CC BY
15
Нелинейно преобразованная гибридная система адаптации
Шевко Д. Г.
Шевко Денис Геннадьевич /Shevko Denis Gennad’evich - кандидат технических наук, доцент,
электроэнергетический факультет,
Дальневосточный государственный аграрный университет, г. Благовещенск
Аннотация: в статье рассматривается метод построения гибридной нелинейно преобразованной системы прямого адаптивного управления.
Abstract: the paper deals with the method of constructing the hybrid nonlinear transformed system of direct adaptive control.
Ключевые слова: адаптивное управление, гибридная система.
Keywords: adaptive control, hybrid system.
Гибридные системы прямого адаптивного управления (ГСПАУ) с явной эталонной моделью (ЭМ) составляют большой класс адаптивных систем управления, в которых желаемое движение задается конкретным физически реализованным устройством, построенным с использованием традиционных методов синтеза адаптивных систем автоматического управления. За основу работы контура адаптации ГСПАУ принимается вектор рассогласования e(t). Поскольку желаемое качество процесса в основном контуре ГСПАУ определяется динамикой ЭМ, то при разработке адаптивной системы управления, а также ее технической реализации не требуется каких-либо дополнительных измерителей качества функционирования основного контура ГСПАУ, что придает системе относительную простоту, делая ее доступной и удобной для практического применения.
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления (ОУ), описываемый уравнением
dXft) = Ax (t) + Bu (t) + f (t), y(t) = LTx(t), (1)
dt
и дискретный адаптивный регулятор со следующей структурой:
uk = Х\,Л + X2,kyk, Ук = y(tkX u(t) = u при tk < t < tk+1, (2)
где x(t) e Rn
вектор состояния объекта;
y(t) e Rl
вектор выхода объекта; u(t) e Rm - вектор
управляющих воздействий; X\k и %2к - матрицы настраиваемых коэффициентов регулятора; rk e Rm -
вектор задающих воздействий; tk = кт - дискретный аналог времени; т = const > 0 - шаг дискретизации; к = 0,1,2,... - номер шага; A, B и L - матрицы заданного размера соответственно состояния,
управления и выхода; f (t) e Rn - вектор возмущений или помех, который может быть как затухающим и удовлетворять неравенству
{If (t)f dt <W, (3)
0
так и ограниченным по норме
||f(t)|| < fo = const. (4)
Относительно функционирования объекта (1) предполагается, что уровень априорной неопределенности задан условиями
A = A(Z), B = B(a f(t) = fs(t), ZeE, (5)
где Z - набор всех неизвестных параметров; E - известное множество возможных значений £. Желаемое поведение ОУ (1) задается с помощью эталонной модели, описываемой уравнениями:
= AMx(t)+BMr(t X y(t) = Lx(t X (6)
dt
где x(t) e Rn - вектор состояния ЭМ; y(t) e R1 - вектор выхода ЭМ; AM и BM - постоянные матрицы соответствующих размеров, причем AM - гурвицева; r(t) = r при tk < t < tk+1.
Требуется решить следующие задачи.
Задача 1. Если вектор возмущений f (t) удовлетворяет соотношению (3), то при любых начальных условиях и любом Z e E синтезировать систему, обладающую свойствами
lim e(t) = lim( x(t) - x(t)) = 0, (7)
(8)
lim X k = X * = const, lim X2 k = X2 * = const.
k —w k—w
Задача 2. Если вектор помех удовлетворяет ограничению (4), но противоречит условию (3), то при любых начальных условиях и любом ^еН синтезировать систему со свойствами
lim || e(t) ||= lim || x(t) - x(t) ||< а = const, (9)
t——w t——w
lim x1 k <X1 * = const, lim x2 k < X2 * = const. (10)
k—w k—w
Решение задачи 1 будем осуществлять, выделяя соответствующие этапы синтеза адаптивных систем управления, основываясь на методике построения ГСПАУ, идея и суть которой изложены в работах [1-9].
Первый этап синтеза. Рассмотрим решение задачи построения алгоритмов настройки для системы со скалярным управлением, т. е. случай, когда она описывается уравнениями
dx(t) dt
Ax (t) + bu(t) + f (t) , y(t) = LTx(t) ,
(11)
uk = Xi,krk + x2 kУk, yk = y(tk) , u(t) = uk при tk <t < tk+1 ,
(12)
dx(t) dt
AMx(t) + bMr(tX y(t) = Lx(t).
(13)
В предположении отсутствия помех, малости шага дискретизации т и, используя обозначение
e(t) = x(t) - x(t), (14)
а также учитывая соотношение (12) и условия структурного согласования A
A = bxl*Lr,
bM = bXi *, можно в ходе преобразований результата вычитания первого уравнения (11) из первого уравнения (13) получить следующее эквивалентное математическое описание исследуемой системы:
de(t) = AMe(t) + bV(tX v(t) = gLe(tX (15)
dt
Vk = (X,* - Xi,k )rk + (X2,* - X2,k )Tyk, (16)
V(t) = Vk при tk < t < tk+^ (17)
где v(t) е R1 - обобщенный выход эквивалентной системы; g - постоянный вектор, элементы которого подлежат выбору.
Второй этап синтеза. Проведение синтеза на этой стадии разработки ГСПАУ состоит в разрешении проблемы положительности относительно линейной стационарной части (ЛСЧ) исходной системы управления с эквивалентным математическим описанием вида (15), (16), (17). Стандартный подход к решению такой задачи - обеспечение свойств вещественности и положительности передаточной функции линейной стационарной части системы:
W(Л) = gTLT (AE - Am )-1 b
gTLT (ЛЕ - Am )+ b det(A£ - Am ) ’
(18)
где E - единичная матрица; (ЛЕ - AM)+ - матрица, присоединенная к матрице (ЛЕ - AM) . Известно, что для получения W(Л) с указанными свойствами необходимо и достаточно вектор g выбрать таким образом, чтобы в условиях априорной неопределенности (5), полином gT L (ЛE - AM )+ b был бы гурвицевым степени (n -1) с положительными коэффициентами.
Третий этап синтеза. Для нелинейной нестационарной части (ННЧ) исследуемой системы необходимо показать справедливость следующего неравенства:
k1
Г(0, k1) = RVk > -7о = const, Vk1 > о, v = v(tk). (19)
k=0
При решении проблемы положительности ННЧ исходной системы (15), (16), (17), воспользуемся результатами нелинейного преобразования и рассмотрим вместо неравенства (19) неравенство, записанное относительно нелинейно преобразованной системы:
k1
r/(0,k1) = ~^Mkzk > -г1 = const, Vk1 > 0 zk = z(tk), z(t) = gTLTe(t) || e(t) ||? . (20)
k=0
Используя уравнение (16), получим:
k=0
j((XU -X1,*)rk + (^2,k -Xi,-*)TУк)zk > -/о- (21)
Теперь положим:
Xu =Xi,k-1 + Ф( zk X (22)
или
X2,k = X2,k-1 + ф(Zk ), (23)
k Xu = Еф( z,) + Xl,-l, i=0 (24)
k X2,k = ЕФ(Z, ) + X2,-1, (25)
тогда получим неравенство:
f k
f k
У
П(0, k1) = jZk j?(zi) + Xi,-1 - Xi,* rk + j zk j^z,) + ^2,-1 - X2,* yk > -/ , (26)
k=0 v i=0 J k=0 v i=0 J
которое будет выполняться, если оба члена левой части удовлетворяют неравенству того же типа. Для определения явного вида функций ф и ф, удовлетворяющих неравенствам, воспользуемся следующим соотношением:
k1 С _к Л 1
j Fk j F+с' 1
k=0 V i=0
2
f ( k1 Л2 k1 ^
j Fk + C +j Fk2 - C2
Vk=0 J k=0
где C = const. Используя (27), получим функции ф и ф в виде
>-1 с2, 2
(27)
k
i=0
k
ф(zfe) = hzkrk, h = const > 0, (28)
ф(zk) = H2ЧУк, H2 = dagfa., i h2i = const > 0 i =1, h (29)
алгоритмы адаптации коэффициентов регулятора
Xu = XU-1 + h1zkrk, (30)
X2,k = X2,k-1 + H2Zkyk • (31)
Рассматривая вопрос технической реализуемости алгоритмов (30), (31), необходимо указать, что для их реализации требуется полностью измерять вектор состояния объекта (11). В тех случаях, когда вектор состояния ОУ измеряется не полностью, алгоритмы адаптации (30), (31) должны быть модифицированы. Для этой цели, опираясь на результаты приложения к работе [6], перепишем неравенство (20) следующим образом:
k1
Л(0,k1) = -jUkzkФk > -/0 = Vk1 > а (З2)
k=0
где введена функция Фк > 0, которая явно описывается уравнением
ф = ч\КII9, q = 0,1,2,••• (33)
Как показано в [6], если разрешимо неравенство (32), то из этого следует и разрешимость (20). Следовательно, выполняя синтез адаптивных алгоритмов по приведенной выше схеме, но используя вместо выражения (20) соотношения (32), (33), находим, что алгоритмы (30), (31) получат следующую модифицированную форму:
Xu = XU-1 + Vk11 vk ||q rk, (34)
X2,k = X2,k-1 + H2Vk WVk Г yk • (35)
Четвертый этап синтеза. В силу решения в системе управления (15), (16), (17) проблем положительности ЛСЧ и ННЧ, причем для любых начальных условий, и при наличии априорной неопределенности (5) эту систему, согласно критерию гиперустойчивости, следует считать асимптотически гиперустойчивой [9]. Таким образом, благодаря выполнению предельного соотношения lim e(t) = 0 цель управления вида (7)
t^X
также имеет место. При этом с учетом явного вида алгоритмов самонастройки коэффициентов регулятора, очевидно, будут выполнены предельные соотношения lim Xu = const, lim Xu = const, отвечающие
k^x 1 k^x ’
требованиям соответствующих целевых условий (8).
Решение задачи 2 возможно за счет огрубления полученных алгоритмов самонастройки путем введения в
контур адаптации местных дополнительных обратных связей [5].
Литература
1. Шевко Д. Г. Алгоритмы настройки для гибридной системы управления с запаздыванием. // Молодой ученый. - 2014. - № 19. - С. 262-263.
2. Шевко Д. Г. Гибридная система прямого адаптивного управления неминимально-фазовым объектом. // Информатика и системы управления. - 2012. - № 1. - С. 112-120.
3. Шевко Д. Г. Критерий гиперустойчивости и синтез нелинейно-преобразованных гибридных систем прямого адаптивного управления. // Вестник Амурского государственного университета. Серия: Естественные и экономические науки. - 2012. - № 57. - С. 65-69.
4. Шевко Д. Г. Метод синтеза гибридных систем адаптации. // Молодой ученый. - 2014. - № 21. - С. 251253.
5. Шевко Д. Г. Модели и алгоритмы нелинейно преобразованных гибридных систем прямого адаптивного управления: дис. ... канд. техн. наук. - 2003. - 149 с.
6. Шевко Д. Г. Синтез и нелинейные преобразования гибридных систем прямого адаптивного управления. // Информатика и системы управления. - 2002. - № 2. - С. 133-144.
7. Шевко Д. Г., Козюра В. Е. Гибридная система управления с запаздыванием по состоянию. // Молодой ученый. - 2015. - № 1. - С. 113-115.
8. Шевко Д. Г., Козюра В. Е., Павельчук А. В. Способы построения гибридных систем управления. // Молодой ученый. - 2015. - № 7. - С. 225-226.
9. Landau I. D. Adaptive control systems: the model reference approach. - N.Y.: Marsel Dekker, 1979. - 406 p.
