ДИЗЪЮНКТНО ПОЛНЫЕ $C_\infty(Q)$-МОДУЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 2, С. 69-78

УДК 512.55

ДИЗЪЮНКТНО ПОЛНЫЕ Сте^)-МОДУЛИ

В. И. Чилин, Ж. А. Каримов

Для регулярного дизъюнктно полного (()-модуля X вводится понятие паспорта Г(Х), состоящего из однозначно определенных разбиения единицы булевой алгебры, отвечающей стоуновскому компакту и набора попарно различных кардинальных чисел. Доказывается, что (()-модули X и У являются изоморфными тогда и только тогда, когда Г(Х) = Г(У).

Ключевые слова: Ото(()-базис Гамеля, однородный модуль, а-конечномерный модуль.

1. Введение

При решении задачи «внутреннего» описания класса С*-алгебр, близких по своей алгебраической и порядковой структуре к алгебрам фон Неймана, в работе [9] И. Ка-планским было выделено семейство АШ*-алгебр, ставших предметом многочисленных исследований, относящихся к теории операторных алгебр (см. обзор [8]). Одним из важных результатов, полученных в этом направлении, стала реализация произвольной АШ*-алгебры М типа I в виде *-алгебры всех линейных ограниченных операторов, действующих в специальном банаховом модуле над центром 2(М) алгебры М [10]. Банахова 2(М)-значная норма в этом модуле порождалась скалярным произведением со значениями в коммутативной АШ*-алгебре 2(М). Впоследствии, такие модули стали называться модулями Капланского — Гильберта (МКГ). Детальное изложение свойств МКГ дано, например, в [6, 7.4]. Центральным местом в теории МКГ является представление таких модулей в виде прямой суммы однородных МКГ (см. [6, 7.4.7], [11]).

В связи с развитием теории некоммутативного интегрирования важное место среди операторных алгебр стали занимать *-алгебры ЬБ(М) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, либо АШ*-алгебре М. В случае алгебр фон Неймана М, центр 2(ЬБ(М)) в алгебре ЬБ(М) отождествляется с алгеброй Ь0 := Ь0(П, всех классов равных почти всюду измеримых комплексных функций, заданных на некотором измеримом пространстве (П, с полной локально конечной мерой ^ [7, 2.1, 2.2]. Если же М — АШ*-алгебра, то 2(ЬБ(М)) есть расширенная /-алгебра Сж(Я), отвечающая стоуновскому компакту Q для булевой алгебры центральных проекторов из М [8]. Естественно возникает вопрос о возможности реализации *-алгебр ЬБ(М) в виде *-алгебры линейных Ь0-ограниченных (С^^)-ограниченных) операторов, действующих в соответствующем МКГ над Ь0 либо С^^). Для решения этой задачи необходимо построение теории МКГ над подобно тому, как это было сделано

И. Капланским в [11] для модулей над коммутативными АШ*-алгебрами. Частично, Ь0 Ь0

сумму однородных МКГ.

© 2014 Чилин В. И., Каримов Ж. А.

Каждый МКГ над Ь° обладает свойством регулярности и дизъюнктной полноты (определения см. ниже в разделе 2). В связи с этим, естественно рассматривать общий класс регулярных дизюнктно полных модулей над С,^) для стоуновских ком пактов Q, отвечающим полным булевым алгебрам В, и для этого класса модулей устанавливать структурную теорему о возможности их разложения в прямую сумму однородных модулей. Настоящая работа посвящена решению этой задачи. Следует отметить, что в случае, когда булева алгебра В те является мультинормируемой, понятие 7-однородности С„^)-модуля требует модификации, подобно той, что сделана в [6, 7.4.7] при введении строго 7-однородных МКГ над коммутативными АШ*-алгебрами. В настоящей работе доказывается, что для мульти-ст-конечных булевых алгебр В, т. е. тех алгебр, которые изоморфны прямому произведению булевых алгебр счетного типа, понятия 7-однородности и строгой 7-однородности С„^)-модуля совпадают. В частности, это верно и для мультинормируемых булевых алгебр.

Центральным в работе является понятие паспорта для точного регулярного дизъюнктно полного С„^)-модуля X. Паспорт Г(Х) для X состоит из однозначно определенных разбиения единицы булевой алгебры В и набора попарно различных кардиналов. Доказывается, что равенство паспортов Г(Х) и Г(У) есть необходимое и достаточное условие для изоморфизма С, -модулей X и У.

2. Предварительные сведения

Пусть В — произвольная булева алгебр а с нулем 0 и единицей 1. Для каждого ненулевого е £ В положим Ве = {д £ В : д ^ е}. Относительно частичного порядка, индуцированного из В, множество Ве является булевой алгеброй с нулем 0 и единиц ей е.

Говорят, что А С В минорантное подмножество для Е С В, если для каждого ненулевого е £ Е существует такое 0 = д £ О, что д ^ е. Нам понадобится следующее важное свойство полных булевых алгебр.

Теорема 2.1 [6, 1.1.6]. Пусть В — полная булева алгебра, 0 = е £ В и Б ми-

Ве

А С Б, что вир А = е.

Говорят, что булева алгебра В имеет счетный тип (или В — ст-конечна), если любое

В

ВВ имеет счетный тип [2, гл. I, §6].

Полную булеву алгебру В будем называть ,мулътм-ст-конечной, если в В имеется такое разбиение {е^единицы 1, что булева алгебра Ве имеет счетный тип, для всех I £ /.Примером мульти-ст-конечной булевой алгебры служит любая мультинормируемая

В

семейство конечных вполне аддитивных мер [6, 1.2.10].

Пусть Q — стоуновский компакт, соответствующий полной булевой алгебре В. Обозначим через С, множество всех непрерывных функций а : Q ^ [-то, принимающих значения лишь на нигде не плотных множествах. При естественном определении алгебраических операций и частичного порядка в С,^) оно становится алгеброй над полем К действительных чисел и расширенной порядково полной векторной решеткой. функция 1д, тождественно равная единице на ^^ ^^^^^^ ^^тицей алгебры С,^) и порядковой единицей в векторной решетке С,^) [6, 1.4.2].

Множество всех идемпотентов из С,^) является полной булевой алгеброй относительно частичного порядка, индуцируемого из С,^), которая изоморфна исходной

булевой алгебре В. В дальнейшем эти две булевы алгебры отождествляются. При этом отождествлении единица 1 из В совпадает с функцией 1д, а пуль 0 из В с функцией, тождественно равной нулю. Алгебру будем обозначать через Ь^(В), а ее комплексификацию через Ь^(В). В случае, когда булева алгебра В и поле скаляров фиксированы, алгебры Ь^(В) и Ь^(В) будем обозначать через Ь0, либо через Ь0(В).

Пусть X — левый унитальный Ь0(В)-модуль с алгебраическими операциями х + у и ах, х, у £ X, а £ Ь0(В). Поскольку алгебра Ь0(В) коммутативна, то левый Ь0(В)-модуль X становится правым Ь0 (В)-модулем, если пол ожить ха := ах х £ X, а £ Ь0 (В). В дальнейшем Ь°(В)-бимодуль X будем называть просто Ь0(В)-модулем.

Ь0(В)-модуль называется точным, если для любо го ненулевого а £ Ь0(В) существует такое х £ X, что ах = 0. Ясно, что для точного Ь0(В)-модуля X множество eX есть точный Ь0(Ве)-модуль для любого 0 = е £ В, при этом, е^ ^^дается Ь0(В)-подмодулем в X.

Ь0-модуль X назовем регулярным, если из условия ех = 0 для всех е £ А С В, где х £ X, следует, что (вир А) х = 0. В этом случае, для каждого х £ X определен идемпотент 5(х) = 1 — 8ир|е £ В : ех = 0}, который называется носителем элемента х. Если X — регулярный Ь0-модуль, то, очевидно, eX также является регулярным еЬ0 е £ В

гулярного Ь0-модуля X обладит следующими свойствами: 5(х)х = х, 5(ах) = 5(а)в(х), «(х + у) ^ «(х) V «(у) для всех х, у £ X а £ Ь0.

Пусть X — регулярный Ь0-модуль и К С X. Идемпотент 5(У) = 8ир|5(у) : у £ К} будем называть носителем подмножества У. Ясно, что регулярный Ь0-модуль X является точным тогда и только тогда, когда «(X) = 1.

Будем говорить, что регулярный Ь0-модуль X является дизъюнктно полным ((-полный), если для любого набора {х»}^/ С X и любого разбиения {е» }»е/ единицы булевой алгебры В существует такое х £ X, что е»х = е»х» для всех г £ I. В этом случае, элемент х называется перемешиванием набора {х»}^/ относительно разбиения единицы {е» }»е/ и обозначается через т1х»е/ (е^х»). Перемешивание т1х»е/ (е»х») определено однозначно, поскольку из равенств е»х = = е»у х, у £ X, г £ I, следует, что е»(х — у) = 0 для всех г £ I, откуда, в силу регулярности Ь0-модуля X, вытекает равенство х = у.

Множество всех перемешиваний т1х»е/(е^х»), где {х»}»е/ С Е С X а {е»Ье/ _ разбиение единицы в В называется циклической оболочкой подмножества Е в X и обозначается через т1х(Е). Если Е = т1х(Е), то Е называется циклическим множеством в X (ср. [5, 1.1.2]). Таким образом, регулярный Ь0-модуль X является (-полным Ь0-модулем в том и только в том случае, когда X — циклическое множество.

Утверждение 2.2. Если X — (1-полный Ь0(В)-модуль, то е^ есть (1-полный

Ь0(Ве)-модулъ для любого ненулевого е £ В.

< Как уже отмечалось, е^ ^^^^^^^^ регулярным Ь0(Ве)-модулем в случае, когда X — регулярный Ь0(В)-модуль. Далее, если {х»}^/ С е^ и {е»}»е/ — разбиение единицы е булевой алгебры еВ, то {{е»}»е/, 1 — е} есть разбиение единицы 1 булевой алгебры Ве. Взяв набор {{х»}»е/, 0} С X и используя (-полноту Ь0-модуля X выберем х £ X так, чтобы (1 — е)х = 0 и е»х = х» для всех г £ I. Для у = ех £ е^ что е»у = х» при

всех г £ I. >

Нам понадобятся следующие легко проверяемые свойства циклических оболочек множеств.

Утверждение 2.3. Пусть X — полный Ь0-модуль, Е — непустое подмножество из X а £ Ь0. Тогда

(г) ш1х(ш1х(Е)) = ш1х(Е); (гг) ш1х(аЕ) = а ш1х(Е);

(Ш) Если У — -подмодуль в X, то ш1х(У) — (1-полный -подмодуль в X; (гу) Если и — изоморфизм из Ь°-модуля X на -модуль то 2 является (-полным Ь°-модулем и ш1х(и(Е)) = и(ш1х(Е)).

Отметим также следующее полезное

Утверждение 2.4. (г) В любом точном ((-полном Ь°-модуле X существует такой элемент х, что в (х) = 1;

(гг) Если У — ((-полный Ь°-подмодуль в регулярном Ь°-модуле X и для любого 0 = е £ В существует такой ненулевой ндемпотент де ^ е, что деУ = У = X.

< (г). Поскольку 1 = в(X) = 8ир{в(х) : х £ X}, то для любого ненулевого д £ В существует такое ха £ X, что = дв(ха) = 0, и если уа = ха, то в(уа) = ^ д. В силу теоремы 2.1, найдется такой набор {е»}^/ попарно дизъюнктных элементов из В, что вир»е/ е» = 1 и е» = в(у») для некоторого у» £ X Поскольку X — (полный Ь°-модуль, то имеется такой элемент х £ X, для которого е»х = е^у», в частности, е» = в(е^уг) = в(е»х) ^ в(х) для всех г £ /. Следовательно, в(х) = 1.

(гг) Используя теорему 2.1, выберем такой набор {ег}ге/ попарно дизъюнктных элементов из В, что 8ир»е/ е» = 1 и е»У = е^ для каждого г £ /. Если х £ X, то е»х £ ^ = е»У С У. Так как У — (полный Ь°-модуль, то существует такое у £ У, что е»у = е»х для всех г £ /, и поэтому х = у £ У. >

Далее нам понадобится разложение точного (-полного Ь°(В)-модуля в виде прямого произведения точных (-полных Ь°(Ве)-модулей, где 0 = е £ В. Пусть В — полная булева алгебра, X — точный £°(В)-модуль, {е»}^/ — разбиение единицы в В, е» = 0 г £ /

£°(В)-подмодулей е^ в X, г £ с покоординатными алгебраическими операциями и определим отображение и : X ^ П¿е/ е»X полагая и(х) = {е^х}^/. Обычным образом устанавливается следующее

Утверждение 2.5. (г) Л¿е/ е^ есть точный Ь°-модуль.

(гг) Если X — ((-полный Ь°-модуль, то Пге/ е^ также является ((-полным Ь°-модулем и и есть изоморфизм из X на Пге/ е^.

Ь°-лмнейной оболочкой непустого множества У из £°-модуля X называется Ь°-под-модуль в X вида

где N — множество всех натуральных чисел. Если X — (полный £°-модуль, то в силу утверждения 2.3 (ггг) ш1х(Ып(У, Ь°)) теть (полный £°-подмодуль в X.

Система {х»}^/ из Ь°-модуля X называется Ь°-линейно независимой, если для любых а1,..., ап £ х»1,..., х»п £ {х»}^/, п £ N равенство а&= 0 влечет равенства

3. Однородные £°-модули

Ып(У, Ь°) = ^ а,у, : а» £ , у» £ У, г = 1,..., п, п £ N

ai = ... = an = 0 £°-линейно независимая система {x{}i^j из d-полного £°-модуля X

называется Ь°-базисом Гомеля, если mixiLini{xj}iej, L0)) = X. Из теоремы 2.1 вытекает следующее

Утверждение 3.1. Для L0-линейно независимой системы {xj}ie/ в d-полном L0-мо-X

(i) {xj }igj — L0-базис Гамеля;

(ii) Для любых х G X 0 = е G B существует такой ненулевой идемпотент g ^ e, что

gx G g Lin({xi}i€/, L0).

L0 L0

гда является циклическим множеством, т. е. верно следующее

Утверждение 3.2. Если A = {xi,..., xj} — L0-линейно независимое подмножество в d-полпом L0-модуле X, то mix(Lin(A, L0)) = Lin(A, L0).

< Пусть x G mix(Lin(A, L0)), {ej}jej — разбиение единицы и {y^}iej С Lin(A, L0)

такие, что e^x = ejy для всех i G I. Так как e^x G Lin(A, L0), то e^x = Xj=i aj^xj для

некоторых ajj) G L0, j = 1,...,k Выберем такоe в G L0, что e^' = e^aj^ для всех

i G I, где j G {1,..., k}. Ясно, что e^x = ej ftjxj) ПРИ каждом i G I, что влечет

равенство x = ^j=1 вxj G Lin(A, L0). >

Пусть 7 — некоторый кардинал. Точный d-полный L0-MOflyiib X назовем j-odno-родным, если в X имеется L0-6a3nc Гаме ля {xj}jej с card I = 7. Будем говорить, что L0-MOflyiib X однороден, если он является 7-однородным L°-MOflyneM для некоторого кардинала 7. Если X — 7-однородный L0iB)-MOflyiib, 0 = e G B, toj очевидно, eX также 7-однородный L0iBe)-MOflyiib.

Естественно ожидать, что однородный L0-MOflyflb не может быть одно временно 7-од-нородным и А-однородным при 7 = А. Ситуация здесь аналогична тому же положению, что при классификации модулей Капланского — Гильберта (МКГ) над коммутативными AW*-алгебрами A(B) с булевой алгеброй проекторов B. Для произвольной полной булевой алгебры B не удается доказать равенство А = 7 при предположении, что X является одновременно 7-однородным и А-однородным. В связи с этим, в [6, 7.4.6] дается понятие строгой 7-однородности МКГ X, с помощью которого, затем, и устанавливается описание произвольных МКГ. В то же время, для мульти-ст-конечных булевых алгебр B

в [11] доказывается равенство А = 7 для A (B) — МКГ, являющихся одновременно 7-А

строгой 7-однородности и 7-однородности совпадают.

Следуя [6, 7.4.7], ниже дается понятие строгого 7-однородного L0(B)-MOflyira, что позволяет дать представление произвольного d-полного L0(B)-MOflyiM в виде прямого произведения строго 7-однородных L0(B)-MOflynett.

Пусть X — точный d-полный L0(B)-moflyiib, 0 = e G B. Через K(e) = kx(e) обозначим наименьший кардинал 7 такой, что L0(Be)-MOflynь eX является 7-однородным. Если X — однороден, то K(e) определен для всех не нулевых e G B.

Будем говорить, что L0(B)-MOflyiib X строго 7-однороден (ср. [6, 7.4.6]), если X — однороден и y = K(e) для всех ненулевых e G B. Будем говорить также, что L0-MOflyiib X строго однороден, если он строго 7-однороден для некоторого кардинала 7.

Ясно, что любой строго 7-однородный L0(B)-MOflyflb является 7-однородным L0(B)-модулем. Ниже мы установим, что эти два понятия совпадают в случае мульти-ст-ко-нечных булевых алгебр B. Сначала покажем, что для n G N всякий n-однородный

£0(В)-модуль является строго n-однородным. Следующая лемма является L0-Bapnan-том известного факта из линейной алгебры и доказывается аналогичным образом (см., например, [4, гл. 2, §9]).

Лемма 3.3. Пусть X — произвольный L0 (B)-модуль, 0 = e G B, |жг}™=1 С X и {yj}k=1 С eX. Если {yj}k=1 С Lin({exi}™=1, eL0(B)) ж элементы y1,..., yk — еЬ0(В)-лж-нейно независимы, то k ^ n.

Из леммы 3.3 непосредственно вытекает

Теорема 3.4. (i) Если {yj }k=1 — L0-6a3HCbi Гамеля в L° (B)-модуле, топ = к;

(ii) Каждый п-однородный L0(B)-модуль является строго п-однородным L0 (В)-мо-дулем.

Следующая теорема является вариантом теоремы 3.4 для бесконечных кардиналов, в случае, когда булева алгебра B имеет счетный тип.

Теорема 3.4. Если А и y — бесконечные кардиналы, B — полная булева алгебра счетного типа и X — d-полпый L0(B)-модуль, являющийся одновременно А-однородным и 7-однородным, то y = А.

< Пусть {x^g/, {yj}jej — двa L°(B)-6a3nca Гамеля в X, т. е.

mix(Lin({Xi}i€/,L0(B))) = X = mix(Lin({yj}jgj, L0(B)))

и cardI = А card J = 7- Зафиксируем j0 g J. Поскольку yj0 G mix(Lin({xi}ie/,L0(B))) и булева алгебра B имеет счетный тип^ т0 найдутся такие счетное разбиение {en}ngN единицы булевой алгебры B и табор {an}ngN С Lin({xj}ig/, ЧТО enyjo — en an

для всех n G N. Используя включение an G Lin({x»}ig/,L0(B)), выберем такие ж^(j0;n)

п (jo,n) G L0(B), k = 1,...,m(n), что a„ = jo,™^ (^о,п^ожим I (jo) =

{ik(j0,n) : k = 1,... ,m(n), n G N} и I(J) = UjeJ I(j)■ Ясно, чт0 множество I(j0) — не более чем счетно и I (J) С I. При этом, yj G mix(Lin({x» }jg/(j), L0 (B))) для каждого jGJ

Покажем, что I(J) = Е Предположим, что существует i0 G I \ I(J). Поскольку G mix(Lin({yj}jgj, L0(B))) и булева алгебра B имеет счетный тип, то существует такое разбиение единицы {gfc}fceN и набор {6fc}fceN С Lin({yj}jgj,L0(B)), что gfc= gfc=

gfcEp=! в5'а(го ,k) yjs (¿o ,k) ^ некоторых ^(¿o ,k) G L0, y^ >fc) G {yj }jej, s = 1,...,p(k), при этом, yjs(io>fc) G mix(Lin({xi}ieJ(js(io,fc)), L0(B))) С mix(Lin({x*}ieJ(j),L0(B))). Следовательно, gk6fc G mix(Lin({xi}ie/(j),L0(B))) для всех k G N, и поэтому xio G mix(Lin({xi}ig/(j), L0(B))) (см- утверждение 2.3 (i)). В частности, существует такое 0 = e G B, что 0 = exio = ^t=1 e^itxit, вде it G I(J), G L0(B), t = 1,...,i, что противоречит L0(B)-flnnettHott независимости набора {ж» }ig/. Таким образом, I = I (J).

Так как 7 — бесконечный кардинал, то card I (j) ^ N0 ^ 7 для всех j G J, где N0 — счетный кардинал. Из теоремы 24 ([1, гл. 3, §6]) следует, что А = card I = card I (J) = card ^ UjgJ I (j)) ^ card J = 7.

Аналогично показывается, что card J ^ card I, и потому card I = card J, т. е. А = % >

Из теоремы 3.5, примененной к eL0(В)-модулю eX, вытекает

Следствие 3.6. Пусть А и 7 — бесконечные кардиналы и X — d-нолный L0(B)-модуль, являющийся одновременно А-однородным и 7-однородным. Если в B существует такой ненулевой элемент e, что булева алгебра имеет счетный тин, то А = 7.

Следствие 3.7. Если B — мульти-о-конечна булева алгебра, 7 — бесконечный кардинал и X — 7-однородный L0(B)-модуль, то модуль X является строго 7-однородным.

< Поскольку eL0(B)-MOflyiib eX является ^^^^^^^^даым, где 0 = e G В, то для каждого n G N существует eL0(B)-He3aBHOTMbiii набор в eX содержащий n элементов. Согласно лемме 3.3, eL0 (В)-модуль eX те является n-однородным для любого n G N.

Пусть 0 = e G В и булева алгебра eB имеет счетный тип. Если eX — А-однородный eL0(B)-MOflyflb для некоторого бесконечного кардинала А, то, используя теорему 3.5, получим, что А = 7, т. е. кх (e) = 7.

Пусть теперь e — произвольный ненулевой элемент из В. Поскольку булева алгебра В — мульти-ст-конечная, то существует такое 0 = g G В, что g ^ e и булева алгебра gB имеет счетный тип. Следовательно, 7 = кх(g) ^ кх(e) ^ 7, т. е■ кх(e) = 7. >

Приведем примеры 7-однородных для произвольного кардинала 7.

Пусть В — полная булева алгебра, I — некоторое множество индексов и card I = 7. Прямое произведение

Y = Ц L0(B) = {а = Ы : a G L0(B), i G l}

L_ J -, _ r„ -1 _.„,,-

¿е/

с покоординатными алгебраическими операциями есть точный d-полный Ь0(В)-модуль.

Для каждого j G I рассмотрим элемент gj = }»е/ из Y, где g(j) = 0 при i = j и

= 1, i G I. Ясно, что система {gj }je/ — L0(B)-flnnettHO независима, и поэтому L0(B)-подмодуль X = mix (Lin ({gj}je/, L0(B))) в Y является 7-однородным Ь0(В)-модулем.

Следующая теорема устанавливает изоморфизм 7-однородных Ь0(В)-модулей.

Теорема 3.8. Если X и Y — 7-однородные L0 (В)-модули, то X и Y — изоморфны.

< Пусть {ж^}ie/ — L0(B)-6a3nc Гамеля в X {у«}«е/ _ L0-6a3nc Гамеля в Y, card I = 7, X0 = Lin({xj}je/, L0(B)), Y0 = Lin ({y}ie/, L0(В)). Любое ж G X0, y G Y0 однозначно представимо в виде ж = ^П=1 y = ^Ау«г для некоторых , в G L0(B), k = 1,... l = 1,... n,m G N Отображение U0 : X0 ^ Y0, определяемое равенством U0 (^П=1 ) = ^П=1 yik есть L0-flnneiiHaH биекция из X0 на Y0.

Для каждого a G X существуют такие набор {aj }jej С X0 и разбиение единицы {ej }jej в В, чт0 eja = ejaj для всex j G J. Согласно d-полноте L0 (В)-модуля Y, найдется единственное b G Y, для которого ej b = ej U0 (aj ) для вс ex j G J. Положив U(a) = b, получим L0-flnnettHyro биекцию из X на Y. >

Из теорем 3.4 и 3.8 вытекает

Следствие 3.9. Для каждого n G N существует единственный с точностью до изоморфизма строго n-однородный L0(В)-модуль, который изоморфен (L0(B))n.

77

породные) L0 (В)-модули.

Утверждение 3.10. Пусть X — d-нолный L0 (В)-модуль, {e^}^/ — набор попарно дизъюнктных ненулевых элементов из -В и e = supje/ ej. Если e^X — 7-однородный (соответственно, строго 7-однородный) e%L0 (В)-модуль для Bcexi G I, то eL0 (В)-модуль eX 7 7

< Пусть {xjj) }jeJ — L0-6a3nc Гамеля в ejX card J = 7. Положим Xj = mixie/ (ejxjj) ), j G J, где перемешивание берется в d-полном eL0-MOflyne eX Набоp {xj }jej является eL0(B)-fliinettHO независимым в eX и eX = mix(Lin({xj}jej, eL0)), т. e. eL0-MOflyiib eX

7

Предположим теперь, что e»X — строго 7-однородный eiL0(B)-MOflyiib для всех i G Е Согласно доказанному выше, eL0(B)-MOflynь X является 7-однородным. Если 0 = q G Ве, то из равенства e = supie/ ej следует, что существует такое i0 G I, что

Р = qei0 = 0 Так как ei0L° (В)-модуль ei0X строго 7-однороден, то = 7. Поэтому из неравенств p ^ q ^ е следует, что 7 = к(р) ^ K(q) ^ к(е) ^ 7, т. е■ K(q) = y l>

4. Классификация точных d-полных Ь0(В)-модулей

Основной целью этого параграфа является представление любого точного d-полного £°(В)-модуля в виде прямого произведения строго однородных L° (В)-модулей.

Теорема 4.1. Для любого точного d-полного L°(В)-модуля X существует такой ненулевой идемпотент е G В, что eX есть строго однородный eL° (В)-модуль.

< Поскольку X — потный d-полный L°(В)-модуль, то существует такое x° G X, что s(x°) = 1 (утверждение 2.4 (i)). Если X = mix({x°}), то X — строго 1-однородный модуль, и теорема 4.1 доказана.

Предположим, что X = mix({x°}) и рассмотрим семейство

E = {A с X : A — L°-flnnettHO независимое множество, x° G A}

с частичным порядком по включению. Согласно лемме Цорна, в E существует максимальный элемент D. Если D — L°-6a3nc Гамеля в X, то X — (card Е)-однородный L° (В)-модуль.

Если X = mix (Lin (D, L0(B))), то найдется ненулевое е G В, для которого выполняется следующее условие:

(1) Если 0 = g G Ве, то g mix (Lin (D, L°)) = gX.

Обозначим через P множество всех тех 0 = е G В, для которых верно свойство (1) и положим е° = sup P. Покажем, что случай е° = 1 невозможен. Если е° = 1, то для каждого ненулевого p G В верно неравенство pX = pmix(Lin(D,L°(В))). В этом случае, для любого 0 = p G В найдется такой ненулевой идемпотент q ^ p, что для любого 0 = g G Bq существует 0 = xg G gX, обладающее следующими свойствами: s(xg) = g и rxg G Lin (D, L°(В)) для всех 0 = r G Bg.

Используя теорему 2.1, выберем разбиение {gj}jej идемпотента q и набор {xgj }jej из qX, Для которых xgj G gjX s(xgj) = gj, rxgj G Lin (D, L°(B)) при всех 0 = r G Bgi. Поскольку qX — d-полный qL°(B)-MOflyflb, то существует такое x G qX, что gjx = xgj., в частности, s(x) = q, при этом, rx G Lin (D, L°(B)) для всех 0 = r G Bq.

Снова используя теорему 2.1, выберем разбиение {q1}1eL единицы булевой алгебры В и набор {x;из X Для которых s(x;) = q; и rx; G Lin (D, L°(B)) при всех 0 = r G В?г В силу d-полноты L0(B)-мoдyля X существует такое x G X чт0 q«x = x; для всех l G L. Ясно, что s(x) = 1 и rx G Lin (D, L°(B)) для любого 0 = r G В. Это означает, что семейство D U {x} — L0(B)-линeйнo независимо, что противоречит максимальности набора D. Следовательно, случай е° = 1 невозможен, т. е. е = 1—е° = 0.

е° 0 = r G Ве (1)

найдется такой ненулевой идемпотент pr ^ r, что pr mix (Lin (D, L°(B))) = prX. Из утверждения 2.4 (ii) следует, что eX = mix (Lin (eD, L°(В))) = еmix(Lin(D,L°(В))), т. е. eX есть 7-однородный eL°(B)-MOflyflb для 7 = card (eD).

Пусть 7е есть наименьший кардинал во множестве кардиналов {k(p) : 0 = p ^ е}, т.е. 7е = k(p) для некоторого ненулевого p ^ е. Из выбора идемпотента p следует, что 7е = k(p) = K(q) для всех 0 = q G Bp. Это означает, что pL° (В)-модуль pX является строго 7е-однородным. >

Следующая теорема дает разложение точного d-полного L° (В)-модуля в прямое произведение строго однородных L°(B)-MOflynett.

Теорема 4.2. Для каждого точного (-полного Ь0 (В)-модуля X существуют такие набор попарно дизъюнктных ненулевых ндемпотентов {е« }«е/ и набор попарно различных кардиналов {7«}^/, что е« = 1 и е«Х есть строго однородный е«Ь0(В)-модуль

для всех г £ I. При этом, Ь0 (В)-модули X и е«Х являются изоморфными, а наборы {е^е/ и {7»}ге/ определяются однозначно.

< Согласно теореме 4.1 для каждого ненулевого идемпотента е £ В существует такой ненулевой идемпотент д ^ е, что дХ есть строго 7а-однородный дЬ0-модуль. Используя теорему 2.1, выберем такой набор {^попарно дизъюнктных ненулевых ндемпотентов, что вир.^ ^ = 1 и X есть строго А^-однородный Ь0(В)-модуль для всех ] £ Разделим множество кардинальных чисел А = {А^ на непересекающиеся подмножества А«, каждое их которых содержит все равные между собой кардинальные числа из А, и обозначим элемент из А« через 7«. Согласно утверждению 3.10, для е« = 8ир{5^ : А^ £ А«} имеем, что егЬ°(В)-модуль е«Х является строго 7г-однородным. Кроме того, в силу утверждения 2.5 (и), Ь0(В)-модули X и П«е/ е«Х являются изоморфными.

Предположим, что имеются другие наборы попарно дизъюнктных ненулевых ндемпотентов {р-и попарно различных кардинальных чисел {дДля которых вир^ = 1 и рX есть строго д-однородный Ь0(В)-модуль для всех ] £ Если имеется два различных индекса £ I, для которых е«1 = 0 и е«2р = 0, то

Д = ) = к(е«1 р-) = к(е«1) = 7^ = 7*2 = к(е«2) = к(е«2 р^) = д.

Следовательно, е«р^ = 0 для всех г £ I, кроме одного индекса, который мы обозначим через ¿(^). Ясно, что ^ е^-) и д = 7^). Если = е^-), то найдется такой индекс Л = Л Л £ что е«(л)р^ = 0. Следовательно, д = 7^-) = д^, что неверно. Таким образом, р^ = е^-) и д^ = 7«0')- Аналогично, для каждого г £ I существует единственный индекс ^ (г) такой, что е« = р^«) и 7« = Дл(г)- ^

Разбиение {е«}^/ единицы булевой алгебры В и набор кардинальных чисел {7« }«е/ из теоремы 4.2 будем называть паспортом для точного (-полного Ь0(В)-модуля X и обозначать через Г(Х) = {(е«(Х),7«(X))}«е/(х)-

Теорема 4.3. Точные (1-полные Ь0 (В)-модули X и У изоморфны тогда и только тогда, когда Г(Х) = Г(У).

< Пусть {(е«(X),7«(X))}ге/(Х) = Г(Х) = Г(У) = {(е«(У),7г(У))}ге/(У), т. е. I(X) = 1(У) := I, е«(Х) = е«(У) := е« и 7«(Х) = 7«(У) := 7» для всех г £ I. Согласно теореме 4.2 существует изоморфизм и из Ь0(В)-модуля X на Ь0(В)-модуль П«е/ е«X и изоморфизм V из Ь0(В)-модуля У на Ь0(В)-модуль П«е/ е« У, где и (ж) = {е^ж}^/, V(у) = {егу}ге^, при этом е«Х (соответственно, е«У) — строго е«Ь0(В)-модуль для всех г £ I. В силу теоремы 3.8, существует изоморфизм и« из е«Ь0(В)-модуля е«Х на е^Ь^В^модуль е«У. Задавая отображение Ф : X ^ У, с помощью равенства Ф(ж) = V-1 ({^(е^ж)}^/), получим, что Ф есть изоморфизм из X на У.

Обратно, если Ф — изоморфизм из X на У и Г(Х) = {(е«(Х), 7«(X))}«е/(х) _ паспорт для точного (-полного Ь0(В)-модуля X, Т01 положив У = и(е«(X)Х) = е«(Х)и(X) = е«(Х)У получим, что {(е«(X),7«(X))}«е/ является паспортом для точного (-полного Ь0(В)-модуля У. >

Дадим приложение теоремы 4.2 к описанию точных конечномерных и ст-конечномер-ных (-полных модулей.

Точный (-полный Ь0(В)-модуль X назовем конечномерным (ст-конечномерным), если существуют такие разбиение {е« }?= единицы булевой ал гебры В и набо р {««}/= нату-

ральных чисел, 7 G N (соответственно, 7 = го), что ni < ni+1 и eiX есть ni-однородный eiL°(B)-MOflyflb для всех i = l,... ,7 — l (соответственно, i = l, 2,...). Другими словами, конечномерный (ст-конечномерный) L0(B)-moflyflb есть точный d-полный L0(B)-mo-дуль X, паспорт которого имеет вид r(X) = {(ei(X),ni(X))}J=1, вде ni(X) G N.

Из теоремы 4.2 и следствия 3.9 вытекает следующее описание всех конечномерных и ст-конечномерных L0 (B)-MOflynett.

Теорема 4.4. Если X —коиечиомериый (ст-конечномерный) L0(B)-модуль, то существуют такие однозначно определенные разбиение {ei }Y=1 единицы булевой алгебры B и строго возрастающий набор {ni}J=1 натуральных чисел, 7 G N (соответственно, 7 = œ), для которых L0(B)-модуль X — изоморфен L0(B)-модулю П7=1 ei(L0(B))n¿.

Литература

1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.—М.: Наука, 1977.—368 с.

2. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.—319 с.

3. Каримов Ж. А. Модули Капланского - Гильберта над алгеброй измеримых функций // Узб. мат. журн.—2010.—№ 4.-С. 74-81.

4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.—М.: Наука, 1975.—432 с.

5. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.

6. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—620 с.

7. Муратов М. А., Чилин В. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов // Тр. ин-та математики HAH Украины.—2007.—Т. 69.—307 с.

8. Чилин В. И. Частично упорядоченные бэровские инволютивные алгебры // Современные проблемы математики: Новейшие направления.—М.: ВИНИТИ, 1985.—Т. 27.—С. 99-128.

9. Kaplaasky J. Projections in Banach algebras // Ann. Math.—1951.—Vol. 53.—P. 235-249.

10. Kaplaasky J. Algebras of type I I I Ann. Math.-1952.-Vol. 56.-P. 450-472.

11. Kaplaasky J. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.—1953.—Vol. 75, № 4.—P. 839-858.

Статья поступила 21 ноября 2012 г.

Чилин Владимир Иванович

Национальный университет Узбекистана

профессор кафедры алгебры и функционального анализа

УЗБЕКИСТАН, 100174, Ташкент, Вузгородок

E-mail: [email protected], [email protected];

Каримов Жасурбек Алишерович Национальный университет Узбекистана ассистент кафедры математического анализа УЗБЕКИСТАН, 100174, Ташкент, Вузгородок E-mail: [email protected]

LATERALLY COMPLETE C^(Q)-MODULES Chilin V. I., Karimov J. A.

Let X be a regular laterally complete CTC(Q)-module and B be a Boolean algebra whose Stone space is Q. We introduce the passport r(X) for X consisting of uniquely defined partition of unity in B and set of pairwise different cardinal numbers. It is proved that CTC(Q)-modules X and Y are isomorphic if and only if r(X) = r(Y).

Key words: Hamel (Q)-basis, homogeneous module, a-finite dimensional module.