К вопросу о расширении одной игровой задачи в классе двузначных конечно-аддитивных мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И ВКЛЮЧЕНИЯ

УДК 517.972.8

К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ ОДНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ ДВУЗНАЧНЫХ КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ МЕР

© А. П. Бакланов, А. Г. Ченцов

Ключевые слова: конечно-аддитивная мера, максимин, множество притяжения, обобщенный элемент, топологическое пространство.

Рассматривается задача на максимин в условиях, когда допускается ослабление ограничений на выбор стратегий. Предполагается, что функция платы реализуется посредством «непрерывного агрегирования» разрывных вектор-функций, аргументами которых являются стратегии участников. Построено обобщенное представление асимптотики реализуемых значений максимина при ужесточении ослабленных ограничений. В качестве обобщенных элементов используются конечно-аддитивные (0,1)-меры.

Один из авторов имел возможность неоднократно участвовать в научных конференциях, проводимых в государственном университете им. Г.Р. Державина тамбовскими математиками, известными специалистами в области теории дифференциальных уравнений и оптимального управления. Их усилиями исследования в упомянутых направлениях выведены на современный уровень; они известны и получили высокую оценку в других научных центрах. С целым рядом исследовательских центров самого высокого уровня математиков Тамбова связывают сложившиеся традиции, базирующиеся на приоритетах математики как науки и математического образования. Совсем недавно тамбовские математики отметили замечательный юбилей — 80 лет институту математики, физики и информатики Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина. Авторы желают им новых творческих успехов.

Введение

Рассматривается игровая задача на максимин, не обладающая, вообще говоря, устойчивостью при ослаблении ограничений на выбор стратегий. Исследуются вопросы, связанные с реализацией максимина на «грани фола». Последнее достигается применением расширений исходной игровой задачи.

Конструкции расширений задач оптимального управления рассматривались многими авторами. Сейчас отметим [1]—[3]; особо отметим использования расширений в игровых задачах управления (см., в частности, [4]—[6]). Напомним здесь же, что в определении фундаментального свойства стабильности Н.Н. Красовским было предложено использовать обобщенные реакции на обычные управления одного из игроков; наряду с правилом экстремального сдвига это сыграло важную роль в доказательстве фундаментальной теоремы Н.Н. Красовского и А.И. Субботина об альтернативе в нелинейной дифференциальной игре.

Отметим также, что идеи, связанные с расширениями, использовались и в других разделах математики (см., например, [7],[8] в связи с задачами математического программирования). В качестве полезного применения расширений следует отметить использование смешанных стратегий в антагонистических играх, благодаря которому в широком классе игровых задач удается решить проблему существования седловой точки (см. [9],[10] и др.). Заметим, что расширение «совокупной» игровой задачи может не сводиться к сочетанию индивидуальных расширений игроков; соответствующий пример, касающийся вспомогательных программных конструкций для позиционных дифференциальных игр, см., например, в [11].

В настоящей работе исследуется один класс задач, для которого вышеупомянутая декомпозиция оказывается возможной (см. также [12]—[14]). Индивидуальное расширение каждого из игроков реализуется в классе конечно-аддитивных (к.-а.) (0,1)-мер; при этом на уровне аппроксимативных конструкций допускается ослабление ограничений на выбор стратегий. Возникают ограничения асимптотического характера (см. [14]). Исследуется асимптотика значений максимина в условиях ослабленных ограничений. Точнее, устанавливается свойство сходимости к «обычному» максимину обобщенной задачи в классе к.-а. (ОД)-мер. Последнее свойство можно рассматривать как конкретный вариант положений [14]. Существенной особенностью исследуемой игровой задачи является критерий, допускающий «вхождение» разрывных зависимостей, что и требует, на этапе расширения, использования аппарата к.-а. теории меры при постороении соответствующей компактификации пространства обычных решений (в настоящей статье используется компакт к.-а. (ОД)-мер).

2. Обозначения и определения

Используем общие конструкции расширений абстрактных задач о достижимости

(см. [15]—[19]). Через = обозначаем равенство по определению, сМ заменяет фразу «по определению». Используем кванторы, пропозициональные связки. Принимаем аксиому выбора. Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Если х и у — объекты, то через {х; у} обозначаем двухэлементное множество, содержащее

х,у и не содержащее других объектов (см. [20, гл. II]). Если и — объект, то {гг} = {гг; и} есть одноэлементное множество, содержащее и . Для всяких двух объектов а и Ь полагаем,

следуя [20, гл. II], что (а, Ь) = {{а}; {а; 6}} (упорядоченная пара а, 6 с первым элементом а и вторым Ь). Если 5 — множество, то через 'Р(б') (через 'Р'(З)) обозначаем семейство всех (всех непустых) подмножеств множества 5. Если / — отображение из множества А

в множество В и С Е 'Р(А), то /1(С) = {/(я) : х е С} £ 'Р(В) есть образ С при действии

/ , а (/| С) есть отображение из С в В , для которого (/| С) (у) = /{у)Уу € С (сужение /

на множество С). В дальнейшем Е — вещественная прямая, N = {1;2;...} (натуральный

ряд) и при этом 1,в = {г € М|г ^ 5} \/5 € N. Через ¥т(Н) обозначаем семейство всех непустых конечных подмножеств Н .

Линейные операции, умножение и порядок в пространствах вещественнозначных (в/з) функций определяем поточечно (имеются в виду функции со значениями в М). Через обозначаем множество всех кортежей (яг),€1^ : 1,5 —> К, получая 5-мерное арифметические пространство; строго говоря, каждый такой кортеж есть отображение из 1,5 в Е.

Оснащаем (при вбМ) конечномерное пространство Е5 нормой || • = (1М1^)хеКл> гДе

при х € М5 число ||£||^ есть наибольшее из |гг(г)|, г € 1,5 . Норма || • ||(в) порождает топологию множества К5: — обычная топология покоординатной сходимости в .

Если s 6 N, С Е]0, оо [ и Me V{Rs) , то

o‘s)[M] = {ж € Г| 3 т 6 М : ||ж - m||(s> < С} € т£° (2.1)

есть открытая £ -окрестность множества М. Если (X, т) — топологическое пространство (ТП) и А 6 V(X), то cl(А,т) есть def замыкание множества А в ТП (X, т), а

т\а = {А П G : G € т} — топология множества Л, индуцированная [21, с. 111] из

ТП (X, т). Если же (Х,т) — ТП и х Е X, то^полагаем, (х) = {G Е т| х € G} и

A^-(x) = {Y Е 'Р(-Х’)! 3G Е iV.?(я) : ^ С Y}, получая фильтр [22, гл. I] окрестностей х в ТП (X, т). Через (т —сотр)[Х] обозначаем семейство всех непустых компактных в ТП (X, т) п/м X. Если {Х,т\) и (У,т2) — два ТП, то через С(Х, т\, У, тг) обозначаем множество всех (ti, гг) -непрерывных отображений, действующих из X в У. Через tjr обозначаем

ниже обычную | • |-топологию Ш и полагаем, что С(Х, т) = С(Х, т, R, tjr) для всякого ТП №т).

Направленностью [23, гл. 2] в множестве Н называем всякий триплет где

(£), — непустое направленное множество [23, гл. 2], а / — отображение из D в Н.

Если (D, ^,/) — направленность в множестве Я, оснащенном топологией г , и h Е Я, то

[23] ((Д X, Л -4 Л) (VS е JVT(/i) 3deDVSeD (d ± 6) => (f(S) € S’)).

3. Конечно-аддитивные (ОД)-меры

В настоящем разделе приводится сводка некоторых нужных в дальнейшем понятий из конечно-аддитивной (к.-а.) теории меры, которые затем будут использоваться в двух вариантах, соответствующих конструкциям расширений двух участников антагонистической игры с ограничениями моментного характера (мы ограничиваемся в дальнейшем рассмотрением максимина функции платы).

Фиксируем непустое множество Е и полуалгебру [19, гл. I] С п/м Е до тех пор, пока не будет оговорено противное. Через (add)+[£] обозначаем конус всевозможных неотрицательных в/з к.-а. мер на С, а через А(£) — линейное пространство, порожденное конусом (add)+[£] (элементы А(£) являются, в частности, в/з функциями на £), получая пространство (всех) в/з к.-а. мер на £, имеющих ограниченную вариацию.

Пусть Р(£) = {ц Е (add)+[£]|/Li(i?) = 1} (множество всех к.-а. вероятностей на С) и

Т(£) = {ц Е Р(£)| VL Е С (ц(L) = 0) V {fi{L) = 1)}; элементами Т(£) являются, в частности, с.-а. меры Дирака, отождествляемые фактически с точками из Е. В этой связи напомним общее определение: если х Е Е, то через 6Х[Е] обозначаем в/з функцию на

V{E), для которой при А Е V(E) полагается 6Х[Е](А) = 0 при х £ А и 6Х[Е](А) = 1, если х Е А; сужение (<5Х[.Е]|£) Е Т(£) функции 6Х[Е\ на семейство С и будет использоваться в качестве меры Дирака.

Через Во(Е,С) обозначим множество всех ступенчатых, в смысле (Е,£), в/з функций на множестве Е ([15, гл.З], [19, гл.2]), а через В(Е,£) — замыкание Bq(E,£) в топологии sup-нормы || • И# (см. [24, с. 261]) пространства В(Е) всех ограниченных в/з функций на Е\ функции из В{Е,С) иногда называют ярусными (в смысле (Е,£)). В случае, когда С есть а-алгебра п/м Е , В(Е,£) совпадает с множеством всех ограниченных £-измеримых в/з функций. В общем случае измеримого пространства (ИП) (Е, С) имеем, что В(Е,С) как подпространство (В(£7), || • ||я), является банаховым пространством, причем пространство В*{Е,£), топологически сопряженное к В(Е,£), изометрически изоморфно А(£) в сильной норме, определяемой как полная вариация, в этой связи см. [19, §3.6]. Конкретный

изометрический изоморфизм А(£) на В*(Е,С) определяется простейшей операцией интегрирования [19, § 3.3], используемой ниже. Итак, [В(Е, £), А(£)) есть двойственность, что позволяет оснащать А(£) стандартной *-слабой топологией т*(£) (см. [24, гл.5]). В связи с конкретными вариантами ТП

(А (£),т,(£)) (3.1)

отметим построения в [15, с. 70]. Пространство (3.1) является локально выпуклым сг-компактом, а условия компактности в ТП (3.1) определяются теоремой Алаоглу [24, гл.5]; соответствующая конкретная версия дана в [16, (3.4.19)]. С учетом этого имеем, что

Т(£) € (т*(£) - сотр)[А(£)]. Поэтому топология т^(С) = т*(£)|т(£) реализует непустой компакт (см. [15, §3.5])

(Т (£),ri(£)), (3.2)

играющий в дальнейшем важную роль. Пусть Д[£] есть отображение х \—> (£x[i?]|£) : Е —> Т(£); Д[£]1(£!) = {(Jx[i?]|£) : х 6 Е} . Из [15, (3.5.7)] следует, что Т(£) = с1(Д[£]1(-Е?), т*(£)) = cl({(<5x[jE7]|£) : х е Е},т*(С)). Согласно (3.2) имеем [17, (2.3.13)] из последней цепочки равенств

с1(Д[jC]1 (^),7%J.(jC)) = с1(Д[£]1(£;),т»(/;)) ПТ(£) = Т(£). (3.3)

4. Игровая задача с приближенным соблюдением ограничений

В дальнейшем фиксируем два измеримых пространства с полуалгебрами множеств: (Е\,С\), (^,£2), Е\ ф 0, Еч ф 0. Итак, С\ есть полуалгебра п/м Е\, а £2 — по-луалгебра п/м Е2. Кроме того фиксируем к € N, / G N,p G N, <7 € N и четыре кортежа ярусных функций

(ai)ieU BiE^ А), (4.1)

(Pj)jeTj : М B(E2>£2)i (4.2)

(7i)ieTjj : IjP В (Ei, Ci), {uj)je Tjj: l,q -> B(E2,C2).

Фиксируем также функцию /о : Шк х Rn —> R, непрерывную по совокупности переменных: /о G C(Rk х 0 tr)i гДе ® есть произведение топологий т^ и т^;

см. [21]—[23]. При этом порождается метрикой (Х\,Х2)'——• EfcxEfc —> [0, оо[, а топология порождается метрикой (уьуг) 1—> Ц2/1 — 2/21|^ : Ш1 х Ш1 [0,оо[. Тогда ® Тур порождается метрикой р : (Шк х 1г) х (Шк х Ш.1) [0, оо[, для которой

Vxi е Шк Vyi Е Ш1 Ух2 е Е* Уу2 е Ш!

p{{xi,yi),{x2,y2)) =sup({||rci — ж2||(А:); II2/1 — У2||(0})- (4.3)

Тогда /о есть «обычная» непрерывная функция на метрическом пространстве (Шк х R , р).

Ясно, что при х е Е\ и х е Е2 определено значение /о(^(щ(х)){е^ {Pj(y))jeTl) е Полагаем, что

Ф : Е\ х Е2 —^ Е (4-4)

определяется следующим правилом: Vrc € Е\ 4у Е Е2

Чх,у) = fo({oti(.x))i€r^, (Pj(y))j€Tl)- (4-5)

Мы рассматриваем игровую задачу, в которой один из участников (игрок I) стремится к минимизации значений Ф путем рационального выбора х € Ei, а второй участник (игрок II)

стремится к максимизации этих значений посредствам у Е Е2. Имеются, однако, дополнительные ограничения: заданы компакты Р Е (т^ -comp)[Mp], Q Е (т^ — сотр)[М9]. В их

терминах задается система ограничений на выбор х Е Е\ и у Е Е2 в виде условий

(Ыж) W 6 Р)^{Ыу))^Т7ч 6 Q)- (4-6)

Тогда невозмущенная игровая задача связана с множествами Е^ = {хЕ Е\ |(7i(^))i6r^ €

= {У е E2\(^j{y))jeT^ е <2}; рассмотрим задачу

Ф(я, у)sup inf (4.7)

уеЕ™

(здесь предполагается, что Е^ / 0 и Е^ ф 0).

Кроме того, будем рассматривать возмущенные аналоги задачи (4.7). Полагаем, что

Е^Н = {х 6 Bi|(7i(i))i£Tj 6 0(")[Р]} Ve €]0, оо[; (4.8)

<2,И = {у е ft|(4(#))i6lS 6 o“[Q]} Vi €]0,оо[. (4.9)

Тогда возмущенные аналоги задачи (4.7) имеют следующий вид

Ф(х,у) sup inf , (4.10)

где е > 0 и 6 > 0. Значения задач (4.10) могут значительно отличаться от аналогичного значения задачи (4.7) при сколь угодно малых е и S . Рассмотрим соответствующий пример. Пример. Пусть Е\= Е2 — [0,1[; условимся сейчас обозначать [0,1[ через 7, то есть

I = [0,1[. Полагаем заданными следующие две равномерно непрерывные в/з функции на

7: 7 : / —> R, и; : 7 -> R; при этом 7 (t) = t и сo(t) = 21 для любых t Е 7. Полагаем, что выбор точки t Е 7 первым участником (игрок I) стеснен ограничением

(т№ = 0) V (7(i) = 1); (4.11)

единственным допустимым элементом здесь является = 0 (точка 1 не является элементом 7). Выбор точки t Е 7 игроком II стеснен ограничением

(сo(t) = 0) V (w(t) = 2). (4.12)

Снова имеем единственность допустимого элемента: — 0. Результат выбора моментов t\

игроком I и t2 игроком II характеризуются величиной |7(^i)—^(^2)|? которую игрок I хотел

бы минимизировать, а игрок II — максимизировать. Рассматриваем задачу на максимин:

|7(£i) — uj(t2)\ —> sup inf , где Eq~^ = E^ = {0}. Искомый максимин достигается и

равен 0. Рассмотрим случай, когда ограничения (4.11), (4.12) ослаблены: при е Е]0, оо[ полагаем, что выбор момента t\ Е 7 игроком I допускается с соблюдением условия

(7(*i) < е) V (|7(<) - 1| < е); (4.13)

полагаем также, что выбор £2 Е 7 игроком II допускается с соблюдением условия

(сj(t2) <5)4 (|u(t2) - 2| < <У); (4.14)

здесь 5 > 0. Критерий игровой задачи сохраняем прежним. Тогда максимин критерия в условиях ограничений, определяемых в (4.13) и (4.14), совпадает с 1 (хотя и не достигается). Такая возможность реализуется посредством выбора моментов t\ и t2 возле точки t = 1. При этом игрок II делает ход первым и реализует t2 ~ 1, чем достигается wfo) ~ 2. Игрок I парирует действие t2, подбирая t\ « 1, что позволяет ему реализовать 7(^1) « 1. Мы получили скачок максимина при сколь угодно малом ослаблении ограничений. С практической точки зрения значение 1 представляется более естественной оценкой значения игровой задачи.

Для включения примера в общую схему следует осуществить очевидную детализацию общих определений: Е\ = Е2 = /, к = I = р = q = 1, функции а\ и 71 совпадают с 7, функции /3\ и совпадают с ш, функция /о определена на плоскости ExR и имеет следующие значения: /о(я, у) = \х — y\Vx е RVy Е R; Р = {0; 1} и Q = {0; 2} (множества Р и Q — двухэлементны).

5 Расширение игровой задачи

Мы располагаем, наряду с множествами Е\ и Е2 обычных решений, непустыми компактами T(£i) Е (t*(£i) — comp)[A(£i)], Т(£г) Е (т*(£г) — comp)[A(£2)];

см. [16, с. 303]. Полагаем (<^ = <$i[^i] Vx Е i?i)&;(<5y2^ = ^[^2] 4у Е Е2). Имеем операторы х |—>• (Й^А) : Ei ->• T(£i), у |—> (42)|£г) : Е2 -> Т(£2), которые обозначаем через X и 2) соответственно. Итак, X = A[£i] и 2) = А[£2] • Тогда, в частности,

ХЦЯ,) = {(tf’lA) : х € Ei} 6 P'(T(£i)), ЮЧЕ2) = {(42)|А>) : У 6 Е2} е Р'(Т(£2)). Из [16, (7.6.16)] вытекают следующие два равенства:

T(£,)=cl(3E1(£i),r.(£i)), (5.1)

Т(£2)=с1(2)1(В2),г,(£2)). (5.2)

В связи с (5.1), (5.2) используем соответствующие относительные топологии (см. (3.2)):

tt(£i) = t*(£i)|t(£i), тт(А) =г*(£2)|т(£2); (5-3)

в виде (T(£i),t^.(£i)) и (¥(£2), ^(£2)) мы получаем пару непустых компактов (компактных хаусдорфовых ТП). Мы рассматриваем (0,1)-меры из множеств T(£i) и Т(£г) как обобщенные решения, выбираемые игроками I и II соответственно, то есть как обобщенные стратегии этих игроков. Кроме того, введем в рассмотрение обобщенный аналог функции Ф, который будет играть роль функции стоимости в (обобщенной) игровой задаче. Итак, полагаем, что отображение Ф : Т(£х) х Т(£2) -> R определяется следующим правилом: V/x Е T(£i) Vi/ Е Т(£2)

Ф(м, V) = /о((/Е Мм) jeI^, (J^ Pjdv)jeTJ). (5.4)

Замена Ф -» Ф отвечает (см. (4.4), (4.5)) в силу (5.1)-(5.3) идее расширения задачи (4.7). В свою очередь, условия (4.6) также допускают расширение, то есть преобразование к виду

{^JE UJj(^Iy)jehq^QSj:> (5-5)

(5.5) суть условия на выбор [i Е T(£i), v Е Т(£2). Обобщенная задача имеет вид

Ф(д, V) —» max min, (5.6)

V ц

где р Е Т(£х) и V Е Т(£2) выбираются с соблюдением условий (5.5).

Переход от (4.7) к (5.6) рассматриваем как расширение исходной задачи (будет показано, что максимумы и минимумы в (5.6) достигаются). Согласно (5.1)—(5-3)

сЦХ'^О.тт^г)) = сЦЗеЧЯО.т.ОСО) ПТ(А) = Т(А) П Т(А) = Т(А), (5.7)

сЩ\Ег),т!Ь(Сг)) = с1(ф1(£Ь),т.(£а)) ПТ(£2) = Т(£2) ПТ(£2) = Т(£2).

Имеем (см. (4.1), (4.2)), что (а* Е ©(^х) 4г Е 1 ,k)&((3j Е В(^) 4] Е 1,/). Множества

{(а,(а:))1еГЕ : х € в1}> {0®#(»))^еП '■ У € Ег] непусты и ограничены в (И*,|| • ||(*>) и в

(®ЧН1(0) соответственно. Тогда

А = с1({(аг(ж))^ : х Е Е^т^) Е (г^} - сотр)[К*], (5.8)

В = с1({(Д-(у))^.ец : у Е Е2},тЦ]) Е (4° - сотр)[Е*]. (5.9)

Через а условимся обозначать далее отображение

М —► ( [ : Т(£г) -*• К*. (5.10)

Из (5.10) вытекает [17, (2.5.30)] свойство непрерывности

а е сдаО.тЯГ!),^,^1), (5.11)

Предложение 5.1. Справедлива цепочка равенств

аН!’(А)) = {{[ Мм)^: /* Е Т(£0} = А.

«/ Е\

Доказательство. Имеем очевидное равенство (см. (5.10), [19, § 4.6])

о1 (Ж1 (ВО) = {(<»<(*))<«* : X 6 Е(5.12)

Из (5.8) следует, что множество А замкнуто в (Е*,т^) и, кроме того, согласно (5.7),

^(ЩсВД. (5.13)

Из (5.8), (5.12) и (5.13) следует, что А = с1 (а1 (X1 (Е1)), ) С с1(а1(Т(£1)), т^). В си-

лу компактности (Т(£1), т,},(А)) и отделимости (Е*,^) отображение а (5.11) замкнуто, то есть оно сохраняет замкнутость множеств в сторону образа, см. [17, (2.8.1)]. Тогда [17, (2.8.4)]

а1(с1(Л,-4(£1))) = с1(в1(Л),т^) УЛ 6 Р(Т(А))- (5-14)

С учетом (5.13) и (5.14) получаем равенство о1(с1(Ж1(Ё1),т4.(£1))) = с1(а1 (X1 (-Еа)), т^*). Из (5.7) и (5.12) вытекает теперь, что

а1(Т(£1)) = с1(а1(Ж1(В1)),4*:)) = <*({Ы*))<€13Е: * 6 •Б1},т<'г)) = А, (5.15)

где ах(Т(£1)) = {(/Е1 : р. Е Т(£х)}. С учетом (5.15) имеем требуемое утверждение. п

Предложение 5.2. Справедливо равенство {{fE2 Pjdu)■^ : V Е ¥(£2)} = В. Доказательство аналогично обоснованию предложения 5.1.

Введем в рассмотрение следующее отображение (сужение /о) Ф : А х В —> R, полагая, что Ух Є А У у Є В

Ф(я,у) = Мх,у). (5.16)

Тогда Ф = (/о|А х В). Если у Є В , то

Ф(*1 У) = (Ф(*>у))*єа = (/о(®, У))хел Є С(А, 4fc)|А), (5.17)

где топология т^|а множества А порождена метрикой

(хьвд) 1—> \\xi — ®г||^ : А х А -> [0,оо[. (5.18)

Поскольку (см. (5.8)) ТП

(А,т4*>|а) (5.19)

компакт, то при у Є В функция Ф(-,у) равномерно непрерывна в смысле (5.18). Кроме того, с учетом компактности ТП (5.19) имеем из (5.17) по теореме Вейерштрасса, что при у Є В достигается минимум Ф(*, у). При этом в силу транзитивности операции перехода к подпространству ТП (см. [21, с. 111-112]) (т^|а—comp)[A] = {if Є (т^— comp)[Rfc]|jfiTc А}. В силу компактности ТП (5.19) определена система экстремумов

тіпФ(х,у) єШУу Є В УК Є (т1^|а — сотр)[А]. (5.20)

хек

Из непрерывности /о следует свойство: функция Ф непрерывна на АхВ (см. [17, (2.5.30)]) с топологией <g> т^іахв; последняя порождена сужением метрики р (4.3) на АхВ; см. [17, (2.7.32)]. С учетом (5.8) и (5.9) имеем, что А х В Є (т^ <8> — сотр)[ЕЛ х Ш1], а

тогда Ф равномерно непрерывна на А х В : Ує є]0, оо[ 35 Є]0, оо[ Уг\ Є А х В Уг2 Є А х В

(p(zi,z2) < 6) => (|Ф(гі) - Ф(г2)| < є)- (5.21)

В свою очередь из (5.20) и (5.21) легко следует, что при К Є (т^|а - comp) [А] функция

у і—> тіпФ(х,у) : В —> R (5.22)

х£К

равномерно непрерывна; |в есть компактная топология В (см. (5.9));

(тнР|в — сотр)[В] = {К Є (4° — comp)pRI]|2f С В}. (5.23)

( L.\

С учетом непрерывности функций вида (5.22) получаем, что при К Є (т^ |а — comp) [А] и L Є (ті^Ів - comp)[В] функция у у—> тіпФ(х,у) : В -> R достигает максимума на L, то

хЄК

есть определено значение тахтіпФ(ж, у) Є R. Введем множества допустимых обобщенных

y6L хЄК

решений игроков I и II :

T, = {р. Є Т(£0|( [ 7іФ)і6и є Р), (5-24)

J Е\

T2 = {и Є Т(£2)|( [ ш^)]€Гя Є Q}. (5.25)

J Еі

В качестве расширения исходной задачи (4.7) рассматриваем задачу

Ф(и, и) -> max min . (5.26)

Ниже будет показано, что (при условиях, обеспечивающих совместность) экстремумы в

(5.26) действительно достигаются. При этом задача (5.26) «замыкает на себя» комплекс задач (4.10), определяя асимптотику значений этих задач.

6 Асимптотическая реализация обобщенных элементов

Мы начинаем сравнение асимптотических вариантов решения, соответствующих комплексу задач (4.10), и обобщенных решений, отвечающих задаче (5.26). В этой связи сначала имеет смысл установить соотношения, связывающие асимптотики допустимых множеств (4.8), (4.9) и допустимые множества обобщенной задачи, определяемые в (5.24), (5.25). Будет использоваться частный случай конструкции раздела 11 монографии [18]. Пусть х есть с!е£ отображение

>( / 71С^еТ^:Т(£1) (6.1)

•/ Е\

х непрерывно на компакте (Т(£1),т^(£х)): х 6 С(Т(£1), ^(£1), Жр,т^).

Лемма 6.1. Если е б]0, оо[, то ^(Е^е]) =х-1(0^[Р]) ПЗС^^х). Доказательство. Если /х* € ^(Е^е]), то ц* = (<Й}|А) € Т(£х), где х* е Е^[е]. Последнее означает, что я* е Е\ и (Тг(^*))гем е Ое [Р]. При этом ХЫ = (1Е17*^М*)гбТ^р = (7г(ж*))г€1^ [19, с. 236] и тогда х(^*) € 0{ер)[Р], то есть ц* е х_1(ОеР^[Р]) и /2* 6 Х1(Е\), а значит ц* е х_1(0£Р^[Р]) Вложение

^ЗС1 (Е^1^[в:]) С х-1(0^[Р]) Ш1^) установлено.

Пусть ^*е^.~1{0^р)[Р])Г\Х1{Е1). Тогда ц* еТ{£\) и при этом (/^ € 0^[Р].

С другой стороны,//*=(41)|£1), где х*еЕ1. Тогда (см. [19, с.

И (7г(я*))геТ^ £ 0^\р], то есть х* е Е^[е], а тогда Х{х*) е ЭС1 (Е^1)[е]) , где Х{х*) = ц*. Поэтому // 6 ■ Итак> х-^О^И) П Х\Ег) С Я^Е^е]). □

Предложение 6.1. Тх =

ее]0,оо[

Доказательство. Заметим, что, согласно (5.24), Тх = х-1(Р). С другой стороны, при е €]0, оо[ ЗС^Е^^е]) = х_1(ОеР^[Р]) Г\Х1(Е1), а тогда имеем вложения (см. (3.3))

сЦхЧЕ^ИХт^А)) С с1(х-1(0«[Р]),4(£1)) Пс^ЯО.Т'ИА)) =

= с1(х-1(0?)[Р]),4(£1)) ПТ(А) = с1(х-1(0?’)[Р]),4(А)).

Итак,

с1(3£1(Еэ)[г]),Тт(£1)) С с1(х-1(0(*’)[Р]),4(£1)) У<г е]0,оо[. (6.2)

Пусть выбрано произвольно

че П сКзеЧе^И),^^)). (6.3)

е€]0,оо[

Тогда г) € с1(ЭЕ1(Е^[£]),т^,(£1)) Уе е]0,оо[. В силу (6.2)

V 6 с1(х"1(0<?>),т*(£1)) Уа е]0,оо[. (6.4)

Из (6.4) следует, в частности, что ту Е Т(£х). С учетом (6.3) имеем по определению х (см. [17, (4.6.2), (4.6.8)]) с учетом неравенства треугольника и определения т£(£), что

( / 7«Л?)«=Т5 е У£ е1°’°°[- (6'5)

и Е\

В свою очередь, в силу замкнутости Р имеем из (6.5), что

(L ^ R ^

Тогда из (6.6) получаем г] G T(£i) : (fE lidrj)eYj, € Р. Следовательно, из (5.24) вытекает

включение г] G Ti . Поскольку выбор г] был произвольным, установлено вложение

р| С^ЧЕ^И),^)) СТь (6.7)

еб]0,оо[

Пусть напротив £ € Ti. Тогда £ G T(£i) и при этом

= х(0 = ( [ € Р. (6.8)

JEi

Поскольку 3Cx(J5i) всюду плотно в T(£i) в *-слабой топологии, £ G cl(3C1(£?i),r*(£i)). В обозначениях [17, (4.6.2), (4.6.8)] имеем свойство

В п Х\Е!) ф 0 У В G 9fiK|£i). (6.9)

В частности, при К = {7* : г G 1 ,р}

= {/л G A(£i)| | [ jid£ - [ 7i<Z/i| < е Vi G T/p} G 9tJ(£|£i) Me G]0,oo[. (6.10)

J E\ J Ei

Пусть к G]0,oo[. Рассмотрим следующее множество ЗЕ^Ед^к]) = х-1(0|^[Р])П

DjE^-Ei) G P(T(£i)). Согласно [17, (4.6.8)] справедливо равенство

ci(x1 (е^х)М),т*(jCi)) = {v G пн Ф 0 vя g зСма)}. (6-11)

Покажем, что £ G cl(3t1(E^[«]),r*(£i)) . Выберем для этого произвольное множество

s G Я®К|А), (6-12)

после чего подберем [17, (4.6.2)] К € Fin(B(Bi, £1)) и в б]0, оо[ так, что

S = JV£1K,K,e) = {i/€A(£1)| I [ S<4~ [ fdv\<eVf 6 К}. (6.13)

J Ei J Ei

Тогда KUK € Fin(B(£i,£i)) и С, = inf({«;;0}) e]0,oo[, а потому [17, (4.6.1), (4.6.2)]

N1 (?,XUK,C) = {<'6A(£1)| I f M- [ /*/|<CV/€KUK}€<n2(£|£i). (6.14)

J Ei J Ei

При этом (см. (6.10), (6.13)) справедливо, в частности, что

N'Cl ({, К U К, С) С N1 ({, К, к) Л Н. (6.15)

С другой стороны, из (6.9) и (6.14) получаем, что К,£) П ЭС1 (£?i) Ф 0. С учетом

этого выберем произвольную к.-а. меру

м* еЛ21«,кик,<)п£1(£1). (6.16)

Из (6.15) и (6.16) вытекает очевидное включение ц* £ .№£ (£, К, к) П Х1(Е1). Тогда (см. (6.10)) имеем, что //* € А(£х) и при этом

I [ — [ 7г^М*| < кУг е 1,р. (6.17)

J Е\ «/ Е\

Из (6.8) и (6.17) вытекает, в свою очередь, что справедливо неравенство

II- ( [ 7гФ*)»е1^||(Р) < *• (6-18)

3 Е\

Тогда (см. (2.1), (6.8), (6.18)) имеем очевидное включение

( / 7<Ф*)<€15 6 0]»[Р]. (6.19)

3 Ел

Напомним, что Є Xі (Е\) и, в частности, что /і* Є Т(£і); при этом ц* = (<^|£і), где х* Є Е\ . Иными словами,

/і* = £(**). (6.20) Заметим, что из (6.1), (6.19) вытекает включение

х(Л Є 0<”>[Р]. (6.21)

В свою очередь, из (6.21) получаем следующее свойство

м* Єх-^О^ІР]). (6.22)

Из (6.20), (6.22) и леммы 6.1 вытекает включение

д* ЄЗе^Е^М). (6.23)

Отметим, что (см. (6.15), (6.16)) ц* Є 5. С учетом (6.23) получаем включение ц* Є Е П Xі(Е^[/с]). Как следствие, 2ПЗ£1(Е^[«]) Ф 0 . Поскольку выбор (6.12) был произвольным, установлено:

Зе^Е^М) П Я ф 0 УЯ Є аСКІА). (6.24)

Следовательно, ц* Є А(£і) таково, что выполнено (6.24), а потому, согласно (6.11), имеем включение £ Є сі(3£1(Е^[«]),т*(£і)). Поскольку выбор к был произвольным, установлена система включений £ Є сі(Х1(Е^[є]),т*(£і)) Ує є]0,оо[. Иными словами, £ Є П сі(^1(®'а^[є])’т*(£і)) • Поскольку выбор £ был произвольным, установлено вло-

еб]0,оо[

жение

ТіС П С^а-ЧЕ^И),т.ОСО). (6.25)

єЄ]0,оо[

Из (6.25) вытекает (см. (5.3)) следующее вложение: Ті С П сі(ЗС1(Е^[є]),т^.(£і)). С

єЄ]0,оо[

учетом (6.7) получаем теперь требуемое равенство. □

Введем в рассмотрение следующее отображение у посредством правила

^ ■—> ( [ : Т(£2) и Ео

Е^

данное отображение непрерывно на компакте (¥(£2)5 тт(А)), то есть

у eC(T(£2),4(£2),KV?).

Лемма 6.2. Если S б]0,оо[, то ^‘(Е^Ю) = УЧ^К?]) ПЯ\1(Е2).

Доказательство аналогично доказательству Леммы 6.1.

Предложение 6.2. Т2 = П cl(2)1 (Е^2^[5]),т^(С2)).

£€]0,оо[

Доказательство повторяет обоснование предложения 6.1.

Предложение 6.3. Эквивалентны следующие два утверждения:

1) Tj ф 0; 2) Е^И ф 0 Ve б]0, оо[.

Доказательство. Поскольку X1 (0) = 0 и с1(3£! (0), (С\)) = 0 , то из предложения

6.1 следует импликация 1) => 2). Пусть выполняется 2). Тогда Е^[е] ф 0 Ve £]0, оо[.

По свойствам операторов замыкания и взятия образа имеем М. = {cl(^t1(E^[e]),T^.(/2i)) : е Е]0, оо[} е V'{V'(T (Ci))). Из (2.1), (4.8) следует, что VMi 6 М VM2 £МЗМ3еМ:М3С М\ П М2 . Следовательно, М. есть база фильтра в T(£i). Тогда М. есть центрированное семейство замкнутых в t£(£i) подмножеств T(£i). Так как (T(£i),r^,(£i)) — непустой компакт, то П cl(3E1 (Е^^е]),r,|,(£i)) = р) М Ф 0; см. [21, с. 196]. Из предложения

е€]0,оо[ М^ЛЛ

6.1 получаем свойство: 2) =>■ 1). □

Предложение 6.4. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Т2 ф 0; 2) е5,2)[<5] ф 0 Щ €]0, оо[.

Доказательство аналогично предыдущему.

7 Вспомогательные множества притяжения

Далее нас будут интересовать следующие множества:

(GM^M*))^ : *€E<,1)[£]}V£e]0,ooD&(G<2) = ■ У 6 *§>[6]}VJe]0,oo[). (7.1)

Полагаем, что ci = max ЦацIIд,, С2 = max | |/3j 11^2 5 тогда ci G [0, оо[, с2 G [0, оо[. Из (7.1)

j€ 1,1

следует теперь, что

(IMI<k) < С! Ve е]0, оо[ Vu € G<l>)&(||tr||w с2 W е]0, оо[ Vu 6 Gf'). (7.2)

В этой связи полагаем, что

(£={«€ Rfc| ||«||W < ct})&(£ = {« е R'l |MI(0 < С2}), (7.3)

получая два замкнутых шара в конечномерных пространствах. Согласно (7.2) и (7.3),

(G<4 С Л Ve е]0, oo[)&(G$2> С £ V(5 е]0, оо[). (7.4)

Поскольку Я и £ — замкнутые множества, то (см. (7.4))

(сЦС^.г^) с Я Ve е]0,оо[)&(с1(С^2),г40) С £ V<5 €]0,оо[). (7.5)

Введем в рассмотрение отображение Л вида х \—> {ai(x))i£ik : при этом

Л : Е\ —> Шк и справедлива следующая система равенств:

Л(х) = (oti(x))ieTj Vx G Ег. (7.6)

Тогда, согласно (7.1), (7.6), имеем следующие очевидные равенства:

= дЧЕд’И) ^ £1°’ °°[- (7-7)

По выбору сх имеем из (7.3), (7.6), что А : Е\ —> Я. Из (7.5), (7.7) получаем, что

с1(Л1(Е^[е]),т^) С Я Vе Е]0,оо[. Пусть В есть отображение у \—> Wj(y))j€Jl : -®2 ~5► ^5 при этом В : Е2 —> К* и

В(у) = (Ш)ш^У^Е2. (7.8)

Тогда, согласно (7.1) и (7.8), получаем, что справедливы равенства

1 = ВЧЕ^И) €]0, оо[. (7.9)

По выбору с2 имеем, что В : Е2 —■► £. Из (7.5) и (7.9) получаем систему вложений

с1(В1(Е^[<5]),г^) С £ У5 €]0,оо[. Напомним, что (см. (5.8), (5.9)) (А С Я)&(В С £).

При этом учитывается, что, согласно (5.8),

А : Ех -> А, (7.10)

откуда в силу замкнутости А и (7.7) вытекает, что

сЦС^.т^) = сЦДЧЕ^М),^) САУе е]0,оо[. (7.11)

Аналогичным образом, из (5.9) и (7.8) следует, что

В : Е2 В. (7.12)

С учетом замкнутости В и (7.9) получаем:

с1(С^2),т$?) = сЦВЧе^И), 4°) С В У<5 е]0,оо[. (7.13)

Предложение 7.1. Справедливо равенство А = а о X.

Доказательство. Напомним, что А : Е\ -» К*, а о X : Е\ —У М*. Пусть я* Е Е\. Тогда

А(х.) = Ых*))геТ* € к*. (7.14)

Далее, из определения X вытекает, что Х(х*) = (Й^А), а потому (см. [19, с. 236])

(а о £)(ж*) = а(£(я*)) = ( [ = М**))^-

«/ Е\

С учетом (7.14) имеем следующее равенство: А(х*) = (аоХ)(х*). Поскольку выбор я* был

произвольным, установлено, что А = а о X. П

Через Ь условимся обозначать следующее отображение:

«/—>(/’ №)т ■■ Т(Сг) -» К'. (7.15)

* Е2

Из (7.15) легко следует свойство непрерывности:

Ь е С(Т(£2),4(С2),К',4')). (7.16)

Предложение 7.2. Справедливо равенство В = Ь о 2).

Доказательство аналогично обоснованию предложения 7.1. Из предложения 7.1 вытекает (см. предложение 5.2.1 монографии [16]), с учетом компактности первой топологии в

(5.3), свойство

р| с1(С<1>,4':)) = а1(Т1). (7.17)

е€]0,оо[

Из предложения 7.2 следует (подобно (7.17)) равенство

П с1(С<2),т<,)) = Ь1(Т2). (7.18)

5е]0,оо[

8 Максимин в задачах с ослабленными ограничениями

Имея в виду предложения 6.3 и 6.4, мы ограничиваемся далее случаем, когда у каждого

из игроков существуют допустимые обобщенные элементы: полагаем в дальнейшем, что

(Т1 ф 0)&(т2 ф 0). (8.1)

Тогда, согласно предложению 6.3, справедливы следующие свойства:

(Е^’И ф 0 Уе е]0,оо[)&(Е®й ф 0 Щ б]0,оо[). (8.2)

Согласно (7.7), (7.9) и (8.2) имеем также, что

(ОМ ФФУ£ е]0, оо[)&(С^2} ф 0 б]0, оо[). (8.3)

Тогда (см. (8.3)) имеем свойства: 1) с1(С^,т^) Ф 0 \/е е]0,оо[; 2) с1(С^,г^) ф 0 УЛе]0,оо[.

С учетом (8.1) имеем следующие свойства непустоты: (а^Тх) ф 0)&(Ь1(Т2) ф 0). Иными словами, а^Тх) £ и Ь^Тг) £ . Поэтому б]0, оо[

(0^А:)[а1 (Т!)] 6 Т2)] € 4°). (8.4)

Более того, из (2.1) и (8.4) вытекает, что при (д б]0, оо[ множество О^а^Тх)] есть открытая в окрестность множества (^(Тх): первое в (8.4) множество открыто и содержит а^Тх). Аналогичным образом из (2.1) и (8.4) следует, что при & £]0, оо[ множество 0^[ЬГ(Т2)] есть открытая в окрестность ЬХ(Т2): второе в (8.4) множество открыто и содержит Ь^Тг).

Предложение 8.1. Если £ Е]0, оо[ , то непременно Зе Е]0, оо[ :

а1(Т,) С сЦС^.т®) с 0<*У (ТО]. (8.5)

Доказательство. Будем использовать предложение 3.6.1 монографии [17]. В обозначениях [17, (3.2.8)], используемых в данном доказательстве, имеем (см. (7.11)) равенство

(т<*)-иМ)[£1|.4]= Р| с\(Л1(и),г^)= П сЦЛЧе^МКт^Н р| с1(С<1>,т<,‘)), (8.6)

С/б£ 1 еб]0,оо[ еб]0,оо[

где £\ = {Е^[е] : е е]0, оо[} , причем £\ направлено двойственно к вложению, что существенно в [17, (3.2.8)]. Отметим, что все множества из с1 (&е1\т^),£ е]0,оо[, компактны в (ЕЛ,г^); в этой связи см. (7.3), (7.5). Тогда при всяком выборе С/ € £\ множество с\(А1 {и),т^) компактно в (М^,т^). С учетом [17, (3.2.1)], (8.6) и свойств £\

получаем из предложения 3.6.1 монографии [17] следующий факт: если £ е]0, оо[, то — LIM)[£Ti |^4.]] является открытой окрестностью множества c\(Al{U), т^) для некоторого U Е и, в частности,

с 0<* >[(4Ч - ЫМ)[£,И]]. (8.7)

Однако из (7.17), (8.6) вытекает (см. [17, (3.2.8)]), что (Трк> — LIM)[£i|.4] = a'(Ti). Возвра-

щаясь к (8.7) и определению Si, получаем, что б]0,оо[ 3v Е]0, оо[:

clCG^r^0) = cl («41 (Е^1} [и]), т^/с)) С 0^fc)[a1(Ti)]. (8.8)

Из (7.17) имеем, что ax(Ti) С с1(С^,т^) при v Е]0, оо[. Тогда с учетом (8.8) получаем (8.5). □

Аналогичным образом из (7.18) вытекает, что е]0, оо[ 35 €]0, оо[:

b*(T2) с cl(G<2),4°) С 0®[Ь1(Та)]. (8.9)

Напомним теперь в связи с (7.17), что (см. (7.3), (7.5)) сЦСе1^^) £ (4^ — comp)[Rfc]

Ve G]0, оо[. Кроме того, справедливо (7.11). Поэтому имеем из (7.11), что

се [т^\а ~ comp)[A] Ve е]0, оо[. (8.10)

Аналогично, из (7.3), (7.5) следует, что

cl(G^2\r^) е (т^ - comp)[M*] V<5 Е]0, оо[. (8.11)

Из (5.23), (7.13) и (8.11) вытекает система включений

clfG^TjjjP) £ (4/}|в - comp)[В] \/6 €]0,оо[. (8.12)

Из (5.17) и (8.10) следует, что при е Е]0, оо[ мы располагаем функцией

ф' = ( Hiin Ф(х,у)) (8.13)

4x6c1(G?),t^)) ' УеВ

действующей из В в Е (мы имеем вариант функции (5.22), в котором К = с 1(0^,т^)); тогда функция фе равномерно непрерывна, то есть е]0, оо[ 3v е]0, оо[ \/yi G В £ В

(||yi - У2\\{1) < v) => (l^e(yi) - ФеЫ1 < С)- (8.14)

Поэтому по теореме Вейерштрасса получаем (см. раздел 5), что при е Е]0, оо[, 6 е]0,оо[, согласно (8.11), определяется значение

V(e,6) = max фе(у) = max min Ф[х,у) в R. (8.15)

y€cl(Gj ),r^)) y6cl(G^ )tr ) x€cl(Ge ),r^ '))

Можно, однако, рассматривать значение (8.15) как апроксимативный максимин. Дело в том, что в силу (5.17) при е е]0, оо[ и у € В

Фе{у) = inf Ф(х, у). (8.16)

*€в£1}

Итак, из (8.13) и (8.16) вытекает, что

фе = ( inf 4(*,У)) _ = ( min Ф(х,у)) Уе б]0, оо[ Уу Е В. (8.17)

х€Се 'УеВ \ес 1Цв^\т^к)) 'УеВ

С учетом (8.12), (8.15) и (8.17) получаем также, что

inf Ф(х,у) = min Ф(я,у) = фе{у) ^ V(e, 5) Уе е]0, оо[ У6 б]0, оо[ Уу G

,(2)

xeG<1} x6cl(G^1),r^*!))

Как следствие, при е б]0, оо[ и 6 е]0, оо[ имеем следующее равенство:

{Фе(у) : У е = { inf Ф(я, у) : у G Gf}}. (8.18)

хбС[г)

Для множества (8.18) определена (конечная) точная верхняя грань:

sup фе(у) = sup inf Ф(ж,у) е] - oo,V(e,<J)].

y€G{*> ye<G(s2)

Более того, имеем на самом деле следующую систему равенств (см. (8.14), (8.15)):

sup Фе(у) = sup inf Ф{х,у) = V(e, 5) Ve €]0, оо[ У6 е]0, оо[. (8.19)

V€G™ j,6G<2>x£G»>

Из (8.15) и (8.19) вытекает, что справедлива цепочка равенств: Уе Е]0, оо[ V6 G]0, оо[

V{e,6) = sup inf Ф(а?,у) = max min Ф(а?,у) G E. (8.20)

y€G^2) y€cl(G^ \т^) x€c1(G[ \t£ })

Учтем теперь, наряду с (8.20), представления (7.1) и свойства (8.3). Тогда при е е]0,оо[ и у G В, согласно (5.16), (7.1) и (8.3),

{fo{{oci{x))ieTj,y) : х е Е^1}[е]} = {/о(ж,у) : х Е G<1}) = {Ф(ж,у) : х <Е G<1}} есть непустое ограниченное снизу п/м Е; определена (конечная) точная нижняя грань и

inf /о(Ы«))<€ТРу) = inf /0(гс,у)= inf Ф(ж, у) Е Е. (8.21)

4 ’ 7 xGGe x€G£ 5

С учетом (8.16) и (8.21) имеем теперь, что фе{у) = inf fo{{&i(u))ieYki У) E]0,oo[VyeB.

«€Е^>И

Если е е]0, оо[ и 6 б]0, оо[, то, согласно (7.1) и (8.18), имеем свойство:

{jf, s (PAv))j&j): v 6 42)и> =

= { inf. /o((“i(“))j€I5fc.y) : У € G^1} = (4(y) : У € Gf1}

есть непустое ограниченное сверху п/м Е, а тогда определено значение

sup inf f0((ai{u))i U, (ft-(u)). п) = SUP Фе(у)=Ще,6). v 3 J vag'w

Итак, установлено, что Уе Е]0, оо[ Уд Е]0, оо[

V(e,S)= sup inf /о(Ыи)) jj.fatv)) jj). (8.22)

Напомним теперь, что, согласно (5.24), (5.25) и (8.1),

(т! 6 Я'(т(£1)))&(т2 6 V'(T{C2))). (8.23)

С учетом (5.10) и (8.23) получаем, в частности, что

»1(Ti) = {(/ а.<Н£Пь: М е TJ € P'(Rfc). (8-24)

JEi

Из предложения 5.1, (8.23) и (8.24) вытекает, что

a*(Ti) 6 V(A). (8.25)

Из предложения 6.1 вытекает, что Ti есть замкнутое в т^(С\) п/м T(£i), а с учетом (5.11) и компактности топологий (5.3) получаем, что Ti компактно в смысле т^(С\) и

ax(Ti) 6 (т^ - comp)[Rfc].

(к)

Это означает, что топология |ai(T!) компактна и, кроме того (см. (8.25)),

la1 (то = ^laHTi)? гДе ^ = tr^\a • Иными словами, a^Ti) компактно в ТП (5.19) и непусто (см. (8.25)), то есть aL(Ti) Е (т^|а — comp)[A], а тогда, согласно (5.17) и теореме Вейерштрасса, имеем при j/EB, что (см. (5.22)) достигается минимум Ф (•,?/) на a(Ti), а отображение у \—У min Ф(ж, у) : В —> Ш равномерно непрерывно относительно метрики

xGa1(Ti)

(х,у) I—> \\х — у\\^ : В х В —> [0, оо[, которая порождает топологию rjp|в (см. [17, (2.7.32)]). Иными словами,

(i€mi(“i)^(x,y))s€B 6 С(В,4°|в)- (8.26)

Из (7.15) и (8.23) вытекает следующее свойство:

Ь‘(Т2) = {(/ Pj^v)jsTJ : v е Т2} € V'(Rl). (8.27)

J Е 2

Из предложения 5.2, (8.23) и (8.27) вытекает, что

Ь‘(Т2) е-Р'(В). (8.28)

Далее, из предложения 6.2 следует, что Т2 — замкнутое в т^(£2) п/м Т(£2), а тогда, согласно (7.16) и компактности топологий (5.3), мы получаем, что Т2 компактно в топологии т^.(£2) и, как следствие [17, (2.8.5)], bx(T2) Е (rjp — comp)[Kz]. Это означает, что

компактна топология T^lb1^) и> с Учетом (8.28), = гДе ^ = те?1в • Как

следствие, Ь](Т2) есть п/м В , компактное в топологии 9 . Поскольку Ь!(Т2) ф 0 , то

bx(T2) Е (4°|в - comp)[В]. (8.29)

Из (8.26) и (8.29) следует, что в задаче min Ф{х,у) -> max,?/ Е ЬЧТг), непременно

zGa^Ti)

достигается максимум, то есть определено значение

V = max min Ф(х,у) Е R. (8.30)

убЬ^Тг) iGa^Ti)

Мы рассматриваем далее V (8.30) как максимин в обобщенной игровой задаче. Для этого заметим сначала, что при у Е В, согласно предложению 5.1, {Ф(ж, у) : х Е А} = {Ф((/Е1 ctidn)ieY^,y) : Ц Е T(£i)} . Аналогичным образом имеем при уЕВ, что (см. определение a (5.10))

{Ф(д:,у) : х Е a^Ti)} = {Ф{а(ц),у) : ц Е Тх} = {Ф(( J МА*)<еТ^,у) : М е Ti}; (8.31)

используя (8.31), получаем также, что

min Ф(х,у) = min Ф(а(м),у). (8.32)

хЄаЧТі) /хЄТі

Следовательно, мы используем на самом деле отображение у і—> min Ф(а(/і),у) : В —> М.

/іЄТі

В частности, согласно (8.28), h(v) Е В Vv Е Т2 . Поэтому при и Е Т2, согласно (8.32),

min Ф(гс, Ь(и)) = min Ф(а(я),ЬМ) Е М. (8.33)

хЄаЧТі) ' мєТі v v к 1

С учетом (8.30) получаем, что в задаче min Ф(а(//), b(z/)) —> max, v Е Т2, максимум непре-

МЄТі

менно достигается и

V = max min Ф(а(/х), b(v)) E R. (8.34)

1/ЄТ2 дЄТі

Иными словами, V есть значение задачи Ф(а(/и), b(i/)) —»• max min . Из (5.4) по определе-

і'ЄТг дЄТі

нию а (5.10) и b (7.15) имеем V/x Е Т(£і) Уи Е Т(£2)

= /о(аЫ, Ь(и)) = Ф(а(/х), b(i/)) (8.35)

(см. (8.25), (8.28)). Тогда (см. (8.23), (8.35)) имеем при v Е Т2, что {Ф(/і, */) : ^ Е Ті} =

{Ф(а(/х), b(^)) : /і Е Ti}, а потому (см. (8.33)) в задаче Ф(/і,і/) і—> min, ц Е Ті , минимум

непременно достигается и при этом

min Ф(/х, и) = min Ф(а(/і), Ь(ї/)) Е R. (8.36)

/хЄТі /хбТі

Следовательно, справедливо равенство { min Ф(/і,і/) : і/ЕТ2} = { min Ф(а(/і), Ь(^)) : і/ЕТ2},

/хЄТі мєт і

а потому (см. (8.34)) в задаче min Ф(/г, и) —>• max, и Е Т2, достигается максимум и

МЄТі

V = max min Ф(и, и) Е М. (8.37)

veTineTi

Таким образом (см. (8.15), (8.22), (8.37)), у нас определены экстремумы

(v(e,<J) = sup inf /0((о'і(и))і (ft-(v)) . п) = sup inf /0(Д(и),5(и)) eR

Ve E]0,00[ E]0,oo[Wv = max min Ф(^, ^) = max min Ф(а(//), b(i/)) E r). (8.38)

/ V ^ЄТг/іЄТі і/ЄТ2 мЄТі /

Заметим, что (см. (7.10)) при и G Е\ справедливо свойство .Д(и) G А; кроме того, при v G Е2 справедливо (см. (7.12)) включение Б(и) G В . Поэтому, согласно (5.16),

Ф(ЛЫ, B(v)) = fo(A(u), 5(v)); (8.39)

В частности, это равенство справедливо при и G E^[e],v G Е^[<5], где е G]0, оо[, 8 G]0, оо[; см. (4.8), (4.9). Из (8.38) и (8.39) вытекает, что

V(e,<5) = sup inf Ф(А{и),В(у)) Уе g]0, oo[ У6 g]0, oo[. v€E?)Wtt€Ee1)[e]

9. Аппроксимативная реализация обобщенного максимина

Ниже показано, что обобщенный максимин V сколь угодно точно аппроксимируется значениями V(e,5) при достаточно малых значениях е G]0, оо[ и 6 G]0, оо[. Сначала отметим свойство аппроксимативного характера, подобное предложению 4 работы [12]. Предложение 9.1. У( е]0, оо[ g]0, оо[:

min Ф(ж, у) G [фе(у), Фе{у) + С[ У£ Е]0, <5^[ Уу G В. (9.1)

iGa^Ti)

Доказательство. Пусть £ G]0, оо[. Тогда, согласно (5.21), можно указать 6 G]0, оо [, для которого Ух' G А У у' G В Ух" G А У у" G В

((IK -*"||<*> < 5)&(||у' - у"11(,) < г)) => (|ф(*',г/) - *(**,/)! < <)• (9-2)

С учетом предложения 8.1 получаем, что для некоторого ё G]0, оо[

аЧтО С cl(G|1),r<*)) с OjVfrO]. (9.3)

Пусть к G]0, е[ и у* G В . С учетом (9.2) имеем Ух' G А Ух" G А

(Hz' - x"\\(k) <S)=> (IФ(я',У*) - *(**, V.)l < С). (9.4)

При этом, согласно (4.8), имеем по выбору к вложение Е^[к] С Е^[ё], откуда, согласно (7.1), вытекает, что G* ^ С G^ и, как следствие, с 1(g£\t^) С с\(G^1\t^). Поэтому из

(9.3) вытекает вложение с\(G^\t^) С 0^[aL(Ti)] и с учетом (7.17)

а^ТО с cl^Vf) с Of [аЧтО]. (9.5)

Из (8.13) и (9.5) следует очевидное неравенство:

ФЛу*) < min Ф(ж,у*). (9.6)

xGa1(Ti)

Подберем теперь я* G cl(G[}\t^) такое, что справедливо равенство

ФЛу*) = Ф(я*,У*)* (9-7)

Согласно (9.5) имеем, в частности, включение х* G O^a^Ti)]. Это означает, что ж* G Шк таково (см. (2.1)), что для некоторого х* G a^Ti)

\\хт-х*\\М<1 (9.8)

Заметим, что, согласно (7.11), i*€A. Кроме того, из (8.25) имеем по выбору х* включение х*еА. Тогда из (9.4) следует импликация (||ж* -ж*||^< 8) =>• (|Ф(:с*,у*) -Ф(я*,у*)| < С). Поэтому из (9.8) получаем неравенство |Ф(а;*,у*) — Ф(я*,у*)| < С- С учетом (9.7) \фк{у*) -Ф(я*,у*)| < С- По выбору х* имеем неравенство min Ф(я,у*) < фк(у*) + £. Тогда

(см. (9.6)) получаем цепочку неравенств фк(у*) ^ min Ф(я,у*) < фк(у*) + (. Поскольку

хбаЧТх)

выбор к и у* был произвольным, установлено, что

min Ф(я,у) Е [фе{у),фе{у) + С[ Ve Е]0,е[ Vy Е В. (9.9)

xGa^Ti)

Коль скоро ё Е]0, оо[, из (9.9) вытекает, что Е]0, оо[:

min Ф(х,у) в [фе(у),фе(у) + С[ £]М<[ Vy Е В.

х€аА(Т1)

Поскольку выбор С был произвольным, установлено (9.1). □

Теорема 9.1. Имеет место следующее свойство аппроксимативной реализации V :

VC Е]0, оо[ Зкс Е]0, оо[: |V(e, 8) - V| < С 4е Е]0, кс[ 48 Е]0, «с[.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (7.13) и предложения 9.1 вытекает, что

VC Е]0,оо[35с Е]0, oo[: min Ф(х,у) Е [</>е(у), 0е(у) + С[ Ve Е]0, £с[ V£ Е]0,оо[ Vy Е с1(с£2),т£°).

x^a^Ti)

Далее из (8.28) и предложения 9.1 следует, что

V< Е]0,оо[ 3£с Е]0,оо[: min Ф{х,у) Е [фе(у),фе{у) + С[ Ve Е]0, 8с[ Vy Е Ь^Тг). (9.10)

xea^Ti)

С учетом (8.30) выберем и зафиксируем уо Е Ь^Тг) такое, что

min Ф(я,уо)=У. (9.И)

xea^Ti)

Тогда, в частности, уо Е В , согласно (8.28). Выберем и зафиксируем произвольное число к е]0, оо[. С учетом (9.10) подбираем число Е]0, оо[, для которого

min Ф(ж,у) Е [фе(у),фе(у) + к[ 4е Е]0,$*[ Vy Е ЬХ(Т2).

xGo1(Ti)

В частности, получаем систему включений min Ф(гс,уо) Е [0е(уо)5 Фе{Уо) + к[ Ve Е]0,<5?[.

x6a1(Ti)

С учетом (9.11) получаем, что V < фе{уо) + « Ve Е]0,5*[. Поскольку уо Е ЬХ(Т2), то

V< max фе(у) + « Ve е]0,<5J[. (9.12)

убЬ^Та)

Вместе с тем, согласно (7.18), ЬХ(Т2) С cl(G^\т^) 48 Е]0,оо[. Поэтому при е Е]0,оо[ и

6 Е]0,оо[ max фе(у) ^ шах фе{у)- Данные неравенства используем в (9.12): у<еьЧт2) уес1(С<2\т£°)

V< max фе(у) + к 4е Е]0, <5f[ 48 Е]0, оо[. (9.13)

У€с1(С<2>4'>)

Как следствие из (8.15) и (9.13) вытекает следующая система неравенств: V < У(е,8) + к 4е Е]0, [ 48 Е]0,оо[. Иными словами,

V-V(M)<* 4ее]0,8Ц48 Е]0,оо[. (9.14)

С учетом (4.3) и (5.21) подберем 8% €]0,оо[ такое, что Мх' 6 А Му' 6 В Мх" € А Му" 6 В

((II*' - *"||(*° < «?)&(||у' - у"||(,) < «5)) =»• (|*(®',у') - ф(*",у")1 < *)• (9.15)

Пусть теперь 8% = ^({^15 ^2})» ^2 ^]0, оо[. Из (9.14) имеем, следовательно, что

V-¥(е,<5) < к Мее]0,8^[М8е]0,оо[. (9.16)

Из (9.15) вытекает при этом, что Мх' 6 А Му' Е В Мх" £ А Му" € В

((II*' - х"\\Ю < ^)&(||у' - /ц(0 < £)) => (|Ф(ж',у') - Ф(х",у")| < к). (9.17)

Подберем теперь, используя (8.9), такое число £3 €]0, оо[, что

с1(С<?,т'|))сО|)[Ь1(Т2)]. (9.18)

Отметим, что, согласно (4.9), Е^[£] С Е^1^} У6 €]0, (ЭД. С учетом (7.1) получаем вложения Сд2* С СЙ* У<5 е]0, <5з]. Как следствие (см. (9.18)),

с1(С<2),40) С 0‘(>[Ь1(Т2)] 46 е]0,ф. (9.19)

2

Введем <5° = 1п£({^25 }) £]0, оо[. Тогда, поскольку <5° ^ 8?, , имеем из (9.16), что

V - ¥(е, 8) < к Ме е]0,6°[ М8 €]0, оо[. (9.20)

С другой стороны, из (9.19) вытекает, что

с1(С<2),4°) С оФ[Ь1(Т2)] 46 б]0,<5°]. (9.21)

2

Выберем произвольно £о е]0, 8°[ И <5о €]0, б°[. Из (9.20) следует (по выбору £о5^о), ЧТО

V-¥(<•<), ЗД < «. (9-22)

С учетом (8.15) подберем точку у £ с1(С^\т^), для которой

У(ео,60) = ф£о(у). (9.23)

Поскольку (см. (9.21)) справедливо (по выбору <5о) вложение с1(С^,г^) С 0^[Ь!(Т2)], то для некоторого у° £ Ьг(Т2) справедливо неравенство

\\У-У°\\{1) <%■ • (9-24)

В силу (7.13) имеем по выбору у следующее включение: у е В . С другой стороны, из (8.28) по выбору у0 имеем включение у0 £ В . С учетом (9.17) и (9.24) получаем, что

|Ф(я, у) — Ф(гг, у0)| < к Мх £ А. (9.25)

Напомним, что, согласно (9.23), справедливо равенство

V (его? <^о) = гот Ф (х,у). (9.26)

х€с1(с£о\т£к))

С учетом (7.17) получаем, однако, вложение ax(Ti) С сЦС^т^). Поэтому, согласно

(9.26), имеем очевидное неравенство

V(eo,£o)< min Ф (х,у). (9.27)

xGaHTi)

Вместе с тем из (9.25) вытекает, что min Ф(х,у)—к < Ф(х,у°) Ух е ax(Ti). Это означает,

хба^Тх)

что

min Ф {х,у)-к< min Ф(ж,г/0).

хбо^Тх) xGa^Ti)

Коль скоро у0 6 ЬХ(Т2), из (8.30), (9.27) и последнего неравенства вытекает, что непременно V(eo?^o) - к < V. Иными словами, V(e0,^o) - V < к, откуда с учетом (9.22) вытекает неравенство |V(£o,^o) — V| < к. Поскольку выбор £о,<5о был произвольным, установлено, что |V(e, 8) — V| < к Ve G]0,5°[ У5 е]0, £°[. Коль скоро и выбор к был произвольным, имеем, что VC G]0, оо[ е]0, оо[: |V(e, <5) - V| < ( Ve е]0, к$[ V6 е]0, к$[. □

ЛИТЕРАТУРА

1 . Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями.

М.: Наука, 1977.

2 . Янг J1. Лекции по вариационному исчеслению и теории оптимального управления. М.: Мир,

1974.

3 . Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975.

4 . Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

5 . Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного

результата. М.: Наука, 1985.

6 . Субботин А. И., Чепцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

7 . Даффин Р. Дж. Бесконечные программы. // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.,

1959. С.263-267.

8 . Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложе-

ния. М.: Наука, 1971.

9 . Нейман Дж. фон, Моргенштперн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

10 . Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.

11 . Чепцов А. Г. Об одной игровой задаче управления на минимакс // Изв. АН СССР. Техническая

кибернетика. М., 1975. JV* 1. С. 170-175.

12 . Ченцов А. Г., Шапарь Ю. В. Об одной игровой задаче с приближенным соблюдением ограни-

чений // Доклады Академии Наук. М., 2009. Том 427, JVS 2. С. 170-175.

13 . Ченцов А. Г., Шапарь Ю. В. Конечно-аддитивные меры и расширения игровых задач с огра-

ничениями асимптотического характера // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2010. 1. С. 89-111.

14 . Ченцов А. Г. О представлении максимина в игровой задаче с ограничениями асимптотического

характера // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2010. № 3. С. 104-119.

15 . Chentsov A. G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. New York; London;

Moscow: Plenum Publishing Corporation, 1996.

16 . Chentsov A. G. Asymptotic attainability. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers,

1997.

17 . Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and Relaxations. Dordrecht; Boston; London: Kluwer

Academic Publishers, 2002.

18 . Chentsov A.G. Finitely additive measures and extensions of abstract control problems // Journal

of Mathematical Sciences, Vol. 133, 2. Springer, 2006.

19 . Ченцов А. Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры. I. Екатеринбург: РИО УГТУ-УПИ,

2008.

20 . Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

21 . Эпгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

22 . Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.

23 . Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.

24 . Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Издательство иностран-

ной литературы, 1962.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН (проекты 09-П-1-1007, 09-П-1-1014) и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 09-01-00436, 10-01-96020).

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.

Baklanov А.P. and Chentsov A.G. On question about extension of a game problem in the class of two-valued finitely-additive measures.

We consider a maximin problem with the conditions that admit the relaxations of constraints for strategies choosing. The cost function is supposed to be realized by the "continuous aggregation" of the discontinuous vector-functions which arguments are the players strategies. We construct the generalized representation of the asymptotics of realizable maximin values in the case when the relaxation of constraints is tightened up. Finitely-additive measures are used as the generalized elements.

One of the authors has repeatedly participated in the scientific conferences held at Tambov State University named after G.R. Derzhavin. These conferences have been organized by Tambov mathematicians, well-known specialists in the field of differential equations theory and optimal control theory. Thanks to these scientists the researches in the aforementioned fields have reached the present level. These researches are widely known and have been highly evaluated in other scientific centers. The Tambov mathematicians are connected with the number of research centers of the highest standards by existing traditions, based upon both the priorities of mathematics as a science and mathematical education. Recently the Tambov mathematicians have celebrated the great anniversary - as far as 80 years ago the Institute of Mathematics, Physics and Computer Science of the Tambov State University Named After G.R. Derzhavin was established. The authors wish the Tambov mathematicians every success.

Key words: finitely-additive measures, maximin, attraction set, generalized element, topological space.

Бакланов Артем Павлович, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург, аспирант отдела управляемых систем, e-mail: [email protected]

Ченцов Александр Георгиевич, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург, Член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом управляемых систем, e-mail: [email protected]