Безумовна задача оптимізації дробово- лінійної цільової функції на поліпереставленнях: зведення до лінійної умовної на спеціальній комбінаторній множині Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

Таким образом, получены новые теоретические результаты, касающиеся свойств композиционных образов комбинаторных множеств.

Введены новые классы композиционных образов комбинаторных множеств — множества парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.

Исследованы некоторые свойства введенных комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство.

Полученные результаты могут послужить основой для построения оптимизационных моделей и методов решения задач со сложной комбинаторной структурой, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.

Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с постановкой и решением на основе описанных результатов классов задач оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств.

Литература: 1. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. К.: Наук. думка, 1988. 472 с. 2. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. 558 с. 3. СтоянЮ.Т.,Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О. О. Теорія і методи евклі-дової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 5. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании // Сборник тезисов докладов по материалам 10-й юбилейной междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” Харьков-Туапсе. 2004. С. 253254. 6. KaucherE. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR // Comp. Suppl. 1980. №2. P.33—49. 7. Гребенник И.В., Романова ТЕ. Отображение интервальных комбинаторных множеств в евклидово пространство // Пробл. машиностроения. 2002. № 5, №2. С. 87—91.

Поступила в редколлегию 27.12.2004 Рецензент: д-р техн. наук Романова Т.Е.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-10- 06.

УДК 519.854

БЕЗУМОВНА ЗАДАЧА ОПТИМІЗАЦІЇ ДРОБОВО-ЛІНІЙНОЇ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ НА ПОЛІПЕРЕСТАВЛЕННЯХ: ЗВЕДЕННЯ ДО ЛІНІЙНОЇ УМОВНОЇ НА СПЕЦІАЛЬНІЙ КОМБІНАТОРНІЙ МНОЖИНІ

Потреби практики математичного моделювання, зокрема відносних показників, в яких допустимі конфігурації мають вигляд елементів поліперестав-ної множини, роблять актуальним і необхідним вивчення таких задач, тобто задач оптимізації з дробово-лінійною цільовою функцією на поліпе-реставленнях.

Мета дослідження — вивчення властивостей множини допустимих розв’язків з метою використання їх для розробки методів розв’язування таких задач.

2. Виклад основного матеріалу дослідження

ЄМЕЦЬ О.О, РОМАНОВА Н.Г.

Досліджуються властивості множини допустимих розв’язків, що одержана при переході від задачі макси-мізації дробово-лінійної функції на множині поліпе-реставлень без додаткових обмежень до задачі з лінійною цільовою функцією.

1. Постановка проблеми в загальному вигляді

Розвиток сучасної теорії оптимізації привів до виокремлення в дискретній оптимізації напрямку, який можна назвати ’’евклідова комбінаторна оп-тимізація” (див., напр.[1-4]). Дослідження задач в цьому аспекті відбуваються як за типами цільових функцій та обмежень [1-14], так і за видами комбінаторних множин, що беруть участь в утворенні допустимої області комбінаторної оптиміза-ційної задачі.

Серед великої кількості досліджень останніх років з евклідової комбінаторної оптимізації можна виділити ряд публікацій, в яких, з одного боку досліджуються комбінаторні оптимізаційні задачі з дробово-лінійною цільовою функцією [8,9,11], а з іншого — вивчаються і розв’язуються задачі на поліпереставних множинах [7, 14].

Введемо в розгляд задачу максимізації дробово-лінійної функції на множині поліпереставлень без додаткових обмежень.

Задача. Знайти пару < F(x*),x* > , таку, що

F(x*) = max

xeRk

k

Zcixi +co

i=l_________

k

Z dixi + do ’ i=l k

Zcixi +co

* i=l

x* = arg max

xeR

kk

Z dixi + d0 i=l

(1)

(2)

За комбінаторної умови

x = (xi,...,xk) Є Ekn(G,H) c Rk, (3)

де ci,di є R* 1 Vi є Jk = {0,l,2,...,k}, Rk -k -вимірний евклідів арифметичний простір; ц, n, k,s — задані натуральні сталі; Ejkn(G,H) — множина поліпереставлень [1-4], що утворена з мультимно-

жини G за допомогою спеціальної множини H k —

70

РИ, 2005, № 1

вибірок натуральних чисел. Нехай і далі

Vx є Eskn (G, H):

k

Zdixi + d0 > 0 . (4)

i=1

Досліджуючи задачу (1) - (3), перейдемо до задачі з лінійною цільовою функцією, здійснивши відображення у за правилом:

W: x = (xi,..., xk) є Rk w >

—^ y = (yo,yi,...,yk) є Rk+1,

де yo =-k----------;yi= xiyovi є Jk; (5)

Z dixi + do i=1

тут і далі Jk означає множину перших k натуральних чисел, тобто Jk = {1,2,...,k} .

Позначимо образ в Rk+1 при відображенні у множини Ejkn (G,H) так:

V (Ekn(G,H) )= E c Rk+1. (6)

Зауважимо, що якщо виконується умова (4) та елементи мультимножини G = {g1,...,g ^ } невід’ємні gi > 0 Vi є J^ , то y0 > 0, yi > 0 Vi є Jk. Будемо позначати y(x) = y = (y0,y1,...,yk).

При відображенні (5), (6) задача (1), (3) набуває вигляду: знайти впорядковану пару < C(y*),y* > таку, що

k

C(y*) = max1 X c jy j (7)

xeRk+1 j=0 J , (7)

k

y* = arg max £c;y;

xeRk+1 j=0

за комбінаторної умови

(8)

y = (y0,y1,...,yk) є E (9)

та додаткової умови

k

Zdiyi =1 . (10)

i=0

* * * *

Теорема 1. Якщо y = (у0,У1 ,...,yk) точка, що

* * * *

задовольняє (8), то точка x = (x0,x1 ,...,xk), яка

*

отримана при підстановці в (5) yi = уі , задовольняє умову (2).

Доведення. Позначимо у = (У0, y1, . ,yk) є E, а

прообраз у при x = (x1,...,xk) . Нехай * * * * . . у = (у0, У1,..., yk) задовольняє (8). Покажемо,

що якщо за у* по (5) знайти прообраз у* при

відображенні (5) (позначимо його * * * * , * x = (x0,x1,...,xk)), то x задовольняє (2).

Оскільки у* задовольняє (8), то за означенням максимуму

k k *

Z сіУі ^ Z сіУі

і=0 і=0

(11)

Перепишемо (11), враховуючи (5):

k

k Z cixi + c0

У0 Z (cixi + c0) ^k-------------

i=1 Z dixi + d0

i=1

(12)

Розділимо ліву частину (12) на одиницю у вигляді (10):

k

*

1 =Z diyi

i=0

та скоротимо чисельник і знаменник на у0 . Отримаємо

k * k

Z cixi + c0 Z cixi + c0 _i=1__________> _i=1________

k * k

Z dixi + d0 Z dixi + d0

i=1 i=1

(13)

Для довільної точки x = (x1,...,xk) нерівність (13)

*

означає, що x задовольняє (2), що і треба було довести.

Таким чином, оптимізаційна задача з дробово-лінійною цільовою функцією на множині поліпе-

реставлень Ejkn(G, H) зводиться до задачі комбінаторної оптимізації з лінійною функцією цілі та допустимою множиною E, що визначається за умовою (6). При цьому кількість змінних збільшується на одну та до обмежень (9) додається умова (10).

Для побудови методів розв’язування задачі (7) -(10) важливо дослідити опуклу оболонку convE множини E . Для множини поліпереставлень опукла оболонка convE kn (G, H) відома [1-4] — це многогранник поліпереставлень П kn(G,H) . Відома також важлива властивість цього многогранника: множина його вершин збігається з множиною поліпереставлень:

Ekn (G,H) = vertnkn (G,H), (14)

тут і далі vertM означає множину вершин многогранника M.

Нехай GNl с G ki -елементна мультимножина

(ki = |N і j Vi є Js, U Ni = Jk, z GNl = G),

i=1

i=1

, Nl Nl Nl

(утворена елементами g1 ,g2 v^g^ з пронумерованої мультимножини G, причому в GNl включають ті елементи з G, які мають номери з

РИ, 2005, № 1

71

множини Nj (Nj П Nj = 0,Nj Ф 0 Vi, j є Js). Зауважимо, що kj + k2 +... + ks = k .

He порушуючи загальності міркувань, будемо вва-

п Nj

жати, що елементи мультимножини G j упорядковані:

gj j > g2j > ... > gkji .

(15)

Позначимо Nj = (pj, p2,. .,Цk } Vi є Js, де Vi є Js: i-1 i-1 1 i-1

P1 = (Zkj) +1, P2 = (Zkj) + 2,...,Pki = (Zkj) j=l j=1 j=1

Як відомо [1-4], многогранник П kn(G,H) визначається сукупністю всіх розв’язків системи

ki N

z, xj = z gj vi є Js; (16)

jeNi' j=1

< .

I®l n i '

Z Xj <zgjNi W c Ni Vi є Js ,

. j^®1 j=1

де M| означає кількість елементів у множині M •

Отримаємо образ многогранника П kn (G, H) при відображенні у , яке визначається співвідношенням (5). З системи (16), (17) з урахуванням виразу Xj через yi, y0 з (5) маємо:

ki N

Z yj = Zgj У0 viє Js;

jeNi' j=1

|ю 1 N- i '

* Z yj gj У0 Vra c Ni Vi є Js;

jecoi j=1

Zj =1 •

j=0

(18)

(19)

(20)

Нагадаємо, що в системі (18)-(20) y0 > 0 , у. > 0 , Vi є Jk •

Множину точок з Rk+1, що задається системою

(18)-(20), позначимо Qkn(G,H). Зауважимо, що система (18)-(19) визначає опуклий многогранний конус з вершиною в початку координат ( позначимо його Kj^ (G, H) • Рівняння (20) задає гіперпло-щину, яка не проходить через вершину конуса Kkn (G, H) — початок координат, а перерізає його по множині Qkn (G, H). Отже, многогранник Qkn (G, H) — це основа багатовимірної піраміди,

яка утворена конусом Kkn(G, H) та гіперплощи-ною (20).

Розглянемо деякі властивості многогранника

Qkn(G,H) •

Спершу дослідимо систему (18)-(20), що описує Qkn (G,H) на сумісністю Доведемо таке тверд-ження^

Теорема 2. Qkn(G,H) Ф0 •

Доведення^ Для зручності запишемо систему (18)-(20) у вигляді

|юі| j. j '

-Zgf1 У0 +Z yj ^°v® cNi,ViєJs;(21)

j=1 jeco1

k- N

-zg j-У0 + Z yj = 0 Vi є Js;

‘ j=1 J j^N'

k

d0y0 + Z d jy j =1; j=1

У0 > 0,y. ^ 0 vi є Jk.

(22)

(23)

(24)

Складемо для системи (21)-(23) матрицю A з коефіцієнтів при невідомих таким чином^ В першо -му стовпці стоятимуть коефіцієнти при У0 , в другому — при у1 і так дали

В першому рядку стоятимуть коефіцієнти нерівності з (21), що відповідає ю1 = (1} , у другому рядку -коефіцієнти нерівності з (21), що відповідає ю1 = (2}, і такдалі; в рядку k1 — коефіцієнти нерівності з (21), що відповідає ю1 = (k^ • Далі йдуть рядки коефіцієнтів нерівності з (21), що відповідають ю1 як різним сполученням по два елементи з N'; потім рядки коефіцієнтів нерівностей з (21), далі — ю1 -сполучення по три елементи і так далі, аж до ю1 -сполучення по k1 -1 елемент Наступний рядок — коефіцієнти з рівняння (22) при і = 1 •

Далі матриця формується аналогічно, але ю як сполучення по 1,2,...,k2 -1 елементів вибирається з N2 , потім рядок коефіцієнтів з (22) при 1 = 2 •

Процес побудови повторюється при і = 3,4,..., s. Останній рядок матриці — це коефіцієнти при невідомих в (23) •

Назвемо сукупність рядків матриці, які мають фіксовані значення чисел і та | ю11 Vi є Js, спілкою (1,| ю1 |) , а рядок, що складений з коефіцієнтів рівності (23), назвемо спілкою (s +1; k +1) •

Знайдемо ранг матриці A системи (21) - (24) • Для цього:

1) рядки спілок (і,1) Vi є Js залишаємо без зміш Кількість рядків спілки (і,1) дорівнює кількості

s

елементів в Nj, тобто k j, а Z ki = k , тобто таких

і=1

рядків всього k • Запишемо їх в перші k рядків нової матриці B;

2) від рядків спілок (і,| ю1 |), де

і є Js,| Ю1 И 1, Ю1 = (аь...,а^і|),

віднімаємо рядки спілки (і,1) з номерами стовпців, де стоять одиниці, а1,..., а |^-|, тобто ті рядки, що містять одиниці (причому одну, всі інші елементи

РИ, 2005, № 1

72

рядка - 0) на тих же місцях, що і в рядку спілки (i,| ю1 |) , де | ю1 \ф 1. Таким чином, в наступних рядках матриці в матимемо: в стовпці у0 числа

gl

N1 _ N1

N1

N1

N1

g21;2g11 - g21;3g11

N1 N1

■g21 - g3b

N

N

Ns

Ns

(k1 - 1)g11 - Zg1 1;...;g1 s - g2s;2g

Ns

Ns

■g2s

1

J=2

N

N

N

Ns

Ns

3g1 s -g2s -g3 s;...;-g2s;(ks - 1)g1 s - £g1

Ns

J=2

а в усіх інших стовпцях цих рядків — нулі;

3) від рядка спілки (s +1; k +1) (тобто останнього) віднімемо по черзі рядки, що містять по одній одиниці (в одному зі стовпців У1Ук ), помножені на dj (якщо одиниця в стовпці yj). Одержимо

N,

в стовпці у0 матриці B : d0 - Z g1 1 Z dk,

1=1

де k0 = 0.

J=1

-1+j

k

Зауважимо, що нерівностей при кожному фіксованому і в (21) 2ki - 2 ; рівностей в (22) рівно 5, а в (23) — одна. Отже, всього обмежень в (21)-(23)

sk

X = Z 2k - s + 1 1=1

Стільки ж рядків у матрицях A і B . З матриці B вцдно, що ранг r матриці системи (21)-(23) дорівнює: r = k +1. При цьому ранг r' системи рівнянь (22)-(23) очевидно дорівнює їх кількості: r' = s +1. Нагадаємо, що S < R. Отже, система сумісна, тобто множина її розв’язків не порожня, що і треба було довести.

3. Висновки з даного дослідження

Доведена теорема про еквівалентність розв’язків задачі з дробово-лінійною функцією на поліпере-ставленнях та побудованої в роботі умовної задачі оптимізації з лінійною цільовою функцією на евклідовій комбінаторній множині E спеціального вигляду.

Досліджені деякі властивості комбінаторного многогранника convE побудованої лінійної задачі на спеціальній комбінаторній множині (вигляд системи, що його описує, її сумісність).

Доцільним видається систематичне дослідження отриманої задачі оптимізації лінійної функції на спеціальній комбінаторній множині з метою побудови методів розв’язування вихідної задачі на поліпереставленнях, що визначає перспективи подальших розвідок у даному напрямку.

Література: 1. Стоян Ю.Г., Ємець О. О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: 1н-т системи. досліджень освіти, 1993. 188 с. 2. Емец О.А. Евклидовы комбинаторные множества и оптимизация на них. Новое в математическом программировании: Учеб. пособие. Киев.: УМК ВО, 1992. 92 с. 3. Ємець О.О. Теорія і методи комбінаторної оптимізації на евклідо-

вих множинах в геометричному проектуванні: Дис. ... докт. фіз.-мат. наук (01.05.01). Харків, 1996. 242 с. / Міносвіти України, Харків. держав. ун-т радіоелектроніки. ДР№059би000411. 4. Ємець О. О. Теорія і методи комбінаторної оптимізації на евклідових множинах в геометричному проектуванні: Авторефі. дис. ... докт. фіз.-мат. наук (01.05.01). Київ: 1н-т кібернетики НАН України ім. Р.М. Глушкова, 1997. 42 с. 5. Емец О.А. Множество сочетаний с повторениями, отображенное в Rn, и свойства задач оптимизации на нем // Докл. АН УССР. 1991. №4. С. 69-72. 6. Емец О.А. Об экстремальных свойствах недифференцируемых выпуклых функций на евклидовом множестве сочетаний с повторениями // Украинский математический журнал. 1994. Т. 46, №6. С. 680-691. 7. Емец О.А. Об оптимизации линейных и выпуклых функций на евклидовом комбинаторном множестве полиперестановок // Журнал вычислит. матем. и матем. физики. 1994. Т. 34, №6. С. 855-869. 8. Ємець О.О., Колєчкіна Л.М. Розв’язування оптимізаційних задач з дробово-лінійною цільовою функцією на загальній множині переставлень // Вісник держ. ун-ту “Львівська політехніка”. 1998. №337, “Прикладна математика”. Т.2. С. 317-320. 9. Ємець О.О., Колєчкіна Л.М. Задача оптимізації на переставленнях з дробово-лінійною цільовою функцією: властивості множини допустимих розв’язків // Український математичний журнал. 2000. Т. 52, № 12. С. 1630-1640. 10. Емец О.А., ЕвсееваЛ.Т., Романова Н.Г. Интервальная математическая модель комбинаторной задачи цветной упаковки прямоугольников // Кибернетика и системный анализ. 2001. №3. С. 131-138. 11. Емец О.А., Недобачий С.И., Колечкина Л.Н. Неприводимая система ограничений комбинаторного многогранника в дробно-линейной задаче оптимизации на перестановках // Дискретная математика. 2001. Т. 13. Вып. 1. С. 110-118. 12. Валуйская О.А., Емец О.А., Романова Н.Г. Выпуклое продолжение многочленов, заданных на полиперестановках, модифицированным методом Стояна-Яковлева // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2002. Т. 42, №4. С.591-596. 13. Ємець О., Романова Н, Роскладка О. Про властивості деяких задач евклідової комбінаторної оптимізації на переставленнях та методи їх розв’язування // Вісник Львів. ун-ту. Сер. приклад. математика та інформатика. 2002. Вип. № 5. С. 89—94. 14. Ємець О.О., Романова Н.Г. Комбінований метод розв’язування лінійних комбінаторних задач оптимізації на вершинно розташованих евклідових комбінаторних множинах // Динамические системы (межвед. науч. сб.). 2004. Вып. 17. Симферополь: Тавр. нац. ун-т. С. 166-170.

Надійшла до редколегії 28.01.2005

Рецензент: д-р физ.-мат.наук, проф. Лагно В.И.

Ємець Олег Олексійович, д-р фіз.-мат. наук, проф., завідувач кафедри математичного моделювання та соціальної інформатики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація. Захоплення, хобі: колекціонування марок. Адреса: Україна, 36003, Полтава, а/с 1671, тел. 8-050-30-47-156, роб. (8-0532)509-204, дом. (8-0532)7-97-18. E-mail: [email protected]

Романова Наталія Гаврилівна, старший викладач кафедри математичного моделювання та соціальної інформатики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація. Захоплення, хобі: психологія. Адреса:

Україна, 36003, Полтава, а/с 1671, тел. (8-0532)509-204.

РИ, 2005, № 1

73