Динаміка коаксіальних циліндричних оболонок у пружному середовищі з вільною поверхнею Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.312

Д-р фiз.-мат наук В. I. Пожуев1, канд. фiз.-мат наук А. В. Пожуев2, А. В. Фасоляк1

1Запор1зький нац1ональний техн1чний уыверситет, 2Запор1зька державна 1нженерна академ1я;

м. Запор1жжя

ДИНАМ1КА КОАКС1АЛЬНИХ ЦИЛ1НДРИЧНИХ ОБОЛОНОК У ПРУЖНОМУ СЕРЕДОВИЩ1 З В1ЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ

Розглядаються дв1 коакаальш цилгндричнг оболонки, як знаходитьсяу тривимгрному пружному терцшному середовищI 1з в1льною поверхнею, причому ос1 оболонок паралельнI поверхнI середовища. Дослгджуеться випадок, коли оболонки розташоваш на ргзнш глибинг. Вивчаеться випадок, коли по внутршнш поверхнI одтеХ оболонки ргвномгрно дге Iмпульсивне нормальне навантаження. Дослгджуеться взаемний вплив коаксгальних оболонок та поверхнI середовища. Проведено анализ впливу глибини залягання оболонок вгд поверхнI середовища на напружено-деформований стан тако'1 мехатчноЧ системи.

Ключовi слова: пружне середовище, тонка цилгндрична оболонка, коакс1альш оболонки, в1льна поверхня середовища, метод сктченних елементгв.

Вступ

На сьогодш важливою практичною задачею е моде-лювання динамiчних процеав у CTcreMi середовище з в№ною поверхнею-дш коакаальт цилщдричш порож-нини, яш тдкршлеш тонкими пружними оболонками. До тако! розрахунково! схеми приводять задачi моде-лювання трубопроводiв, тунелiв метрополитену та iн. Тому дослiдження динамiчного НДС розглянуто! меха-шчно! системи е актуальною задачею.

До цього часу досить добре дослщжеш динамiчнi задачi для одше! цилiндрично! оболонки, що розташо-вана у необмеженому середовищi. Даним задачам у стацюнарнш постановцi присвячена монографiя [1]. У нестацюнарнш постановц1 подiбнi задачi розглядаються в роботах [2, 3], причому в робоп [2] розглядаеться невюесметричний випадок, а в робоп [3] - вiсесимет-ричний.

В роботах [4, 5] розглянуто взаемний вплив оболонки та поверхш середовища при динамчних навантажен-нях. Причому, в робоп [4] динамiчне навантаження дае на дiлянку внутршньо! поверхш оболонки, а поверхня середовища - втна ввд навантажень. В робоп [5] дина-мiчне навантаження дiе на дiлянцi поверхнi середовища, а вну^шня поверхня оболонки - вшьна вiд навантажень. В обох роботах задача розв'язана МСЕ.

В данш робоп розглядаються двi коаксiальнi цилвд-ричнi порожнини, яш пiдкрiпленi тонкими пружними оболонками у пружному середовищi iз вiльною поверхнею. Припускаеться, що оболонки розташоваш на рiзних глибинах. Розглядаеться випадок, коли динашч-не навантаження прикладене до внутршньо! поверхнi одше! оболонки та рiвномiрно по нормалi до ще! по-верхнi, та залежить вiд часу як одинична функщя Хевь сайда. 1нша оболонка та поверхня середовища вшьш ввд поверхневих навантажень. Науковою новизною ро-

боти е врахування взаемного впливу двох коаксiальних оболонок та вшьно! поверхш пружного середовища, при рiзнiй глибиш залягання оболонок, на динамiчний НДС розглянуто! мехашчно! системи. Цiль роботи - вивчити залежнiсть величини взаемного впливу оболонок, а та-кож дослвдити взаемний вплив коакаально-розташова-них оболонок та вшьно! поверхнi.

Постановка 3aaa4i

Розглядаеться лiнiйно-пружне, однорщне та iзотроп-не середовища з вшьною поверхнею. Середовище мiстить двi коакаальш цилiндричнi порожнини, як1 пiдкрiпленi тонкими оболонками та розташоваш на рiзmй глибиш. Припускаеться, що площина вшьно! по-верхнi середовища паралельна осям цитндричних по-рожнин. Вивчаеться випадок, коли до внутршньо! поверхш одше! з оболонок прикладене нормальне динам -iчне навантажень, що рiвномiрно розподiлене по внутрiшнiй поверхнi ще! оболонки та залежать вiд часу, як одинична функщя Хевюайда. Внутршня поверхня шшо! оболонки та поверхня середовища в№на вiд навантажень. Нехай оболонки та середовище вщнесеш до

нерухомо! декартово! системи координат {x, y, z}. Внут-рiшня поверхня першо! оболонки задаеться рiвнянням

x2 + y2 = Ь2 , а друго! - (x - q1 )2 +(y - q1 )2 = b2 . Ана-лопчно поверхнi контакту м1ж середовищем та оболонками - x2 + y2 = a2 та (x - q1 )2 +(y - q2 )2 = a2

(h = a - b - товщина оболонок). Контакт мiж оболон-кою та середовищем вважаемо жорстким. Площина, що обмежуе середовище задаеться рiвнянням

y = L (L > a). В момент часу t < 0 оболонки та середовища знаходяться в сташ спокою та вшьш вщ напру-

© В. I. Пожуев, А. В. Пожуев, А. В. Фасоляк, 2017

84

жень. Погiм в момент часу t = 0 прикладаеться iмпуль-сивне навангаження, яке дiе по нормалi до внутршньш поверхн1 одше! з оболонок.

Слiд зазначити, що в дан1й роботi приймаеться, що навантаження, яке дiе на внутршню поверхню одше! з оболонок рiвномiрно розподiлене за 11 довжиною, тоб-то не залежить вiд змшно! 2 , тому початкова задача зводиться до плоско! задачi теори пружносп.

Початковi умови приймаються нульовими, тобто всi шуканi величини та !х першi похiднi за змiнною часу при t = 0 дорiвнюють нулю.

Задачу будемо розв'язувати у безрозмiрних величинах:

{ U )}=1 {), и ()}

J_(k) ) _(k) 1 _ xx , _ yy J _ xy

± {_ (k) _(k) _(k)}F-J_.

^ Pxx '°yy ^xy yr G '

xx yy xy G2

(x*, y*}=- { y<?2*}=- { q2};т=—t.

h Gi * pi к - —; у = —-; p =-c-1--

G2

di - i - к; cs -

Vp7

p2

; L* - - ,

(i)

де uf), и(k) - вщповщт компоненти вектора перемщень

точок оболонок (( - i) и середовища (k - 2);

Jk) Jk) Jk) . . .

_xx , _yy, _xy - в1дпов1дн1 компоненти навантажень;

Gk, pk - модул зсуву та густина; F - динам1чне по-верхневе нормальне навантаження.

Задачу будемо розв'язувати МСЕ. Для цього перей-демо до вар1ацшно1 постановки задача

Вар1ац1има постановка 3aaa4i

Перейдемо тепер до вар1ацшно1 постановки задача Нехай su(k) - (s и(), U)) - додатков1 можлив1 без-розм1рш перем1щення точок т1ла Q . Тод1 Se(k) - (ss(.kx^,S6(kj).se^) - можлив1 безрозм1рш де-формацп, як1 в1дпов1дають можливим перемщенням

rk -(suxk),ъи())

сшвввдношеннями:

SU - (SUx ',SUy'i, та задаються наступними

Se(kx)-3(;), ^ФиЯ,

xx d x* yy d y*

s.w-efeuikD+M;].

xy d y* d x*

Нехай тшо знаходиться у р1вноваз1 тд д1ею поверх-невих сил F та внутр1штх сил R . Причому поверхнев1 сили дшть на поверхш

та - {(x*,y*)e R2|(x* - q*1 ) +(y* - q*2) - d12}

u {x*,y*)e R21 x*2 + y*2 - d12 }u

u{x*,y*)eR2|y* -L*} що обмежуе т1ло Q , а

внутршш всередиш области Q . Розглянемо тепер вар-1ащйне р1вняння Лагранжа [12]:

-(k)

svv = 0,

(2)

де V^k) - и ^k) + П(k) - повна безрозм1рна потенщаль-на енерпя оболонки та твпростору, що оточуе обо-лонку. Перетворимо вираз (2) наступним чином:

sV(k )-s[u(k) + n(k )l-su(k ) + s n(k)

де

—(k) su ' -

= JJ(_ x

-ss xx +_yy ss yy +_ xyss xy )d Q , (3)

п (k )--||lsu

JJ(s

j(k)

J Fd ro-jj(su(k )J Rd Q.

Q

(4)

Вираз (3) е вар1ащею безрозм1рно! енергИ дефор-мацИ, а (4) - вар1ащя безрозм1рно! роботи зовшшшх сил. Тод1, зпдно до вар1ац1йного принципу Лагранжа

[6] потр1бно знайти так1 значения перемщень su(k),

для яких повна енерг1я системи мшмальна, тобто так1 перем1щення, як1 задовольняють вар1ац1йному р1внян-ню Лагранжа (2).

Розв 'язок зaдaчi МСЕ

Для розв'язку задач1 МСЕ спочатку проведемо дис-кретизац1я т1ла. Для цього роз1б' емо це тшо на трикут-ники. Спочатку припускаемо, що центри обох оболо-

нок розташован1 на ос1 O x*. Дал1 проводимо триангу-ляц1ю розглянуто! област1. При розбит на трикутники для середовища та оболонки використовуються р1зн1 елементи. Також розбиття середовища на трикутники проводиться таким чином, що при наближенш до границ! контакту з оболонкою вщбуваеться згущення с1тки. На основ1 результат1в, отриманих в [7], будемо припус-кати, що на вщсташ понад 25 рад1ус1в в1д границ1 контакту оболонки 1з середовищем перем1щення останнь-ого дор1внюють нулю. Тому при дискретизацЦ залишае-мо лише т1 елементи, яю знаходяться в1д центра оболонки на вщсташ не б1льше 26 рад1уав. Пот1м виконуемо поворот отримано! с1тки за годинниковою стр1лкою вщнос-но початку координат на кут:

a

Q

a

ш

а = штат

I

2 2 91* + 9 2*

(5)

де (*, 92*) - координати центра друго! оболонки,

V

91*" + 92*2 - вщсгань мiж центрами оболонок Псля цьо-го, в отриманш атщ, залишаемо лише т елементи, яю задо-вольняюгь нер1вносг1 у* < Ь* (Ь* - глибина залягання першо! оболонки). Дал коригуемо огриману отку таким чином, щоб верхня границя обласп мала ршняння у* = Ь*.

Пот1м, на основ1 отримано! дискретизацп тша, бу-дуемо безрозм1рш матриц жорсткосп та мас та вектор екывалентних вузлових навантажень за сшввщношен-нями описаними в робот [4]. Диференщальне матрич-не р1вняння, яке моделюе динамчну задачу, розв'язуеть-ся 6 - методом Вшсона [8], який зводить початкову задачу до ггеращйно! послвдовносп квазютатичних задач. Оскшьки матриц систем лшшних алгебра!чних р1внянь для статично! та кваз1статично! задач1 е симетричними та додатково визначеними [8, 9], тому для розв'язку цих систем було застосовано метод спряжених град1енпв, алгоритм якого наведено в робот [4].

Результата чисельного аналiзу

Розглянемо випадок, коли у момент часу т = 0 при-кладаеться 1мпульсивне навантаження

Е(х*, у*, т) = ^(х*, у* )и(т), яке дае по нормал1 до внуг-р1шньо! поверхн1 одше! з оболонок та залежить в1д часу як одинична функщя Хевюайда.

Розрахунки, зокрема формування матриць твердост та мас, було проведено для таких значень безрозм1рних величин:

к = 0,02; у = 30;р = 4; ^ = 1 -к = 0,98.

Величини

х*, у*, т, Ь*, 9*1,9*2 — змшювались.

Спочатку розглянемо випадок, коли Ь* = 2,9*1 = 3,873,9*2 = 1, тобто оболонка, внутршня поверхня яко! навантажена, знаходиться на глибит один радус, шша оболонка - два рад1уса. Вщстань м1ж обо-лонками дор1внюе 2 рад1уса.

Зазначимо, що на вах рисунках: крива 1 - статич-ний розв'язок, крива 2 при т = 0,75 , 3 - т = 1,5, 4 -т = 2,5.

а б

Рис. 1. Перемщення границ контакту оболонки та середовища в рiзнi моменти часу

-20 10 0 10 20 30

10 20 Ж

Рис. 2. Перемщення поверхш середовища в рiзнi моменти часу, при Ь* = 2, 9* = 3,873,9*2 = 1

На рис. 1 зображеш перемщення границ контакту оболонок 1з середовищем для навантажено! оболонки (рис. 1а), та оболонки вшьно! ввд навантажень (рис. 1б). Точками зображено початкове положения границ контакту (тобто до навантаження).

На рис. 2 зображеш перемщення поверхш середо-вища, причому випадок а) - и у, випадок б) - их.

На рис. 3-5 зображеш напруження середовища за кутовою координатою на границ контакту оболонок 1з середовищем, причому випадок а) - навантажена обо-лонка, випадок б) - оболонка вшьна в1д навантажень.

Рис. 3. Напруження ст у у середовища на гранищ контакту оболонки та середовища в рiзнi моменти часу

а б

Рис. 4. Напруження стхх середовища на гранищ контакту оболонки та середовища в рiзнi моменти часу

а б

Рис. 5. Напруження стху середовища на гранищ контакту оболонки та середовища в рiзнi моменти часу

Тепер розглянемо випадок, коли Ь* = 2, дп = 3,464, д*2 = 2 , тобто оболонка, внутршня поверхня яко! навантажена, знаходиться на глибинi один радус, iнша оболонка - три радiуса. Вiдстань мiж обо-лонками дорiвнюе 2 радiуса.

На рис. 6 зображеш перемiщення границi контакту оболонок iз середовищем для навантажено! оболонки (рис. 6а), та оболонки вшьно! ввд навантажень (рис. 66).

Точками зображено початкове положения границ контакту (тобто до навантаження).

На рис. 7 зображеш перемщення поверхш середовища, причому випадок а) - и у, випадок б) - и х.

На рис. 8-10 зображеш напруження середовища за кутовою координатою на границ контакту оболонок iз середовищем, причому випадок а) - навантажена оболонка, випадок б) - оболонка вшьна ввд навантажень.

Тё 1 ТЕ Я И

а б

Рис 6. Перемщення гранищ контакту оболонки та середовища в р1зш моменти часу

■20 -ю о ю ¡о эо

Зо и) и Л 2 зо

Рис. 7. Перемщення поверхш середовища в р1зш моменти часу, при Ь* = 2, д* = 3,464, д*2 = 2

-0.5

-3 -2-10 1

в

Рис 8. Напруження сту у середовища на границ контакту оболонки та середовища в р1зш моменти часу

Рис. 9. Нaпpyження — kk сеpедoвищa на границ кoнтaктy оболонки та сеpедoвищa в piзнi моменти чaсy

Рис. 10. Нaпpyження — ky сеpедoвищa на границ контакту оболонки та сеpедoвищa в piзнi моменти чaсy

Тепеp poзглянемo випадок коли L* — 4у q* — 3у873у q*2 — 1 ; тобто оболонка; внyтpiшня пoвеpхня яко1' нaвaнтaженa, знаходиться на глибиш т^и paдiyси, iншa оболонка - чотщ>и paдiyсa. Вiдстaнь мiж оболонками дopiвнюe 2 paдiyсa.

На p^. 11 зoбpaженi пеpемiщення ^ани^ кoнтaктy

оболонок iз сеpедoвищем для навантажено1' оболонки (pис. 11а) та оболонки вшьно1' вiд навантажень фис. 11 б). Точками зoбpaженo початкове положення гpaницi кoнтaкIy ( тобто до навантаження).

На pис. 12 зoбpaженi пеpемiщення пoвеpхнi сеpе-

довищау ^ичому випадок а) - Uy ; випадок б) - Uk .

Рис. 12. Перемщення поверхш середовища в pi3Hi моменти часу, при L* = 4, q* = 3,873, q*2 = 1

Тепер розглянемо випадок, коли L* = 4, q* = 3,464, q*2 = 2 , тобто оболонка, внутршня поверхня яко! навантажена, знаходиться на глибиш три рад1уси, шша оболонка - чотири рад1уса. Вщстань м1ж оболонками дор1внюе 2 рад1уса.

На рис. 13 зображеш перемщення гранищ контакту оболонок i3 середовищем для навантажено! оболонки

(рис. 13а), та оболонки вшьно! в1д навантажень (рис. 136). Точками зображено початкове положения гранищ контакту (тобто до навантаження).

На рис. 14 зображеш перемщення поверхш середовища, причому випадок а) - Uy, випадок 6) - U x .

а 6

Рис. 13. Перемщення гранищ контакту оболонки та середовища в рiзиi моменти часу

а 6

Рис. 14. Перемщення поверхш середовища в рiзиi моменти часу, при L* = 4, q* = 3,464, q*2 = 2

Висновки

Отримано розв'язок динaмiчноl 3aAa4i для пружно-го середовища i3 вiльною поверхнею з двома коакааль-ними порожнинами, як1 пiдкрiпленi тонкими оболон-ками та розтaшовaнi на р!знш глибинi. Розв'язок зaдaчi отримано МСЕ. Проaнaлiзовaно вплив вiдстaнi м1ж обо-лонками на динaмiчний НДС розглянуто!' системи. Та-кож дослщжено вплив вшьно!' поверхнi на розглянуту мехaнiчну систему. Отримaнi результати можуть бути зaстосовaнi при проектувaннi та експлуатацп тдзем-них конструкцiй, зокрема трубопроводiв, тунелiв мет-рополiтену тощо.

Список лiтератури

1. Горшков А. Г. Пластины и оболочки на инерционном основании при действии подвижных нагрузок / А. Г. Горшков, В. И. Пожуев - М. : Изд-во МАИ, 1992. -136 с.

2. Пожуев А. В. Нестацюнарна невюесиметрична деформащя цилшдрично! оболонки у пружному простор1 тд д1ею рухомих поверхневих навантажень / А. В. Пожуев, А. В. Фасоляк // Нов1 матер1али i технолог!! в металургй та машинобудуванш. - 2016. - №1. - С. 108-114.

3. Пожуев А. В. Нестацюнарна деформащя цилшдрично! оболонки у пружному просторi тд дiею навантажень, що розширюються / А. В. Пожуев, А. В. Фасоляк // Вюник Зaпорiзького нащонального унiверситету. Ф!зи-ко-мaтемaтичнi науки. - 2016. - № 1. - С. 200-213.

4. Пожуев В. I. Нестацюнарна деформащя цилшдрично! оболонки у пружному пiвпросторi з вшьною поверхнею / В. I. Пожуев, А. В. Пожуев, А. В. Фасоляк // Новi мaтерiaли i технолог!! в металургй та машинобудуванш. -2016. - № 1. - С. 119-126.

5. Пожуев В. I. Динамжа пружного твпростору з цилшд-ричною порожниною, шдкршленою оболонкою, при поверхневих навантаженнях / В. I. Пожуев, А. В. По-жуев, А. В. Фасоляк А. В. // Проблеми обчислювано! механжи i мщност конструкцш. Випуск 26. - 2017. -С.142-152.

6. Образцов И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. М. Савельев, Х. С. Хазанов - М. : Высшая школа, 1985. - 393 с.

7. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности / В. И. Самуль. - М. : Высшая школа, 1982. - 264 с.

8. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вшсон. - М.: Стройиздат, 1982. -448 с.

9. Сегерлинд. Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд - М. : Мир, 1979. - 393 с.

Одержано 17.07.2017

Пожуев В.И., Пожуев А.В., Фасоляк А.В. Динамика коаксиальных цилиндрических оболочек в упругой среде со свободной поверхностью

Рассматриваются две коаксиальные цилиндрические оболочки, которые расположены в трехмерной упругой среде со свободной поверхностью, причем оси оболочек параллельны поверхности среды. Исследуется случай, когда оболочки расположены на разной глубине. Изучается случай, когда по внутренней поверхности одной оболочки действует импульсивные нормальные нагружения. Исследуется взаимное влияние коаксиальных оболочек и поверхности среды. Проведен анализ влияния глубины заложения оболочек от поверхности среды на напряженно-деформированное состояние такой механической системы.

Ключевые слова: упругая среда, тонкая цилиндрическая оболочка, коаксиальные оболочки, свободная поверхность среды, метод конечных элементов.

Pozhuev V., Pozhuev A., Fasoliak A. Dynamics of coaxial cylindrical shells in an elastic medium with a surface

Two coaxial cylindrical shells, which are located in a three-dimensional elastic medium with a surface and the shell axes parallel to the surface of the medium, are considered. The case, when shells are located on the different depth, is investigated. Case, when impulsive normal loads are acted on the inner surface of one shell, is studied. Cross coupling of coaxial shells and surface of the media is investigated. The influence of the depth of the shells from the surface of the medium on the stress-strain state of such a mechanical system is analyzed.

Key words: elastic media, thin cylindrical shell, coaxial shells, surface of the media, finite element method.