CC BY
12В. Ю. Косицын, А.Н. Рыбалев, Д. А. Теличенко
Д-АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА ДЛЯ ОБЪЕКТА
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ
In this article the algorithms of D-adaptive control system with object of delay and relative order of transfer function l=1 are synthesized. Simplified access of construction of control circuit which provides wishful quality with satisfactory accuracy is used.
Введение
В настоящее время актуальной проблемой управления является разработка адаптивных систем класса объектов с известным запаздыванием по времени. Существует несколько схем компенсации запаздывания, - например, как в [2]. Одна из них заключается во введении дополнительного блока, так называемого блока упреждения. В совокупности с эталонной моделью он позволяет добиться в системе управления требуемого качества и точности, существенно не осложняя структуру системы.
В статье рассматривается Д-адаптивная система управления неустойчивым, априорно неопределенным объектом с запаздыванием по управлению и относительным порядком передаточной функции l=1. Синтез алгоритмов адаптации основан на критерии гиперустойчивости [3].
Математическое описание и постановка задачи синтеза системы
Математическое описание. Пусть объект управления описывается уравнениями в пространстве состояний
dx( t)
dt
- = A ■ x(t) + B ■ u(t - h), y(t) = L ■ x(t),
x(0) = x0, u(Z) = j(Z), Z h,0],
(1)
W (s) = L(s ■ E - AYB ■ e-hs = b(s)e-hs', J У ' a(s)
(2)
dt
= A ■x (t) + B ■r(t),
м м \ ' м \ / '
(4)
у (г) = ЬТ -х (г),
У АО У М. М. \ ' '
~м(г) е Я - переменная состояния эталонной модели; Xм(г)еЯ - выход эталонной модели; г(г) - задающее
воздействие; Бгм = 1, LM = kM, Ам = -а0м - параметры, задающие желаемое качество переходных процессов в системе.
Передаточную функцию эталонной модели (4) можно записать в виде
W (s) = = (5)
r(s) s + а0м
где а0 = const > 0, k > 0.
0
Если задать гурвицеву матрицу Ам, вектор Б м, исходя из выполнения
k
WM(s)=
_ b(s) _ kM LT (s-En - A)+ B _
' Ь(7) ~ V+Ü0M' L(s-En - A)+ B ~ _ L (S-En - Am ) Bm (6)
det(s ■ En - Am ) '
где b(s) _ Lt (s^En - A) B - гурвицев полином степени m, то аналогично [1] от описания (4) - (6) можно перейти к описанию вида
dxM(t) dt
= A ■x (t) + B ■r(t),
M. M. \ / M. \ / '
У, (t) = L^xM (t) = У (t),
(7)
где х(г) е Я" - переменные состояния; у(г)е Я - выход объекта; и(г) е Я - управляющее воздействие; И = сотг > 0 - известное постоянное запаздывание; )е СИ - начальная функция; СИ - пространство непрерывных ограниченных функций; А, В, Ь - матрица и векторы соответствующих размерностей; ВТ =[0 ... 0 1].
Передаточная функция объекта (1) может быть записана в виде
где хм(t) е Rn - переменные состояния; yM(t)e R - выход явной эталонной модели.
В систему введем адаптивный регулятор следующей структуры
u(t) = r(t) -J(t),
J(t) = x/t)-y(t) + x/t)-u(t - h), (8)
где %,(t), x2(t) - параметры адаптивного регулятора, алгоритмы настройки которого подлежат определению.
Постановка задачи. Для объекта управления (1), (2), функционирующего в условиях априорной неопределенности (3) совместно с эталонной моделью (4), (5) и адаптивным регулятором (8), требуется определить явный вид алгоритмов параметрической настройки коэффициентов
X,(t) и c2(t) таким образом, чтобы при любых начальных условиях х(0) и любом наборе £ ех обеспечивалось бы выполнение целевых условий
lim\yM(t) -y(t)\ < s0, s0 = const > 0,
где Е - единичная "-мерная матрица; Ъ(з) - гурвицев полином с положительными коэффициентами, порядка degЪ(s) = т; аф - полином с произвольным расположением корней, порядка dega(s) = п; I = "-т = 1 - относительный порядок передаточной функции объекта.
Объект (1) функционирует в условиях априорной неопределенности
А = А(Х), Ь = Ь(Х), Хех, (3)
где X - набор неизвестных параметров, принадлежащих известному множеству х.
Для задания желаемой динамики процессов управления используется явно-неявная эталонная модель вида
^хм( 1).
(9) (10)
Ит х1(1) < Х10 = сот1,
Ит х2(1) < Х2о = со"я1, где а0 - относительно небольшая величина.
Синтез системы управления
Синтез системы управления проведем с использованием блока упреждения [2].
Для компенсации запаздывания введем в систему явно-неявный блок упреждения
dXK (t) dt
= А-У(t)+£ ■ vO)
(11)
У(0 = [и(1) - и(г - И)], х/О = ЬТм ■ хк(1), где X (г) е Я - переменная состояния блока упреждения;
(г) е Я - выход блока упреждения; у (г) - обобщенный вход блока упреждения.
Передаточную функцию блока упреждения (11) можно записать в виде
Ж(х) = = -км^. (12)
У(я) 3 + а0ж К '
Аналогично, как и выше (для эталонной модели), для явно-неявного блока упреждения (11), (12) можно записать уравнения в явном виде
dx (1) dt
= Am ■ xJt) + В y(t),
y Jt) = LT ■ xjt) = у(t),
(13)
(17)
dt
= AM ■ e(t) + Вм ■ m(t),
m(t) = [<c/t) - x.„) ■ y(t)+(x2 (t) - x2„) ■ u(t - h)],
v(t) = LT ■ e(t),
(18)
Очевидно, что, учитывая (5) - (7), уравнение (19) эквивалентно преобразуется к виду
W^ (s) =
s + a0
LT ■ (s ■ E - A )+ ■ В
\ M S M
км■b(s)
det(s ■ E - Am ) (s + a0„ ) ■ b(s)
(20)
где хк(г) е К" - переменные состояния; ук(г)е К - выход
блока упреждения.
Предположим, что для объекта управления (1), эталонной модели (7) совместно с блоком упреждения (13) выполняются условия структурного согласования
4 - Л = ~БМ ■ % ■ ЬТ, В = Бм ■(! + %20) (14)
где %10, %20 - неизвестные постоянные, значения которых
определяются в процессе настройки.
1-й этап синтеза. Получим эквивалентное математическое описание исследуемой системы (1), (7), (8), (13). Введем в рассмотрение сигнал рассогласования
е(г) = Хм (г) - х(г) - хк (г). (15)
Используя уравнения (1), (7), (13), а также применяя стандартный прием [ ± Ам ■ х(г) ], запишем выражение для производной ошибки рассогласования:
е(г) = Ам ■ хм (г) + Вж ■ г(г) - А ■ х(г) - В ■ и(г - И) -
- Ам ■ хк(г) - Вм ■ [и(г) - и(г - И)] ± Ам ■ х(г) =
= Ам ■ [хм(г) - х(г) - хк(г)\ + [Ам - А] ■ х(г) - (16)
- В ■ и(г - И)- Вм ■ [и(г) - и(г - И) - г(г)].
С учетом условий структурного согласования (14) и управляющего воздействия (8), выражение (15) приобретает конечный вид:
е(г) = Ам ■ е(г) - Вм ■ %ш ■ Р ■ х(г) - Вм ■ %20 ■ и(г - И) +
+ Вм ■ % (г) ■ у( г) + Вм ■ % 2 (г) ■ и(г - И) =
= Ам ■ е(г) + Вм ■ [(%/г) - % )■ у(г) + % (г) - %20 )■ и(г - И)].
Выражение для обобщенного выхода сигнала ошибки принимает вид:
у(г) = Р ■ [Хм(г) - х(г) - хк(г)] = Р ■ е(г) =
= Ум, (г) - у(г) - ук (г).
Полученное в итоге эквивалентное математическое описание имеет вид:
г de(г)
исходя из которого становится вполне очевидным выполнение неравенства вида
КеЖл€ч(]а) > 0, "а > 0, (21)
что и требовалось доказать.
3-й этап синтеза. Обеспечим выполнение интегрального неравенства В.М. Попова вида, составленного относительно ННЧ эквивалентно преобразованной системы (18)
h(0,t) = -j m(s) ■v(s)ds >-y20 = const, "t > 0.
(22)
Запишем левую часть (22), с учетом явного вида ННЧ, в виде:
h(0,t) = -j(x,(V) - Х,0)-n(V) ■ y(V)dv -
0
t
-j(x2(V) - X20)-n(V)■ u(V - h)dv.
(23)
Синтезируя алгоритмы настройки коэффициентов адаптивного регулятора (8) следующим образом:
dx,(t) dt dx/t) dt
= -al -v(t) ■ y(t),a1 = const > 0, = -a2 ■ v(t)^u(t - h), a2 = const > 0,
(24)
где первое уравнение описывает линейную стационарную часть (ЛСЧ), а второе - нелинейную нестационарную часть (ННЧ) расширенной системы; у(г) е К - обобщенный выход сигнала ошибки.
2-й этап синтеза. Решим проблему вещественности и строгой положительности ЛСЧ-системы (18).
Передаточная функция ЛСЧ эквивалентной системы имеет вид
„ , - А / В
Ж (я) =---^-м (19)
"ч deг(s■E - А ) ■ (19)
можно показать аналогично [3], что для h(0,t) вида (23) будет иметь место оценка
h(0,t) > -1 a;'(x/0) - x10У -1 a2\x2(0) - X2* 1, (25)
эквивалентная условию (22).
4-й этап синтеза. Обеспечим достижимость целевых требований (9), (10) в синтезированной системе управления (1) - (8).
Система (1) - (8), (15), (24) является гиперустойчивой, и для нее справедливы соотношения вида
lim x(t) = x,0> lim x2(t) = x20' (26)
lim e(t) = 0. (27)
Если в качестве задающего воздействия системы использовать кусочно-постоянные функции, то на каждом интервале постоянства r(t) система будет работать в режиме стабилизации, и для нее будет выполняться
u(t - h) i u(t) = u, = const, (28)
что с учетом уравнений (11) - (13) для блока упреждения приводит к выполнению условия
Ук (t) = ук (t) ® 0. (29)
Заметим, что если использовать вместо ошибки системы уравнение
e(t) = Хм(t) - x(t), (30)
то можно записать уравнения для обобщенного выхода эквивалентно преобразованной системы
v(t) = LT ■e(t). (31)
При этом очевидно, что выполнение для такой системы идеальных условий, аналогичных (26), (27) на всем временном интервале не может быть гарантировано в силу
lim||хм(t) - x(t)\ = ||хк(t)\\< s0 = const > 0. (32)
к
Для сохранения работоспособности синтезируемой системы аналогично случаю нарушения идеальных условий [2] алгоритмы адаптации (25) необходимо подвергнуть процедуре регуляризации, - например, путем введения в них зоны нечувствительности
dc(t) = dt
dc(t)
dt
0, "t > 0, \v(t)\ < 8, -ary(t)•(~(t) + 8), "t >0, ~(t) <-8 -ary(t) • (~(t)- 8), "t > 0, ~(t) > 8,
0, "t > 0, \v(t)\ < 8,
-a2-u(t-h)• (~(t) + 8), "t >0, ~(t) <-8, (33) - a2-u(t - h)• (~(t) - 8), "t > 0, ~(t) > 8,
~(t) = L • ~(t) = yм (t) - y(t),
где 8 = const > 0 - величина зоны нечувствительности.
В этом случае будут иметь место сформулированные в постановке задачи целевые условия (9), (10), а полученная система управления будет Д-адаптивна (диссипатив-на) в заданном классе.
Иллюстрационный пример
Рассмотрим пример имитационного моделирования адаптивной системы управления объектом (1), (2), функционирующего в условиях априорной неопределенности вида (3). Значения параметров объекта управления заданы произвольным образом, - например:
f 0 1 0 > f 0)
А = 0 0 1 , б = 0
V а1 а2 а3 0 110
0.06 < а1 < 0.14, -12 < а2 <-8, - 4.5 < а3 < 3.5, LT = (6 5 1), h = 0.7.
Задающее воздействие - кусочно-постоянная функция r (t) = 0.143exp(-0.143 • t) + H1 + H 2 + H3
H =
0 при t < 0 h [0 при t < 100
H3 =
1 при г>о' ' [-0.5 при г > 100'
0 при г < 200
1 при г > 200'
Эталонную модель (5) зададим в виде
К (ф) = -М-.. ф +1.1
Параметры настройки адаптивного регулятора зададим следующими
/1 = 0.5, /2 = 0.7.
Зону нечувствительности алгоритмов параметрической самонастройки примем равной
5 = 0.1.
Структурная схема системы представлена на рис. 1-3 -БтиПпк-модели контуров настройки.
Динамика изменения выхода объекта управления и эталонной модели показана на рис 4. Ошибка системы приведена на рис. 5.
Исходя из представленных рисунков, можно сделать вывод о хорошем качестве работы предлагаемой системы. Различные сеансы имитационного моделирования также подтверждают работоспособность предлагаемых алгоритмов при изменении параметров объекта управления.
Заключение
В работе была синтезирована система Д-адаптивного управления неустойчивым, априорно неопределенным объектом с запаздыванием по управлению и относительным порядком передаточной функции 1=1. Применение упрощенного подхода к построению контуров управления обеспечивает желаемое качество с достаточной точностью.
Рис. 1. Структурная схема системы.
Рис. 2. Контур настройки.
Рис. 3. Контур настройки.
Рис. 4. Динамика изменения выхода объекта управления и эталонной модели.
г----
.....1........................
m
О
50
100 150
Рис. 5. Ошибка системы.
200
250
300
1. Еремин Е. Л., Теличенко Д .А. Адаптивная система управления с эталонным упредителем для объектов с запаздыванием по состоянию и управлению // Вестник АмГУ - Благовещенск, 2005. - Вып. 31. - С. 36-40.
2. Еремин Е.Л., Теличенко Д .А., Чепак Л.В. Синтез адаптивных систем для скалярных объектов с запаздыванием по управлению. -Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2006.
3. Еремин Е.Л., Цыкунов АМ. Синтез адаптивных систем управления на основе критерия гиперустойчивости. - Бишкек: Илим, 1992.
Е.К. Мусина
ВЛИЯНИЕ ЭНЕРГОТАРИФОВ НА УРОВЕНЬ ЖИЗНИ НАСЕЛЕНИЯ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
A power industry is one of the main infrastructure's sector, creating required conditions for functioning of productive forces and live of the population.
В современном мире работа систем управления страной, промышленностью, транспортом, сельским хозяйством и обеспечение жизни населения невозможны без использования электричества - наиболее современного и универсального энергоносителя. Надежное и эффективное функционирование электроэнергетики, бесперебойное снабжение потребителей - основа поступательного развития экономики страны и неотъемлемый фактор обеспечения условий жизни всех ее граждан [1, с. 6].
Пройдя трудный период 90-х гг., который характеризовался серьезным падением производства, неплатежами и другими негативными проблемами, российская энергетика сейчас стремится выйти на новый уровень своего
развития, находится в стадии реструктуризации и роста производства энергии. Иными словами, в настоящее время в электроэнергетике России проводится ряд структурных реформ.
Реформирование электроэнергетики выражается прежде всего в отказе государства от контроля над тарифами на электроэнергию с целью допустить свободную конкуренцию, обеспечивающую снижение тарифов. В России основные положения реформирования определены федеральным законом от 26.03.03 №2 35-ФЗ «Об электроэнергетике», а перспективы развития энергетики -«Энергетическая стратегия России на период до 2020 года» [10].
В результате реформы электроэнергетики на Дальнем Востоке с 1 января 2007 г. действует несколько крупных государственных энергохолдингов. Здесь работают филиал ОАО «Федеральная сетевая компания», дочерние компании ОАО «РусГидро» и энергохолдинг ОАО «РАО «Энергетические системы Востока», в который вошли в том числе компании объединенной энергосистемы: ОАО «Дальневосточная энергетическая компания» (далее -ОАО «ДЭК»), ОАО «Дальневосточная генерирующая ком -
