Численная реализация дискретноконтинуального метода конечных элементов для задач статического расчета балок-стенок с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению часть 4: формирование разрешающей многоточечной краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК 5/2011

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА БАЛОК-СТЕНОК С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ ЧАСТЬ 4: ФОРМИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕЙ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

NUMERICAL IMPLEMENTATION OF DISCRETE-CONTINUAL FINITE ELEMENT METHOD FOR STATIC ANALYSIS OF DEEP BEAMS WITH PIECEWISE CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS IN BASIC DIRECTION PART 4: RESULTANT MULTIPOINT BOUNDARY PROBLEM

П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, B.H. Сидоров P.A. Akimov, M.L. Mozgaleva, V.N. Sidorov

ГОУ ВПО МГСУ

Рассматривается численная реализация дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для задач статического расчета балок-стенок с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению. В четвертой части работы излагаются вопросы формирования разрешающей многоточечной краевой задачи, учета упругоподатливых опор, учета граничных условий вдоль основного направления и задание стандартных типов граничных условий. Кроме того, описан переход к набору многоточечных краевых задач с блочно-диагоналъными матрицами коэффициентов.

Numerical implementation of discrete-continual finite element method (DCFEM) for static analysis of deep beams with piecewise constant physical and geometrical parameters in basic direction is under consideration in the distinctive paper. The fourth part of the research is devoted to construction of resultant multipoint boundary problem.

9. Формирование разрешающей многоточечной краевой задачи.

Итак, согласно (7.1)-(7.3) континуальной постановке соответствует дискретно континуальная в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений [3,4]:

й:=V,,

_ — £ = 1,...,ик -1,

где = К^- К^ ; Кк„ = К,.

Системы (9.1) могут быть записаны иначе в более удобной форме

к = 1,

и[ 0 E uk 0

v't_ 3 _

(9.1)

(9.2)

(9.3)

Вводя обозначения 0

А =

к:]к„

Е

к:]к„

0

к:1я

и: = дл1

(9.4)

и рассматривая соотношения (9.3) совместно с граничными условиями (8.1)-(8.2), заключаем, что расчет конструкции в рамках ДКМКЭ сводится к решению набора многоточечных краевых задач для систем 4^ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [1]:

ДОО = ДД (*2) + 5к = 1, 2,..,пк -1

ВДЖ*"0) + ВД(<* + 0) = £+£, к = 2,..,пк -1 (9.5)

вд« + о)+вчич_1 (х2л -о) = & ■

10. Об учете упругоподатливых опор.

Пусть Ск. - матрица характеристик упругоподатливых опор для I -го узла модели на подобласти ^к,

(10.1)

Глобальная матрица С1 характеристик упругоподатливых опор всей элементной модели на подобласти 0.к и модифицированная матрица коэффициентов разрешающей многоточечной краевой задачи формируются следующим образом [3,4]:

Сд

0 Е

С1 =

С

С

А =

+ с°к) К;1К

(10.2)

11. Учет граничных условий вдоль основного направления. Задание стандартных типов граничных условий.

Опишем вопросы учета граничных условий вдоль основного направления с позиций корректировок, которые вносятся в постановку (9.5). Описание будем вести на примерах простейших типовых случаев: шарнирное закрепление и свободный край [5,6]. Пусть для определенности граничные условия вдоль основного направления задаются по «продольному» сечению конструкции х1 = х11, причем пусть х\к < х2 < х2к+1.

Свободный край. Имеем континуальные граничные условия:

ктоо = 0; К'ТОО = о. (11.1)

Данный тип граничных условий вдоль основного направления является простейшим с точки зрения учета, а именно, никаких модификаций в постановку (9.5) вносить не требуется, такие граничные условия вдоль основного направления будут учтены автоматически.

Шарнирное закрепление. Континуальные граничные условия имеют вид:

и1<к'1)(х2) = 0 ; м2кд)(х2) = 0 . (11.2)

В данном случае вместо (9.5) следует использовать постановку

А) = хЛ^ь(АН~(АХ к =12-,пк -1

+ «* +0) = Гк+Гк, к = 2,...,Ик -1 (11.3)

вд(*' + о) +вщи ,(х2Л -0) = + ,

где Хк - матрица 4N -го порядка, элементы которой определяются по формуле:

Ши = ^ - а1ш1 - 8и2, I = 1,2, ..., 4ЛГ, у = 1,2,..., 4N. (11.4)

Кроме того, из соображений совместности неизвестных при задании граничных условий в сечениях, поперечных по отношению к основному направлению следует положить перемещения узла 1 равными нулю, т.е.

(11.5)

,(к,1)/

(х2к) = и1 (х2,ш) = 0; м2 ' ) = щ' (хгт) = 0. 12. Переход к набору многоточечных краевых задач с блочно-диагональ-нымн матрицами коэффициентов.

Матрицы коэффициентов Ак ,к = 1,..., ик -1 можно привести к блочно-диагональному виду, выполнив следующую перестановку неизвестных:

и!

и:'

и к =

,(к,1) '1 ,(к,1) 2

,(к,2) '1

и2к-2)

(к,Ю 1

2

(к,1) 1

(к Л) 2

(к,2) 1

(к,2) 2

„(МО ,,(М)

и к =

(к,1) 1

(к,1) 2 (к,1) 1

(к,1) 2

(к,2) 1

(к,2) 2

(к,2) 1

(к,2) 2

.(М) 1

.(М) 2

1

Тогда преобразованный набор многоточечных краевых задач имеет вид: иЦх2) = Акик(х2) + 1к(х2), к = 1,2,...^ -1

£- 0) + + 0) = I; + Гк, к = 2,...^к -1.

где

Д^ОО = 1оКк(х1), = " 1

= А=1Ж, к = 2,..., и к -

Вк —1оВк1о, Вк —1вВк1в, 6 к —.-.в6к,

Д+ = гвв;1в, вч=11ъ-п10, 1,+ =/^+,

1;

(12.1)

(12.2)

(12.3)

(12.4)

/е - матрица перестановок, элементы которой определяются по таблице 12.1.

Матрицы коэффициентов Ак, к = 1,..., ик -1 в системах (12.1) по аналогии с матрицами жесткости в традиционном МКЭ имеют блочно-диагональную структуру.

13. О корректном аналитическом решении многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Корректное аналитическое решение многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений производится по методу, описанному в [1]. После определения узловых перемещений и их производных по переменной х2 по соответствующим формулам вычисляются деформации и напряжения.

2

Таблица 12.1. Алгоритм заполнения матрицы перестановок 1а

№ п/п Номера заполняемых элементов матриц Значение элемента матрицы Эквивалентное условие

1. (4^-3,2^-1), Р = 1,2,..., N 1 перестановка элементов и™, г = 1, 2,..., N

2. (4р-2,2р), Р = 1,2,..., N 1 перестановка элементов г = 1, 2,..., N

3. ( 4^-1 , 2 (N + /0-1), Р= 1,2,..., N 1 перестановка элементов V™, / = 1,2,..., N

4. (4р ,2( N + р )), Р = 1,2,..., N 1 перестановка элементов у^', / = 1, 2,..., N

Примечание: Все элементы матрицы 1в не указанные в таблице равны нулю.

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.

2. Грант 2.3.9 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).

4. НИР «Разработка, исследование и развитие математических методов и программно-алгоритмических средств, реализующих безопасную технологию возведения уникальных зданий и сооружений сложной архитектурной формы», выполняемая в рамках Тематического плана ГОУ ВПО МГСУ (проект 5.1.11).

Литература

1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №1, 2011, с. 11-16.

2. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28.

3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.

4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.

5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Издательство Мир, 1975. - 872 с.

6. Иартон В.З., Иерлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Издательство Наука, 1981. - 688 с.

ВЕСТНИК 5/2011

References

1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of First-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #1, 2011, pp. 11-16 (in Russian).

2. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).

3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).

4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).

5. Nowacki W. Theory of Elasticity. Moscow, "Mir", 1975, 872 pages (in Russian).

6. Parton V.Z., Perlin P.I. Methods of Mathematical Theory of Elasticity. Moscow, "Nauka", 1981, 688 pages (in Russian).

Ключевые слова: дискретно-континуальный метод конечных элементов, статический расчет, балка-стенка, кусочно-постоянные физико-геометрические параметры, метод расширенной области

Keywords: discrete-continual finite element method, static analysis, deep beam, piecewise constant physical and geometrical parameters, method of extended domain.

Авторы:

Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26;

1. тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail:[email protected]. Мозгалева Марина Леонидовна, кандидат технических наук, доцент, профессор (ГОУВПО

МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: [email protected]. Сидоров Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26;

тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: [email protected].

Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ»