Деформация стойки за пределом устойчивости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Проф. Г. В. ТРАПЕЗНИКОВ.

ДЕФОРМАЦИЯ СТОЙКИ ЗА ПРЕДЕЛОМ УСТОЙЧИВОСТИ.

Вывод основного уравнения деформации стойки.

Проделанная мною, в связи с изучением продольного изгиба, экспериментальная работа выявила интересную особенность деформации стойки, с большим отношением-— . Особенность эта зак-

/

лючается в том, что концы стойки, при шарнирном их укреплении в опорах, и нагрузке долевыми сжимающими силами, описывали дуги окружности, с центрами, лежащими на начальной оси стойки. Конечно, траекторию конца стойки можно принять за дугу окружности только с известным (каким, увидим в дальнейшем) приближением. Но самое главное заключается в том, что центральный угол дуги, с которой почти не сходит, при деформации, конец

стойки, значительно превышает . На чертеже 1 показана стойка в различных фазах деформации продольного изгиба. Пунктиром обозначены траектории ее концов.

Необходимость знать осадку концов стержня, когда его нагрузка превышает соответствующую ему критическую силу, имеется при расчете буровых труб, штанг перфораторов и тех пружин, которые работают на продольный изгиб. Особенное же значение, приобретает знание величины осадки конца стойки и аналитической связи между величинами осадки и, соответствующей ей, нагрузки, при ударном приложении последней. Только при таком знании, мы можем вычислить наибольшую деформацию и напряжение при ударе.

Все это заставило меня определить траекторию концов стойки уже вполне точно, прибегая к теории продольного изгиба и дать вместо сложной и иррациональной зависимости между силой и деформацией—зависимость простую, вполне удобную для расчета и, в' достаточной мере, точную. Черт. 1.

Та к как, при точном расчете, определение деформации продольного изгиба связано с табличным подсчетом значений эллиптических интегралов, то явилась необходимость в таблицах их величин, определенных до седьмого знака, с малыми-разностями модуля к. Эти таблицы я привожу целиком в настоящей статье, т. к. оне могут потребоваться кому-либо из товарищей, столкнувшихся в своей работе с необходимостью пользования таблицами эллиптических интегралов, вычисленных с точностью до восьмого точного знака.

л Выведем кратко уравнение изогнутой

Р оси стержня.

И Рассмотрим половину стержня, имеющего свободные концы. Ввиду симметрии стержня, его половина (черт. 2) будет рассматриваться, как стержень, защемленный одним (на чертеже—нижним) концом и имеющий на свободном конце нагрузку сосредоточенной силой Р. Сила Р — долевая, центральная, сжимающая. При выбранных координатах, с началом ^ в месте защемления и, принятых на чертеже 2,

обозначениях, дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня, в точной форме,

представится так:

//

(1 Е1

Черт. 2. и, интегрируя, получим:

Умножаем обе части равенства у': У'У"

(1 +У2Г°

(1 +/*)''• 2 По обозначении у' получим:

— соэ р

(2)

Максимальный угол поворота оси стержня на свободном конце

назовем через В0. Помня, что <**(/-у) — — и используя подстановку:

Р

при у=/ ; Р = Ро

приведем уравнение (2) к виду:

f " 1

cos В — cos В0 =--------

2<х2р2 ,

откуда:

р =-/— —........(3)

a]/2(cos£ — COS^o)

Радиус кривизны можно выразить через производные:

_ ds _ dx _ dy

Р~~ d$ ~ cosprfp ~~ sinЭrfР '

Делая в (3) подстановки всех трех выражений раДЙуса, получим три уравнения:

. Sin ,Л\

dy =-, r —*.......(4)

а У2 (cos ¡3 — cos р о)

dx= r -C0S^L.......(5)

«K2(cosp —cosPo)

A>=-—M=........(6)

a У 2 (cos p — COS Po)

Для цифрового подсчета получаемых, в дальнейшем, интегральных значений, удобнее выразить функции у, х и 5 в углах

-1- й А.

Так как:

то, назвав:

sin 8 = 2 sin у 1 — sin2-A-^ 2 2

и cosB = l—2sin2 —, . 2

sin-^- = A и sin = k sin ®, 2 2

после подстановки и преобразований, получим:

dy =-Sincpi/cp

a

dx = — (2 y\— ^sin8<p--1--r)d<?

a I sin2 cp J

1

Пренебрегая деформаций сжатия, которую, при небольших стрелах прогиба, нетрудно учесть отдельно, мы будом иметь для подстановок пределов, следующее:

при у = х — 0; я — О; $ = 0; у — О;

1 — М I 0 0 т:

при у = (\ X —-—; р = ро; ? = —.

Поэтому:

1 — М = 1

2 а

2к

- / 2 БШСр^ф........(7)

а */

о

Я 7Г

2 /2 ¿(р

1/1— #81п*<р /

г т У |/1 —Л?2 эт2 9

и о о

ТС

.(8)

± = ± / 2 (9)

2 а У VI— Л281п2ср

2 к

Интеграл (7) решается просто и дает: /=........(10)

а

Интегралы (8)* и (9) — полные эллиптические, первого и второго рода в нормальной тригонометричной форме. В приводимой ниже таблице даны их численные значения для различных к, от.%—0 до = 180°, через Г. Итак:

Л/ = — [2Е(к)~/=■(*)] ..... .(11)

2 а

' и = —.........(12)

2 а

Решая совместно последние три уравнения и имея выражение критической силы для данной стойки, в виде:

к /2

получаем следующие уравнения: Для относительной нагрузки:

рк

Для относительной стрелы прогиба:

г

относительной осадки концов:

А/ /

= 2

1

Определим, кроме этих величин, еще величину максимального изгибающего момента. Последний получится также в виде отношения:

М

р/ ........(16)

7Г2

Приводимые ниже таблицы содержат: I — Таблица — численные значения интегралов:

7Г

т

с1 ср

---и Е(к)= ) у 1 —81п2

У1 -31П 2 ср / Т

данные для различных к при изменении — от 0° до 90° через 0°5.

И—Таблица—численные значения относительных величин, даваемых уравнениями: (13;, ^14), (15), (16).

I—'Таблица численных значений интегралов:

те

= » £ <*=]>!-»Я*,

Ро 2 т Е(к) ! ¥ Е(к)

0.0 1.57079633 1 57079633 10.0 1.58284290 1.55888726

0.5 1.57082612 1.57 76645 10.5 1.58408728 1.55768274

1.0 1.57091616 1.57067676 ; и.о 1.58539440 1.55630000

1.5 1.57106555 1.57052742 1 11.5 1.58676428 1.55506916

2.0 1.57127506 1.57031804 I 12.0 1 58819716 1.55368087

2.5 1.57154428 1.57004899 12.5 1.58969394 1.55223516

3.0 1.57187356 1.56972009 ! 13.0 1.59125439 1.55073189

3.5 1.57226308 1.56933196 1 13.5 1.59287908 1.54917181

4.0 1.57271242 1.56888361 14 0 1.59456828 1.54755475

4.5 1.57302220 1.56837612 14.5 1.59632244 1.54588082

5.0 1.57379229 1.56780922 15.0 1.59814<17 1.54415045

5.5 1.57442262 1.56718264 15.5 1.60002734 1.54415045

€.0 1.57511370 1.56649684 16.0 , 1.60197857 1.54236415

6.5 1.57586533 1.56575179 16.5 1.60399644 1.54052171

7.0 1.57667804 1.5649'761 17.0 1.60608127 1.53862336

7.5 1.57755177 1.56408448 17.5 1.60823391 1.53Й67003

8.0 1.57848668 1.56316244 18.0 1.61045436 1.53466123

8.5 1.57948288 1.56218122 18.5 1.61274319 1.53047917

9.0 1.58054084 1.56114165 19.0 1.61510108 1.52830636

9.5 1.58166105 1.56004348 19.. 5 1.61752842 1.52607967

10.0 1.58284290 1.55888726 - 20.0 1.62002603 1.52379911

Ф

ßo 2 F(k) E(k) ßo 2 F(k) E(k)

20.0 1.62002603 1.52359911 48.0 1.90108311 1.32384219

20.5 1.62259420 1.52146555 48.5 1.60945846 1.31929624

21.0 1.62523368 1.51907846 49.0 1.91799734 1.31472955

21.5 1.62794529 1.51663901 49.5 1.92670406 1.31014365

22.0 1.(7072908 1.51414690 50.0 1.93^58128 1.30553925

22.5 1.63358644 1.51160292 50.5 1.94463328 1.30091706

23.0 1.63651737 1.50900716 51.0 1.95386479 1.29627823

23.5 1.63952302 * 1.50636016 51.5 1.96327986 1.2916234&

24.0 1.64260416 1.50366234 52.0 1.97288243 1.28695365

24.5 1.64576118 1.50091365 52.5, 1.98267720 1.28227043

25.0 1.64899523 1.49811485 53.0 1.99266968 1.27757390

25.5 1.65230«-99 1.49526655 53.5 2.00286421 1.27286605

26.0 1.65569683 1.49236867 ■ 54.0 2.01326670 1.26801465-

26.5 1.65916627 1.48942220 54.5 2 02388162 1.26304176

27.0 1.66271615 1.48642679 55.0 2.03471558 1.25867971

27.5 1.66634690 1.48338377 55.5 2.04577331 1.25393409

28.0 1.67005935 1.48029278 56.0 2.05776219 1.24918172-

28.5 1.67385529 1.47715481 56.5 2.06858855 f. 24442387

29.0 1.67773481 1.47396986 57.0 2.08035816 1.23966127

29.5 1.68169958 1.47073904 57:5 2.09237880 1.23489523

30.0 1.68575057 1.46746221 58.0 2.10465789 1.23013089

30 5 1.68988833 1.46414036 58.5 2.11720255 1.22535812

31.0 1.69411430 1.46077362 59.0 •2.13002157 1.22058895

3J.5 1.69842987 1.45736261 59.5 2.14312304 1.2158212a

32 ;o 1.70283595 1.45390794 60.0 2.15651564 1.21155950

32.5 1.70733371 1.45040980 60.5 2.17020924 1.20629473

33.0 1.71192487 • 1.44686933 61.0 2.18421310 1.20153835

33.5 J.71660992 1.44328641 61.5 2.19853818 1.19678827

34.0 ' 1.72139096 1.43966227 62.0 2.21319463 1.19204570

34.5 1.72626877 1.43599689 62.5 2.22819455 1.18731221

35.0 1.73124532 1,43229И9 63.0 2.24354927 1.18258929s

' 35.5 1.73632139 1.42854533 63.5 2.25927246 1.17787774

36.0 1.74149936 1.42476035 64.0 2.27537672 1.17317939*

36.5 1.74678001 1.42093662 64.5 2.29187646 1.16850946

37;0 1.75216544 1.41707491 65.0 2.30878667 ! 1.16382806

37.5 1.75765695 1.41317588 65.5 2.32612423 ! 1.15917825

38.0 1.76325617 1.40923986 66.0 2.34390499 i 1.15454680

38.5 1.76806525 1.40526756 66.5 2.36214691 1.1499361»

39.0 1.77478607 1.40125967 157.0 2.38087012 1.14534794

39.5 1.78071991 1.30721719 67.5 2.40009429 1.1407834^

4a. 0 1.78676901 1.39314017 68.0 2.41984141 1.16624434

40.5 1.79293566 1.38903C92 68.5 2.44030386 1.13173262

41.0 1.79922141 1.38488872 69.0 2.46099936 1.12724971

41.5 1.80562898 1.38071112 69.5 2.48246142 1.12279748-

42.0 1.81215987 1.37650448 70.0 2.504Г5001 1.11837781

42.5 1.81801660 1.37226669 70.5 2.527Ä540 1.11399233

43.0 1.82560205 1.36799906 71.0 2.55073127 1.10964341

43.5 1.83251786 1.36370246 71.5 2.57489310 • 1.10533275-

44.0 1.83956660 1.35937703 72.0 2.59982448 1.10106209

44.5 1.84675172 1 35502412 72.5 2.62555311 1.09683405

45.0 1.85407460 1.35064410 73.0 2.65213791 1.09265043

45.5 1.86153933 1.34623762 73.5 2.67962491 1.08851331

46.0 1.86914764 1.34180597 74.0 2.70867604 1.08442531

46.0 1.87690290 1.33734983 74.5 2.73752508 1.08038848-

47.0 1.88480884 1.33287006 75.0 2.76806320 1.07640534

47.5 1.89286747 1.32835626 75.5 • 2.79975227 1.07247813

48.0 1.90108311 1.32384219 76.0 2.83267276 1.06860954

Ро 2 Е(К) Ро 2 Р(Ю Е(Ю

76.0 2.83267276 1.06860954 83.0 3.50042280 1.02231267

76.5 2.86691094 1.06480242 83.5 3.57313810 1.01971508

77.0 2.90256468 1.06105943 84 0 3.65185565 1.01723697

77.5 2.93974395 1.05738330 84.5 3.73761276 1.01488427

78.0 2.97856928 1.05377704 85.0 3.83174238 1.01266371

78.5 3.01917859 1.05024382 85.5 3.93599828 1.01058222

79.0 3.06172869 1.04678655 86.0 4.05275829 1.00864804

79.5 3.10639662 1.04340893 86.5 4.18535117 1.00670635

80.0 3.15338506 1.04011443 87.0 4.33865385 1.00525870

80.5 3.20292966 1.03690655 87.5 4.52022343 1.00382528

81.0 3.25530289 1.03377954 88.0 4.74271690 1.00258419

81.5 3.31082330 1.03052979 88.5 5.02986120 1.00155235

82.0 3.36986810 1.02784358 89.0 5.43490930 1.00075171

82.5 3.43288695 1.02502393 ! 89.5 6.12777910 1.00021448

83.0 3.50042280 1.02231267 1 1 90.0 с\э 1.00000000

II—Таблица значений относительных величин: нагрузки, стрелы прогиба, осадки концов и максимального изгибающего момента

Ро Р / д/ М

2 Рк 1 / Рк1

0.0 1.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

0.5 1.0Э003792 0.00555536 0.00007595 0.00555557

1.0 1.00015259 0.01110970 0.00030483 0.01111140

1.5 1.00034081 0.01666188 0.00068499 0.01666756

2.0 1.00060963 0.02221094 0.00121802 0.02222448

2.5 1.00095255 0.02775576 0.00190298 0.02778220

3.0 1.00137275 0.03329530 0.00274006 0.03334098

3.5 1.00186839 0.03882843 0.00372856 0.03890098

4.0 1.00244115 0.04455426 0.00486865 0.04446254

4.5 1.00309086 0.04987160 0.00616045 0.05002575

5.0 1.00381822 0.05537942 0.00760339 0.05559087

5.5 1.00462247 0.06087676 0.00919697 0.06115810

6.0 1.00550459 0.06636251 0.01094126 0.06672781

6.5 1.00646449 0.07183558 0.01283563 0.07229996

7.0 1.00750284 0.07729498 0.01487988 0.07787491

7.5 1.00861980 0.08273972 0.01707370 0.08345292

8.0 1.00981563 0.08816869 0.01941640 0.08903412

8.5 1.01109064 0.09358088 •0.02190803 0.09561875

9.0 1.01244558 0.09897530 0.02454749 0.100^0811

9.5 1.01388124 0.10435080 0.02733521 0.10579932

10.0 1.01539697 0.10970653 0.0с026ЛЗ 0.11139568

10.5 1.01699415 0.11504133 0.03334988 0.11699636

11.0 1.01867321 0.12035428 0.03657689 0.12260168

11 5 1.02043436 0.12564431 0.03994941 0.12821177

12.0 1.02227814 0.13091051 0.04346605 0.13382695

12.5 1.02420592 0.13615174 0.04712699 0.13945742

13.0 1.02621764 0.14136715 0.05093153 0.14507346

13.5 1.02831428 0.14655563 0.05487823 0.15070525

14.0 1.03049641 0.15171624 0.05896712 0.15634304

14.5 1.03276494 0.15684801 0.06319723 0.16198713

15.0 1.03512087 0.16194992 0.06756812 0.16763774

15.5 1.03756436 0.16702114 0.07207771 0.17329518

16.0 1.04009653 0.17206060 0.07672623 0.17895963

Ро Р / А1 М

~2 Рк 1 1 Рн1

16.5 1.04271842 0.17706721 0.08151270 0.18463124

17.0 1.04543071 0.18204042 0.08643544 0.19031065

17.5 1.04823504 0.18697890 0.09149499 0.19599783

18.0 1.05113160 0.19188187 0.09668932 0.20169310

18.5 1.05412151 0.19674844 0.10201752 0.20739676

19.0 1.05720610 0.20157760 0.10747902 0.21310907

19.5 1.06038624 0 20636849 0.11307218 0.21883031

20.0 • 1.06366350 0.21112012 0.11879684 0.22456677

20.5 1.06703849 0.21583178 0.12465058 0.23030082

21.0 -ч 1.07051281 0.22050238"""" • 0 .'Г3063382 0.23605062

21.5 1.07408798 0.22513115 0.13674451 0.24180959

22.0 1.07776450 0.22971725 0.14298169 0.24758110

22.5 1.08154474 0.23425966 0.14534439 0.25336230

23.0 1.08542915 0.23875769 0.15583121 0.25915456

23.5 1.08941987 0.24321043 0.16244107 0.26495828

24.0 1.09351836 0.24761693 0.16917266 0.27077366

24.5 - 1.09772581 0.25197653 0.17п02499 0.27660114

25.0 1.10204428 0.25628837 0.18299671 0.28244113

255 1.10647518 0.26055154 0.19008618 0.28829381

26.0 1.11102001 0.26476532 0.19729232 0.29415957

26.5 1.11568107 0.26892892 0.20461373 0.30003891

27.0 1.12046029 0.27304149 0.21204991 0.30593215

27.5 1.12535897 0.27710232 0.21959789 0.31183958

28.0 1.13037893 0.28111073 0.22725728 0.31776165

28.5 1.13552333 0.28506574 0.235 2686 0.32369880

29.0 1.14079307 0/28896676 0.24290484 0.32965128

29.5 1.14619122 0.29283106 0.25088969 0.33436652

30.0 1.15171991 0.29660379 0.25898062 0.34160449

Таблица II дает значения для относительных величин: нагрузки, стрелы прогиба, осадки концов и максимального

изгибающего момента только до = 30° (т. е. до

¡Зо = 60°). Дальнейшее вычисление упомянутых выше величин никакого практического интереса не представляют, так как уже при данном предельном для таблицы значении ро1 стойка имеет весьма большой погиб. Чертеж 3 показывает, как деформируется стойка, когда величина угла р0 достигает величины 60°.

На основании цифрового материала вышеприведенных таблиц составлен график, приводимый на чертеже 4. Для приводимой, в числз других, функ-

ций, функция у дана в удвоенном масштабе.

г * А ■ - А/ / Р и М График функции: -у-, у, — и -ру-

Воспользовавшись II таблицей, построим траек-Черт. з. торию концов стойки. Для этого достаточно взять

одну половину стойки, как то показано на чертеже 5. Из чертежа видно, что траектория конца стойки мало чем отличается от дуги окружности, центр которой помещен в некоторой точке на начальной оси стойки. Совпадение с дугой окружности замечательно не только тем, что оно выполняется (на глаз, по крайней мере) удовлетворительно, но также и тем, что осуществляется на большом пути деформации. Такое совпадение окружности с траекторией конца стойки могло бы быть осуществлено с еще большим успехом, если бы центр окружности поместить вне оси X. Однако нахождение способом наименьших квадратов „наилучшего44 центра привело к ничтожной величине отхода центра от оси и, при этом усложнило, так сказать далеко непропорционально полученному уточнению, выражение связи между деформациями.

Чертеж 6. Помещая начало координат на конце стойки, мы там же будем иметь точку касания окружности. Ее уравнение будет:

+ (Р-*)3=Р2

Черт. 6.

или:

у24-д;2 р = -!-

2х

Заменяя координаты соответствующими величинами деформаций, получим:

А (те т

1~ 2 А! ~ 4А1 ' " "

2 с с

Обозначим величину: - =р0 и назовем ее относительным радиусом*

I

траектории конца стойки при продольном изгибе.

Для определения относительного радиуса траектории, являющегося, как теперь понятно, характеристикой деформации продольного изгиба, мы не будем прибегать к способу наименьших квадратов, так как тогда пришлось бы заранее задаваться участками дуг, в пределах которых получается тот или другой, наиболее точный, радиус. Вместо этого, воспользовавшись уравнением (17), мы составим таблицу относительвых радиусов (см. стр. 14). Это будет лучше, так как, с одной стороны, даст представление об изменениях этой величины, в зависимости от хода деформации и, с другой, даст приближенную, но надежную цифру его величины в пределах выбранного участка.

Как видно из рассмотрения III—Таблицы, величина относительного радиуса траектории, в пределах угла р0 от О0 до 130°, довольно устойчива и относительный радиус, как среднее арифметическое из всех цифр данного интервала дается величиной:

р0 = 0-40423

Принимаем:

п 2 Ро = 0*4 — —-

5

«*

Таким образом мы устанавливаем, для широких пределов изменения упругой деформации продольного изгиба стойки, такую весьма простую формулу связи между относительными деформациями:

4/о2+ = ......• • .0-8)

где через /0 названа относительная стрела прогиба.

При малых деформациях мы можем писать просто: (г^ = 0)

со

/о2 ~ Ро — 0*4 3, ....... . .(19)

III—Таблица относительных радиусов

Ро 2 Ро Ро 2 Ро 2 Ро Ро 2 Ро Ро 2 Ро

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 . 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 0.40529 0.40529 0.40529 0.40528 0.40528 0.40528 0.40527 0.40527 0.40527 0.40526 0.40526 0.40525 0.40525 0.40524 0.40524 0.40523 0.40022 0.40521 0.40520 0.40519 0.40518 0.40517 0.40516 0.40515 0.40514 0.40513 0.40512 0.40510 0.40509 0.40507 0.40506 0.40505 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 17.5 19.0 19.5 20.0 20.5 21.0 21.5" 22.0 22.5 23.0 23.5 24.0 24.5 25.0 25.5 26.0 26.5 ?7.0 27.5 28.0 28.5 29.0 29 5 30.0 30.5 0.40503 0.40501 0.40500 0.40498 0.40496 0.40494 0.40492 0.40490 0.40488 0.40486 0.40484 0.40482 0.40480 0.40478 0.40476 0.40474 0.40472 0.40470 0.40467 0.40465 0.40463 0.40461 0.40458 0.40456 0.40453 0.40451 0.40448 0.40445 0.40443 0.40440 31.0 31.5 32 0 32.5 33.0 33.5 34.0 34.5 35.0 35.5 36.0 36.0 37.0 37.5 38.0 38.5 39 0 39.5 40.0 40.5 41.0 41.5 42.0 42.5 43.0 43.5 44.0 44.5 45.0 45.0 0.40437 0.40434 0.40431 0.40429 0.40426 0.40423 0.40420 0.40417 0.40414 0.40411 0.40408 0.40405 0.40302 0.40399 0.40396 0.40393 0.40390 0.40387 0.40384 0.40381 0.40Ь78 0.40376 0.40373 0.40371 0.40368 0.40366 0.40363 0.40361 0.40358 0.40356 46.0 46.5 47.0 47.5 48.0 48.5 49.0 49.5 50.0 50.5 51.0 51.5 52.0 52.5 53.0 53.5 54.0 54.5 55.0 55.5 56.0 56.5 57.0 57.5 58.0 58.5 59.0 59.5 60.0 60.5 0.40353 0.40351 0.40348 0.40346 0.40343 0.40341 0.40338 0.40335 0.40333 0.40331 0 40.329 0.40328 0.40326 0.40325 0.40324 0.40323 0.40321 0.40320 0.40319 0.40319 0 40318 0.40317 •0.40316 0.40316 0.40315 0.40314 0.40313 0.40312 0.40313 0.40314 61.0 61.0 62.0 62.5 63.0 63.5 64.0 64.5 65.0 65.5 0.40316 0.40317 0.40319 0.40321 0.40324 0.40327 0.40330 0,40344 0.40337

Для упрощения расчетных операций, нам необходимо иметь еще простую зависимость между деформациями и нагрузкой. Для этого вычислим значения такой величины:

Р—Р

И построим график (чертеж 6) изменении от изменения Р0—1.

Из только что представленного графика (черт. 7) мы видим, что зависимость между и Р0— 1 близки к линейной. Поэтому, в пределах от % — до ро = 30°, т, е, с достаточным для целей практики, диапазоном деформации изгиба и достаточной степенью точности, мы можем считать эту зависимость выраженной аналитически следующим образом:

в, = 2(Р0-1) ..........(2°)

Максимальная величина ошибки будет при ¡30 = 30°. Ее величина:

и 2 (Р0— 1У* 2.0-03512087 — 0-067Е6812

^ = -------=---= 0 «0397

\ 0*06756812

Для определения роста ошибки, с увеличением £0> ниже приводится график (черт. 8).

14

в

О

Г\%

-------

30

Ро

10

Черт. 8.

Расчет стойки при статической нагрузке.

Деформация стойки, в пределах от = до — 30°, может быть выражена диаграммой, представленной на чертеже 9. При возрастании нагрузки от О до величины Р* осадка концов стойки булет происходить только от деформации сжатия, которая при критической нагрузке достигнет величины д4. При дальнейшем возрастании нагрузки, увеличение осадки концов пойдет значительно быстрее, так как к деформации сжатия прибавится осадка от продольного изгиба. Поэтому, поскольку мы не пренебрегаем деформацией сжатия, должны рассматривать отдельно обе фазы деформацией сжатия,должны рассма-

тривать отдельно обе фазы деформации: одну в пределах величины критической силы и другую—за ее пределами.

При нагрузке стойки силой большей критической, напряжение в поперечном сечении будет складываться из напряжения сжатия и напряжения изгиба. Наибольшее напряжение, которое мы должны приравнять расчетному, будет иметь место в поперечном сечеиии посередине стойки, в месте наибольшей стрелы прогиба.

Обозначая через расчетное напряжение, через Т7 площадь поперечного сечения и через минимальный момент сопротивления последнего, мы напишем:

р_, р/ Т7 V?

Я-

Преобразуем данное уравнение так:

/=• \ ИГ )

Назвав через е расстояние до наиболее удаленного волокна и имея: #

/ Т7/2

где /—соответствующий радиус инерции, получаем:

/? = ■

1 +

¿2

(21)

Выразим, теперь, допускаемое напряжение через одну из каждых переменных, характеризующих явление продольного изгиба, т. е. через еЬу /о и Ро9 При этом получим:

или

"ИЛИ

ИЛИ

1 +

2 /

¡1

Р \ Ро

е1

1 + -ТГКро

е1

1 + -/ГЛ

Ро

е1

1 ГГ~ У Ро {Ро — О

/2

. . (22)

• (23)

(24)

Пример расчета.

Железная круглая стойка сплошного поперечного'сечения имеет, при длине 1 = 4 т, критическую силу Рк= 15 kg. Определить напряжение при приложении нагрузки в 1*001 критической.

Определяем из формулы для критической силы момент инерции поперечного сечения стойки.

/= Р*/2 = 15-(40°)2 ТГ2.2.106

Диаметр сечения будет:

—0-1217 т4

2-48 = 1 -255 ст

Площадь сечения:

и

.'2

1-

тир __ тс (1 -255)2 4 4

0-1217

= 1-237 С/И2

= 0-0983 ст2\ е = — = 0-627 ¿ую 1-237 2

Критическое напряжение будет:

Ри 15

12-15 kg\cm'l

И 1-237

Напряжение от действия силы, равной 1 *001 Ри будет: (24)

15

1-237

1-001

1 +

0-627.400 0-0983

V

0*8.0-001

874 kg¡cm2.

Определим величину стрелы прогиба, какая будет иметь место при данных условиях нагрузки. Для этого воспользуемся формулой (23), в которой можем сделать некоторое упрощение. Ввиду небольшого избытка приложенной нагрузки сверх критической силы, мы в праве ожидать, что величина:

Ро

"=2-51

1

I

будет весьма небольшой, по сравнению с единицей, и ею, в данном случае, свободно можно пренебречь.

Из упрощенной таким образом формулы получаем:

874.1-237 15

Относительная стрела прогиба будет

¿2 Г ЯР -1 0-0983

е 1- ^ 0-627

1

0-983.71-4 0-627

= 11-2 ст

/о =

_ / _ 1Ь2

<ЛЭ

400

36

Расчет стойки при динамической нагрузке.

Потенциальная энергия будет выражаться площадью диаграммы, т. е. суммой площадей треугольника и трапеции. Согласно принятых на чертеже 7 обозначений, мы пишем:

2 Т 2

Так как:

"б—

то: р /

= (2 + 8*)+ **]

В том случае, если деформация изгиба очень мала, мы имеем право считать, что изгиб произошел под действием постоянной нагрузки, Рк, та к как изменение нагрузки, при малых прогибах, ничтожно. Тогда выражение для потенциальной энергии примет вид:

и = + = - ^-[4(Р0-1)-Ь(2ЯО-1) вЛ] .(25)

Рассмотрим ударное действие нагрузки на стойку. Разберем простейший случай—свободную стойку. Свободной стойкой мы назовем такую, изгиб которой не стеснен никакими боковыми препятствиями. Она будет деформироваться, как стойка с шарнирными концами.

Чтобы, при ударе, стойка начала изгибаться, необходимо, чтобы величина удара была не менее:

_ Рк ^ 4 _ ^ к ^

тЫ ~~ 2

Чертеж 10 представляет из себя совмещение диаграммы деформации стойки и схемы этой деформации под влиянием некоторой движущейся массы

При соприкосновении движущейся массы с концем стойки (1), последняя, сначала, начнет сжиматься. Деформация сжатия будет нарастать по закону прямой (2):

¿V

..........(26)

Ег

где Рхх переменная динамическая нагрузка.

Нарастание деформации сжатия будет итти до тех пор, пока динамическия нагрузка ие достигнет величины критической силы стойки. Величина абсолютной деформации сжатия, в этот момент, будет (3):

р I

Х^тох — ¿~Р ........

Дальнейшее движение массы вызовет продольный-изгиб и, величина перемещения конца стойки найдется (4):

Рт~Рп

М

■х,

р.г

Р Д/ь

т к

где Рх2 — переменная динамическая нагрузка во второй фазе деформации.

Вместе с растущей деформацией скорость движения

(28)

массы замедляется и, наконец, станет равна нулю, чему будет соответствовать наибольшая деформация и наибольшая динамическая сила (5).

Составим уравнение движения массы для первой фазы деформации. Условимся, что нам известны: скорость массы в момент ее касания с

концом стойки, ускорение—в тот момент и закон изменения этого ускорения, как результат действия на массу внешних связей (сюда, конечно, как связь, стойка не входит).

Пусть движущая масса имеет вес <3 и обладает скоростью, в момент касания У0 и ускорением Ускорение, зависящее от внешних связей и, вообще говоря, переменное, назовем через /.

Сила сопротивления стойки движению массы определится из (26). Пишем уравнение движения массы:

---------~J--*-= / — —------хг

йь о. * С}Г

Так'как величина есть деформация сжатия от статической на-

ЕГ

грузки стойки грузом <3, то называя эту величину через Л/,, получим:

&ХЛ . £ . Р*

-=у---- хх = у----- - хх

ар л/ /г

с с

Интегрируем уравнение движения Массы в пределах первой фазы' т. е. до того момента, когда сила сопротивления стойки достигнет величины ее критической силы /V

у (I х

При этом хг будет изменятся от 0 до Д/ •---------~ будет изменятся

ЛЬ

от У0 до Ук> где Ук — скорость в конце первой фазы.

или

Сила сопротивления стойки при движении во второй фазе определится из (22):

- . ' ч,-ч

Пишем уравнение движения массы:

^ -у _ * Г Рт~РЬ ■ ^ РтЫк-РЬМт -

т т

АР я С} I мп—мк Мт—д/„

Так как имеем:

2(Я0-1) + ЯовЛ>

171

то:

Р

__а _ а _ т

Ч " ~ Рч

Уравнение движения массы, во второй фазе, будет:

^ «е(2+вл)\ I)

Интегрируем уравнение в пределах изменения х2 от Д/* до А/ш и пределах изменения V от Уи до О, когда исчерпается вся кинетическая энергия движущейся массы и последняя остановится.

: ° ^д/ ! /А/

У1 / 'т \ \ ~т

, , • , К, АЛ I 'Д2 + '*) \ ^ 2/ ; 4/

! к к I I к

или

га

/о , Ч.+Ч

П3 = 2 / /ах, - / 2+ * . (30)

к

Суммируя теперь, соответственно (попарно) левые и правые части полученных равенств (23) и (24), получим:

К0* = 2J ]Лх — -^-[(2 + г,)Р02_2] . .(31)

о

Поскольку мы, в данном случае, рассматриваем стойку, имеющую значительную деформацию изгиба, в уравнении (25), даже взятом в общем виде, можно произвести упрощение, пренебрегая, в правой части равенства, величиной е*, как малой по сравнению с двойкой, и писать:

гМт

2gгьí /

1/02=_^*_(р02„1)_2 / ]йх . . . .(32) 4 о

Из этого у равнения можно оп ределить величину наибольшей динамической нагрузки, развиваемой массой в конце удара Величина Р0 не может быть выражена в общем виде, ввиду того, что верхний предел интеграла

ш

I ]йх

С

сам является функцией Р0. Зная же закон изменения функции / по пути движения массы, мы всегда сможем определить значение или вычислить цифровую величину интеграла.

Рассмотрим простейшие, но, в то же время, наиболее важные, -частные случаи.

Случай I: j=j0— const. Тогда:

fA/" С 1

J jdx =J0 J dx =/oA/m =Jo 13m =Jol I 2 (PQ - 1) + P0 Bk ;

о 0

Уравнение (26) превращается в:

V*' = . .(33)

откуда получаем квадратное уравнение относительно Р0'

Ра Ра!

Решение его дает величину наибольшей .динамической нагрузки, в относительных единицах:

i/fi^QAу .. . (34)

pkg У \ pkg) zpkgi

Необходимо помнить, что Рт~РьР{

Случай II. j0=g

Этот случай соответствует свободному падению ударяющей массы.

. . . .(35)

Р> у \ р*! Р„1

Здесь Н—высота падения массы. Случай III: ¡ — О.

V

1+-W-........(36)

2 P„gl

Примеррасчета.

Тонкая круглая сосновая свая забивается свободно-падающей бабой. Определить необходимую мощность удара и высоту падения бабы, рассчитывая на случай упора сваи на препятствие в грунте. Свая имеет:

1~ 12 т, й — 25 ст, к&стК

Вес бабы: = 200 kg

Допускаемое напряжение при забивке:

Я = кфст2.

Определим, сначала, все необходимые в расчете подсобные величины.

„ Т- . 2.52 ,ПЛ , Е —-=-— 490 ст2,

4 4

, ТС^ ТГ.254 Ш1ГЛ * /— =____= 19150 С/724,

64 64

е= — = 12.5 гот, 2

1П5 19150 * /2 12002

Беря уравнение прочности (24), найдем из него величину Р0;

490 19150 у !

Отсюда получится:

Я0= 1.00035

Для определения высоты, с которой должна падать баба, мы применим уравнение (35), из которого и получим: «

И= (Л|д"1)/ [Рл{Ро + 1) ■~ 2 Я | =

__^ооовбЛ200^ 113Ю0.2-00035 — 2.200 I = 54-1 «я. 200 ( 5

До получения тех, сравнительно простых, зависимостей, которые выведены в настоящей работе, мы, в только что приведенном примере, были бы принуждены вести расчет на ударное сжатие

сваи, по формуле: _____

, / 2 оЁН

Ъ = + —^у—.......(37)

Здесь индексы с и д отмечают соответственно статическое и динамическое напряжения от действия груза С}. Так как ос весьма мало, а именно равно

<3 200 „ . ,

. а, = —- =-= 0-408 к^ст1,

' с /=■ 490

то можно упростить уравнение (37) и написать:

'ТоЁИ

Отсюда определим И:

/?*/ 2002.1200

И = —— =----------- - 589 ст.

2Еас 2.105.0-408

Итак, расчет, без учета продольного изгиба, дает высоту падения бабы, примерно в 11 раз большую, чем то необходимо.

Определим, какое при этом получится напряжение. Найдем величину Я0 по уравнению (35):

200 . , Г1\ 200 \2 , 200.589 . ,

р0 = ------\-л/ М----------- ~---И'ООбз.

13100 V \ 13100 / 1 13100.1200

Напряжение в свае, при падении бабы с высоты Н — 5'$д т> определится из (24):

п 13100 , Л . 12-5.1200.490 лГ^—п---------\ . ,

---------- 1-0063( 1 +----------------¡/ 0-8.0-0063 =1020 кшст*

490 \ 1 19150 У ) 51

Ответ указывает на то, что свая была бы разрушена от изгиба.

SUMMARY.

~ 1. An exact solution of the problem of a support deformed by stresses, exceeding the critical yield by their values, leads to an extremely simple relation between loads and deformations.

2. The ends of the support circumscribe circular arcs, having a radius:

P = 0.404 /.

3. The load and the deformation (set of the ends of the support) are related by the following equation:

2 p — pk _ AJL

Pk ~~ I

4. Obtained relations allow to make a calculation of strongly deformed rods-supports both by the static and the dynamic action of the load*