CC BY
91
Инж. В. К. НЕЧАЕВ»
РАСЧЕТ ЛИСТОВЫХ РЕССОР ПАРАШЮТНЫХ
УСТРОЙСТВ.
Предисловие.
Вопросы расчета листовых рессор, имеющих широкое применение в парашютных механизмах подъемных клетей, крайне слабо освещены не только в русской, но и иностранной литературе.
Отсутствие достаточно развитых указаний по методике расчета, является причиной большой и непроизводительной затраты времени на проектирование рессоры.
Предлагаемая работа, выполненная по заданию Научно-Иссле-довательского Угольного Института, имеет целью восполнить указанный пробел и дать метод расчета листовых рессор парашютных устройств, возможно более точный и удобный для применения в конструкторских бюро.
Развернутая схема расчета, приведенная в конце работы, должна избавить конструктора от необходимости, каждый раз, при проектировании рессоры вновь отыскивать в тексте окончательные расчетные формулы и просматривать их выводы.
К работе приложены шесть, составленных автором, номограмм, могущих в значительной степени сократить расход времени на расчет рессоры.
Несмотря на некоторую специфичность поставленной перед автором задачи, излагаемый метод расчета может быть почти полностью использован при проектировании рессор автомобилей и подвижного состава железных дорог.
Настоящая работа, вместе с номограммами, еще до сдачи ее в печать, была принята для расчетов в Томском Проектном Секторе Шахстроя.
В начале выполнения работы принимал участие аспирант кафедры Прикладной Механики Сибирского Механико-Машиностроительного Института, А, П. Бушковский, при. деятельном сотрудничестве всего состава кафедры.
Ряд советов и указаний дал автору зав. кафедрой Прикладной Механики СММИ доцент Н. П. Шубин, просмотревший работу в рукописи.
Инж. В. Нечаев.
I. РАСЧЕТ ЛИСТОВОЙ РЕССОРЫ НА ПРОЧНОСТЬ,
Каждая листовая рессора, предназначенная для работы в парашютном устройстве подъемной клети, должна удовлетворять целому ряду требований, из которых основными можно считать следующие:
1. Возможно меньший вес рессоры, при достаточной ее прочности;
2. Достаточно большой (столько упругий) прогиб рессоры под действием расчетной нагрузки;
3. Отсутствие расхождения концов листов рессоры при ее деформации.
Первое и третье указанные требования очевидны. Второе требование обуславливается прежде всего конструктивными особенностями парашютного механизма и, кроме того вытекает из необходимости получения возможно меньшей зависимости надежности работы парашюта от степени износа проводников. При чрезмерно жесткой рессоре уже небольшой износ проводников может вызвать значительное уменьшение давления на них тормозных органов парашюта, а, следовательно, и уменьшение тормозного усилия.
При проектировании рессоры деформация ее определяется заранее конструктивными соображениями и схемой всего парашютного устройства.
Отметим, что подобные же требования предъявляются к листовой рессоре в случае применения ее в авто, ж.-д. транспорте и т. д. Здесь гибкость рессоры определяет мягкость рессорной подвески кузова автомобиля и т. п.
Для максимального удовлетворения вышеуказанных требований листовые рессоры конструируются в форме, близкой к телу равного сопротивления изгибу. На этом основан обычный метод расчета листовой рессоры как балки равного сопротивления.
1. Элементарный случай.
Из курса Сопротивление Материалов известно, что консольная балка прямоугольного поперечного сечения с постоянной высотой А, имеющая в плане) вид равнобедренного треугольника, представляет брус равного' сопротивления изгибу, при действии на ее конце изгибающей силы 0 (фиг. 1).
Максимальное нормальное напряжение в крайних (по высоте) волокнах такой балки одинаково по всей ее длине и определяется следующим выражением:
6 СИ
о =-----,
Вк*
где ширина балки в месте ее защемления.
Под действием силы С} балка изгибается по дуге круга и по лучает на конце стрелу прогиба:
/
где:
У,
(1>
мах
12
Эта величина / в полтора раза больше стрелы прогиба призматической балки с постоянным поперечным сечением Ву^к^ имеющей, очевидно, ту же проч- * ность, что и рассматриваемая балка равного сопротивления.
Указанная балка равного сопротивления является исходной для построения рессоры. Разрежем эту балку на 2п полосок
Ъ В
равной ширины — = —, соединим их попарно и сложим одна на другую, как показано на фиг. 1., Получим листовую рессору с п листами. Толщина всех листов одинакова и равна к.
Пренебрегая трением между отдельными листами и допуская, что все эти полоски будут изгибаться так же, как и соответствующие части целой треугольной балки (анализ этого допущения будет сделан ниже), можно считать, что все полоски
изогнутся по дуге одного круга. При малой толщине листов т большом радиусе кривизны рессоры можно также с достаточной точностью считать, что все листы изогнутся по дугам, описанным из одного центра. Следовательно при изгибе рессоры ее листы расходиться не будут.
2. Листовая рессора на прямых подвесках.
Обычные листовые рессоры составляются из отдельных' полос, соответствующей длины, нарезанных в холодном состоянии-из полосовой рессорной стали, прямоугольного поперечного сечения Ьу^к, Эти полосы выгибаются по дугам круга, закаливаются и складываются одна на другую. Все листы сжимаютсш по средине хомутом, надетым в горячем состоянии или затяну-
Фиг. 1.
том помощью клина. Для предотвращения возможных сдвигов отдельных листов в сторону под влиянием случайных боковых толчков, для листовых рессор обычно применяется желобчатая сталь (ОСТ— 28).
Для получения балки равного сопротивления изгибу концы листов рессоры должны быть обрезаны по треугольнику. В практике же их чаще обрезают по трапеции. Влияние этого отклонения от теоретически требуемой формы будет рассмотрено ниже.
Посадка хомута увеличивает жесткость рессоры в средней «е части. На этом основании некоторые авторы1) предлагают
рассматривать половину рессоры, как консольную балку, защемленную в хомуте и считать расчетной длиной этой
% балки величину /—~(фиг.2).
2
Однако, учитывая затруднительность вполне жесткой и плотной посадки хомута, це-фЙГ< 2. лесообразнее пренебрегать его
* укрепляющим влиянием и принимать за расчетную длину просто половину хорды рессоры /.
Под действием внешней нагрузки первоначальная кривизна рессоры уменьшается и становится сравнительной малой. Поэтому с некоторым приближением можно рассматривать половину рессоры, как прямую консольную балку равного сопро-
р
тивления, длиной / и нагруженной на конце силой — (фиг. 2),
2
Здесь /—половина хорды рессоры в деформированном ее состоянии, Р—внешняя нагрузка," приложенная по средине длины рессоры.
Максимальный изгибающий момент в месте закрепления:
Мтах —
Р1
.Момент сопротивления опасного сечения рессоры:
Ыг 2
6
тде л—число листов рессоры,
Ь X к—сечение каждого листа
5)Вандергюхт и Короткевич. Основы вагоностроения. 1930 г,
Уравнение прочности:
Р1 Ьк* и отсюда напряжение изгиба:
°тах == ——............(2>
пЬН3
Стрела прогиба рессоры / определится по формуле (1), если в
нее вместо <3 вставить Р\2:
^ —— « ,
4EJmax
Подставляя значение для максимального момента инерции
_ ш
^ тах — й
1
получаем:
...........(3>
ЕпШ
или
3 Р1 /*
* ~ пЬкз ' Л 4
Вводя сюда значение для из формулы (2), имеем:
/2
/—-^7°тах...........(4>
Таким образом, при одном и том же допускаемом напряжении изгиба прогиб рессоры обратно пропорционален толщине листов, из которых она составлена и прямо пропорционален квадрату длины рессоры- Чем большая гибкость требуется от рессоры, тем тоньше должны быть выбраны листы для ее изготовления.
3. Листовая рессора на косых подвесках.
Этот случий практически наиболее важен. Как выяснится ниже, изменением угла наклона рессорных подвесок можно несколько менять гибкость уже готовой рессоры. Введем обозначения (фиг- 3): X—стрелка рессоры после деформации, 2/—хорда рессоры после деформации,
Р—внешняя нагрузка на рессору, приложенная в ее средине* а—угол наклона рессорных подвесок к вертикали, /—упругая деформация (стрела прогиба) рессоры под действием силы Р. а) Определение напряжений.
Под действием силы Р в рессорных подвесках возникают усилия Х% направленные наклонно вниз. Их величина определится
из очевидного со-
• .(5)
2 cos а
Усилие Z можно разложить по вертикальному и горизонтальному направлениям.
Вертикальное усилие равно:
Q =iTcosot
»
и горизонтальное усилие
Н — Z sin* =
Р_
2 '
tga.
Вертикальное усилие <3 создает изгиб рессоры, а горизонтальное усилие Н, кроме изгиба вызывает еще растяжение коренного рессорного листа. Изгибающий момент в среднем сечении рессоры:
** А*
или
р
Уравнение прочности изгибу:
Р ft I W ч ш
(/ -f- X tga) — п — отах
2 ~ ' 6 и отсюда напряжение изгиба в среднем сечении рессоры:
(6)
}тах-
— ър (l+xtsa)
nbh2
Напряжение растяжения в коренном листе:
Ptga
И bh
2 bh
(Г)
и полное напряжение в нем:
ЗP(l + ltga) Ptg*
О тах — °тах —{— О --——.....
пЬк1 2 Ыь
Сравнение уравнения (2) и (6) показывает, что при расчете рессоры на косых подвесках уже нельзя пренебрегать ее кривизной и применять формулы, полученные для прямых брусьев. Ь) Определение деформаций. <х) Приближенный способ.
Для определения величины прогиба рессоры опять воспользуемся теоремой Кастилиано. Работа деформации изгиба половины рессоры силами С} и Н определится общим выражением:
ц . ! Мх* <18
У
о
где ¿5—элемент длины дуги рессоры.
В виду обычно малой кривизны рессоры в деформированном состоянии, можно приближенно принять равной элементу длины хорды рессоры йх> т. е.
йБ ^ йх>
тогда
1 Г МхЫх
2 е) Л
о
Стрела прогиба середины рессоры определится теперь на основании теоремы Кастилиано:
д0_ 2 Е)
12МХ
дМх
ди 1 Г
Л
о
Изгибающий момент в сечении х (фиг. 3):
Мх — <Зх + Ну.
Делая вновь допущение, что половина рессоры деформируется так же, как консольная балка, изогнутая по форме рессоры н имеющая в плане треугольную форму, можно написать:
4 3х === Зтах •
где
. _ Ыгз
*тах — Я • 12
Вследствие малой кривизны упругой кривой рессоры и малой величины стрелки X по сравнению с /, можно приближенно считать, что ордината у изменяется пропорционально л\
Это допущение равнозначно замене половины дуги рессоры прямой линией. Следовательно приближенно:
. х
У = Х —. ' /
Теперь изгибающий момент:
Мх = (±х + Ну = С1х + Нк
/
и отсюда
дМх
-= х.
д<2
Подставляем полученные значения для JXt Мх и —- в выражение
д<2
для /:
, /2(Q*+m7
X
/= — / —i--~-J—dx =
2EJ . x
0 J max
I
=JJ- f (Q*+M-J) dx=z -Vf(Q'+ m =
E* J max J \ *) ¿E*Jmax
,3 -(q+±H\.
2,EJmax \ * /
Введем сюда значение для Q и Н:
2EJmax \ 2 ^ I 2 ) AEJmax \ I } Наконец, вставляя значение для момента инерции:
г _ ш J max — Л —- ,
1 м
получим окончательную формулу.
'~Sr('+>) ' <10>
Ее можно написать в виде:
/= g ... -9 О1)
Enbh3
или же
Р/3
/= .Ф (12) 4 Р/
Здесь первая часть выражения для /:
ЗР/з Р1*
или
ЛЫ
тах
дает очевидно стрелу прогиба прямой консольной балки равного сопротивления, длиной /, нагруженной на конце силой Р/2 и имеющей в месте защемления момент инерции, равный моменту инерции среднего сечения рессоры. Коэффициент
? = (13)
учитывает кривизну рессоры и растягивающее действие косых подвесок.
Из этого выражения видно, что увеличение угла наклона подвесок к вертикали увеличивает гибкость рессоры.
Формула (10) написанная в виде:
у— (l+itga),
J Enbh*
Р
где ц/ — — —вертикальная нагрузка на конце рессоры, приведена в справочнике Hütte1).
ß) Более точный способ.
Рассмотренный выше метод определения деформаций рессоры на косых подвесках основан на целом ряде допущений.
Половина дуги рессоры принята за прямую линию, при подсчете работы деформации длина дуги принята равной длине хорды (ds = dx) и не учтена работа растяжения коренного листа, горизонтальным распором подвесок.
Решим задачу определения деформации рессоры более точным способом. Для этого рассматриваем половину рессоры как консольную пластину толщины А, изогнутую по дуге радиуса R и имеющую в деформированном состоянии, в плане вид треугольника (фиг. 4).
Обозначим через ср0—половину угла между крайними радиусами изогнутой рессоры. Изгибающий момент в сечении х равен:
+ (14)
Hütte, т. I, стр. 728, издание 13.
где согласно чертежу:
х — 1 — /?8тср1 у = # Соб<р — а ]
(14а)
Работа деформации изгиба бруса малой кривизны, как из-
Л
вестно, определяется формулой *):
\\х
\ \
и
'Л ^
I
О
я
ли
2£У,
др
2£Г )
(15)
—\—-\
\ Н
Фиг. 4.
Здесь:
—элемент дуги рессоры, Л—момент инерции поперечного сечения,
Т7—площадь поперечного сечения бруска,
N—нормальная сила, растягивающая данное сечение.
Так как растяжению силой Н подвергается только один коренной лист, то:
Нормальное усилие, растягивающее данное сечение, переменно по длине дуги и определяется очевидно выражением:
Ы^Н Соэср.
Прогиб рессоры / определится из выражения (15):
(Второе слагаемое работы Т дает производную по равную нулю, т* к. от величины оно не зависит). Вставляя сюда значения:
М,= ()х + Ну,] дМх
-= = х,
дЯ
(¿3 — Я £/<р,
Л = /
тах
I
*) С. П. Тимошенко. Курс сопротивления материалов. 1931 г., стр. 408.
(I .<. у ' 1 • ■
___«з
имеем:
70 ^
, /* 2Мх.х.И , Ш /».. . /— / —--¿/<Р = 7ГГ- ! Мх(1ч? =
ОРТ ^ ^^тах
I О
<Ро
Е]тах
О
На основании формул (14-а):
?0
т
/=Г [о С- я апТ)+//(/? со5<р - а)
ль
О
откуда после интегрирования:
/=■—10 (/?о-+ я со8<ро - /?)+
Ё^тах
V »
Согласно фиг. 4:
Я Совсро = а,
\
«
/== [Р н- а—7?)+// (/ — асро) ] =
I ЕЛ тах
т - [р (/<Ро —Л) + // (/ — (16)
так как
#_а = Х.
Полухорду4 рессоры / можем рассматривать как высоту прямоугольного треугольника, вписанного в круг радиуса 2# и опирающегося на его диаметр. Высота / делит основание треугольника на два отрезка'): ' .
Ж — X и X.
На основании известной геометрической теоремы: . . /г = (2# —Х)Х.
Отсюда: /2_|_хг
* х 2Х
Т " ' О . /2-Х 2
а = — X =
Л *
- __2Х
^ Аналогичные же соображений лежат в основе вывода формулы (30) см.
Кроме того:
Бт е>
го
I /?
2Х/
/2 Х2 '
ср0 — агсзт
т
/М-Х2
Теперь выражение (16) может быть переписано в следующем виде:
I //5_{_хзчг / . 2Х/ Л. /—- ------------- (Э /агсБШ--- — X 4-
ЕЗтаД 2х Я V ^--Н» /
+ я /
А-
агсБт
2а/
2Х /- 4-Х2
Заменяя здесь и Я их значениями через Р:
<г=4.
н
после простых алгебраических преобразований получаем окон чательно:
ЯР
/— —
где:
при чем:
4 Е]щах ? — Л 4-В ^а,
агсБш
2£ _ а
~ 7
/г 2 )
/г
I агсвт
2
к J
(17)
(18)
(19)
(20)
Здесь опять подтверждается зависимость величины прогиба рессоры от угла наклона а рессорных подвесок. Увеличение а дает увеличение гибкости рессоры.
Приведенный ниже пример расчета рессоры показывает, что разница между результатами, полученными по упрощенному и более точному методам, при малой кривизне рессоры незначи-
тельна. На этом основании в дальнейших выводах и расчетах мы будем пользоваться более короткими формулами, полученными по упрощенному методу.
4. Проектирование листовой рессоры.
Выше при «анализе напряжений и деформаций рессоры на косых подвесках были получены следующие соотношения:
1) Уравнение прочности рессоры на изгиб:
Р Ъ№
— (/+X *» п — отаХ9 (16)
которое теперь может быть написано в виде:
Ь№ *Р1 я —= у <р- (21)
2) Стрела прогиба рессоры:
С17)
ЕпЬ№
3) Коэффициент, учитывающий кривизну рессоры и угол наклона ее подвесок:
{13)
Называя гибкостью рессоры Д величину прогиба ее в сантиметрах, под действием нагрузки, равной 1000 кг, можно написать:
Д =-£—, (22)
Р/1000
или
/ = (23)
У 1000
где нагрузка Р измеряется в килограммах. Для определения гибкости Д подставим в (17) значение = 1000 кг
д = (24)
ЕпЬЬ? Ы
Представим выражение (24) в следующем виде:
500/3
ИЛИ 500/з
л — =-Ф
6 ЕЫ1
и подставим его в уравнение прочности (21):
500/з Я
? °тах = <?,
ЕЬк 2
отсюда окончательно *)
е>_ 1000/2 Екк
Из (24) определим также число листов рессоры:
3000/3
п —--©. (26)
ЕАШ т ^ '
Уравнения (13), (23), (25) и (26) являются основными при расчете рессоры. Применение их показано ниже на конкретном примере (стр. 20) и приведено в общей расчетной схеме листовой рессоры.
По заданной нагрузке Р и выбранным:
1) Профилю листов Ьу^ку
2) допускаемому напряжению изгиба Яь,
3) гибкости рессоры А или желательной деформации /,
4) углу наклона подвесок а,
5) стрелке деформированной рессоры I,
указанные уравнения дают возможность определить необходимое число листов рессоры п и хорду ее в деформированном состоянии 2/.
Для установления связи между геометрическими элементами рессоры в свободном и деформированном состоянии обозначим; (фиг. 5):
/?—фабричный радиус кривизны коренного листа, 2Л—фабричная хорда рессоры,
Т7—фабричная стрелка рессоры, измеряемая от линии, соединяющей центры ушков, до первого, коренного листа, 5—длина выпрямленного коренного листа, 2<?о—угол, составленный крайними радиусами свободной рессоры,
г—средний радиус ушков коренного листа.
х) Формула (25) дает возможность подсчитать максимальное нормальное напряжение Ътах, возникающее в листах данной рессоры, при изгибе ее силой Р.
Вставляя сюда вместо ^тах допускаемое напряжение на изгиб получим* основное выражение, необходимое для проектирования рессоры:
~ 1000/» /лс ч Р-—— Яь (25-а>
Фабричные размеры, т. е. размеры рессоры в свободном состо-йййи (без нагрузки) необходимы при ее изготовлении и должны быть указаны на рабочем чертеже.
Под действием' нагрузки Р, фабричная стрелка Р уменьшается до величины X, названной выше стрелкой рессоры в деформированном состоянии. Упругая деформация (стрела прогиба) рессоры:
Значения / и X принятые в вышеуказанном расчете позволяют определить фабричную стрелку:
(27)
Корерной лист в деформированном состоянии представляет собою дугу круга, имеющую хорду АВ — 21 (между вертикальными осями, проходящими через центры ушков) и стрелку X—г, где г—средний радиус ушков (фиг. 5). ,
При известной хорде 21 и стрелке X — г длина выпрямленного коренного листа (длина дуги АВ) с достаточной для практики точностью может быть определена по приближенной формуле *) (Н(Ше, т. I, стр. 35):
= (2 /)2 + ^(Х-г)2
или _
5 = 21/" /2+-1(Х-л)2 (28)
При деформации рессоры длина 5 коренного листа остается неизменной, т. е. фабричные стрелка и хорда постоянно связаны соотношением:
*) Указанная приближенная формула дает максимальную ошибку в 2,78**
йри центральном угле 2<ро = 180#; при угле в 90е ошибка составляет только 0,18 м, что для практики следует считать достаточным, т. к. в рессорах угол 2<ро обычно не превосходит 90°.
Фиг. 5.
или на основании формулы (28):
¿2 + i_(F„r)2=/2H_i_(X_r)2) L* = /* + -1 (X - г)» - у (F -г)*.
Отсюда получаем окончательное выражение для определения фабричной хорды рессоры:
2Z. = 2
l//2+3
(29)
Для прямоугольного треугольника (фиг. 6), опирающегося на диаметр 2R и имеющего высоту BD—L на основании известной геометрической теоремы можно написать:
F — г L
откуда:
R
2R — (F—г)' 2{F-r)
Фиг. 6.
Подставим сюда значение L из (29):
R
_ 2(F—r)
Но согласно (28):
2(F—г) ■ 3 4
и
52 (/=•—/•>
4
2(F —г)
:' У
йлк
24 (F—r)
Последнее выражение служит для определения фабричного радиуса кривизны коренного листа рессоры.
Наконец угол между крайними радиусами рессоры в свободном состоянии определяется из очевидного соотношения:
2ф0 = — —^ = 57,4 ~ . (31)
* Я 2* Я
<угол ср0—в градусах).
5. Номограммы для расчета рессор.
Для упрощения расчетов по определению размеров листовых рессор, автором составлены номограммы, основанные на полученных выше расчетных уравнениях (25) и (26).
В конце работы приложены шесть номограмм, для шести, наиболее употребительных в практике, размеров сечений рессорной стали по ОСТ—28. Каждая из этих номограмм справедлива лишь для тех размеров поперечного сечения b X А рессорной стали, которые указаны крупным шрифтом в ее верхнем правом углу.
Метод пользования номограммами подробно изложен в обшей схеме расчета листовой рессоры (стр. 44). Кроме того, примерный путь расчета показан на каждой из них пунктирными линиями и стрелками.
Для построения этих номограмм уравнения (25) и (26) были приведены к линейному виду путем логарифмирования.
Считая излишним приводить здесь описание методики их построения и таблицы всех, выполненных при этом построений, отметим только следующее.
Для рессорной закаленной стали модуль упругости Е колеблется в пределах1):
£=1,9Л06~:-2,2.10* kglcm\ в справочнике „Hütte* для рессорной стали приводится значение:
Е = 2,2.106 kg\cm\ При расчете номограмм мы приняли:
£ = 2,1 Л О6 kg\cm\ что можно считать достаточно надежной величиной.
*) Вандергюхт и Короткевич. Основы вагоностроения. 1930 г.
Но несмотря на определенную выбранную величину Е, номограммы не теряют своей применимости и при любых других значениях модуля Юнга.
Положим, что материал, имеющийся на* заводе при конструировании рессоры, обладает модулем упругости Еи не равным принятому нами выше Я = 2,1.106 kgjcm2. Пользуясь прилагаемыми номограммами, обычным путем, по заданной нагрузке Р и выбранным Яь, А и «р, определяем полухорду деформированной рессоры / и необходимое число листов п. При модуле Ех рессора сохранит требуемые значения <р и Д, если сделать длину полухорды ее 1Л и число листов пх равными следующим значениям:
/, = /
пх
/
п
Е Е Ех
(32)
Эти соотношения легко получаются из уравнений (25) и (26).
Фиг, 7.
6. Рессоры с составным главным листом.
Для усиления листов рессоры, к которым присоединяются подвески, на верхний коренной лист иногда накладывают еще
несколько (обычно не болыце двух) дополнительных листов с прямоугольными концами. Первый добавочный, подкоренной лист делается обычно настолько длинным, что частично обхватывает ушки. Таким образом получается комбинированная рессора или рессора с составным коренным листом (фиг. 7). Целесообразность такого устройства выясняется из следующих соображений. Излом ка ренного листа, на который непосредственно воздействует вся нагрузка, очевидно значительно опаснее, чем поломка какого либа из промежуточных листов. Между тем коренной лист, кроме изгибающих моментов, распределяющихся между всеми листами,, воспринимает на себя целиком растягивающие усилия косых подвесок и, на участке между ушком и первым подкоренным листом, подвергается значительным срезающим усилиям.
Кроме того, загиб ушков, представляющий операцию более затруднительную, чем изгиб листа по лекалу, требует более сильного нагрева его концов. Повышенный же нагрев не проходит безследно для структуры металла. Наконец, при случайных боковых нагрузках иа рессору, коренной лист подвергается скручиванию.
Ы? * ■ V " I
7 __
г Оба (или три) главных листа обычно имеют одинаковое по-перечное сечение, лежат один на другом и изгибаются вместе,. * \ как один лист, момент инерции которого равен сумме моментов п , ииерции слагающих листов.
Добавление новых листов конечно уменьшает гибкость рее-~ ^ соры. Для сохранения справедливости всего предыдущего расчета необходимо выбрать толщину коренного и дополнительных листов такой, ^чтобы гибкость всей рессоры осталась прежней.
Момент инерции поперечного сечения составного коренного листа должен быть равен моменту инерции сечения обычного* коренного листа, рессоры нормальной конструкции. Рассмотрим два случая:
1) Коренной лист составлен из двух; толщина каждого иа* них равна к{
Ьк I3 Ь№
Условие равной гибкости: 2—- =—, * 12 12
где А—толщина всех остальных листов рессоры. Отсюда:
А,=--— = 0,794 А,
1 з /—
у 2
т. е. каждый из двух листов должен иметь толщину:
4
Нл ~— кт
\ 5
Момент сопротивления составного коренного листа:
2 ^ = 2М°^2 = 128—' 6 6 6 '
т.'е. составной коренной лист прочнее простого на 28%.
2) Коренной лист составлен из трех листов, толщиною к^ Условие равной гибкости:
3 ¿V = 12 12'
А2 =—^г— = 0,693 Л ^ 0,7 к,
V
и суммарный момент сопротивления:
3Д=8Мйк1147
Ьк*
6 6 6
Отсюда следует, что комбинированная рессора может быть рассчитана также, как и рессора обычной нормальной конструкции.
После расчета следует только для двойного коренного листа взять рессорную сталь толщиной 0,8 к и для тройного—0,7 к чем увеличивается прочность листа, в первом случае на 28°/0 и во .втором—на 47%, при неизменной гибкости всей рессоры.
7. Пример расчета рессоры.
Покажем, на конкретном примере, применение выведенных выше расчетных формул для определения размеров листовой рессоры.
Засчитаем рессору для заданной нагрузки:
Р — 4 Ы,
и требуемой гибкости:
Д = 1 стЦп. ^Выбираем допускаемое напряжение изгиба:
= 5000 к$ст?
м размеры поперечного сечения листов (для желобчатой рессорной стали, по ОСТ—28):
6=100 тту к— 13 тт.
1) Половина хорды рессоры в деформированном состоянии* Мз формулы (25-а) при £ = 2,1.10« kg¡cm2:
, , Г~РШГ, , /400б*Г2ЛТ106.1.1,3 „
I — Л/---- = I/ —-----------= 46,7 ст.
V 1000 Яь V 1000.5000
2) Коэффициент ф. Принимаем стрелку рессоры в деформированном состоянии:
Х = 5 ст.
и угол наклона подвесок:
а =45°,
Согласно (13);
I 46,7
3) Число листов. По формуле (26)
п — 3000^_ 3000.46,7К 1,107 ■ П~~ ЕШ* ~ 2,1.10е. 1.10.1,33 ~ 5 *
Округляем:
я= 7.
4) Действительная гибкость рессоры. Из формулы (26)::
д = 3000/3, = 3000.46,73.1,107 = 045 ЕпЫР 2,1.10».7,10.1,3»
5) Упругая стрела прогиба:
/= РА = 4.1,045 — 4, 18: ст.
6) Фабричная стрела рессоры:
/'=/+Х = 4,18+ 5,0 = 9,18 с/п^9,2 ст.
7) Действительное напряжение изгиба по формуле (25):.:
РЕ АН 4000.2,1.10®. 1,045.1,3 КООЛ
стах =-=-—---= о//и--
1000/2 1000.46,72 ст2
8) Усилие, растягивающее коренной лист (см. стр. 6):
„ Р . 4000 ОЛЛЛ, Н = —=-= 2000
2 2
9) Напряжение растяжения в коренном листе:
Н 2000 1 С/« и I 2 о — — =--== 154 ¡гр ет,2.
Ьк 10.1,3
10) Полное нормальное напряжение в коренном листе:
о'тах = 5220 + 154 = 5374 к^ст\
что можно считать еще допустимым.
11) Длина выпрямленного листа (между осями, проходящим»?, через ушки), по формуле (25), принимая средний радиус ушков» г == 2,5 ст
£=2|/~¿4- у — г)а = 246,72 + ±(5 _ 2,5)2 = 9з?6 ст хур
12) Фабричная хорда рессоры по формуле (29):
= 21/ 46,72 ±(5 _ 2,5)2 _ А. (9,2 — 2,5)2 = 92,3 ст. V т 3 3
*) Полная строительная длина коренного листа будет больше подсчитанной величины 5, на величину, необходимую для загиба ушков.
13) Фабричный радиус кривизны; согласно (30):
/? = 35а-4(^^г)2==3.93>62-_4(9>2-2>5)1 = 162 24 (/=■ — /•) 24.(9,2 — 2,5)
14) Угол между крайними радиусами свободной рессоры, согласно (31):
2<р0 = 57,4 — = 57,4. 93'6 = 33, Г.
162
15) Длины отдельных листов в выпрямленном состоянии. Из очевидных соотношений:
п
4 = 5.5=?.
п
п
?где —длина первого подкоренного -листа,
—длина наименьшего листа. В нашем случае:
5! = 93,6.7-~ = 80,4 сту
7_2
52 = 93,6.-= 66,9 ст,
= 93,6. — = 13,4 ст.
7
♦
Проверим деформацию расчитанной рессоры по более точным методам. Для этого воспользуемся формулами (17)—(20), * выведенными выше, на стр. 12 и наконец применим метод, предложенный У. Та пак а.
а) Определение деформации рессоры по формулам (17)—(20).
Упругая стрела прогиба рессоры определяется общим выражением (17):
Я/з
-Ъ
ъЕ^^тах
где коэффициент <?, учитывающий кривизну рессоры, и наклон подвесок, может быть определен с большой точностью но формуле (18):
апри чем
aresin
и
1
—к
В
k) 1 (2k 2 )'
к
aresin
В нашем случае:
Л = (0,107 +
k
0,107
46,7 aresin —
»
l
=0,107, 2
0,107 +
1
0,107
В
= /"0,107-]---—} 1 — 1---
\ 1 0,107/ \ 2.0,107
0,107 0,107
= 1,002,
aresin
0,107 +
0.107J
= 0,159,
<? = 1,002+ 0,150./^ 45° =1,152. , Момент инерции среднего среднего сечения рессоры:
Ьк*
* Jтах — h —7
Стрела прогиба: / =
10.1,3»
12 12 4000.46,73
= 12,82 ст*.
4.2,1.106.12,82
1,152 = 4,35 ст,
что отличается от величины / полученной, в предыдущем^ расчете, на 4%.
Определение деформации рессоры по методу ( У. Т а п а к а.
: У / T а п а к а, в статье »Allgemeine Theorie der Blattfeder* *) предложил достаточно глубоко обоснованный метод определения де-
f /
*) Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, Bd. 2, 1922.
формаций листовой рессоры, дающий возможность учесть ее кривизну, давление и трение между листами и пригодный также
при различной толщине и форме отдельных листов.
Предполагая, что все рессорные листы, первоначально изготовленные с различными радиусами кривизны и затем сложенные вместе и сжатые по средине хомутом, соприкасаются между собою только своими концами и серединой (под хомутом), Тапака рассматривает деформацию каждого из листов под действием следующих четырех усилий (фиг. 8).
Хт — усилие, передаваемое от вышележащего листа,
Фиг. 8.
Хт—1 — усилие, передаваемое на нижележащий лист,
силы трения между рассматриваемым и соответственно верхним и нижним листом.
Здесь р0—начальное давление между концами листов, получившееся при затягивании хомута.
Не излагая здесь всех его выводов и рассуждений и отсылая за деталями к оригиналу, приведем только окончательные выражения, необходимые при опрелелении деформации рессоры.
При этом отметим, что записанные ниже выражения имеют,< в указанной работе Тапака несколько другой вид, так как принятые им обозначения не совпадают с нашими.
Вертикальный прогиб п-го, коренного листа (или, что тоже самое, упругий прогиб рессоры /), под действием наклонной* приложенной на конце его силы Z определяется выражением:
/=
1
6£/„
г/зСоэа-НЗг+у х
/2 Эта
— (3/— ая_,). а2„_ 1 Хп~ 1
{и — Оп-х)
ЗЛ(2/-<*„._,).ал_, + Х а3"-1
/2
(Я
я~1+А>)| (33}
Здесь (фиг. 3 и 8):
/—упругий прогиб рессоры, г-усилие в наклонной подвеске,
Х„—1—вертикальное усилие, действующее между коренньш листом и концом подкоренного листа,
Ро—начальное давление между концами листов, X—стрелка рессоры в деформированном состоянии, 2/—хорда рессоры в деформированном состоянии, 2а„_1—хорда подкоренного листа, при этих же условиях, Л—толщина каждого листа, , ЫР
Л =--момент инерции поперечного сечения листа,
12
е—наименьшее расстояние точки приложения силы Z от нейтральной линии коренного листа, измеренное у конца листа, /г—число листов рессоры,
коэффициент трения между листами. Для подсчета деформации / по этой формуле необходимо знать давление между листами Хя-\. Величина Хп~1 определяется из совместного решения следующей системы линейных уравнений:
<*п Z — $п Хп-\ + 7« Хп- 2 = — Ъпро
Хп—\ — Эл-1 Хп-2 ТЯ-1 А„-.з =
Ро
«2 Х%-Х%
= -Ро
(34)
В обычных конструкциях рессор все листы имеют одинаковую толщину и форму (кроме коренного листа) и каждый лист короче предыдущего на одну и ту же величину 2а (фиг. 8). В этом случае для коренного листа:
вж = (2я + 1)(я— l)« Cosa + — (зв-f — [6 п* — (п
а [ 2 п2 .(п— I)2 Sin2«,
т
р. = 4(» - 1)3+ JU +6f,
2 ал2
Тя = (2я - 1)(я - 2)2 + -I Ia—■я («'—:2>.
2 a
Ь
3
2 а
к(п — 1 )4
л
hn (п — 2)
(35)
+ 6W,
и для всех остальных листов:
= (2т + 1 ){т - 1) - ~ р — (т - 1 )*,
2 a
Р« = 4 (/п — 1 )3 + б/7,
Yw - (2т - 1)(т - 2)г+ -L,iAOT(w_ 2),
2 a
—+ 6М
2 <7
Здесь т—номер каждого листа, при чем первым (/я = 1) считается наименьший лист рессоры. Коэффициенты:
1
(1 ~\у
X' . 1 к
-----р. _
,.(1—X') 1 2 а
+ — X')
. т 1 к
N — — н- —
— — (1 — Х')2 2
1
1
2 а (1-Х')2
1
х' 1пУ+(1 — У) — ~ (1 — х')«
(37)
В этих выражениях коэффициент У учитывает форму концов
рессорных листов. Согласно фиг. 9:
к'=
V
(38)
\о
Фиг. 9. число листов:
;т 1
В нашем примерном расчете усилие в подвеске: -
4000
2 Соб« 2 Соэа 45е
2830 кё,
п — 7,
стрелка рессоры после деформации:
Х = 5 ст,
толщина листов:
к = 1,3 ст, момент инерции сечения каждого листа
ЬН* . 10.1,33
Кроме того:
Ул = _ —• = 1,83 стК
12 12
е^ — = 0.7 ст, 2
I 46,7 с а — — = — = 6,67 ст.
п 7
Для выяснения влияния формы концов листов рессоры на величину ее деформации рассмотрим два крайних случая: 1) листы заострены по треугольнику:
Ьг = 0, Х' = 0.
2) листы обрезаны под прямым углом:
Ь' = Ь, Х' = 1.
При этом для упрощения расчетов пренебрежем трением между листами, т. е. допустим
¡х = 0.
Первый случай X' = 0.
Из (37):
F.=
1
6
7V= 0.
Для коренного листа, по формулам (35):
а7 = (2.7 +1)(7 — I)2 Cos 45° +
. 1
6,67
Г3.0,7 -I—5^(6.72—62)
2.72
Тт
4(7-1)з + 6.-^- = 865,
О
(7 — I)2 Sin 45° = 440,4,
1
(2.7—1) (7 — 2)2 = 325,
е7 = о.
Для подкоренного листа (т = 6) по формулам (36):
«6 = (2.6 + 1)(6 — 1)2 = 325,
¡V
Те
4(6-1)з + бЛ = 501, 6
(2.6—1)(6 —2)2=176,
е6 = о.
Аналогично для всех остальных листов (т — Ь
«5 = 176, ß5 = 257, Ys = 81, «4 = 81, ß4=109, Т4 = 28, «з = 28, ß3 = 33, тз = 5,
2) получим:
о.,
5, р2 = 5, — = = =
Составляем систему уравнений (34):
Та 0.
о,
440,4 Z —865 Х6 325 Х9
176 Хь — 257 ХА 81 ^4—109^3+28^ = 0, 28 Xä— 33^+ 5 Л2 — 5Х, = 0.
325 Х* = 0, 501 Хь-\-Ш ^4 = 0, 81 =
Совместное решение этих уравнений дает:
Х6 = 0,816 Z = 2310 kg. Половина хорды подкоренного листа:
ап-1 = а6 = /— а = 46,7 — 6,67 ^ 40,0 cm. Упругая деформация рессоры по формуле (45):
/ —-\-I [2.46,73 Cos 45° 4-
6.2,1.106.1,83 IL
-f U. 0,7 + у. 5 Y 46,72. Sin 45°
.2830 —
— (3.46,7 — 40,0). 40,02.2310 J = 4,40 ст. Второй случай =
Все коэффициенты « и у, как не зависящие от X', сохраняют свои прежние значения, подсчитанные выше, в первом случае (Х' = 0). Коэффициент F, определенный формулой (37) при l' — l получает неопределенное выражение:
о
Раскрытие неопределенности обычным методом дифференциального исчисления дает действительную величину:
F — 0.
Теперь по формулам (35) и(36)
р7 = 864, h = 500, h = 256, р4= 108,
Рз = 32, р2= 4. ,
Кроме того, как и в предыдущем случае:
N=0,
= =" ^з ~ $4 = — ;2 = 0.
Составим систему уравнений (34):
440,0 Z — 864 Х6 + 325 Хь = 0, 325 Хв — 500 Хъ + 176 Х4 = 0, 176 Хь — 256 Х< + 81 Х3 = 0, 81 —108 Х»-\- 28 Х2 — 0, 28 Xs— 32 Х2 + 5 АГ, =0, 5 Хг — 4 ^ = 0.
Отаода:
Хв = 0,826 г =2340 kg. Упругая деформация рессоры по формуле (33):
1
/ =
6:2,1.106.1,83
2.46.73 Соэ 45° +
-[^3.0,7 72.8т 45° .2830 —
— (3.46,7 — 40,0). 40,02.2340 | = 4,20 ст.
Для оценки степени точности изложенных выше методов определения деформации листовой рессоры сопоставим величины упругой стрелы прогиба /, вычисленные в примерном расчете. На основании приближенных формул (12) и (13) было получено
/=4,18 ст.
По более точным формулам (17)—(20):
/= 4,35 рт.
Наконец по методу Та пака, при острых концах листов (обрезанных по треугольнику):
/■= 4,40 ст . ш при прямоугольных концах листов:
/=4,20 ст.
Действительное значение стрелы прогиба будет промежуточным между 4,20 и 4,40 ст, так как в практике обычно концы листов обрезаются по трайеции.
На основании приведенной сводки можно сделать следующие заключения:
1) Форма концов листов рессоры не оказывает существенного влияния на величину упругой деформации.
2) Приближенные формулы (12) и (1 б) обладают достаточной для обычных случаев практики, точностью.
3) В случае необходимости получения более точного значения для /, могут быть использованы формулы (17)—(20).
4) Метод Тапака, требующий длительных вычислений, не имеет особых преимуществ для целей практики.
8. Трение в рессоре.
В изложенном выше примерном расчете совершенно не учтено влияние сил трения между листами. В формулах Тапака, для
упрощения вычислений, были отброшены члены, содержащие коэффициент трения [а.
При отсутствии трения упругая деформация рессоры должна изменяться пропорционально каждому изменению действующей на нее нагрузки. В действительности же, вследствие трения между листами, величина деформации зависит не только от величины нагрузки, но и от направления изменения последней.
При постепенном возрастании нагрузки от 0 до Р часть силы Р уравновешивается силами трения и рессора получает деформацию /и меньшую, чем величина /, определенная выше. Отношение:
может быть названо коэффициентом сопротивления трения в рессоре. Отсюда:
/1=/( 1-е).
Обратно, при постепенном уменьшении нагрузки от некоторой величины Ртах до Р, часть внутренних сил упругости деформированной рессоры уравновешивается трением между листами п упругая стрела прогиба:
/.-/(!+•)■
Коэффициент е возрастает с увеличением коэффициента трения ¡а: начального давления между листами р0> толщины h и числа листов п и уменьшается с увеличением нагрузки Р и длины рессоры 21.
У. Т a n а к а дает следующую упрощенную формулу:
2а
и указывает, кроме того, на менее точное выражение, полученное G. Marié:
е= Р (n—l)h I
Для подсчета коэффициента сопротивлений трения ja по этим„ формулам, необходимо знание величины коэффициента трения ^ между листами.
В зависимости от качества поверхности рессорных листов и смазки между ними, коэффициент \i колеблется в очень широких пределах. Так, например, по данным Herdner'a!) можно счи-
В. Меде ль. Пособие для расчета и проектирования паровозов. 1929 г. Некоторые результаты экспериментального исследования листовых рессор изложены в статье Н. Stark. „Untersuchungen an Blattfedern". Automobiltechnische Zeitschrift, 1932 г., № 6.
тать коэффициент трения ^ = 0,80 для «новых рессор и ¡х — 0,20 для рессор со смазкой между листами. У. Тапака в своих примерных расчетах принимает:
{X = 0,30 ^0,45.
Невозможность достаточно точной оценки величины \>< и начального давления р0, понижает надежность всех расчетов, учитывающих силы трения в рессоре.
При расчете рессор парашютных устройств картина стано- * вится еще более сложной, так кек кроме трения между листами должны быть учтены сопротивления трения во всех остальных звеньях парашютного механизма. Аналитический же подсчет этих сопротивлений очень сложен и не гарантирует даже минимальной точности.
Лишь дальнейшие экспериментальные исследования в этом направлении могут дать надежные результаты, характеризующие величину вредных сопротивлений в парашютном механизме.
II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕАГИРОВАНИЯ РЕССОРЫ.
Описание конструкций и принципов действия различных, применяемых в практике, типов парашютных устройств не входит в задачи нашей работы. Отметим только наиболее существенные моменты, необходимые для дальнейшего изложения.
Действие большинства парашютных механизмов основано на использовании потенциальной энергии деформированной пружины или рессоры.
При нормальной работе подъемного устройства рессора постоянно нагружена усилием Р. как правило, значительно меньшим, чем полный вес поднимаемого груза. Это усилие, необходимое при расчете рессоры на прочность, обычно принимается равным от 0,8 до 0,9 веса порожней клети
Величина нагрузки Р ограничивается особыми упорными - приспособлениями, укрепленными в раме клети и не допускающими деформаций рессоры, больших расчетной упругой стрелы прогиба /.
Усилие, равное разности между весом груженой клети и силой Р9 передается на подъемный канат уже помимо рессоры.
В момент разрыва подъемного каната рессора освобождается^ от нагрузки, начинает двигаться в свое свободное положение и приводит в движение парашютный механизм.
Через некоторый промежуток времени, необходимый для соответствующего перемещения всех звеньев парашютного механизма, тормазные ножи нажмут на проводники. Только с этого
*) См. напр. проф, Терпигорев. Рудничная доставка. 1929 г.
момента начнется процесс торможения, сводящийся к превращению кинетической энергии падающей клети в работу трения и резания материала проводников.
Величина промежутка времени т, проходящего с момента разрыва каната до момента соприкосновения ножей парашютного устройства с проводниками, носит название времени реагирования рессоры.
Определение времени реагирования следует считать существенным моментом в проектировании парашютного механизма, так как величиной его обуславливается продолжительность свободного, равномерно-ускоренного падения оборвавшейся клети и путь, проходимый ею до торможения.
С увеличением времени реагирования возрастает скорость и живая сила, которой обладает клеть в начале торможения, а также увеличивается динамическая нагрузка, вызываемая затормаживаемой клетью в проводниках и растрелах.
1. Период собственных колебаний.
Выще бы ю отмечено, что в момент обрыва каната, деформированная рессора начинает .выпрямляться" и ее потенциальная энергия расходуется на приведение в движение парашютного механизма.
Заметим, что термин ^выпрямляться" не может быть применен буквально в случае рессоры, обычной нормальной конструкции, т. к. при уменьшении нагрузки такая рессора не выпрямляется, а искривляется еще больше. Ее кривизна увеличивается с уменьшением нагрузки.
Несмотря на это, термин „вцпрямляться* гораздо проще и нагляднее описывает явление, чем указание на изменение величины радиуса кривизны.
Если бы рессора была совершенно свободна и не связана с парашютным механизмом, то, подходя с постепенно возрастающей скоростью к своему среднему положению, вследствие инерции своей массы она перешла бы эго среднее, свободное положение и начала выгибаться в противоположную сторону. Достигнув максимального искривления, рессора начала бы вновь выпрямляться и т. д. Рессора совершала бы свободные гармонические колебания.
При полном отсутствии каких либо сопротивлений амплитуда колебаний оставалась бы неизменной и равной
В действительности же рессора, связанная с парашютным механизмом, не сможет совершить ни одного полного колебания, так как, не достигнув еще среднего своего положения, она нажмет тормозные ножи на проводники.
При определении величины промежутка времени, прошедшего с момента разрыва каната до нажатия ножей на проводники (за это время рессора совершит часть одного полного колебания),
необходимо вычислить период свободных колебаний рессоры и связанного с нею парашютного механизма.
Для вывода основных уравнении колебательных движений листовой рессоры заменим ее простой спиральной пружиной, несущей на свободном конце
S
некоторую массу т (фиг. 10), Такая замена не внесет погрешностей в дальнейшие выводы, если величины упругих характеристик пружины и массы т будут выбраны соответственно их действительным значениям в рессоре.
Гибкость спиральной пружины должна быть равной гибкости Д листовой рессоры. Масса т, называемая приведенной, должна
учесть не только величину масс всех подвижных звеньев парашютного механизма, но и степень участия их в колебательном движении. Метод подсчета ее будет дан ниже.
На фиг. 10 среднее, свободное положение массы т ббозна-чено линией 0 — 0. Под действием приложенной силы Р пружина сожмется на величину / и масса т займет положение а — а.1)
В этом положении внешняя нагрузка Р уравновешивается упругой силой пружины, равной с/, где с—так называемая жесткость пружины, т. е. усилие, необходимое для деформации ее на 1 сантиметр*
Очевидно:
Фиг. 10.
1000 ^
с =--------kg¡cm,
Д
(39)
если Д, согласно предыдущему измеряется в сантиметрах на тонну.
При внезапном прекращении действия силы Р масса т, под действием выпрямляющейся пружины начнет двигаться вниз. Деформация пружины уменьшается и в некоторый момент времени t равна л;. Величина х одновременно представляет собою вертикальное перемещение массы от ее положения равновесия 0 — 0* В момент времени Ь масса т двигается со скоростью:
м ускорением
v
dx
Ye
<Рх dfi
*) На фиг. 10 прямая а-а, касательная к верхней половине окружности радиуса <Ж = f пропущена.
Сила инерции массы равна:
Фх
— ш.-----.
dt*
где знак минус показывает, что направление силы всегда противоположно направлению ускорения.
Для составления дифференциального уравнения движения применим принцип д'Аламбера.
На основании этого принципа уравнение движения может быть получено аналогично уравнениям статики. Необходима только, кроме внешних и упругих сил, принять во внимание силы инерции движущихся масс. В нашем случае:
+ (40)
Л*
или
d2x , с
х — 0.
dt2 т
Решение этого дифференциального уравнения дает:
х = А Sin <o¿ + £ Cos o>¿, (41)
где:
О)
V т
(42)
Произвольные постоянные А и В должны быть определены таким образом, чтобы были удовлетворены начальные условия движения.
Принимая за начальный момент времени момент обрыва каната, имеем:
dx
при t— 0, х=/, — = 0. F J dl
При этих условиях из уравнения (53):
Л = 0, В=/.
Вставим эти значения постоянных в общий интеграл (41):
л; =/ Cos со/, (43)
или
x=f Cos л/JLt. (44)
V т
Из выражения (43) видно, что от прибавления к t величины:
(45)
Ш
значения х не меняются. За промежуток времени Т масса пг совершает полное колебание, возвращается в первоначальное положение и приобретает первоначальную скорость ъ — Величина Т называется периодом собственных колебаний системы. Согласно (42) и (45):
Г= 2*
/
ш
(46)
или на основании определения (51):
7 = 2кг/1пК
V юоо
(47)
Последние выражения показывают, что период колебания; (при отсутствии сопротивлений) не зависит от амплитуды колебания / и вполне определяется величиной массы ш и упругим» свойствами пружины.
Представим себе вектор ОК (фиг. 10), имеющий длину, равную амплитуде колебания / и вращающийся с постоянной угло* вой СКОрОСТЬЮ О) около точки 0. "
За время I вектор поворачивается на угол Ы от вертикали.. Из уравнения (43) очевидно, что каждое мгновенное положение колеблющейся массы ш изображается проекцией конца вектора ОН на вертикаль. При отсутствии вредных сопротивлений, сво~ бодное гармоническое колебание массы может быть представлено косинусоидой в координатах х и
Величина ш, определяемая выражением (42) называется угловой скоростью гармонического колебания.
2. Приведение масс парашютного механизма.
Для вычисления периода колебаний Т рессоры по формуле: (47) необходимо знать величину массы /я, участвующей в колебательном движении. В случае сложной колеблющейся системы, каковую мы имеем в парашютном механизме, следует массы всех движущихся деталей заменить одной, приведенной массой, динамически
имэквивалентной. Фиг. и.
Пользуясь методом Rayleigh'a назовем приведенной массой т всего парашютного механизма, такую фиктивную массу, приложенную в середине рессоры, кинетическая энергия которой в каждый момент времени равна кинетической энергии действительных колеблющихся масс 1).
Общий метод определения величины приведенной массы покажем на конкретном примере. Рассмотрим одну из конструкций парашютных механизмов, изображенную схематически на фиг. 11. Полагая, что устройство механизма достаточно ясно из чертежа, отметим только следующее.
Концы рессоры А и опоры валов Е закреплены в корпусе клети. Под действием натяжения подъемного каната, присоединенного к хомуту рессоры, последняя несколько изгибается вверх. При этом тормазные ножи F отходят от проводников.
При обрыве каната рессора „выпрямляется*, хомут двигается вниз и ножи F поворачиваясь вместе с валами Е врезаются в проводники. Клеть начинает постепенно останавливаться.
В нашем случае (фиг. 11) полная приведенная колеблющаяся масса слагается из следующих частей:
1) Приведенной массы самой рессоры— тА red.
2) Действительной массы хомута рессоры и связанной с ним поперечины В— гпв.
3) Действительной массы двух вертикальных серег С—2шс.
4) Приведенной массы двух вращающихся рычагов D—2mD Ге*.
5) Приведенной массы двух валов Е—Ъпе red.
6)' Приведенной массы четырех ножей F—4шр гей.
Рассмотрим все эти пункты по отдельности.
1) Определение приведенной массы рессоры Шл г*а.
Приведенной или редуцированной массой рессоры называем такую фиктивную массу тА геа.> приложенную в середине рессоры, живая сила которой при колебательно^ движении равняется живой силе (кинетической энергии) действительной рессоры.
Рассматриваем рессору, как прямую балку постоянной высоты h и состоящую в плане из двух треугольников (фиг. 12). Максимальная ширина балки:
В— rib,
где, согласно принятым выше обозначениям, Ъ —ширина каждого рессорного листа, п—число листов.
!) Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. 1931 г.
В середине балкц приложим произвольную по величине, вертикальную силу Q. При этом балка, изогнется по некоторой упругой кривой, уравнение которой может быть записано в обще» виде:
У =/ (*).
Для произвольного поперечного сечения х имеем:
2
/ _ о * h% __ / х
Jх — "--J max 9
I 12 I
где максимальный момент инерции (среднего сечения):
т —Bh% J max — ~~ •
12
Дифференциальное уравнение упругой кривой:
t? т ft Q
max • У —"
или: m
EJ «"-5?
t-^Jmax *У — •
Ad
Интегрируем два раза:
EJmax.y = ^x + Ci9
Qlx 2
EJmax *У —■
ъ
4
при:
Теперь:
* = 0,j> = 0, С2 = 0;
О/2
л: = /, У = 0, у
tLJmox*y —
4 2
или меняя знаки (считая направление вниз положительным):
рг — Q/a;2
та» • У — ~ """"-- " •
•Максимальный прогиб в середине, при х—1:
pi _ & _Р/3 _
max У max— ~ ~~ — .
2 4 4
_ Q/3
Утадг--— • tL^j тах
.Из (48) общее уравнение упругой кривой:
__ 2 4 У~ FJ
max
или
h~-Q~)AEJmax
У=Утах--
Ытах.С}1* Отсюда после сокращений:
У=Утах (49)
Принимаем, что кривая прогибов балки при колебании имеет такую же форму, как и упругая кривая при статической нагрузке1)- Тогда скорости двух каких либо точек рессоры, в каждый данный момент относятся между собою так же, как соответствующие ординаты у.
Если утах—мгновенная скорость колебания среднего сечения рессоры, то скорость колебания сечения, удаленного на расстояние х от опоры, равна:
V — Ътах = Ютах-;-. (50)
Утах 12
.Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями х и х-\-йх выделим из рессоры элементарный объем йУ. Очевидно:
I
¿Выделенный элементарный объем имеет массу:
8 Я I
1) Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле 1931 г.
и кинетическую энергию:
, V2 п h Y Vs .
am.— — В--5--хах.
2 I g 2
-з
Здесь -у—удельный вес материала, g—ускорение силы тяжести.
Кинетическая энергия всей балки должна равняться кинетической энергии приведенной массы тА red., приложенной в середине рессоры и двигающейся со скоростью iw, Поэтому:
^ ^2тах MA red.*-1—
=2Ifdm-
или 1
ША пй.-——1—^ ---,--
2 ] 2 I g
о
Подставляем сюда значения для V из формулы (50) и выносим постоянные величины за знак интеграла. После сокращения на 1)2тах получаем:
J
fig
о
Интегрирование и подстановка пределов дает:
11 Bh^l
ША red. = --•
15 g
Но вес всей рессоры:
Ga = 21ц = Blkt == nbht(.
Следовательно: -1 ^
1 i
тА red. — —-,
15 g
т. е. приведенная масса рессоры составляет 11/15 от ее действительной массы.
2, 3) Определение масс те и тс-Рессорный хомут, поперечина В и серьги С при колебании двигаются с той же скоростью vmax> Их приведенная масса равна действительной массе:
w , GB -f 20с
тв -+- тс =-.
е
Веса этих деталей GB и Gc вычисляются непосредственно по размерам чертежа или, при уже построенном парашютном механизме» могут быть определены взвешиванием.
4) Приведение массы рычагов ¿X Обозначим (фиг, 13):
Jo—момент инерции массы рычага относительно оси вращения Е — Е,
о>—мгновенная угловая скорость рычага, го—радиус (длина) рычага.
При взаимно перпендикулярном положении рычага D и серьги С точка а имеет скорость vmax, равную скорости средней
точки рессоры (точки приведения).
Приведенная масса рычага mD reá. определится из необходимого равенства:
red
тах
1
или:
Фиг. 13, так как скорость точки а: Отсюда:
то red-
2
rn2ü>2
JDQ>2,
yD®2,
Vmax z то red
Го Го*'
(54)
Момент инерции массы рычага Jo можно определить по размерам чертежа, пользуясь обычными формулами для моментов инерции масс1). Для выполненных рычагов величина Зо может быть найдена опытным путем. Подвешиваем рычаг на призме, на оси ЕЕ и измеряем время Т в секундах, необходимое для одного полного (двойного) колебания. Тогда на основании теории физического маятника:
р
Jo =----. Оое kgcm $есг (55)
4я2
где Оо—вес рычага в кгр., е—расстояние центра тяжести хомута от оси вращения Е—Е, в сантиметрах1).
5) Приведение массы вала Е. Каждый вал Е представляет собою прямой круглый цилиндр радиуса Момент инерции вала относительно оси вращения:
• (56)
Фиг. 14=
Ä) Hütte, т. I, изд. 13, стр. 248.
*) См. напр. Г. Дуббель. Справочник по машиностроению
т« I.
где Ов—¡вес вала. Приведенная массы рычага:
т>Е red —
масса (аналогично приведению
Je
Ы
(57)
Здесь го, как и выше, обозначает длину рычага £).
6) Приведение массы кулаков /\ Момент инерции каждого ножа относительно оси Е—Е, определяется вычислением по размерам на чертеже, или качанием на призме, аналогично сказанному выше в отношении рычагов О. Приведенная масса каждого ножа (кулака):
тр red
Jf
ГВ'
где го—имеет прежнее значение.
Определив приведенные массы всех звеньев парашютного механизма, можно вычислить период собственных колебаний рессоры Т по формуле (59):
V юоо
Для рассмотренной нами схемы парашютного механизма (фиг. ll) необходимо вместо m встарить сюда величину:
m — Ша red "Ь тв + 2тс 4" D red + 2тЕ red "f" red-
д
Гибкость рессоры А измеряется в формуле (59)- в сантиметрах на тонну.
3. Определение времени реагирования рессоры.
В свободном состоянии рессоры, коренной лист ее изогнут по дуге круга АОС (фиг. 15). При нормальной работе клети коренной лист ймеет
форму ADC (если для простоты чертежа пренебречь перемещениями концов рессоры яри ее деформа-ции).Приэтом рессора имеет стрелку:
l^F-f
и упруг} ю деформацию (стрелку лрогиба)
/= РД.
Фиг. 15.
В момент обрыва каната рессора начинает колебаться от положения ADC до АЕС, через свое нулевое (свободное) положение АОС.
При отсутствии сопротивлений амплитуда колебания равна /, т. е.
DO = ОЕ = /.
Движение рессоры, начавшееся в момент прекращения дей ствия силы Р будет продолжаться до тех .юр, пока средняя точка D рессоры не придет в некоторую точку F, лежащую 7 I между D и О. В этот момент тормозные ножи нажмут на про-i водники и движение рессоры закончится. /
Промежуток времени, необходимый для прохождения средним сечением рессоры пути:
DF^z,
очевидно и представляет собою искомое время реагирования т (см. стр. 32).
В положении F рессора должна еще иметь некоторую определенную затяжку Р0, необходимую для создания достаточного давления тормозных ножей (кулаков), на проводники.
На основании закона пропорциональности между нагрузкой и деформацией можно написать:
El^Lzl, (58)
Р / v '
Это соотношение позволяет определить необходимое рабочее перемещение рессоры z по выбранной затяжке PQ или обратно, получившееся Р0 при принятом z. Всегда должно быть:
Po<P\z<fi
Величина z, при выбранных соотношениях размеров парашютного механизма, определяет форму и угол заклинения тор-мазных кулакой (ножей).
Выше, на стр. 35 было выяснено, что каждое мгновенное положение гармонически колеблющейся массы изображается проекцией конца. вращающегося вектора ОК на вертикаль. Длина вектора равна амплитуде колебания (фиг. 16):
OK=f. .
Угловая скорость вращения вектора, согласно (45):
. = ,/А = i/™®
У т V /иД
С59)
За время реагирования рессоры г вектор повернется на некоторый угол ср = (от и точка D придет в F. Согласно чертежу: &
DF — z—f—f Cos ср. Отсюда:
<р = arccos —yj. Время реагирования рессоры:
_ <Р
Ш
т
arccos11
z
7
Фиг. 3.
Jarccos (1
1000
f
<60)
Пользуясь выражением (47) и (58) получаем окончательно*
т — — arccos
или
/
тА 1000
arccos (Ss V
I Р)
т
(62)
Из полученных формул можно видеть, что уменьшение рабочего перемещения рессоры г уменьшает время реагирования* но делает работу парашюта более жесткой.
0 заключение отметим, что все вышеизложенные результаты были получены в предположении отсутствия сил трения в парашютном механизме. Предполагалось, что с момента обрыва каната рессора двигается *по законам свободных гармонических колебаний. В действительности сопротивление трения уменьшает 'амплитуду колебаний. Движение становится затухающим. Время реагирования фактически получается несколько больше, чем ' Ц»т формулы (61) и (62).
Несмотря на это применение указанных формул следует счи-^^ать целесообразным, так как подсчет сил трения в парашютном й€*айнзме не может быть осуществлен с достаточной точностью.
Приложение.
СХЕМА РАСЧЕТА ЛИСТОВОЙ РЕССОРЫ.
1. Определение размеров рессоры.
Обозначения:
Р—расчетная нагрузка на рессору в kg. 21—хорда рессоры в деформированном состоянии в ст, 21—фабричная хорда рессоры в ст, 5—длина выпрямленной рессоры в ст,
/—упругая стрела прогиба рессоры в ст под действием силы РТ X—стрелка рессоры в деформированном состоянии в ст%
—фабричная стрелка рессоры в ст, Р—фабричный радиус кривизны коренного листа рессоры в ст,
г—средний радиус ушков коренного листа, 2?о—угол, составленный крайними радиусами рессоры в свободном состоянии,
п—число листов рессоры, Ъ—ширина листов рессоры в ст, А—толщина листов рессоры в сантиметрах, Яь—допускаемое напряжение изгиба в к^ст2, а—угол наклона рессорных подвесок к вертикали, А—гибкость рессоры в ст\Ы, т. е. прогиб ее в ст под действием силы в 1 тонну.
Для расчета дано:
Я—усилие, действующее на рессору в kgy А—гибкость рессоры в ст^п (из условия получения необходимой величины деформации /=РД, выбираемой конструктивно, соответственно всей схеме парашютного механизма), Рь—допускаемое напряжение изгиба в kg|crк^, ку^к—профиль сечения листов рессоры (по ОСТ—28), (руководствуясь соображениями: чем большая гибкость требуется от рессоры, тем тоньше должны быть выбраны листы для ее изготовления^,
а—угол наклона подвесок (чем больше а, тем больше гибкость данной рессоры),
г—средний радиус ушков. А. Определение I и п (фиг. 17).
1. Берем номограмму для выбранного профиля и на верхней шкале (нагрузок) отмечаем расчетную нагрузку Р (точка а).
2. Через полученную точку проводим вертикаль до пересечения с линией выбранного Рь в точке Ь.
3. Через Ь ведем горизонталь до пересечения с линией выбранной гибкости А в точке с.
ф
4, Через с проводим вертикаль сс1 вниз, во вторую половину номограммы, до линии той же А.
5. Линия си пересекает шкалу длин / в точке е. Эта точка
Фиг. 17.
»лизительную длину половины хорды деформированной
>а$м X (стрелку рессоры в деформированном состо-Подсчитываем коэффициент <р:
(Для получения большей точности, коэффициент ® может быть подсчитан по формулам 18—20).
7. Через точку й ведем горизонталь до пересечения с линией подсчитанного <р в точке /.
8. Вертикаль через / дает на нижней шкале необходимое число листов рессоры п.
9. Полученное число округляем до ближайшего целого (в большую или меньшую сторону). Получаем точку g.
10. Через g ведем вертикаль до пересечения с линией прежнего <р в точке и
11. Через г ведем горизонталь г/г до прежнего А.
12. Из к ведем вертикаль Ы до того же А.
13. Вертикаль Ы отсекает на шкале длин действительную величину полухорды деформированной рессоры /.
14. Через точку / ведем горизонталь. Пересечение ее с вертикалью аЬ дает действительное напряжение отах изгиба в рессоре.
15. Максимальное напряжение получается в коренном листе рессоры (вследствие добавочного растяжения его горизонтальной составляющей реакции наклонной рессорной подвески):
тал
оп
16. Зная / и X определяем фабричную стрелку рессоры:
В. Определение строительных размеров рессоры.
17. Длина выпрямленной рессоры1):
18. Фабричная хорда рессоры:
2/.,= 2
19. Фабричный радиус коренного листа рессоры:
24 (Т7 — г)
¡1
*) Полная строительная длина коренного листа будет больше величины подсчитываемой из этой формулы, на величину, необходимую для загиба ушков.
Номограмма 1 76*9 5
для рас чета лмстобых рессор.
| ■ I 1*1ш I т 111 т I н 1 1Р1 I м ; I I \ Л \ \ \ ^ \ т~г-1—г
инж.Вн РАСЧЕТ рессор-
НОМОГРАММА
для рлсче m а л/^стобб/х рессор
p|5, . , , IQ ,9 8 7 е 5 4
76x11
'6 5 А 'з 2
Шж В.Нечаев „ расчет рессор» *
76x13
G ЛЯ РАСЧЕТА ЛИСТОВЫХ РЕССОР
9
L mXÎiIj Ш, ti ¿ 111 Г| J nit" • í' г-У —l—i- -
ШШШПХПГД'Л г.
Номограмма
89x9*5
для РдсчегпА мнстовб!х рессор
Р 15 Ю 9 8 7 б 5
1пг<'1,' М Ь 1 I I мни!
Номограмма
100x13
для рлсчешА л ист овб/х рессор
3 15 ;о 9 8 7 а 5 4 3 2
11,
Ноиограмиа 1 110x15
для рАСчетл листовых рессор
11:Нк' 'м^„,п,|?1„Мц I?11 I 1ттттг1гп--т7-г-г--г-гг~1
20. ¿тол при вершине рессоры:
£
2<р0 = 57,4 — градусов.
21. Длину остальных листов рессоры определяем обычным путем:
Длина коренного листа = 5.
• Длина второго листа = -
п
Длина третьего листа = 5---и т. д.
п
II. Определение-времени реагирования рессоры.
(Для парашютного механизма по фиг. 11).
Обозначения (кроме вышеуказанных):
Р0—затяжка рессоры, т. е. усилие рессоры в период торможения (очевидно Р0<Я),
величина, на которую распрямляется рессора в период реагирования, в ст%
/—z—оставшийся упругий прогиб, соответствующий нажатию Р0.
х—время реагирования рессоры в секундах, т. е. период времени, проходящий с момента обрыва каната до соприкосновения ножей с проводниками. За это время стрела прогиба рессоры / уменьшится до величины /—z. Gä—вес самой рессоры в килограммах, Gв—вес понеречины В в kg, Gс—вес серьги С в kg (каждой серьги отдельно), J&—момент инерции массы каждого рычага D относительно оси Е—Е в kg cm sec2,
Je—момент инерции массы вала Е в kg cm sec 3f~момент инерции массы каждого ножа, относительно оси Е — Е в kg cm sec2.
(Момент инерции масс подсчитываются по формулам Hütte, т. Г, стр, 248, изд. 13-е. При подсчете все размеры берутся в ст, ускорение ¿ = 981 cm/sec2),
гп—радиус рычага D в сантиметрах, выбираемый из конструктивных соображений.
1. Приведенная масса рессоры:
11 Ол kg sec2
ftlA red— -------------•
15 981 cm
где вес рессоры может быть подсчитан по формуле:
если 5, Ь и А—в сантиметрах, а ? в kg|cm*.
2. Приведенная масса поперечины В:
Ов к? зесъ тв = ---2--.
981 ст
3. Приведенная масса каждой серьги С:
Ос кв Бесг
тс =--5--.
981 - ст
4. Приведенная масса каждого рычага О:
Уо kg вес2
ТПо гей — --•
г£>2 ст
5. Приведенная масса каждого вала Е:
]Е ^ БвС2 , ШЕ гей =--.
го2 ст.
6. Приведенная масса каждого ножа
Л? kg Бес2
Шр гей —--• '
Го1 ст
7. Приведенная масса всей системы:
т = тА гей -Ь тв + 2/ис ~Ь 2тр гей + 2тЕ гы + ш.
8. Величины Р0, Р, / и г связаны между собою соотношением:
Р /
Задаваясь необходимой затяжкой рессоры Р0 (конечно меньше Р) отсюда можно определить г или, наоборот, задавшись г из конструктивных соотношений передачи к ножам, можно определить соответствующее Р0.
9. Время реагирования рессоры:
тД (. г \ ---агссоэ II--секунд,
1000 \ // или
тД~ (Р0\
-------агссоэ — секунд,
1000 \Р '
где Д гибкость рессоры в стЦп,
