CC BY
14
УДК 519.62, 519
doi: 10.18101/2304-5728-2016-4-61-68
© А. Д. Мижидон, А.В. Харахинов
Частотное уравнение для балки Тимошенко с упруго прикреплённым телом с двумя степенями свободы1
В работе для механической системы, состоящей из твердого тела с двумя степенями свободы, прикрепленного с помощью двух пружин к балке Тимошенко производится построение частотного уравнения. Рассматриваемая система описывается гибридной системой дифференциальных уравнений, которая с помощью гармонической подстановки сводится к алгебраическо-дифференциальной системе относительно амплитудных параметров. Частотное уравнение получено на основании, рассмотрения условий существования решений краевой задачи для алгебраическо-дифференциальной системы.
Ключевые слова: частотное уравнение, балка Тимошенко, гибридная система дифференциальных уравнений, краевая задача.
© A. D. Mizhidon, А. V. Kharakhinov
A frequency equation of a Timoshenko beam carrying a two-degree of freedom spring-mass system
In paper construct a frequency equation for a mechanical system that consist of a rigid two degree of freedom mass that was attached by two springs to the Timoshenko beam. The system that we considered described a hybrid system of differential equations that with help a harmonic substitute transform into an algebraic-differential system relatively amplitude parameters. The frequency equation was obtained by review of conditions of the solution existence of the boundary problem for the algebraic differential equation.
Key words: eigenvalue problem, Timoshenko beam, hybrid system of differential equations, boundary problem.
Введение
В работе [1] рассматривалась механическая система (рис.1), состоящая из твердого тела с двумя степенями свободы, прикрепленного с помощью двух пружин к балке Тимошенко.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 15-08-00973а
t ¿
Z
(j
■*■ JC
Л
ai
A
0
Рис. 1. Механическая система «упругая балка с телом, установленным
Для данной системы на основании вариационного принципа Гамильто-на-Остроградского построена математическая модель в виде гибридной системы дифференциальных уравнений
тг + сх(г -сИ^ф-и^а^)) + с2(г + <32ф-и{а2^)) = 0,
I ф-с1<31 (г-сИ^ф-и{ах,0) + с2<32(г + с12ф-и(а2,()) = 0,
темы [1]; г, ф - соответственно поступательное и угловое отклонения тела; и(х.1) - поперечное смещение точек балки с координатой х в момент времени /3(х.1) - угол сдвига.
Решение системы (1) понимается в обобщенном смысле [1].
На функции и(х.1) и /3(х.1) наложены некоторые граничные условия, соответствующие условиям закрепления на концах балки:
В данной статье для механической системы, описываемой гибридной системой дифференциальных уравнений (1) с краевыми условиями (2) производится построение частотного уравнения.
1. Постановка задачи
Подставив в систему (1) функции z(t), <p(t). ii(x.l). P(x,t), в виде
z(t) = Zsmcot, = Z sinof, u(x,t) = V{x)smcot, ¡3(x,t) = B(x)smcot,
на двух пружинах»
Г>(0,О,/?(0,О) = 0, T2(n(l,t),P(l,t)) = o.
(2)
получим алгебраическо-диффереициальную систему уравнений (3) относительно амплитудных параметров системы Z, Z У(х), В(х) :
-тАсо2 + cx(Z -dxZv -V{ax)) + c2{Z + d2Zip-V(a2)) = 0, -I^y - cxdx (Z - d,Zv - V(ax)) + c2d2(Z + d2Zv - V(a2)) = 0, d4V(x) d3B(x) i pa2 d2V(x) pa2 dB(x) pFco2
dx dx E dx E dx EI
= %-{Z- dxZ - V(x))S(x - a,) + ^(Z + rf2Z„ - V(x))S(x - a2), EI EI
p^dVtxt p^B(x) + ^B(x) = 0 dx dx E dx E EI
Отметим, функции V(x) и B(x) удовлетворяют граничным условиям соответствующим граничным условиям (2), накладываемым на функции u(x,t) и /3(x,t):
ух (V(0), 5(0)) = 0, (V(l), B(l)) = 0 . (4)
В работе [1] была доказана следующая теорема.
Теорема 1. Если вектора Z, Zip, функции I '(х) и В(х) удовлетворяют алгебраическо-дифференциальной системе уравнений (3), функции V(x) и В(х) граничным условиям (4), то для функций I '(х) и В(х) справедливо представление
V(x) = Gx(x-ax)^-(Z- dxZv - Via,)) + G2(x - a2)^-(Z +d2Zv -V(a2)\
EI EI (5)
B(x) = Bl{x-al)^-{Z-dxZv -V{ai)) + B2{x-a2)^-(Z +d2Ztp -V(a2)\ EI EI
где функции Vi (x), B{ (x), (i = 1,2) являются обобщенными решениям системы
'd4Gj(x) d3Bi(x) peo2 d2Gj(x) peo2 dBt{x) pFco2
-Gi(x) = 5(x),
dx4 dx3 Е dx2 Е dx Е1
(6)
+ = 0>
с1х с1х Е dx Е Е1
с краевыми условиями
ух (С, (-а,),В, (-а,)) = 0, у2(С,(I - а,),ВД/ - а,)) = 0 . (7) Требуется определить условие, из которых находятся частоты ш , при которых существует решение алгебраическо-дифференциальной системы уравнений (3) с краевыми условиями (4). Заметим, что найденное условие
и будет уравнением собственных частот (частотным уравнением) исходной системы, описываемой гибридной системой дифференциальных уравнений (1) с краевыми условиями (2).
2. Частотное уравнение
Исключим из системы (6) переменные 5Дх). Для этого продифференцируем второе уравнение из (6) и отнимем от него первое уравнение системы (6). Полученное соотношение
З.(х)_ рог
Лх
подставим в первое уравнение (6). В результате получим
(8)
с!4СДх)
(
йх
1-
рсо рсо
2 Л Л2
/24 т—'
р СО рр СО
рсо
2 Л
ад-
с1х
/
1 й28{х)
2Л
ХСЕ Е1
С,(х) =
(9)
ХОРЕ)-"'' ХСЕ ¿/х2 Заметим, решение уравнения (9) понимается в обобщенном смысле. Если С{(х) некоторое обобщенное решение уравнения (9), то при любой функции ср(х) из класса основных функций должно выполняться тожде-
ство
2 (
щ
0 >=1 V 11 2 / = Я1
о о '=1 V
¿ГСтДх) ¿/х4
(рсо2 рсо2^^2
1-
рсо
2 Л
¿2в,(х) (р2со4 рЕсо2)
8{х)~
йх
1 й28{х)Л
ХОЕ с1х
ХОЕ Ы
С,(х)
щ (х)ёх =
Используя правило дифференцирования обобщенных функций [2] представим последнее выражение в виде
о ¿=1 V 2 ((
с1%{х)
(
рсо рсо
2 Л Л2
с1%{х)
( „2 4
р со рЕсо
2 \
ХОЕ Ы
\
СДх)
(х)ск =
= 1
1=1
1-
рсо
2 Л
ХОРЕ
т-
1 ¿Удо)
ХОЕ йх2
(10)
Таким образом, в дальнейшем будем понимать для обобщенного решения уравнения (9) выполнение тождества (10).
Теорема 2. Обобщенное решение уравнения (9) определяется выражением
(
1-
рсо
2 Л
ХОЕЕ
СДх)-
1 а2сг(х)
ХОЕ ск2
(П)
где функция (х), (/ = 1,2) являются обобщённым решением уравнения
d\тДх)
dx4
(
pea pea
2 Л Л2,
d¿Gt{x)
í i,2,-,4
dx
p ea pFca
2 Л
XGE El
Gi(x) = 5(x). (12)
Доказательство. Подставив (11) в левую часть выражения (10), после преобразований получим
- 2 (dAGi{x) (pea2 реа2^^ f ~2»4 ^
dx4
pea
ÍS
о >=i V
í р2ео4 pFea2^ XGE El
d2Gi(x) f p2ea4 pFea2^
XG
2 Vd4Gt(x) f -~2
XGE El
Gj(x)
rpi(x)dx =
dx4
pea pea
%G
¿rG¿(x)
G¡(x)
cp^dx-'ljj^
de
72 f d4Gi(x)
xGFdx2
f
peo peo
2 Л^
XG
d G^x)
f r,2^4
l. 2
pea
de'
2 Л
p ea pFea
2Л
XGE El
G,(x)
cpi{x)dx
0 i-l 2 fí
XGFE
_. . . . 1 d28{x)) 8 (х)щ (x)--——73— Щ (x)
=z
1=1
1-
pca
2 Л
w
XGFE
4>№~
XGF dx2
1 d2q>¿ 0)
XGF dx2
dx =
что совпадает с правой частью (10). Теорема доказана.
Замечание 1. Решение уравнения (9) удовлетворяет некоторым краевым условиям
^Д-а,)Д (-а,)) = 0, у^ОД-аХВД-а,)) = 0 , (13) соответствующим краевым условиям (7) системы (6).
Решение уравнения (12) можно найти в виде суммы общего решения однородного уравнения
d4Gi(x) dx4
f
pea pea
2 Л Л2,
d¿Gt{x)
( „2 4
dx
p ea pFea
2 Л
XGE El
G¡ (x) = 0 (14)
и фундаментального решения уравнения (12). Отметим [3], в качестве фундаментального решения (12) можно взять решение однородного уравнения (14), удовлетворяющее начальным условиям
ад = о, ^(0) = о, ^(0) = о, ^(о) = 1,
dx dx
умноженное на функцию Хэвисайда0(х). При предположении
dx
(
pFea2 pea XGF +~Ё
2 Y
- 4
f p2ea4 pFca2 ^ XGE El
>0,
общее обобщенное решение уравнения (12) найдется в виде
— 1 Г $И1ЛХ 81П£Х
С (х) = сх сое £х + с2 вт ах + + с4еих + в(х) —-----
£ +/и [ /и £
где
рЕсо2 рсо2 ( рЕсо2 рсо2^ 2 -4- (р2со4 рЕсо2Л
ХОЕ ' Е ' \ и Е J {хвЕ Е1 )
8 =
рЕсо2 рсо2 (рЕсо2 | рсо2 ^ 2 -4- ( р2со4 рЕсо2 Л
ХОЕ Е ' у и ^ 1 е J {ХОЕ Е1 )
И =
Таким образом, для нахождения обобщенных решений С1(х),С2(х) уравнения (12), удовлетворяющих заданным краевым условиям (13), определим произвольные константы с1,с2,с3,с4, входящие в общее решение
из условий выполнения граничных условий (13).
Подставив (11) в первое выражение из (5) получим
т=
(Г
ЧЧ ХОРЕ у
2 Л
С^х-а,)-
1 с1201 {х-аг)
ХОЕ сЬс
Е1
1-
рсо
ХОРЕ
С2(х-а2) -
1 ё2С2(х- а2) Х(И' ск2
\
(15)
Е1
Подставив последовательно в соотношение (15) х = а{, / = (1,2), получим систему вида
У(а1) =
(Г
1 —
_рсо^ ук ХОРЕ,
рсо2 >
1 ¿/2д(0)
ХОЕ с!х2
\
Е1
2
ХОЕЕ
С2{ах -а2) -
2 — \ 1 ё 02(а1 -а2)
ХОЕ
Е1
рсо2 >
У(а2) =
ХСЕЕ
^ (а2 - ) -
((
йх
2 — \ 1 ё Сг(а2 -ах)
■-¿-(г-^-УСч))-Е1
Е1
1-
рсо
ХОЕ
2 Л
йх
\\
ХОЕЕ
02(0)~
1 с12С2(0)Л ХОЕ ёх2
(16)
Введя обозначения
4 El
^ El
ff
1
vv ff
1-
pco
2 Л
G,( 0)-
1 d2Gx( 0)
Л
1-
XGFE) xGF dx j pco2 ]ÖM_Ü2)_ 1 d2G2(al -a2)
\
^ EI
4 EI
W ff
1
vv ff
1
vv
1-
XGFE pco
XGF
dx
1-
XGFE pco
%gfe
J
\
/ 2 Л
G2( 0)-
XGF 1 d2G2( 0)
Л
XGF dx2
преобразовав, перепишем (16) в виде
\(\ + xjz+(x2d2 - М - (1+Л ) - VK) = о,
\(Ä3+Ä4)Z + (Ä4d2 - Vi - V(«i) - (1 + = 0.
(17)
Объединив первое и второе уравнения системы (3) с системой (17), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно Z,Zíp,V(al),V(a2).
(-та2 + сх+ с2)Х - (с^ + -су(а^) -с2У(а2) = 0,
^ -(сД + с^2)г - (1^а2 -сД2 -с2й2 )2(р + + с^2У(а2) = 0,
+ Л2)г + (Х2й2 - - (1 + А1)Г(а1) - Х2У(а2) = 0,
(Аз +Л4)г + (Л^2 - V- ^КЦ) - (1 + Х4)У(а2) = 0.
Однородная система алгебраических уравнений (18) имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю. Приравняв определитель системы (18) к нулю, получим уравнение для нахождения собственных частот
-С,
-С,
det
Cjt/j
c2d2
(-та + Cj + с) ~(c\di + c2d2)
-(Cjt/j +c2d2) (-/ ®2 + Cjt/j2 + c2d22)
(VA,) (X2d2-Xldl) -(1 + Л)
(VA4) (X4d2-Xidl) -X} (1 + Я4)
= 0. (19)
Заключение
Обосновано построение частотного уравнения (19) для балки Тимошенко с прикрепленным с помощью двух пружин твердым телом с двумя степенями свободы. В целом статья является продолжением исследований, приведенных в [1].
Литература
1. Мижидон А.Д., Харахииов А.В. К исследованию краевой задачи для балки Тимошенко с упруго прикреплённым твёрдым телом // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика.— 2016. — № 1, —С. 88-101.
2. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976. — 280 с.
3. Мижидон А.Д., Мижидон К.А. Собственные значения для одной системы гибридных дифференциальных уравнений // Сибирские электронные математические известия. — 2016. — Т. 13. — С. 911 - 922.
References
1. Mizhidon A.D., Harahinov A.V. К issledovaniju kraevoj zadachi dlja balki Timoshenko s uprugo prikrepljonnym tvjordym telom // Vestnik Buijat-skogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, informatika. — 2016. — № 1, —S. 88-101.
2. Vladimirov V.S. Obobshhennye funkcii v matematicheskoj fizike. — M.: Nauka, 1976.— 280 s.
3. Mizhidon A.D., Mizhidon K.A. Sobstvennye znachenija dlja odnoj sis-temy gibridnyh differencial'nyh uravnenij // Sibirskie jelektronnye mate-maticheskie izvestija. — 2016. — T. 13. — S. 911 - 922.
Мижидон Ареалам Дугароеич, доктор технических наук, профессор, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, Бурятский государственный университет, e-mail: [email protected].
Харахинов Алдар Владиславович, аспирант, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, e-mail: [email protected].
Mizhidon Arsalan Dugarovuch, DSc, professor, East Siberia state university of technology and management, Buryat State University.
Kharakhinov Aldar Vladislavovich, postgraduate student, East Siberia state university of technology and management.
