CC BY
9
Уда 539.3: 533.6: 517.9
П.А. ВЕЛЬМИСОВ, Н.И. ЕРЕМЕЕВА
1 ^* I
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА
Предложен численный метод решения задачи о колебаниях вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке газа, основанный на применении метода Бубнова-Галеркина, с последующим сведением получаемой системы интегро-дифференциальных уравнений к век-торному уравнению Вольтерра второго рода. Сформулированы условия корректности построенного метода.
Рассматривается плоская задача о колебаниях вязкоупругой пластины на упругом основании, расположенной вдоль оси х (у = 0,0<х<а) и шарнир-
но скрепленной с абсолютно жестким экраном (у = 0, х < 0 ,х>а) при одностороннем безотрывном обтекании (у> 0) безвихревым сверхзвуковым по-
V ' • * ■ V
током идеального газа (рис. 1). .
и
У
ТДАЛАД/
О а
Рис. 1
>
X
При больших значениях числа Маха набегающего потока аэродинамиче-
/
ские силы, действующие на пластину, равны (3
ГГдч? дм
и—+
\
ч
/
ох ы
прогиб пластины. Тогда уравнение колебаний пластины примет вид
, где м/=и{м) -
Лэ4^ 7
о
/' дю Эи>% II — +—
дх дГ
пд2м> + Р—г- + т
\
д2п
7—сь. + т
дх ды
дх2
ы
+
/
+ р,— + Р0^ = 0, 0 < х < а^ >0.
5/
(1)
Здесь В - изгибная жесткость, Р - сжимающая (или растягивающая) сила, т - погонная масса, и - скорость потока, (30 - жесткость основания, р, -
коэффициент демпфирования основания, К(х,() - ядро релаксации.
^2 /0 л
С данным уравнением свяжем граничные н(0,/)=1^/) = 0, — =
дх
/ Лч дм(х$) ( ч
=---- = 0 и начальные ту(х,0) = 0, —1—- = Д.х) условия.
дх д(
Для численного решения уравнения (1) воспользуемся методом Буб-нова-Галеркина. Согласно этому методу будем искать решение задачи в виде
*=1 а
Подставляя данное разложение в уравнение (1), получим систему интег-ро-дифференциальных уравнений для ук, (к = 1
Д2
и
'тс*44
V а)
г/ тек
• V ч а
т
У
о
■У А)
ч а ,
т
- 0.
Л Ш ж /•# 1М4
/=1 а Л77
(3)
о
Обозначим ги = <!
4(ЗШ /Л
^—четностьЦ) * четности\к\
4 ( ккЛ
- Р ---
V а ) 1а;
+ Ро
т
I = к,
О
ёк=~ т
/ , \ 4
ш
V о
>
/ Р + 01 ^
> й - • I огда система (3) принимает вид
у1 (0+М(0+1 (0 = ^ (т)Л, к = 1......#.
/=1 о
(4)
Пусть V, (г) =
/ \ я
/
Л
8\ 0 ... 0 0 ... 0
У'2
К
у»)
>?3 (0 =
' у';л
Ут.
V
,с =
\
N
Ч
о о
/
ги 2\г г21 222
к;
N
■п)
% о о ъ
о о
\
• •
• • • •
V
0 0 ... ь
)
^\N
V
>ск=- ]*ш—/(х)е1х
а
о
••• ^дгдг У
Тогда система уравнений (4) может быть представлена в виде
г /
V, (0 = |у2 (т)Л, о
г
0
1 . ч * л \ ; л -
V, И = /[^(т.^у, (т)-£у3 (т)- 2у2 (т)>1 - Вс.
А
(5)
о
Последняя система в свою очередь сводится к векторному уравнению Вольтерра второго рода
к(г)=р?(тд)к(т Ут + С,
(6)
о
' 0 £ о > / — \ 0
где К(?) = 0 0 Е ; с = с
-г / -5с V /
; 0 и Е - нулевая
и единичная матрицы порядка N; б - нулевой вектор порядка N.
Для численного решения уразнения (6) можно использовать метод итераций, так как некоторая степень преобразования А:Ь—>Ь, / '
р?(т,/)к(т)А + С является сжатием (I - линейное пространство век-
о
торных функций у(() =
к (0;
, где V,. е С[0 7-]; / = 1 ...п; /7 = 3//).
Пусть К,(г), К2(/) некоторые элементы, принадлежащие Ь, тогда
грт
АтЩ- АтУ2(г| < Мт • тахЩ)-Уг{}\
где М = тах||/?(х,г|. т! 'л
Очевидно, что для любого фиксированного значения Т и конечного числа М существует такой номер К, что \/к>К выполняется неравенство
< 1. Тогда, начиная с этого номера К, отображение Ак будет сжи-
МкТк
к\
мающим. Это означает, что уравнение имеет единственное ре-
шение и это решение можно получить методом последовательных итераций. Для организации итерационного процесса возьмем в качестве нулевого
приближения V0 =
'б1
V? II 0
ТО
V 3 \ /
и каждое следующее приближение будем на-
ходить по формуле
Vм =
Г-ш Л
У2М
О**,
\ ^ У
0 /
^ (0 = И М*+
О
о
При расчетах на ЭВМ неизбежны вычислительные погрешности. Поэто-
Вестник УлГТУ 3/2001
му, если решение исследуемой задачи не обладает свойством: малому изменению входных данных (коэффициентов уравнения, начальных условий) соответствует малое изменение решения, то численный метод может привести к неверному решению.
Докажем, что решение уравнения (6) является устойчивым, то есть оно непрерывно зависит от начальных условий и коэффициентов уравнения.
Рассмотрим на множестве Ь векторных функций Р(л) еще одно преобра-
/
зование В: ¥{()-> |7?(т,/)к(т)б/т. Очевидно, что В- линейный оператор, и
о
уравнение (6) можно записать в операторном виде
Щ=вЩ+С. (7)
Зафиксируем в Ь некоторый базис, тогда уравнение (7) переходит в матричное
ф = Яф + /, (8)
где ф - столбец координат векторной функции / - столбец координат С; В— матрица оператора В в фиксированном базисе. Уравнение (8) разрешимо относительно ф, так как вследствие единственности решения уравнения Вольтерра матрица (Е-В) всегда имеет обратную
(9)
ф = (Е-В)~] •/ = А-/ . Пусть ф|,ф2- решения уравнения (8) при / =/, и / =/2 соответственно.
Тогда $! -ф2 = \а(Г{ -/2)| < ||А|| • ¡(^ ~/2] . Это означает, если ||Д| ограничена,
то малым изменениям / (начальных данных) соответствуют малые изменения ф (решения задачи).
Пусть теперь ф,,ф2 - решения уравнения (8) при В = В} + АВ и В = В{ соответственно. Следовательно ? ф, -ф2 = Л• А# • ^, то есть ф, -ф:
Л|| • ||АВ| • ф
. А так как
ф
л,/
<|А,|- I , то опять получаем, если ||Л|(
ограничена, то малому А В (изменению коэффициентов уравнения) соответствует малое изменение ф (решения задачи).
Итак, для доказательства устойчивости решения достаточно доказать ограниченность нормы матрицы Л. Обозначим У = X = -В.
'Георема 1. Если функция К(т,() такова, что числа М и /]>0,
для которых
Ф/-У.У
£
АМ'*! 1 д1+]К(х,1)
< -Г , ГДе ф: = =--Г"1-:—
(1+/+5)/ 4 и}\ дт'д?
, то неза-
1=0^=0
висимо от элементов матриц Х,У,С матрица А = (Е-В) 1 ограничена по норме (В - матрица соответствующего оператора Вольтерра, записанная в любом базисе).
Доказательство.
Выберем в качестве базиса в линейном пространстве Ь (Ь- множество
/
векторных функций =
V
• • •
м
, у;(/)еС[0т], / = 1...«) множество векторов
3 =
( 0 Го"! г0 • ( 2 Л Г
0 • • • 1 • 0 • у .. ^п 0 • • • ) еп+1 0 ■ • • е1п = 0 • • ♦ 0 • • • —• .. еЪл+1 = 0 • • •
10; 1ъ 1о> Kí) 10;
I
Для составления матрицы оператора |л(т,/)к(т)л найдем об-
о
СО 00
разы базисных векторов. Учитывая, что Я^О^ЕЕф/,/1^' > получим
1=0 у=о
^оУ + 5 + 1
Тогда матрица Л будет иметь вид
/
\
5 =
£
0 Г *
I* 2
ОТ
1.0
0,1
2
1-Б 2
1-Х
2
I*
3
ОТ,
2.0
1,1
ОТ,
0,2
1г
3
I*
3
1аг
3
V -
• • • • •
где
Пустым местам соответствуют нулевые матрицы порядка N.
Вестник УлГТУ 3/2001
Заметим, что у матрицы Е- В треугольная форма и все ее диагональные элементы равны 1. Следовательно \Е-В\ = 1, и матрица Е-В имеет обратную А = (Е-В)'\ которую можно найти методом элементарных преобразо-
/
ваний. Если обозначить £., =
/
ч
/
N
^Л'/./Уу
у
, где I.. -
эле-
менты матрицы Л, то матрица Л запишется в виде Е
/
Е
Е
Л =
ОТ
о.о
2
^6.2
£ А'
I* 2
I, 2
^>9.3
£
2
£
£
1
2-3
и
3
Л*
9 .3
I,
з
1
(?Р0, - Г 0,1 2
I* 2
I* 2 1
•1п
£
£
6.2
2-3 1
>6.3
1
1
2-3 1
£
I*
3
1
£
^12,1 ^12,2 ^12.3 ^12.4 ^12.5 ^12,6
0,2
3
Ау 1-х
3 3
£
£
• • •
••• ••• •••
Теперь оценим норму полученной матрицы, взяв в качестве нормы
у <
оэ
Л
1 1=1
Учитывая структуру матрицы Л, можно сделать выводы:
00
1) из сходимости рядов
м
] = л+ 1..-.оо;
001
, / = 1.../7 следует сходимость рядов Хг/\л>
ы
00 I I
2) ряды ^уу = 1...л ведут себя одинаково.
м
Поэтому для доказательства ограниченности |Л|| достаточно доказать
00 00
сходимость ряда XK.il где Равен сумме модулей слагаемых, из
которых состоит /,,.
Члены ряда задаются формулами:
/=1 \ /
/
N
^ЗМ+ЛЧ!
V
Щм+г N к!
1
^ЗМ-АМ
/
/
\
• • •
ЗЛ7 У
/ \ ^3 М+1 1 г \ • / \ ^ЗМ-АМ А в в
• • • ) А • • • 9
V
#N1
к=3
✓
'киГ
• • • м;ЗМ;+1 + + • • • Щ Ык+Ы М-2-к,к +
] [\SNNI $
+
1
1-1
• • •
к
в
+ ...+
/I
1 Ут[
• • •
Ум 1. /
+
+
1
/-1
и
• • I
\
и»
АЧ
/| Л
^зл^мЬлг*!
+ ...+
/
V
х
NN
у
1^3 //(м)
уу 00 2ЛГ
Обозначим С/ = Е (^зм-лг+л + + )> тогда £ ^ = 2>/ +
¿=1 '=1 1=1
'\N оо ™
+ > т0 есть вопрос о сходимости ряда сводится к выясне-
1=3 N+1 1=1 /=1
нию сходимости ЕС, - Сравним последний ряд с рядом 2/°.> где
¿=1 м N Л'
СО; = У Щм-ы+к • Так как Сг = А^^зт-ы+к =
¡Ы А=1
' 1 1 Л
1 + - + 7-Г
* (/ + 1>
V
00
/
, то ряды и
2СО,, ведут себя одинаково.
/=1
Итак, вопрос об ограниченности
СО ^ ^ --
ста ряда Е™зм-лч/с
,=1 /=1 ¿=1 \/=1 у
сю
ограниченности ||Л|| достаточно доказать сходимость Х^зм-лчл ПРИ фикси-
1=1
рованном к = 1....Л/\
00
Заметим, что члены ряда X ^зм-лч/с обладают свойствами:
/=1
1) старшая степень слагаемых, входящих в / -й член м>ш_Ыл.к, равна /.
со со
00 С 00
сводится к рассмотрению сходимо-
ч
. Значит, для доказательства
2) в I - м члене ровно (ТУ +1)' 2 слагаемых.
Используя эти свойства и оценку ¡Ч^], следующей из условия теоремы,
получим < уу(ТУ + 1)'~2#',где Н = тах{А>М^и,У{1,хи\, / = 1...ТУ,
00 ]
у = 1...ТУ. Очевидно, что ряд ——г~(ТУЧ1У~ Я' сходится, а значит ряд
00
X тоже сходится, и таким образом, теорема доказана.
/=1
Важным примером функции, удовлетворяющей теореме, является
Теорема 2. Функция K(x,t)= ^ такова, что V/,s
i ^
J^os + j + l
Х\¿s! 1 di+JK(x,t)
(l + i + s)!' ГДС i!j! dx'dt' ~
(то есть в условиях предыдущей
т=0,/=0
теоремы А = À,, M = ц).
Теорема доказывается методом математической индукции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 180 с.
2. Вельмисов П.А., Маценко П.К. О решениях одного интегродифференциального уравнения с симметричным дифференциальным оператором // Сб. Функциональный анализ. Ульяновск: Ульяновский гос. пед. ин-т, 1987. С. 44-50.
3. Вельмисов П.А., Маценко П.К. Устойчивость пластины из вязкоупругого материала в сверхзвуковом потоке газа // Сб. Взаимодействие оболочек со средой. Казань: КФ АН СССР, 1987. С. 160-166.
Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупру-гости, математической физике, устойчивости.
Еремеева Нина Игоревна, старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика»Димитровградского филиала Ульяновского государственного технического университета, окончила механико-математический факультет Московского государственного университета. Имеет статьи по аэрогидроупругости, устойчивости.
