Адаптивная система управления Г-периодическими нелинейными объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 681.511;62-506

АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ 7-ПЕРИПДИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ПБЪЕКТАМИ

Е. Л. Еремин, М. С. Капитонова

Амурский государственный университет, г. Благовещенск

Рассмотрена задача синтеза адаптивной системы управления для нелинейных периодических скалярных объектов с применением неявной эталонной модели и метода синтеза, основанного на применении критерия гиперустойчивости. Структура контуров самонастройки коэффициентов адаптивного регулятора формируется как с помощью периодических, так и интегрирующих блоков.

ВВЕДЕНИЕ

В современных технических системах важную роль играют периодические (с той или иной степенью повторяемости) процессы, например, циклические режимы механических систем типа индустриальных роботов, режимы работы металлообрабатывающих станков с программным управлением, производящих серию одинаковых деталей, и др. На каждом цикле работы, как правило, системы управления подвержены действию помех, проявляющихся практически одинаково (циклические возмущения).

Таким образом, среди множества систем автоматического управления различного назначения можно выделить класс систем, у которых задающие и возмущающие воздействия представляют собой некоторые сигналы постоянного периода Т, основная задача управления в таких Т-периодических системах обычно сводится к минимизации ошибки управления.

Для решения одной из подобных задач предлагалось использовать «модифицированную следящую систему с памятью (ССП) в цепи обратной связи» или так называемую систему управления циклического действия [1, 2]. Отличительная особенность таких систем управления состоит в наличии в ней внутреннего контура с положительной обратной связью и блоком запаздывания в контуре, благодаря которому система как бы «приспосабливается» к периодическим как задающим, так и возмущающим воздействиям. Указанная задача была решена для асимптотически устойчивых стационарных линейных систем с известными параметрами, в которых передаточная функция объекта управления удовлетворяла требованиям вещественности и положительной определенности.

Решение аналогичной задачи построения непрерывных и дискретных периодических систем управления рассматривалось, соответственно, в работах [3, 4], где при наличии периодических возмущений был осуществлен синтез систем на основе принципа внутренней модели, т. е. путем введения в основной контур управления генератора периодических сигналов. Такая схема получила название повторяющегося управления (repetitive control) или P-интегратора. Данный метод стабилизации возмущений получил развитие в работе [5], где описаны результаты разработки и внедрения самообучающихся электроприводов подачи токарных станков для финишной обработки деталей.

Зачастую управление происходит в условиях существенной нестационарности и нелинейности динамических характеристик объекта управления, вследствие чего качество процесса управления может ухудшиться или вообще произойти потеря устойчивости. В таких случаях целесообразно применять методы адаптивного или робастного управления, позволяющие сохранить работоспособность систем при наличии априорной неопределенности, нелинейности и нестационарности в объекте управления.

В настоящей работе рассмотрен один из возможных вариантов построения беспоисковых систем прямого адаптивного управления для нелинейно-нестационарного T-периодического объекта. Метод решения данной задачи основан на применении специального типа алгоритмов параметрической настройки адаптивных регуляторов [6]. Структура контура самонастройки выбирается подобно структуре регулятора, рассмотренного в работах [1, 2, 7], а синтез системы управления циклического действия опирается на критерий гиперустойчивости В. М. Попова, т. е. связан с построением устойчивых в целом нелинейных систем управления первого типа [8].

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ

Рассматривается нелинейный нестационарный SISO-объект (single input-single output, т. е. объект с одним входом и одним выходом или скалярный объект), динамика которого описывается уравнениями

= A(t, x)x(t) + B(t)M(t) + /(t),

y(t) = gTx(t),

где x(t) e Rn — вектор состояний; w(t) e R — скалярное управление; y(t) e R — скалярный выход, образованный вектором gT = (gj, g2, ..., gn); /T(t) = /T(t + T) = (0, ..., 0, fn(t)) — вектор возмущений, |/n(t)| < const; A(t, x) — нелинейная нестационарная матрица; B(t) = B(t + T) — нестационарный T-периодический вектор вида B(t) = B,(1 + p(t)) = B,(1 + p(t + T)),

|p(t)| < 1, T = const > 0,

T

где вектор B* = (0, ..., 0, 1); p(t) = p(t + T) — скалярная функция.

Предполагается, что матрица A(t, x) представима следующим образом:

A(t, x) = Д, + A (t, x), A* = A0 + x0B* gT,

A (t, x) = B»0T(t, x),

9T(t, x) = (S^H^O, ..., x^t)), ..., Зи^фп^О, ..., x^t))),

|S,-(t)| < S0j = const, i = 1, и , где A, — стационарная матрица; A0 — гурвицева матрица;

Х0 = const < 0 — скалярная величина; A (t, x) — матрица, элементы которой являются произведениями функций S;(t) = S;(t + T) и функционалов ф^^О, ..., xn(t)), i = 1, и . Это позволяет исходный объект эквивалентно преобразовать к виду

diO = Aox(t) + B,((1 + p(t)M0 + (1 + p(t)) s

s (XogT + ^T (t, x))x(t) + /n(t)),

4x) - X0gp(0 t n4

° (t, x) = ----- ---77;-, y(t) = g x(t), (1)

1 + P( t)

а условия априорной неопределенности, в которых он функционирует, описать соотношениями

A* = (A*)^, g = g^, p(t) = p^t), 9(t, x) = ^(t, x),

/(t) = /Х0, k є H,

(2)

где k — набор всех неизвестных параметров; H — известное множество возможных значений k.

Пусть элементы вектора состояний объекта доступны измерению, тогда структуру адаптивного регулятора можно задать уравнениями

u(t) = ku(t) - XT(t)x(t), X(t) = X^Wg + X^pW, (3)

где k = const > О — скалярная величина; X(t) є Rn — вектор коэффициентов настройки контура адаптации; Xинт(t) є R и X^W є Rn — соответственно, интегральная

и периодическая составляющие; и(0 — выход генератора периодических сигналов вида

и(0 = и(/ - Т) + г(0, (4)

на вход которого подается рассогласование

г(0 = г (0 - у(0, (5)

где г (?) = г (? + Т) є В — задающее воздействие.

Желаемая динамика в системе (1)—(5), аналогично

[9], формируется уравнениями строго минимально-фазовой неявной эталонной модели:

^х*( ?)

= A0x*(t) + B*ku*(t) + /(t),

y*(t) = gTx*(t) = r (t) = r (t + T), u*(t) = u*(t + T).

(6)

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для замкнутой системы управления (1), (3)—(5) с эталоном (6), функционирующей в условиях априорной неопределенности (2), требуется определить явный вид алгоритмов настройки хинт(0 и Хпер(0 таким образом, чтобы при любых начальных условиях х(0), хпер(0), Хинт(0) = 0, обеспечивалось выполнение как цели управления

Нт (г(?) - у(?)) = Нт (у»(г) - у(?)) = 0, (7)

t —— ТО t —— ТО

так и целей адаптации tlim XH

t —— то

т(0 = xUht = const,

tl—mXпер(t) = Xnep = Xnep (t + T).

(8)

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ

При разработке адаптивной системы управления будем опираться на критерий гиперустойчивости, в соответствии с которым устойчивость нелинейной системы управления в целом рассматривается как следствие, вытекающее из свойств ее составных частей. А именно, из требований вещественности и положительности передаточной функции линейной стационарной части системы (ЛСЧ) и условий разрешимости интегрального неравенства В. М. Попова (ИНП) для ее нелинейной нестационарной части (ННЧ). При синтезе алгоритмов адаптации системы управления будем следовать методике, изложенной в работе [10].

На первом этапе, если ввести в рассмотрение вектор рассогласования состояний объекта управления и эталонной модели е(?) = х*(г) — х(?), то в результате соответствующих преобразований уравнений системы управления (1), (3)—(5) и (6) можно получить ее эквивалентное математическое описание в виде

^ = 4,^(0 + адо, г(?) = у„(0 — у(0 = /Ф), (9) Ц(0 = —к((1 + р(0М?) — и.(0) + (1 + Р(0)(хЖр(?) —

— §(/, х))тх(?) + (1 + р(0)(хИнт(?) — ХоМО, (10)

где г(0 — эквивалентный выход, ц(?) — видоизмененное управление. В полученной форме записи соотношения

(9) описывают ЛСЧ исследуемой системы, а выражение

(10) — ее ННЧ.

На втором этапе требуется решить проблему вещественности и строгой положительности ЛСЧ системы, рассматриваемую относительно ее передаточной функции

т к#Т( дЕ - 4°)+В*

Жлгч(*) = к/(*Е — 40) !В, = ^ °;

det( sE - Ao) ’

где (sE — A0)+ — присоединенная матрица матрицы (sE - A0).

Известно [9, 10], что передаточная функция WJC4(s) обладает свойствами положительности и вещественности, т. е. удовлетворяет частотному условию

ReWjiC4(» > 0, Vq 1 0,

в частности, тогда, когда при достаточно большом значении |х0|, существует такой вектор g, что числитель пере-

T +

даточной функции ЛСЧ, т. е. полином g (sE — A0) B,, — гурвицев степени (и — 1) с положительными коэффициентами. Будем полагать, что для объекта (1) вектор g удовлетворяет указанным условиям, и поскольку, как будет показано далее, в процессе самонастройки всегда найдется требуемое значение скалярной величины х0, то можно считать требования положительности и вещественности WJC4(s) выполненными.

На третьем этапе необходимо выполнить ИНП, общий вид которого можно описать соотношением

t

n(0, t) = — J p.(s)z(s)ds 1 —у2, у2 = const, Vt > 0, (11)

0

т. е. обеспечить выполнение указанного неравенства путем определения явного вида алгоритмов самонастройки адаптивного регулятора.

Для получения указанной оценки осуществим ряд действий: прежде всего, опираясь на эквивалентную систему (9), (10), приведем интеграл в левой части ИНП

(11) к следующему виду:

t

П(0, t) = — J p.(s)z(s)ds = n+(0, t) + n2(0, t) + n3(0, t) =

0

tt = k J (1 + p(s))(u(s) — u(s))z(s)ds — J (1 + p(s)) s 00 s (Xnep(s) — §(s, x))Tx(s)z(s)ds —

t

— J (1 + p(s))(Xhht(s) — X0))y(s)z(s)ds,

0

где u(t) = u(t + T) — некоторая периодическая функция и*( t)

вида и (t) = ---— .

1 + Р( t)

Далее покажем, что, путем синтеза алгоритмов настройки параметров x(t) и u(t) в виде

u(t) = u(t — T) + z(t), (12)

Xi nep(t) = Xi nep(t — T) — e2i x,(t)z<t), (13)

dхинт( t) _

где P1, P2i = const > 0, u(s) = 0, Xinep(s) = 0, s e [—T, 0],

i = 1, и будут выполнены следующие неравенства:

t

П1(0, t) = k J (1 + p(s))(u(s) — u(s))z(s)ds 1 — y0,

0

П2(0, t) =

t

= — j(1 + P(s))(xnep(s) — §(s, x))Tx(s)z(s)ds 1 — y2 , (15)

Пз(0, t) = — j(1 + p(s))(Xhbt(s) — X0)y(s)z(s)ds 1 — Y2 ,

0

2 . 2 , 2 2 ,

где Yo + Y1 + Y2 = Y = const.

Действительно, с учетом выражения (14), слагаемое П3(0, t) можно преобразовать к виду

пз(0, t) = 2 Р21 (1 + p(t))((XHHr(t) — X0)2 — (Xhht(0) — X0)2) >

1 —1 P21 (Xhht(0) — X0)2 = — y2 = cons^ Vt > 0.

Для оценки слагаемых n1(0, t) и n2(0, t), докажем Утверждение. Если динамический контур задан уравнением

u(t) = u(t — T) + y(t), u(s) = 0, s e [—T, 0], (16) то для интегральной связи между его входом y(t) и выходом u(t) справедлива следующая оценка:

t

2

П0(0, t) = J <p(s)(u(s) — u0(s))y(s)ds 1 — Yo = const, (17) 0

Vt > 0,

где <p(t) > 0 и u0(t) = u0(t — T) — некоторые скалярные T-периодические функции.

Доказательство приведено в Приложении.

Таким образом, для n1(0, t) и n2(0, t) можно записать следующие неравенства:

П1(0, t) = k J(1 + p(s))z(s)f Jq0(s — h)r(h)z(h)dh — u(s)'jds 1

0 ^ 0 j

2

1 — Yo = const, Vt > 0,

n t / s

П2(0, t) = X P1; J(1 + p(s))x,(s)z(s) I J®0(s — h)u,.(h)z(h)dh —

і = 1 О

О

dt

= -P1y(t)z(t),

(T4)

■ 9(s, x) Ids 1 — X Y2j = — Yi = const, Vt > 0. j = 1

Очевидно, что справедливость соотношений (15) непосредственно подтверждает справедливость ИНП вида (11).

На четвертом этапе, в условиях априорной неопределенности (2), требуется проверить достижимость в системе (1)—(6), (12)—(14) целевых условий вида (7), (8), т. е. ее адаптивность в заданном классе Н.

Поскольку требования критерия гиперустойчивости на втором и третьем этапах синтеза системы управления были выполнены, то, аналогично работе [10], это означает асимптотическую гиперустойчивость как эквива-

О

лентной системы (9), (10), (12)—(14), так и исходной системы (1)—(6), (12)—(14). Таким образом, для системы управления (9), (10), (12)—(14) имеет место существование предельного соотношения

Иш е(/) = Иш (х, (/) - х(/)) = 0,

t —— 00 t —— ОО

и, как следствие, достижимость цели управления (7) в системе (1)—(6), (12)—(14).

Учитывая существование целевого условия (7), становится очевидным и выполнение целей адаптации (8). Действительно, в условиях (8), согласно выражениям (5), (7) и (13), будет выполнено второе предельное соотношение, а, учитывая выражения (5), (7), (14) и очевидное предельное соотношение

lim dХ ин ( t) = О,

t —^ OO £ft

(18)

будет достижимо и первое предельное соотношение.

Учитывая, что выполнение целевых условий (7) и (8) имеет место при любом наборе £ е 2, то систему (1)—(6), (12)—(14) можно считать адаптивной в заданном классе 2.

Отметим, что по окончании процесса самонастройки коэффициента хинт(0, согласно соотношению (18), всегда найдется такое значение х0, что его модуль будет таким большим, как этого требует второй этап синтеза.

Итак, аналитическая стадия проектирования адаптивной системы управления завершена, что позволяет приступить к одному из заключительных этапов ее создания — имитационному моделированию или вычислительному эксперименту. При этом обычно осуществляется подбор числовых значений тех параметров контура адаптации, размер которых может быть задан и влияет на качество функционирования системы в условиях априорной неопределенности.

4. ПРИМЕР

В качестве примера рассмотрим задачу управления системой (1)— (6), (12)—(14) со следующими матрицей и векторами:

A(t, x) =

Ґ 0 1 О О \ 0

0 О 1 О 0

0 О О 1 0

0 О О О 1

V a51 (t, x) a52(t, x) a53 (t, x) a54(t, x) a55(t, x) J

Г 0 " Г 0 "

0 0

B(t) = 0 0 v b 5 (t) j ; /(t) = 0 0 V /5 (t) v ,

где

a51(t, x) = a1 + ф1(х1, x2, ..., x5)51(t),

a52(t, x) = a2 + ф2(х1, x2, ..., x5)52(t),

a53(t, x) = a3 + ф^, x2, ..., x5)53(t),

a54(t, x) = a4 + ф4Ц, x2, ..., x5)54(t),

a55(t, x) = a5 + ф5(x1, x2, ..., x5)55(t);

s 1 ^2 S3 s 4 S5 -------------

ф/x^ x2, ..., x5) = h 1 x2 x3 x4 x5 , i = 1, 5 ;

51(t) = c1sinp n t; 52(t) = c2sinp n t; 53(t) = c3sinp n t;

54(t) = c4sinp n t; 55(t) = c5sinp n t;

b5(t) = 1 + bsinpn t; /5(t) = de1 sinпґ

m;

g = (gi g2 gs g4 ^5)-Для имитационного моделирования значения указанных параметров выбирались произвольным образом из заданных диапазонов:

4 m a1 m 7; -2 m a2 m -0,2; 10 m a3 m 17;

-8 m a4 m -4; -4,5 m a5 m 1;

100 m h m 350; 0 m s. m 3; i = 175 ;

24 m c1 m 37; -0,5 m c2 m 2; 15 m c3 m 25;

8 m c4 m 16; -0,5 m c5 m 1;

0 < b < 1; 0,1 m p m 2; 0 < d m 1,5; 0,1 m l m 2;

0 m m m 2;

1 m g1 m 4; 0,1 m g2 m 2; 5 m g3 m 10; 0,4 m g4 m 1; 0,1 m g5 m 0,5.

В частности, один из вычислительных экспериментов проводился при наборе данных:

a1 = 6, a2 = -0,5, a3 = 11, a4 = -5, a5 = -2;

h = 300, ф1 = 300x4x5, ф2 = 300x^ x2 ,

2

ф3 = 300x1 x3 x4x5, ф4 = x1 x3 x4x5, ф5 = 300x5,

c1 = 30, c2 = 1,5, c3 = 25, c4 = 15, c5 = 0,5, b = 0,8, p = 0,5, d = 0,1, l = 1, m = 0,3, gi = 1 g2 = 0,2, g3 = 5, g4 = 0Д g5 = 0,2_

Задающее воздействие r (t) формировалось в виде функции:

r (t) = 0,2(e0’5(1 - cos2 п 0 - 1) - 0,2(1 - cos П t), а начальные условия были следующими:

x(0) = 0, Хинт(°) = 0, Хпер(°) = 0-

Рис. 1. Изменения параметров a54(t, x), a55(t, x) и b5(t) в объекте управления

В ходе нескольких сеансов имитационного моделирования были выбраны следующие значения числовых параметров контура управления:

рп = 2000; р12 = 2000; р13 = 1800; р14 = 800; р15 = 200; р2 = 1000; к = 1000.

Рис. 2. Задающее воздействие г(?) и выход объекта управления у(?) при постоянно действующем возмущении /(Г)

Рис. 3. Динамика изменения ошибки г(г)—у(г)

Рис. 4. Процесс настройки параметра хинт(0

Рис. 5. Процесс настройки параметра хпер(0

Некоторые динамические процессы в исследуемой системе показаны на рис. 1—5.

В качестве средства компьютерного моделирования использовался пакет Siшulink программной среды МА^АБ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен способ построения системы управления нелинейными Т-периодическими скалярными объектами. В отличие от известных структур систем управления циклического действия предлагаемый контур адаптации наряду с периодическими содержит и интегрирующий блоки настройки. Это позволяет обеспечить асимптотическую устойчивость системы управления и, как показывают результаты имитационного моделирования, достаточно хорошее качество ее функционирования.

Предложенный способ построения адаптивной системы управления может применяться и для решения задач управления динамическими SISO-объектами в тех случаях, когда переменные состояния не доступны измерению. При этом, аналогично работе [11], достаточно в основной контур управления ввести дополнительный фильтр для получения оценок переменных состояния объекта.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения. Запишем уравнение (16) по Лапласу и определим его передаточную функцию

(П.1)

которой соответствует импульсная переходная характеристика

да

*о(0 = Е ^ - /Т), (П.2)

/ = о

где 5(^ — /Т) — функция Дирака.

Действительно,

да да да

W0(s) = |w0(t)exp(—st)dt = | Е 8(7 — /Т)ехр(—st)dt =

о і = о

= I

|Ь(і — іТ)ехр(—st)dt I = I р 11(і — іТ)ехр(—st)dt I =

і = 0^ о

I ехр(-і5Т)

і = о

1

1 - ехр (-5 Т) ’

(П.3)

Тогда, с учетом выражений (П.1)—(П.3), уравнение (16) можно переписать в виде

t

и(0 = | м(7 — s)y(s)ds,

0

а в левой части неравенства (17) представить интеграл следующим образом:

t (8 л

п0(0, 0 = |ф^)у^) |— h)y(h)dh — и*^) Ids. (П.4)

о ^ о '

Принимая во внимание периодичность функции и*(0 = = и*^ — Т), построим ее изображение. Поскольку период и*(0 равен Т, то с помощью некоторой функции у*(0, совпадающей с и*(0 на интервале (0, Т) и равной нулю вне этого ин-

о

30

30

о

о

о

тервала, процесс формирования сигнала u*(t) можно описать уравнениями

u*(t) = u*(t — T) + v*(t), T = const > 0, u*(s) = 0, s e [—T, 0],

[0, t< 0,

V*(t) = j u,(t), t e (0, T), i 0, t > T,

а его изображение определить в виде 1

u»(s) =

■ v„(s) = WiCs^Cs).

(П.5)

1 - exp(-sT)T*v"/ ' 0’

При этом, аналогично соотношению (П.2), для уравнения (П.5) будет справедливо равенство

t

u*(t) = J w0(t — s)v*(s)ds. (П.6)

0

Теперь, опираясь на соотношение (П.5), выполним для интеграла (П.4) эквивалентные преобразования:

2

m Yo = const, (П.9)

П0(0, 0 = |ф(я)у(я) I |м0^ — ^у(^й% — и,(я) I&

о

t 8

= |(у(я) — у.С5)) |— h)(v(h) — ^*№)й%йЬ' +

оо t 8

+ |^«(я) |м0(£ — h)(v(h) — уД/О^пЛ. (П.7)

оо

С учетом явного вида функции ^*(0, второй интеграл в правой части выражения (П.7) можно представить в эквивалентной форме записи:

t 8

|Ф^)^*^) |м0^ — h)(v(h) — =

оо

Т 8

= | ф(У)^*^) |м„(£ — h)(v(h) — (П.8)

оо

и применить оценку в виде ограничения сверху:

t 8

|Ф^)^*(^) |м0^ — h)(v(h) —

о о

> 0.

Первый интеграл в правой части выражения (П.7) может быть ограничен снизу:

t 8

/фС*)(уС5) — у.С*)) |М,(* — h)(¥(h) — у„да)йй* 1 0, (П.10)

оо

> 0.

Это будет выполнено тогда, когда импульсной переходной функции ш0(7) соответствует передаточная функция (П.1) со свойствами положительности и вещественности, т. е. удовлетворяющая выполнению как неравенства

ReW0(s) > 0, Ую, (П.11)

так и условий:

— функция Ж0(£) не имеет полюсов в полуплоскости Re[s] > 0;

— на оси Re[s] = 0 функция Ж0(£) имеет только простые полюсы, причем вычеты функций в этих полюсах вещественны и положительны.

Прежде всего, выполнение требования (П.11) относительно функции (П.1) очевидно, поскольку

Re

І

1 - cos ш T

І

1 - exp(-./'ш TУ (1 - cos ш T)2 + sin2<dT 2

Далее, решением уравнения

1 — exp(—sT) = 0

= т > 0, Vrn.

является выражение

= /

■2 п k

k = 0, ±1, ±2,

(П.І2)

следовательно, передаточная функция не имеет полюсов в правой полуплоскости.

Наконец, как следует из соотношения (П.12), функция ^(у) имеет только простые полюсы, причем вычеты функций в этих полюсах вещественные и положительные. Действительно, в силу известных преобразований, получаем

ReW0{s)s = s = lim f1 - exp (-sT)

= І > 0. T

Следовательно, передаточная функция (П.1) удовлетворяет неравенству (П.11), не имеет полюсов в правой полуплоскости корней, на оси Re[s] = 0 имеет только простые полюсы, и вычеты функций в этих полюсах вещественны и положительны. Другими словами, оценка (П.10) имеет место.

Таким образом, левая часть соотношения (17) или интеграл (П.4), с учетом выражений (П.7)—(П.10), будет удовлетворять оценке вида

П0(0, t) = Iф(^)^(^)I Iw0(s — h)^(h)dh — u*(s) I ds

оо что и требовалось доказать.

Vt > 0,

ЛИТЕРАТУРА

1. Закс В. С. Об одной возможности повышения точности регулирования в следящих системах циклического действия // Автоматика и телемеханика. — 1981. — № 1. — С. 170—174.

2. А. с. 723510 СССР. Система автоматического регулирования / В. С. Закс // Бюл. — 1980. — № 11. — С. 193.

3. Repetitive Control System: A New Type Servo System for Periodic Exogenous Signals / Hara Shinji, Yamamoto Yutaka, Omata Tohru, Nakato Micho // IEEE Trans. on automatic control. — 1988. — Vol. 33, N 7. — P. 659—668.

4. Цыпкин Я. З Синтез робастно оптимальных систем управления объектами в условиях ограниченной неопределенности // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 9. — С. 139—159.

5. Кацевич В. Л., Королев В. В., Никольский А. А. Применение самообучающихся электроприводов подачи токарных станков для повышенной точности формы серийных деталей // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2004. — № 5. — С. 21—25.

6. Еремин Е. Л. Новый тип алгоритмов параметрической настройки адаптивных регуляторов для систем управления нестационарными T-периодическими объектами // Информатика и системы управления. — 2003. — № 2. — С. 100—110.

7. Пат. 2265873 РФ. Адаптивная система управления для динамических объектов с периодическими коэффициентами / Е. Л. Еремин, М. С. Капитонова, Л. В. Чепак // Бюл. — 2005. — № 34. — С. 380.

8. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. — М.: Наука, 1970. — 456 с.

9. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. — М.: Наука, 1990. — 296 с.

10. Еремин Е. Л., Цыкунов А. М Синтез адаптивных систем управления на основе критерия гиперустойчивости. — Бишкек: Илим, 1992. — 182 с.

11. Еремин Е. Л. Алгоритмы адаптивной системы управления с явно-неявной эталонной моделью для строго минимально-фазового объекта // Информатика и системы управления. — 2004. — № 2. — С. 157—166.

e-mai/: eremin@amursu.ru

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Б. В. Павловым. □

S

S