Об асимптотике средних ортогональных многочленов Ахиезера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

A. Л. Лукашов

ОБ АСИМПТОТИКЕ СРЕДНИХ ОРТОГОН АЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ АХИЕЗЕРА*

Ортогональными многочленами Ахиезера называются многочлены, ортогональные на нескольких отрезках действительной оси относительно весов специального вида. Здесь будет рассматриваться простейший случай таких многочленов - многочлены Рп , ортогональные на двух отрезках £=[-l,a]u[|3,l] (-1<а<|3<1) относительно веса

переходящего в предельном случае (а = Р) в чебышевский вес [1, §53)]. Как в этой, так и в существенно более общей ситуации ортогональности на системе дуг в конечной плоскости, известно их асимптотическое поведение [2, теорема 12.3]:

Рл(г) = Ся(£)Фй(2)(^(/) + 0(1)) (1)

равномерно на компактах комплексной плоскости вне Е. В равенстве (1) приняты следующие обозначения: С(Е) - (логарифмическая) емкость компакта Е, Ф(г) - комплексная функция Грина дополнения Е;

Fn(z) = —^—^—где Kn(z,Q - ядро Сеге, отвечающее весу р и К„(оо,ао)

Г„ = -иГ(Ф), Г(Ф) обозначает двумерный вектор приращений (деленных на 2я) аргумента функции Ф при обходе вокруг каждого из отрезков из Е.

Таким образом, даже в этом простейшем случае ситуация существенно отличается от случая одного отрезка, когда [3, теорема 16.4] сущест-

Р (z)

вует конечный предел ------------вне Е. Поэтому представляется есте-

Сп{Е) Ф"(г)

ственным вопрос, поставленный автору А. И. Аптекаревым, — существует

It1 Pk(z)

ли предел соответствующих средних, т. е. — > —--т— для случая

п£0Ск{Е)Фк{2)

двух или более отрезков? Цель данной статьи - дать ответ на этот вопрос для многочленов Ахиезера P„(z).

Предварительно введем необходимые обозначения (см. например, [) ]). Через г = ф(и) обозначим отображение

" Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

62

2*2 2*2 5П и* СП р + СП И * 5« р

? 2 5П'и - ЯП~р

прямоугольника -К <□«<(), - К <*лп<К на плоскость, разрезанную

вдоль Е. Здесь р (0<р<&) определяется из уравнения 1-2.?я2р = а, эллиптические функции Якоби ьпи , спи имеют модуль к(0<к <1), равный

2(Р-а)

(1-а)(1 + (3)

. Комплексная функция Грина Ф(г) тогда запишется как

Ф(г) = + ^, где здесь и в дальнейшем Н(и) = Н(и | т); 0(м) = 0(ы | т);

Щи- р)

/К

01(и) = ©,(м|т) (т = —)-тэта-функции Якоби, К = К(к), К =К(к) -К.

соответствующие полные эллиптические интегралы.

ТЕОРЕМА. Для всех действительных г вне множества Е существует предел

где г и и связаны равенством (2), а константы СК таковы, что

Ит1§С-(Е)=Л_.

п /¡-о Ск 0(р)

Доказательство. Докажем прежде всего, что для упомянутых в условии теоремы г справедливо равенство

Нт-Х

»->*= п ;=0

1 7 IV(г) 1

С,

Щи + р)

Щи- р)

©(и)'

(3)

Р (х) — Р (()

где (Зп(х) = | ---—р{1)с11 - многочлен второго рода,

х-г

Си =

л/20(р)

Щ2п- 1)р)©((2« + 1)р)'

В самом деле, в [1, §53] установлено, что

-а

IV (г)

Щи + Р) Щи- р)

&(и- 2ир)

Предположим теперь, что система отрезков Е такова, что — ирра-

к

ционально. Тогда последовательность {и—} равномерно распределена по

к

модулю [4, пример 2.1]. Следовательно, [4, следствие 1.2] для любой ком-плекснозначной непрерывной 1-периодической функции / имеет место соотношение

н->«> N „=1 к

(4)

Применяя (4) к 2К -периодической функции 0, получим, учитывая легко проверяемое по определению функции 0 соотношение

¿Г /000^=¿г |0(У + ;КУУ = 1

¿К. 'к

-к

2К

и соответствие границ при отображении <р, равенство (3). Если же — ра-

к

ционально, то (3) проверяется непосредственно с помощью определения

п—\

функции © и суммирования £0(и-2у'р).

;=о

Поскольку

г ,,, Щи- р)

}У(х) Н(и + р) Щи- р)

Н(и + р).

0(ц + 2пр) ©(и) '

0(а + 2ир)

функция —1- - отграничена от нуля и ограничена на деиствитель-

@(и)

ных компактах вне Е, а

Н(и + р)

Щи- р)

> 1 на таких компактах, то

1

РЛх)--—Оп{х)

Цт--Ш-= 0

Щи + р) Щи- р)

равномерно на действительных компактах вне Е. Отсюда и из (3) получаем, что для всех действительных х вне Е справедливо равенство

1 п-1

Нт-Х

п->°°и о

Л 00

1

С,

Щи + р) Щи-р)

2 0(и)

Для завершения доказательства теоремы осталось подсчитать, используя определения емкости и свойства эллиптических функций, что

с =20(р)С"(£)

" 0(р-2пр)

и снова применить прием, использованный при доказательстве (3).

Замечание. Утверждение о справедливости равенства (3) было анонсировано в [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

2. Widom Н. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane //Advances in Mathematics. 1969. Vol. 3. P. 127 - 232.

3. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.

4. Кейперс Л.. Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

5. Лукашов А. Л. Асимптотика для средних арифметических многочленов Ахие-зера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Са-рат. зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга». 2006. С. 107-108.

УДК 517.5+519.7

Д. С. Лукомский, С. Ф. Лукомский

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХААРА В ЗАДАЧЕ РАСПОЗНАВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Пусть F{M'N) =(F^'N)){i = 0,\,...,2M -l;; = 0,l,...,2'v-l;M,/VeN) -прямоугольная матрица, которую можно трактовать как двумерное изображение. Если neN и n<mm(M,N), то через =(f.<"-n>) обозначим фрагмент изображения \ т.е.

Я".") _ f(M,N) <"// = 01

Ji.j ri+kuj+k2 U'1 l)

при некоторых kx и k2. Задачу нахождения чисел kt и k2 по известному фрагменту fj"'n> называют задачей распознавания. Таким образом, задача распознавания сводится к исследованию на min выражения

№ О)

i=0 7=0 1

и может быть решена полным перебором по кх и к2, что требует больших вычислительных затрат. Уменьшения этих затрат можно добиваться выделением во фрагментах f{"-n) характерных особенностей или минимиза-

65