Підхід до розв’язування задач комбінаторної багатокритеріальної оптимізації на множині полірозміщень Текст научной статьи по специальности «Математика»

1) Этот график показывает, как стоимость put-опциона, используемого для защиты от риска дефолта пенсионного фонда, зависит от эффектаувеличения уровня изменчивости цены активов. Чем больше изменчивость, тем выше цена опциона. Это означает, что компания имеет более высокий риск банкротства.

2) Обычно, чем выше изменчивость, тем больше количество акций в портфеле, и наоборот, портфель с более низким уровнем изменчивости будет состоять из одних облигаций.

5. Выводы

Научная новизна: получена математическая модель, которая может быть применена для определения оптимального размера пенсионных взносов (стоимости пенсионных полисов) и оптимальной стоимости put-опциона для защиты от риска банкротства негосударственных пенсионных фондов и страховых компаний.

Практическая значимость: полученная математическая модель может применяться для управления

УДК 519.85 ’

ПІДХІД ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ КОМБІНАТОРНОЇ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ НА МНОЖИНІ ПОЛІРОЗМІЩЕНЬ

КОЛЄЧКІНА Л.М., РОДІОНОВА О.А._____________

Формулюється постановка задачі багатокритеріальної оптимізації на множині полірозміщень та пропонується комбінований метод розв’язування вказаного класу задач.

Вступ

Для розв’язування практичних задач дуже часто використовують математичні моделі оптимізаційних задач. Залежно від складності задачі, яку необхідно розв’язати, може одночасно розглядатись не один, а кілька критеріїв оптимізації, що не можуть бути поєднані в один. Але часто виникає потреба врахувати комбінаторні властивості множини допустимих значень. Отже, виникає питання поєднання пошуку роз-в ’язків задач багатокритеріальної оптимізації з врахуванням не лише обмежень, що визначають допустиму область, а й розгляду задач на комбінаторних множинах. Згадані вище проблеми є складними і малодо-слідженими, тому питання їх вивчення є актуальним завданням.

Дослідження, що стосуються математичного моделювання задачі в о бласті економіки і техніки з використанням моделей дискретної багатокритеріальної оптимізації, були проведені В.А. Перепелицею, І.В. Сер-гієнком, В.П. Шило та іншими [1]. Вивчені властивості комбінаторних оптимізаційних задач з векторним критерієм, питання їх складності, розв’язності, стійкості,

негосударственными пенсионными фондами и страховыми компаниями. Полученные в виде графиков результаты моделирования дают возможность сравнить и вычислять стоимости пенсионных полисов и put-опционов с применением и без применения механизма распределения прибыли.

Литература: 1. Schonbucher Philipp J. Credit Derivatives Pricing Models; Models, Pricing and Implementation. Chichester: Wiley Finance, 2003. 375p. 2. Hull John C. Options, Futures, and other Derivative Securities. New Jersey: Prentice Hall Inc., 1993. 492p. 3. Prieul D. On Pricing and Reserving with-profits Life Insurance Policies // Applied Mathematical Finance. 2001. № 8. Р. 145-166.

Поступила в редколлегию 31.01.2007

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Тевяшев А.Д.

Путятина Александра Евгеньевна, аспирантка кафедры информатики ХНУРЭ. Научные интересы: финансовая математика, математическое моделирование экономики. Хобби: теннис, горные лыжи, восточные танцы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

алгоритмічні проблеми їх розв’язування. Вивчені також властивості розв’язності комбінаторних задач векторної оптимізації за допомогою алгоритму згортання критеріїв, який є найбільш поширеним алгоритмом пошуку елементів множини Парето для векторних задач.

Вченими кафедри обчислювальної математики Ужгородського національного університету під керівництвом Ю. Ю. Червака протягом двох останніх десятиліть досліджено ряд нових моделей оптимального вибору по багатьох критеріях, що порівнюються між собою по важливості при оцінюванні альтернативних розв ’язків задач оптимізації таким чином, що один з двох критеріїв є більш важливим, чи обидва вони є однаково важливими. Відома паретовська задача, наприклад, сформульована як задача вибору на допустимій множині альтернатив, коли критерії є попарно-рівноваж-ливими. Задача лексикографічної оптимізації зведена до задачі вибору на множині, на якій критерії є попар-но-рівноважливими.

Отримані цікаві результати застосування ідей лексикографічної оптимізації до розв ’язування однокрите-ріальних задач дискретної оптимізації. Запропонований новий, загальний підхід у вигляді методу лексикографічного відсікання. Принциповою перевагою методу лексикографічного відсікання у порівнянні з іншими підходами, у тому числі з методом меж та гілок, є те, що при його реалізації на ЕОМ об’єм пам’яті для збереження проміжних даних є постійним.

На ранніх стадіях розвитку дискретної оптимізації головна увага приділялась розвитку й аналізу точних методів. Проте отриманий обчислювальний досвід, теоретичні дослідження показали велику складність задач дискретної оптимізації.

У наш час досліджуються властивості комбінаторних множин та розробляються методи розв’язування за-

84

РИ, 2007, № 1

дач комбінаторної оптимізації, але зазвичай дослідженими є можливості їх застосування до певного класу задач. Питання вироблення підходів та методів розв’язування задач на полірозміщеннях з багатьма критеріями не є розв’язаним, а тому є актуальним.

Метою роботи є продовження досліджень [1-4] та формулювання постановки задачі багатокритеріаль-ної оптимізації на полірозміщеннях, а також побудова підходу до розв’язку задачі.

Для досягнення мети необхідним є аналіз останніх публікацій за даною тематикою, формулювання постановки задачі, розробка підходу до її розв’ язання та реалізація алгоритму, а також проведення числових експериментів. Досить актуальним є питання дослідження ефективності реалізованого алгоритму, що планується зробити в подальшому.

1. Постановка задачі

У статті розглядаються багатокритеріальні задачі, тобто такі, у яких оптимізуються одночасно кілька критеріїв - задача має декілька цільових функцій на множині полірозміщень. На практиці такі задачі виникають при необхідності формалізації окремих вимог у вигляді критеріїв, оптимальні значення яких необхідно знайти, причому об’ єднання цих критеріїв є неможливим.

Розглянемо структуру нашої задачі. По-перше, це множина допустимих розв’язків та набір цільових функцій.

Множина допустимих розв’язків формується у вигляді обмежень на змінні:

aijxj - Й де і є Jm,j є Jk. (1)

Через Jm,Js позначаємо множини m та s перших натуральних чисел відповідно, Jm = {1,...,m} , Js _ {1,...,s} .

Критерії, що оптимізуються, представляються набором функцій:

k 1

01(x) = Еcjxj ^min;

j=1

ф2 (x) = E cfxj ^ min; j=1

(2)

ks

Фs(x) = Ecsxj ^ min; j=1

^ s+1

Ф s+1 (x) =E G: xj ^ max;

j=1

Фm(x) = Ёcmx, ^max, j=1 j

тобто з m функцій s мають мінімізуватись, а m — s, навпаки, максимізуватись. Але у практичному застосуванні часто виникає потреба у зменшенні одних критеріїв та збільшенні інших. Частинним випадком цієї ситуації буде випадок, коли всі функції максимі-зуються або мінімізуються.

Умова належності розв ’язків множині полірозміщень може виникати з додаткових умов, що накладаються на змінні (у задачі формування портфеля цінних паперів це політика інвестора) в самій постановці задачі. Тоді у побудованій математичній моделі на розв ’язок накладається умова належності множині полірозмі-щень у вигляді:

x = (x1,...,xk) Є E™(G,H). (3)

Згідно з [4] дану умову можна описати у вигляді:

Е.

jecoi

й

>Е gj

N.

И

Е.xj ^Еg

Ni

Лі - j+E

у®. c Ni, Vi є Js,

(4)

З урахуванням усіх означених вище умов задачу можна сформулювати таким чином: знайти множину значень (3), що задовольняють умовам (1) та є оптимальними для функцій (2).

Таку задачу назвемо комбінаторною багатокритері-альною задачею на множині полірозміщень.

2. Метод розв’язання

1) Поняття ефективного розв’язку. При розв’язуванні багатокритеріальних задач постає питання визначення ефективного розв’язку, що пов’язане з порівнянням альтернатив на множині цільових функцій. Слід зазначити, що такий розв’язок може виявитись не оптимальним для жодної з цільових функцій, проте він є найкращим компромісним розв’язком з урахуванням усіх цільових функцій (критеріїв) одночасно.

Означення [5]. Альтернатива xq має назву ефективної, якщо на множині допустимих альтернатив А не існує такої альтернативи x, для якої виконувались би нерівності:

Фi(x) >Ф.(xq),Vi є І1, Фi(x) <Ф.(xq),Vi є І2

(5)

і хоча б одна з них була строгою.

Це означає, що жодна з допустимих альтернатив не може покращити значення деякої цільової функції, не погіршуючи при цьому хоча б одну з цільових функцій, що залишились. Ефективну альтернативу називають також оптимальною по Парето, а множину називають множиною парето-оптимальних розв’язків.

РИ, 2007, № 1

85

2) Комбінований метод для розв’язування комбі-наторноїбагатокритеріальноїзадачі оптимізації.

Розглядається метод, що є поєднанням двох раніше розглянутих методів: методу обмежень [2] та методу комбінаторного відсікання [3].

Як зазначалося, комбінаторні багатокритеріальні задачі є досить актуальними при розв’язанні ряду прикладних задач, але розроблені існуючі методи не повністю адекватно можуть дати розв’язок таких задач. Є доцільним розробити новий підхід до їх розв’язування.

Розглянемо метод обмежень [2], адаптований до вищезазначених позначень.

Нехай задана деяка множина цільових функцій Ф -(x), де

k

Фi(x) = j^ijj Є Jm, (6)

причому s перших функцій треба мінімізувати, а наступні m — s - максимізувати. На результуючий вектор X = {xj},j є Jk накладені обмеження виду (1), а

також умова належності розв’язку множині поліроз-міщень (3).

Алгоритм розв’язування задачі. Оскільки даний алгоритм не пристосований для розв’язування задач комбінаторної оптимізації, то умову належності роз-в ’язку множині полірозміщень можна записати у вигляді системи нерівностей, що описують відповідну комбінаторну множину, та об’єднати її з системою лінійних обмежень.

1. Визначити для кожної з функцій такі розв’язки, що задовольняють обмеження (1) і (3), а також мінімізують та максимізують їх, підставивши відповідні значення у функції.

2. Застосувати відображення, що приведуть критерії до безрозмірного виду:

а) для функцій, що мінімізуються:

Wi(o i(X))

k

£ c1jxj j=1

k

Z cijx

j=1

0

j

k

Z cijximax

j=1

£ CijxO j=1

Vi є Js; (7)

б) для функцій, що максимізуються:

Wi(0 i(X))

k 0 k Zcijxj -zcijxj

j=1 j=1

Zcijxj -zcijx

>vi є Jm-s; (8)

j=1

j=1

ij^rmin

де x0 - розв’язок, що задовольняє умовам (1), (3) та оптимізує i-ту цільову функцію; xmax(xmin)- розв’язки, що максимізують (мнімізують) відповідний критерій на допустимій множині розв’язків.

3. Компромісним розв’язком даної багатокритеріаль-ної задачі буде такий ефективний розв’язок x, для якого відносні відхилення однакові та мінімальні, тобто

P1W1 (X) = р2W2 (X) = ... = рmWm(X) = komin .(9)

Згідно з методом обмежень, розв’язок може бути знайдено з розв’язку системи лінійних нерівностей

k k 0 k 0 k k 0

Zcijxj ^ Zciixi +-°(Zcijximax - Zcijxj)),

j=1 J j=1 J J Pi j=1 j=1

Vi є Js;

k k 0 k 0 k 0 k

Zcijxj ^ Zcijxj)--0(Zcijx° - Zcijximin),

j=1

j=1

Pi j=1

j=1

IVі є Jm_s,aijxj <j є Jn;

і®1! n. Z.xj ^Z gj;

(1°)

jeco

і®1! n-

^1xj ^ g її1- j+1

jeco

для мінімального значення k0 , при якому ця система сумісна.

4. Розв’язок системи з пункту 4 еквівалентний розв’язку такої задачі ЛП: мінімізувати k° = xn+1 при обмеженнях

Z d1jxj + d1n+1xn+1 + d1 ^ °;

j=1

n

Z dijxj + dm+1xn+1 + di ^ °;

j=1

Z dmjxj + dmn+1xn+1 + dm — °;

j=1

n

Zaijxj - b1

j=1

Z akjxj bk

j=1

де da =

IP і c-j, Vj є Jn;i є J

di,

n+1

n

Zcij(x1j xijm1n)’1 є Js,

j=1

n

Z cij(xijmax x1j '*),1 є Jm-s,

j=1

di =<

Pi Zcijxij0),i є Js

j=1

n ( )

-Pi Z cijx(j0),i є J

j=1

(11)

x^ 0,j є Jn, (12)

-Picij, Vje Jn;-Є Js,

(13)

(14)

(15)

m-s.

86

РИ, 2007, № 1

Якщо вважати критерії рівноцінними, то

Рі = —,Vi є Jm. m

5. Знайдений вектор x = (xj,..., ) і буде розв’яз-

ком нашої задачі за умови (3).

Приклад розв’язання багатокритеріальної задачі.

Нехай задана мультимножина G = {1,2,3,3,4}, що містить 5 елементів. Отже, J 5 = {1,2,3,4,5} . Нехай задано s = 2, виберемо розбиття J5 на множини Nj = {1,3,5}; N2 = {2,4}. Нехай задано k = 2 та вибрані kj = 1,k2 = 1. Тоді множина Н утворюється у вигляді: H = {(1,2); (1,4); (3,2); (3,4); (5,2); (5,4)} . А отже, множина полірозміщень матиме такий вигляд: Eg (G, H) = {(1,2); (1,3); (3,2); (3,3); (4,2); (4,3)} . Математична постановка: знайти множину значень x є E24 (G,H), що є оптимальними для функцій

F1 = 2x1 + 3x2, f2 = -x1 - 2x2.

Розв’язання. Запишемо множину полірозміщень у вигляді системи обмежень:

x1 > 1,

- x1 >-4,

^ x2> 2,

-x2 ^-3, x1 + x2> 3,

- x1 - x2 >-7.

Скориставшись формулами (7)-(8), перетворимо функції до безрозмірного виду. Для цього проаналізуємо кожну з функцій на найбільше та найменше значення:

x1 x2 F1 F2

1 2 8 -5

1 3 11 -7

3 2 12 -7

3 3 15 -9

4 2 14 -8

4 3 17 -10

Отже, отримаємо наступні функції:

2x1 + 3x2 + 18x3 > 17, x1 + 2x2 + 10x3 > 10, x1 > 1,

- x1 > -4,

x2^ 2,

-x2 ^-3, x1 +x2> 3,

- x1 —x2>-7.

При переході до двоїстої задачі отримаємо:

17y1 + 10y2 + У3 - 4y4 + 2y5 - 3y6 + 3y7 - 7y8 ^ max,

2У1 + y2 + y3 - y4 + y7 - y8 ^ 0,

< 3y1 + 2y2 + y5 - y6 + y7 “ y8 ^ 0,

18y1 + 10y2 < 1.

Розв’яжемо дану задачу симплекс-методом:

Ci 17 10 -4 -3 3 -7 1 2 0

Bx A0 A1 A2 A4 A6 A7 A8 A3 A5 A9

0 A3 0 2 1 -1 0 1 -1 1 0 0

0 A5 0 3 2 0 -1 1 -1 0 1 0

0 A9 1 18 10 0 0 0 0 0 0 1

0 -17 -10 4 3 -3 7 -1 -2 0

Ci 17 10 -4 -3 3 -7 1 2 0

Bx A0 A1 A2 A4 A6 A7 A8 A3 A5 A9

17 A1 0 1 0,5 -0,5 0 0,5 -0,5 0,5 0 0

0 A5 0 0 0,5 1,5 -1 -0,5 0,5 -1,5 1 0

0 A9 1 0 1 9 0 -9 9 -9 0 1

0 0 -1,5 -4,5 3 5,5 -1,5 7,5 -2 0

Ci 17 10 -4 -3 3 -7 1 2 0

Bx A0 A1 A2 A4 A6 A7 A8 A3 A5 A9

17 A1 0 1 0,66 0 -0,33 0,33 -0,33 0 0,333 0

-4 A5 0 0 0,333 1 -0,67 -0,33 0,333 -1 0,667 0

0 A9 1 0 -2 0 6 -6 6 0 -6 1

0 0 0 0 0 4 0 3 1 0

Отже, у результаті ми отримали такі значення:

22

x1 = 4, x2 = 3, x3 = 0; x = (4,3) є E54 - шуканий розв’язок.

W1

1 17 - 2x1 - 3x2

2 17 - 8

17 - 2x1 _ 3x2 18

^ x3,

W^ = ^ - x1 - 2x2 +10 = - Xl - 2x2 +10 < x3

2 2 - 5 +10 10 3'

Згідно з методом обмежень, ми маємо розв’язати таку задачу: мінімізувати x3 при умовах:

Висновки

Порівняння з аналогами. В роботах [1-4] та інших розглянуто задачі комбінаторної оптимізації, методи їх розв’язку. Також велика увага в останній час приділяється задачам багатокритеріальної оптимізації [1, 3,4], але не дослідженими є багатокритеріальні задачі з врахуванням комбінаторних властивостей області допустимих розв’язків. Дана робота є продовженням зазначених тематик, а тому їх розгляд є актуальним.

РИ, 2007, № 1

87

Наукова новизна та практична значущість. Розроблено один з можливих підходів до розв ’язання, наведено розв’язок конкретної багатокритеріальної задачі комбінаторної оптимізації на множині полірозміщень з двома критеріями при відсутності додаткових лінійних обмежень за допомогою описаного методу.

Доцільним є розгляд питання про відкидання та приєднання обмежень при розв’язуванні даного класу задач, що може значно спростити їх розв’язування.

Література: 1. Сергиенко И.В., Шило В.П. Задачи дискретной отимизации: проблемы, методы решения, исследования. К.: Наукова книга, 2003. 260 с. 2. ЗайченкоЮ.П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация: Учеб. пособие. Киев: ВШ, 1991. 198 с. 3. Ємець О.О., Колєчкіна Л.М. Задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійними цільовими функціями: Монографія. К.: Наук. думка, 2005. 113 с. 4. СтоянЮ.Г., Ємець О.О., Ємець Є.М. Опти-

УДК 004.7

НЕЧЕТКАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ВРЕМЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СХОДА ЛАВИНЫ

КУЗЕМИН А.Я., ЛЯШЕНКО В.В., ФАСТОВА Д.В.

Предлагается метод построения функций принадлежностей лавиноопасных и нелавиноопасных множеств, который использует плотности распределения вероятностей лавиноопасных характеристик. Полученные нечеткие множества лавиноопасных ситуаций образуют эталонное множество. Исследование новых данных с эталонным множеством используется для интерпретации временных характеристик лавинного схода.

Введение

Прогнозирование катастрофических природных явлений представляет собой важнейшую функцию разрабатываемых геоинформационных систем. На основе моделей, с помощью которых осуществляется прогноз, производится реализация систем поддержки принятия решений, которые вырабатывают рекомендации по своевременному проведению профилактических мероприятий, направленных на предотвращение стихийных бедствий. При рассмотрении задач прогнозирования лавинной деятельности актуальной проблемой является прогнозирование временных характеристик, связанных со сходом лавин. Специфика данной задачи связана со скоротечностью лавинного схода, поскольку время движения лавины в среднем составляет от нескольких секунд до нескольких минут. Таким образом, определение времени лавинной деятельности является необходимым для предотвращения катастрофических последствий и человеческих жертв, связанных с этим природным явлением.

Постановка задачи

Среди известных подходов прогнозирования времени схода лавины можно выделить метод подобия образов [1] и регрессионный анализ [2]. Эти методы

мізація на полірозміщеннях: теорія та методи: Монографія. Полтава: РВЦ ПУСКУ, 2005. 103 с. 5. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето'-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

Надійшла до редколегії 12.03.2007

Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, проф. Лагно В.І.

Колєчкіна Людмила Миколаївна, докторант Інституту кібернетики ім. Глушкова НАН України. Наукові інтереси: програмування, моделювання систем. Хобі: читання літератури. Адреса: Україна, 36034, Полтава, пер. Хо-рольський, 8, кв.15, тел. (0532)66-69-15.

Родіонова Олена Анатоліївна, викладач кафедри інформаційних управляючих систем, Полтавський інститут бізнесу. Наукові інтереси: програмування, моделювання систем. Хобі: читання літератури, астрономія. Адреса: Україна, 36008, Полтава, вул. Фрунзе, 146, кв. 13, тел. (0532)67-30-75.

относят к методам предварительной статистической обработки. Результаты прогноза, полученные с помощью перечисленных выше методов, не всегда применимы и имеют ряд недостатков. Метод ближайшего соседа требует значительных вычислительных ресур -сов и поэтому не получил массового применения. Он не охватывает всех причин, приводящих к лавинообразованию, и применим для прогноза лавин только отдельных генетических типов, к примеру, лавин из свежевыпавшего снега. Метод множественной линейной регрессии применяется в основном для расчета возможного количества лавин и для оценки их максимального объема. Средняя оправдываемость прогнозов составляет 80-87%.

Временная характеристика схода лавины может быть интерпретирована при помощи времени оперативного реагирования системы. Время оперативного реагирования системы t оп зависит от правильности отнесения события Pc к одному из двух классов: «лавиноопасно» и «нелавиноопасно». В нелавиноопасный период время оперативного реагирования системы увеличивается, т.е. чем больше вероятность отнесения ситуации к классу «нелавиноопасно», тем больше время оперативного реагирования системы. Время оперативного реагирования tоп в лавиноопасный период имеет обратную зависимость относительно Pc , т. е. чем выше вероятность лавинного события, тем меньше время оперативного реагирования системы. Такая ситуация соответствует лавиноопасному периоду. Таким образом, минимизация tоп может использоваться для вычисления времени схода лавины. В общем случае, минимизация времени оперативного реагирования системы является задачей стохастического программирования, где ограничениями выступают вероятностные функции количества (частоты) схода лавин.

Решение представленной задачи с помощью теории вероятностей имеет ряд недостатков, обуславливающих ее неприменимость.

88

РИ, 2007, № 1