Равнобедренная конфигурация в плоской неограниченной задаче трёх тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

Г.Д. Севостьянов

УДК 531.38

РАВНОБЕДРЕННАЯ КОНФИГУРАЦИЯ В ПЛОСКОЙ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ

ТРЁХ ТЕЛ

Показано, что два тела в углах основания равнобедренного треугольника плоской задачи трёх тел взаимно притягиваются центральной силой, состоящей из гравитационной и упругой сил.

Движение в системе трёх тел в барицентрической основной правой системе G^rjC описывается уравнениями [1]

dU J.,mom , mim , mmo ^

mkrk = —,U = f(—— + —— + ——mkrk = 0, (1)

ork Д01 A12 Д20 f—'

k=0

где mk - масса тела Mk (k = 0,1, 2), rk = GMk(£k,nk, (k) _ вектор с началом в центре масс G, U - потенциальная силовая функция системы, f > 0 — гравитационная постоянная, Д^ = MiMj.

Уравнения относительных движений (rj — r = Ду) запишем в виде

e

Д ij = — М ДД2Г + mk Fc, д = f (mo + mi + m2), ij

Fc = f (^ + Ж" + 12°)(k = ; i. j, k = 0,1,2). (2)

Д 01 Д12 Д 20

Здесь eij = Aij-/Д j — орт сторопы MiMj треугольника тел. Fc = 0 для равносторонней конфигурации (Лагранж, 1772 г.), и неограниченная задача сводится к трём задачам одного тела [1, 2].

С плоскостью трёх тел свяжем правую систему Gxyz (ось Gz перпендикулярна к этой плоскости, ось Gx параллельна прямой M0M1 и направлена в сторону e01). GT - линия узлов. Для узлов Эйлера J^Ф (J = Z£Gz - наклонность, угол нутации; Q = Z^GT - долгота узла, угол прецессии; Ф = ZTGx - угол собственного вращения) имеем кинематические уравнения Эйлера (см. [1]) в случае известных координат угловой скорости ш вращения этой плоскости около G (в

Gxyz

второго порядка для J(t).

В случае плоской неограниченной задачи трёх тел (J = = 0,ш = = Ф), разложив в (2) ускорения на радиальные и трансверсальные, придём к уравнениям Рауса (E.G. Routh, 1875 ) [4].

Обозначим через угол треугольника тел при вершине M&, (k = = 0,1, 2), через ak — угол между прямой GT и ортом e^k+ь

Если тела при движении образуют равнобедренный треугольник с постоянными боковыми сторонами и переменными углами (До1 = = Д20 = a,^1 = ^2, Д12 = Д), то из (2) вектор

F = f (Д - Д)е12 (3)

параллелен основанию M1M2 треугольника тел. Тогда относительное движение M2 около M1 описывается уравнением с центральной притягивающей силой

v Ш1 + Ш2 Д

12 = -f-Т^— m2e12 - fmoШ2-.е12, (4)

Д2 a3

которая состоит из гравитационной и упругой сил.

Отсюда имеем интеграл площадей и уравнение для Д(£):

a 2Д2 = С2, Д = Д - f (^ ± то Д) = F (Д). (5)

Тогда придём к квадратурам:

[ (Д Г dt

t = J Я(Д)± = ^Д),а2 = c2j ДЩ +

Н2(Д) = -Д + 2fm1_+m2 - fm Д2 ± с. (6)

Интеграл ^Д) — эллиптический, Д(t) — эллиптическая функция. Углы треугольника тел:

= ^2 = arccos 2a, ^о = п - 2^1. (7)

Из (4) следует, что при Д >> Д* упругая сила для тела M2 преобладает над гравитационной, а при Д << Д* имеет место обратное преобладание, где

Д* = m1±m2 }1/3, (8)

то

M2 M1 M1 M1 для M2, траектория в общем случае образует «розетку» (Д < 2a). При Д = a в (3) придём к случаю лагранжевского решения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Дубошип Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы, М,: Наука, 1968,

2, Абалакип В.К., Аксёнов Е.П., Гребенников Е.А. и др. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике, М,: Наука, 1976,

3, Севастьянов Г. Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тела с неподвижной точкой // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2005. Вып. 7. С. 195-198.

4, Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трёх телах // Собр. соч.: в 4 т. М.: Изд. АН СССР, 1954. Т.1. С. 327-401.

УДК 539.3

O.A. Торопова

ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО НЕФТЕПОДЪЕМНИКА

При выводе уравнений будем использовать следующие основные гипотезы и допущения, принимаемые в задачах механики морских трубопроводов [1, 2]. Будем считать, что материал стенок нефте-подъемника является несжимаемым, то есть значение коэффициента Пуассона принимается равным v = 0.5, диаграмма его деформирования описывается нелинейной зависимостью напряжений от деформаций. Далее, толщина стенки нефтеподъемника вдоль его образующей является в общем случае непрерывной функцией осевой координаты, либо кусочно-непрерывной (для многосекционного нефтеподъемника).

Введем правую декартову систему координат 0xix2, начало которой зафиксируем па морском дне, глубиной H от поверхности моря. Ось x2 направим вертикально вверх, ось x1 - горизонтально вправо. Свяжем с центром тяжести произвольного поперечного сечения деформированного трубопровода орты {ei}, направив вектор e1 = т по касательной к осевой линии, a e2 = n - по ее нормали. За начало отсчета эйлеровой дуговой координаты (s) выберем нижнее граничное сечение, находящееся в контакте с подводным технологическим оборудованием.

Здесь

el = Lelo, L = ( cos * sin * ) , ¿0 =(-Ü , (1) * V- sin * cos 0 y-ij'

причем

dT dn 7 ^ . ч

— = kn — = -kT. (2)

ds ds

k = k(s) — кривизна деформированной осевой линии нефтеподъемника.