CC BY
34
5/2011
ВЕСТНИК
МГСУ
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА БАЛОК-СТЕНОК С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ ЧАСТЬ 3: ЗАДАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
NUMERICAL IMPLEMENTATION OF DISCRETE-CONTINUAL FINITE ELEMENT METHOD FOR STATIC ANALYSIS OF DEEP BEAMS WITH PIECEWISE CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS IN BASIC DIRECTION PART 3: BOUNDARY CONDITIONS
Рассматривается численная реализация дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для задач статического расчета балок-стенок с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению. В третьей части работы излагаются вопросы задания граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению.
Numerical implementation of discrete-continual finite element method (DCFEM) for static analysis of deep beams with piecewise constant physical and geometrical parameters in basic direction is under consideration in the distinctive paper. The third part of the research is devoted to construction of boundary conditions.
Статические граничные условия на прямых xl = xl 1 и xl = xl N (части границы области со) для рассматриваемой конструкции учитываются, как правило, в векторе узловых нагрузок. Также следует принять во внимание статические граничные условия на остальных элементах границы (если заданы) и кинематические граничные условия.
8. Учет граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению конструкции.
Пусть xb2l, к = 1,2, ..,пк - координаты граничных поперечных сечений конструкции (рис. 8.1). Граничные условия в них записываются в виде [1]
где Вк,В+к, к = 2,..., пк -1 и В^, Вч - заданные матрицы коэффициентов граничных условий, квадратные 4N -го порядка; к = 2, ...,ик -1 и - заданные 4N -
мерные векторы правых частей граничных условий;
П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, В.Н. Сидоров P.A. Akimov, M.L. Mozgaleva, V.N. Sidorov
ГОУ ВПО МГСУ
ВДЖ* -_0) + ВД + 0) = gl +gi, к = 2,..,пк -1; в;их(х1+о)+-о) = ^,
(8.1) (8.2)
I I
Х 2Л Х 2,пи-1 Х2,Пк
хъ2 к ,к = 1, 2,...,пк - координаты граничных поперечных сечений Рис. 8.1. Пример расположения координат граничных поперечных сечений.
и;={74(х2)=[^ &)г]г , (8.3)
щ= и(х2) = №<*■")* (йГ)г ... , (8.4)
^ = ^(х2) = [(7™)г (¿ГУ .. (уГУУ. (8.5)
Рассмотрим задание некоторых стандартных типов граничных условий, поперечных по отношению основному направлению в форме (8.1)-(8.2) в произвольной граничной точке с координатой хь2к. Возможны три основных варианта граничной точки: 1) 1 < к <пк - промежуточная граничная точка; 2) к = 1 - крайняя левая (первая) граничная точка; 3) к = пк - крайняя правая (последняя) граничная точка.
Шарнирное закрепление. Для случая 1 < к <пк имеем граничные условия:
и^Чх^х^-0) = 0, и^>{хх,х1 -0) = 0, лц е[0Д]; (8.6)
и'У\хх,хь2,к + 0) = 0 , «2к)(х,<к+ 0) = 0, е [0,А]. (8.7) На дискретно-континуальном уровне вместо (8.6)-(8.7) имеем:
иГ1Л(<к -0) = 0, иГ'Чх1-0) = 0 , / = 1, 2,..., ЛТ; (8.8)
и^\хь2л +0) = 0, и2ад(хЬ,к+0) = 0, г = 1,2,...,ЛТ. (8.9) Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
и^^хЬл + 0) = 0, +0) = 0, хг е[0Д]. (8.10) Дискретно-континуальный аналог (8.10) имеет вид:
М;и)(х2Д +0) = 0 , и™{х"2л+ 0) = 0, г = 1,2,...,ЛТ. (8.11)
Для случая к = пк имеем следующие граничные условия:
"Г4"0) = 0, <к"'"0) = 0, е[°, А]. (8.12)
Дискретно-континуальный аналог (8.12) имеет вид:
<к-1Л(х^-0) = 0 , и(2к-и\<%-0) = 0, / = 1,2,...,ЛГ. (8.13)
Условия (8.8)-(8.9), (8.11), (8.13) представимы в форме (8.1)-(8.2). Алгоритм формирования матриц Бк и Б+к указан в таблицах 8.1 и 8.2 соответственно. Векторы , к = 2,..., пк -1 и ^ задаются нулевыми, т.е.
£ =0, £ =0, к = 2,...,Ик -1; ^=0, Гк = о. (8.14)
Идеальный контакт. Случаи к = 1 и к = пк здесь, очевидно, неактуальны. Рассмотрим случай 1 < к <пк, причем пусть
вк_и(х,х2) = 1, вк1(хрх2) = 1, I = 1,2,..., #. (8.15)
5/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
Таблица 8.1. Алгоритм задания ненулевых элементов матрицы Б+к при условии шар-
№ п/п Номера заполняемых элементов матриц Значение элемента матрицы Эквивалентное Условие
1 (2г-1,2г-1), г = 1,2,...,ЛТ 1 <'°(<к + 0) = 0, г = 1,2,..., N -1
2 (2/,2/), = 1, 2,..., N 1 <'°(<к + 0) = 0, г = 1,2,..., N -1
Примечание: При варианте 3 граничной точки матрица Б+к задается нулевой. Таблица 8.2. Алгоритм задания ненулевых элементов матрицы Бк при условии шар-
№ п/п Номера заполняемых элементов матриц Значение элемента матрицы Эквивалентное Условие
1 (2(ЛГ + /)-1,2/-1), г = 1,2,..., N 1 <к" 0) = 0, г = 1,2,..., N -1
2 (2(ЛТ + /) ,2) , / = ^^2,...,ЛТ 1 «Г'°( <к- 0) = 0, г = 1,2,..., N -1
Примечание: При варианте 2 граничной точки матрица Бк задается нулевой.
Для случая 1 < к <пк имеем следующие граничные условия:
и® (х,, х" + 0) - и?(х,, хь - 0) = 0 , Х1 е [0, ^ ];
2 <Л, ^.к + 0) " и2 " (Х1. к - 0) = 0 , Х1 £ [0, ] ;
цк ■ ([5Х4 ](* 1, х2". + 0) + ^ (х,, х+ 0)) -
- ц,• ([5^ ](* 1, х^ - 0) + V?-1» (х, , х"к - 0)) = 0
(8.16)
(8.17)
(8.18)
Л [5Х4 ](х1, х^ + 0) + (Лк + >2к) (*,, <к + 0) -
- Лк[дХ"' ](х,, х"к - 0) - (Лк_!+ 2ц,_х К"' (*,, <к - 0) = 0, х, е [0, /, ]. Дискретно-континуальный аналог (8.16)-(8.19) имеет вид:
и™«* + 0)-<"1Л(х^ -0) = 0, 1 = 1,2,...,ЛТ-1;
«Г«* + 0)-иГЛ«к -0) = 0, /= 1,2,..., ЛТ-1; [стЛ0^ + 0)-[егГТ«* - 0) = 0, / = 1,2,..., ЛТ-1; [ет^Т«* +0Ь[^ГТ« -0) = 0, / = 1,2,...,ЛТ-1;
После записи граничных условий в виде (8.20)-(8.23), переписываем их в форме (8.1)-(8.2), используя соответствующие формулы для деформаций и напряжений.
Алгоритм формирования матриц Б*к и Б~, учитывающих приведенные выше соотношения, описан в таблицах 8.3 и 8.4. Векторы к = 2,..., ик -1 задаются нулевыми, т.е. определяются формулой (8.14).
Свободный край. Рассмотрим ниже два наиболее характерных частных случая.
(8.19)
(8.20) (8.21) (8.22) (8.23)
При к = 1 имеем следующие граничные условия: Таблица 8.3. Алгоритм задания ненулевых элементов матрицы Б*к при условии идеального контакта в граничной точке ХЬ, , 1 <к <п, .
№ п/п Номера заполняемых элементов матриц Значение элемента матрицы Соответствующее условие
1 (/,2/ -1), / = 1 (8.20)
2 (N + 1,21), 1 = 1, 2,..., N 1 (8.21)
3 (2ЛГ + 1, 2) (/^//О-ЗД (8.22) г = 1
4 (2* + 1, 4) (^//о-ад)
5 (2ЛТ + 1, 2АГ + 1) Дм
6 (2# + /,2(/-1)), г = 2,3,..., N -1 1 N,'(1) 2 «¡_1 (8.22) г= 2,3,..., N -1
7 (2Ж + г, 2г), г = 2,3,..., N -1 1 2 ^ N2(1) N/(0) "¡-1 п
8 (2Ж + /,20 + 1)), г = 2,3,..., N -1 1 ^ N2 (0) 2 п.
9 г = 2,3,..., N -1 +
10 (3N,2N - 2) с«^., /V,) • а) (8.22) i = N
11 (ЗЫ, 2Ы)
12 (3 N,4 N - 1)
13 (3 N + 1, 1) (8.23) г= 1
14 (3* + 1,3)
15 (ЗЛТ + 1,2ЛГ + 1) 4д + 2Ад
14 (3N + 1,21-1), г = 2,3,..., N -1 1 N1 (1) 2 (8.23) г= 2,3,..., N -1
15 (3N+ 1, 2г-1), г = 2,3,..., N -1 1 2 ^ N2(1) *'(0) "г-1 "
16 (ЗЫ + г , 2 г + 1), г = 2,3,..., N -1 1 А, " К «>)
17 (ЗЛТ +1,2(Ы + г)), г = 2,3,..., N -1
18 (4ЛГ,2N - 3) (8.23) i-N
19 (4ЛТ,2ЛТ-1)
20 (4ЛТ, 4^) А.ЛЧ +
ВЕСТНИК
_5/2ОГТ_МГСУ
Таблица 8.4. Алгоритм задания ненулевых элементов матрицы Б~ при условии идеального контакта в граничной точке хъ1к, 1 <к<пк.
№ п/п Номера заполняемых элементов матриц Значение элемента матрицы Соответствующее условие
1 2 3 4
1 2 1 N -1 (8.20)
2 (Ж + г,2г), г = 1,2,..., N -1 (8.21)
3 (2ЛГ + 1,2) -С«к Vй.)' К ( 0) (8.22) г-1
4 (2ЛТ + 1,4) -(^-м /Й^-Л^О)
5 (2ЛТ + 1, 2Ы + \)
6 (2Ж + /,20-1)), г = 2,3,..., N -1 -1 N1(1) 2 (8.22) г = 2,3,..., N -1
7 (2И +1,2 г), г = 2,3,..., N -1 1 2 ^ N2(1) + ^ N,'(0)
8 (2# + /,2(/ + 1)), г = 2,3,..., N -1 -1 я.,1 N2 (0) 2 й.
9 (2И + г, 2 (Ж + г) - 1), г = 2,3,..., N -1
10 (ЪЫ,2N - 2) (8.22)
11 (ЗЫ, 2Ы) ч^-Л-.)--^)
12 (ЗЛГ, 4N - 1)
13 (3 N + 1, 1 ) -(Лк (8.23) г = 1
14 (ЗN + 1, 3)
15 (ЗЛТ + 1,2ЛТ + 1) "(Л -1,1 + 2/"к-1д)
14 (ЗЖ + г, 2г - 3), г = 2,3,..., N -1 - ^м-Г N/(1) 2 "¡-г (8.23) г = 2,3,..., N -1
15 (ЗЖ + г, 2г-1), г = 2,3,..., N -1 1 2 Л л 1 N2(1)+ N'(0)
16 (ЗЖ + г, 2 г + 1), г = 2,3,..., N -1 - ^Л-у-1 N2 (0) 2 "
17 (ЗЖ + г,2(Ж + г)), г = 2,3,..., N -1
18 (4М,2М -3) (8.23) 1 = Ы
19 (4Ы,2N - 1)
20 (4М, 4Л0
А • ([д,и](х,, ^ + 0) + V® (х,, х^ + 0)) = 0 , х. е [0,1Х ]; (8.24)
41)](1<1 + 0) + (4+2А)^(^<1 + 0) = 0, х, е[0Д]. (8.25)
Дискретно-континуальный аналог (8.24)-(8.25) имеет вид:
К> ](0«, + 0) = 0, / = 1,2,...,ЛТ -1; (8.26)
[о*?]'0« + 0) = 0, / = 1,2,...,ЛТ-1. (8.27) При к = пк имеем следующие граничные условия:
• ([¿^](*, х^ - 0) + ^-1'(х,, х2л - 0)) = 0 , е [0, ]; (8.28) \^Х^К*^ "ОЖ^ (х,, х2л -0) = 0 , х. е[0Д]. (8.29) Дискретно-континуальный аналог (8.28)-(8.29) имеет вид:
](° (х2л - 0) = 0, / = 1,2,...,ЛТ -1; (8.30)
](°(х^ -0) = 0, г = 1,2,...,ЛТ-1. (8.31)
После записи граничных условий в виде (8.26)-(8.27) и (8.30)-(8.31), представляем их в форме (8.1)-(8.2), используя формулы (3.6) и (3.10).
Алгоритм формирования соответствующих матриц В1+ и В" , учитывающих приведенные выше соотношения, описан в таблицах 8.5 и 8.6. Векторы ¿Ц, задаются нулевыми, т.е. определяются приведенной ранее формулой (8.14).
Таблица 8.5. Алгоритм задания ненулевых элементов матрицы В1+ при условии свободного края в граничной точке хь21 = 0 .
№ п/п Номера заполняемых элементов матриц Значение элемента матрицы Эквивалентное условие
1 2 3 4
1 (1,2) (Мд/Ю-ВД) (8.26) ¿ = 1
2 (1,4)
3 (1,2N + 1)
4 0,20 -1)), г = 2,3,..., N -1 1 N'(1) 2 "¡-г (8.26) ¿ = 2,3,..., N -1
5 (г,2г), г = 2,3,...,# -1 N2(1) + ^ N^0)
6 0',2(/ +1)), г = 2,3,..., N -1 1 ,1 к (0) 2 "
7 (/, 2(ЛГ + /)-1), г = 2,3,..., N -1
8 (Ы,2Ы-2) (А^-Л-. Э'-ГО (8.26) 1 = Ы
9 (М, 2Щ
10 {И, 4ЛТ-1) /А, N-1
11 (ЛГ + 1,1) (Л д / ^ ) • вд)
5/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
1 2 3 4
12 (N + 1,3) (А , , / /о-^ ( о) (8.27) г = 1
13 (N + 1,2^ + 1) Ад + 2М,1
14 (N4 г, 2г-3), , = 2,3,..., N -1 1 V, N,'(1) 2 (8.27) г = 2,3,..., N -1
15 (ЛГ + г, 2г-1), 1 = 2,3,..., N -1 1 А . , Л,. N2(1) N'(0)
16 (# + г , 2 ,+ 1), г = 2,3,..., N -1 1 А, Г N2 (0) 2 я.
17 г = 2,3,..., N -1
18 {2Ы,2Ы-У) (А^-Л-. )-ЛТ'(1) (8.27)
19 (2#,2ЛГ-1) (Л^/ь^,)^ 2(1)
20 (2ЛГ, 4Ж) А,ЛМ + 2М,ЛЧ
Таблица 8.6. Алгоритм задания ненулевых элементов матрицы Б при условии свободного края в граничной точке = 12.
№ п/п Номера заполняемых элементов матриц Значение элемента матрицы Эквивалентное условие
1 2 3 4
1 ^N + 1,2) (Лд/¿О • ВД (8.30) г = 1
2 (2N + l, 4) Сц , , / о)
3 (2ЛТ + 1,2ЛТ + 1)
4 (2Ж + / , 2 ( , -1)), г= 2,3,..., N -1 1 1 ^ N2(1) 2 «¡_1 (8.30) ¡ = 2,3,..., N - 1
5 (2Ж + г , 2г), г = 2,3,..., N -1 1 ^ N2(1) + ^ 2 я
6 (2Ж + / , 2 ( , + 1)), г = 2,3,..., N -1 ,-^N2 (0) 2 я.
7 (2Ж + г, 2(Ж + г)-1), г = 2,3,..., N -1 ^«Ам+Ау)
8 {ЪЫ,2Ы-2) (А^-Л-. )-^2(1) (8.30) г = ЛТ
9 {ЪЫ, 2Щ
10 (ЗЛ^,4N - 1) -1
11 (3 N + 1,1) (Лд//0 • ЛТ1'(0) (8.31) г = 1
12 ^N + 1,3) (Лхл 1 кх)-Н'2(Ъ)
13 (ЗЛТ + 1,2ЛТ + 1) 4,! + 2мд
1 2 3 4
14 {ЗИ + г, 2 , -3), ¿ = 2,3,..., N -1 1 V. N^1) 2 "¿-1 (8.31) ¿ = 2,3,..., N -1
15 (ЗЫ + г, 2 , -1), ¿ = 2,3,..., N -1 N2(1) + N'(0) 2 "¿-1 "
16 (ЗЖ + г , 2 , +1), ¿ = 2,3,..., N -1 1 Л,-1 N (0) 2
17 (ЗЛГ + г, 2(Ж + /')), ¿ = 2,3,..., N -1
18 (4ЛГ,2ЛГ-3) {\Я_Х1К_Х )-лт(1) (8.31)
19 (А,
20 (4ЛТ, 4Ж)
О задании граничных условий в объекте с «пустотами».
В рассмотренных выше алгоритмах задания граничных условий всюду полагалось, что в конструкции отсутствуют «пустоты», т.е. выполняется условие:
¿и = 1, = 1, i = 1,2,...,ЛТ, к = 1,2,..,пк. (8.32)
Рассмотрим, например, конструкцию, изображенную на рис. 8.2 (заштрихованная область здесь показывает материал конструкции, незаштрихованная - «пустоты»). Для узлов с номерами г = 1,2,..., р и ¿ = д, д + 1, ..., N следует задать условия идеального контакта, а для узлов с номерами г = р + 1,р + 2, ...,д -1 - условия свободного края.
Юк-и
Л
Рис. 8.2. Пример конструкции с «пустотами».
11
5/2011 ВЕСТНИК
.МГСУ
Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.
2. Грант 2.3.9 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.
3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).
4. НИР «Разработка, исследование и развитие математических методов и программно-алгоритмических средств, реализующих безопасную технологию возведения уникальных зданий и сооружений сложной архитектурной формы», выполняемая в рамках Тематического плана ГОУ ВПО МГСУ (проект 5.1.11).
Литература
1. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.
2. Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.
References
1. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).
2. Sekulowicz M. The Finite Element Method. Moscow, "Stroyizdat", 1993, 664 pages (in Russian).
Ключевые слова: дискретно-континуальный метод конечных элементов, статический расчет, балка-стенка, кусочно-постоянные физико-геометрические параметры, метод расширенной области
Keywords: discrete-continual finite element method, static analysis, deep beam, piecewise constant physical and geometrical parameters, method of extended domain.
Авторы:
1. Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс:
+ 7(499) 183-59-94; e-mail: [email protected].
2. Мозгалева Марина Леонидовна, кандидат технических наук, доцент, профессор (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-5994; e-mail: [email protected].
3. Сидоров Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой (ГОУВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26;
тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: [email protected]
Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ».
