CC BY
15
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 75 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1954 г.
ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПРОДОЛЬНОГО
ИЗГИБА
И. Р. коняхин
Обычно в учебниках по сопротивлению материалов формулу Эйлера для продольного изгиба выводят из первого случая закрепления стойки или же из второго (фиг. 1).
Первый случай—это стержень с защемленным одним концом и свободным другим; второй случай — стержень с шарнирно закрепленными концами.
Для вывода формулы Эйлера составляется дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня и затем из решения этого уравнения получается, как частный случай, формула Эйлера:
Р =
Т^Е! 4 I2
или из второго случая
&Е1
Формула Эйлера может быть обобщена в виде:
^ Е1
Р
а /2
Здесь а — числовой коэффициент, характеризующий собой способ закрепления стержня.
Фиг. 1
Фиг 2-
Ниже дается вывод обобщенной формулы Эйлера, представленной в новом виде.
Представим себе свободный стержень, нагруженный двумя равными противоположно направленными силами (фиг. 2). Сила Р} действующая вдоль
оси стержня, вызывает деформацию, как показано на фиг. 2. Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:
откуда
Введем обозначение:
Ely
У" +
El
РУ.
у — о
р
■=k*,
EI
у" -f k2y = 0. Решением этого уравнения будет:
(2)
(3)
у = СХ sin kx -¡- С> cos kx, (4)
где Сг и С2 произвольные постоянные интегрирования, которые могут быть определены по начальным условиям:
при х ~ 0, у 0, подставив эти значения в выражение 4, найдем
с2 = о,
и уравнение 4 примет вид:
V —Cj sin kx. (5)
Последнее выражение представляет собой уравнение синусоиды, у которой радиусом-вектором служит величина С\, а масштабом по направлению оси х является величина k, которая показывает, во сколько раз длина волны синусоиды меньше длины той окружности, по которой построена или как-то-иначе образована данная синусоида (фиг. 3).
ф
иг.
Радиусом-вектором этой синусоиды является величина г, уравнение ее
у бш кх,
но так как в функции синуса аргументом будет угол <р, то, следовательно,
кх = о. (6)
Подставляя это выражение в предыдущее получим:
V — /\sirii?. (7)
Это и есть уравнение данной синусоиды. Ранее была получена синусоида* в которой вместо Г была величина Сх, следовательно, произвольная постоянная С\—есть радиус-вектор той синусоиды, по которой изгибается стержень при продольном изгибе. Длина волны синусоиды вообще может быть, больше или меньше длины образовавшей ее окружности 2тг г, будем считать ее меньше в тп раз, тогда длину синусоиды можно представить как Ш-.
Во время образования синусоиды движением точки А (фиг. 3) путь вдоль оси х вообще не равен дуге 5, пройденной концом радиуса-вектора синусоиды г, но пропорционален ей:
х~т Б,
в то же время
5 —гср.
Решая совместно эти два уравнения, найдем
л;
<Р =
тг
ранее же было получено
о = кх.
Из совместного решения двух последних выражений получим
1 0 2* тг = — или т.2кг =-.
к к
Таким образом величина к является фактором растянутости или сжатости синусоиды вдоль оси х. Новый вид формулы Эйлера получим из ранее найденного выражения (2).
Согласно значению (6)
поэтому
х2
да
Ввиду того, что стрела прогиба стержня по сравнению с его длиной невелика, длину стержня можно принять равной длине соответствующей части длины волны синусоиды, т. е.
х = I,
тогда
(9)
р
В полученном уравнении величина <р — угол, образованный поворотом радиуса-вектора при получении определенного отрезка синусоиды для вол-
ныее —, для 72 волны ее 9 = тг и т. д. 2
Выражение (9) является обобщенной формулой Эйлера.
Частные случан формулы Эйлера для различных способов
закрепления стержней
1-й случай. (Фиг. 4).
В этом случае длина стержня представляет собой волны синусоиды,
7Г
следовательно, у =-(фиг. 3). Подставляя это значение в формулу (9)
получим
я=4тг- <ю>
4 и
2-й случай. (Фиг. 5).
15. Изв. ТПИ, т. 75. 225
Во втором случае длиной стержня является длины волны синусоиды, поэтому согласно фиг. 3 ср = 7г; из формулы (9) будем иметь:
/2
(П)
3-й случай, (Фиг. 6).
В третьем случае продольного изгиба длина стержня меньше, чем 3/4 всей длины волны синусоиды. Длина стержня не совпадает с осью синусоиды и проходит от начала координат касательно к ней в некоторой точке А.
Уравнение синусоиды
Усин = г.3\пкх.
Уравнение касательной к ней:
Укас —1 (XX,
где а — угловой коэффициент в уравнении прямой,
» /
Фиг. 4
В месте их касания поэтому
Фиг. 5
Фит. 6
(12)
(13)
У сан —Укас ,
г .sin kx — ах.
По условию касания кривых, в точке их касания производные равны:
У сан —- У1кас*
Из выражений 12 и 13 следует:
у'син = Г.Ь. COS kXy
У*кас ——
Приняв во внимание предыдущее, будем иметь:
r.&.cos kx = a.
(14)
Из совместного решения уравнении 14 и 15 получим:
г. sin kx
r.&.cos kx =.
откуда
tg кх = кх.
Касание прямой и кривой происходит при Х=1, поэтому
tg ы — ы
или
Этому уравнению удовлетворяет решение:
(р = 257°27'25"
<р = 4,49346 радиан
или
•или
9= 1,43031 тс. Последнее значение подставим в формулу (9), тогда
2,04579
или же приближенно:
/2
2ъ2Е1
/2
4-й случай закрепления стержня. (Фиг. 7),
Длина стержня I в четвертом случае равна полной длине волны синусоиды. Согласно фиг. 3 и 7 угол образования полной волны
поэтому из формулы (9) получается:
4 ъ2Е1
Р =
Р
(19)
Можно также получить обобщенную формулу для критического напряжения при продольном изгибе
Р
>кр
Подставляя сюда формулу (9), получим
'кр
PF
но так как
/ = i2F, то £t2 <р2 Е <р2
(16)
(17)
(18)
*
Фиг. 7
Отношение-=Х является гибкостью стержня, следовательно
I
Е?2
Последнее выражение является обобщенной формулой для критического напряжения при продольном изгибе.
Здесь ср — угол поворота радиуса-вектора синусоиды при образовании той части длины волны ее, которая соответствует длине стержня при определенном способе его закрепления.
Из формулы 20 может быть определена критическая гибкость
где Зу — предел текучести материала,
^кр — критическая гибкость, которая определяет предел применимости фор мулы Эйлера в продольном изгибе.
(21>
