(А, а) -уплотняющим отображением.

Рассмотрим ограниченное открытое множество и С Е1 и отображение / : и ^ Е2.

Л е м м а 2. Пусть множество V С Е2 такое, что д(У) С и. Тогда, отображение д = / о д : V ^ Е2 является ф -уплотняющим.

Пусть Хо £ О(А) — ^^^^^^ая точка, Вд[жо] — шар радиуса К с центром

в Хо, / : Вд[хо] ^ Е2 — (А, ф) -уплотняющее отображение.

Рассмотрим уравнение

А(х) = / (х). (4)

Теорема 1. Если ||А(х0) — / (х)|| ^ ^, где к > \\А-1\\, т>о уравнение (1) имеет решение.

Следствие 1. Пуст ь / : Е1 ^ Е2 — (А,ф) -уплотняющее отображение. Если существуют такие константы с > 0 и (1> 0, что для любой тючки х £ Е справедливо неравенство Ц/(х)|| < сЦхЦ + ( и произведение с ||А-1|| < 1. Тогда, уравнение (1) имеет, решение.

Эта статья продолжает исследования, начатые в [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельман Б.Д., Калабухова С.Н. Об уплотняющих возмущениях линейных сюръективных операторов // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: математика, физика. 2011. № 1.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Kalabuhova S.N. On maps which relatively closed linear operator is condensing. This article is devoted to the study of maps which relatively closed linear operator is condensing. There are examples of such maps. We consider the theorem on the solvability of equations such maps.

Key words: measure of noncompactness; surjective operator; condensing map.

Калабухова Светлана Николаевна, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геметрии, e-mail: [email protected].