Свойства классов композиционных образов комбинаторных множеств, отображенных в евклидово пространство Текст научной статьи по специальности «Математика»

Порівняння з аналогами

Наведена методика визначення вхідних, проміжних та вихідних показників, що описують взаємодію між процесами СУЯ відповідно до вимог [1], дозволяє оптимізувати загальну систему показників, що в свою чергу робить більш ефективним контроль і управління ключовими процесами, з яких складається діяльність організації.

Висновки і перспективи

1. Запропоновано досить простий і наочний інструмент опису взаємозв’язків між процесами СУЯ за допомогою інформаційного графа системи показників і матриць сумісності та досяжності.

2. Запропонований підхід є універсальним і може бути застосований для будь-якої організації, діяльність котрої складається з великої кількості складних процесів, що в свою чергу характеризуються значною кількістю показників.

Література: 1. ДСТУ ISO 9001-2001. Системи управління якістю. Вимоги. Київ: Держстандарт України. 2001.

23 с. 2. ВіткінЛ.М., ХімічеваГ.І.. Методика оцінювання якості ключових процесів підготовки випускника ВНЗ // Вісник Київського університету технологій та дизайну. 2004. №1. С.123-128.

Надійшла до редколегії 24.09.2004

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Павленко Ю.Ф.

Віткін Леонід Михайлович, заступник ректора з якості ВНЗ “Університет економіки і права “КРОК”. Наукові інтереси: розроблення теоретичних та практичних підходів щодо впровадження систем управління якістю, зокрема у сфері вищої освіти. Захоплення: подорожі, театр, книги, футбол. Адреса: Україна, 03113, Київ, вул. Лагерна, 30-32, тел. роб. (+38 044)455-69-82, тел. моб. (+38 044) 204-55-23.

Хімічева Ганна Іванівна, канд. техн. наук, доцент кафедри метрології, стандартизації, сертифікації Київського національного університету технологій та дизайну. Наукові інтереси: стандартизація, сертифікація у машинобудуванні, інтегровані системи управління. Захоплення: туризм, спорт, книги, театр. Адреса: Україна, 01011, Київ, вул. Немировича-Данченка, 2, тел./факс: 256-21-99.

УДК 519.6:514.1

СВОЙСТВА КЛАССОВ КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗОВ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ, ОТОБРАЖЕННЫХ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

ГРЕБЕННИК И.В.________________________

Вводятся новые классы композиционных образов комбинаторных множеств - парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями. Исследуются свойства образов этих множеств при их отображении в арифметическое евклидово пространство.

Введение

Многие задачи проектирования, управления, контроля описываются моделями комбинаторной оптимизации [1]. При этом во многих случаях области допустимых решений этих задач представляются классическими комбинаторными множествами [2]. Однако для создания адекватных моделей ряда задач необходимо построение комбинаторных множеств с более сложной структурой, отражающей комбинаторную природу решаемой задачи. В частности, такая необходимость возникает при решении многих комбинаторных задач геометрического проектирования [3,4].

При моделировании дискретных экстремальных задач геометрического проектирования в качестве областей допустимых решений выступают комбинаторные множества, порождающие элементы которых сами являются элементами других комбинаторных множеств. В целях построения эффективных моделей задач указанного класса в [5] вводится

новый класс комбинаторных множеств со сложной структурой — композиционные образы (k -образы) комбинаторных множеств. В работе [5] приводится и анализируется способ описания k -образов комбинаторных множеств на языке отображений. В связи с этим важной задачей является построение и анализ различных k -образов комбинаторных множеств для использования их в математических моделях задач различных классов.

1. Постановка цели и задач исследования

Опираясь на результаты работы [5], необходимо выделить и описать классы k -образов комбинаторных множеств для использования их в оптимизационных моделях задач со сложной комбинаторной структурой.

Цель данной работы—описание и исследование k -образов комбинаторных множеств, построенных на основе перестановок, размещений и сочетаний как областей допустимых решений комбинаторных задач оптимизации.

Задачи исследования состоят в формулировании и изучении свойств классов k -образов комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство.

2. Определение множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями

Ориентируясь на известные модели задач с дискретными параметрами [1,3,4], рассмотрим k -образы комбинаторных множеств, в которых в качестве базовых выступают евклидовы комбинаторные множества перестановок, размещений и сочетаний.

Учет погрешностей при решении задач геометрического проектирования вызывает необходимость

66

РИ, 2005, № 1

построения адекватных математических моделей задач этого класса. Основой для построения моделей задач геометрического проектирования, учитывающих погрешности метрических характеристик и параметров размещения объектов, являются методы интервального анализа [6]. Один из способов анализа интервальных математических моделей основан на их отображении в евклидово пространство [7]. При этом образом каждого интервала в Rn является пара чисел, характеризующих центр и радиус интервала. Для моделирования образов интервальных комбинаторных множеств в Rn построим k -образы комбинаторных множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний.

Рассмотрим множество A = |ai,a2,an} = = IgiPl, g22, •••’ gka / , где Pi є Jn , і є Jka - кратности элементов множества A, Pi +P2 + ••• + Pka = n ; gi < g2 <••• <gka , и множество B = {bP, b2, •••, bn} , ai є RP, bi є RP. Построим множества Zp,Z2,...,Zn вида Zi = {(apty)}, і є Jn . При этом k множеств Zi из n являются различными, ka < k < n .

Используя подход, приведенный в [5], сформируем следующие классы k -образов комбинаторных множеств.

1. Композиционный образ комбинаторных множеств Pjjk , Zp,Z2,...,Zn , порожденный множествами {aP,bP},{a2,b2},...,{an,bn}, где Р^ — множество перестановок из n элементов, k из которых различны [4]. Обозначим такой k -образ множеств через PInk(Zp,Z2,...,Zn) или PInk и назовем множеством парных перестановок. Следуя [5], представим множество PI„k в виде PI^ = TPnk (x) с параметрами

Zi(a1,b1) , Z2(a2,b2),...,Zn(an,bn) ,

X = (Xp,X2,...,Xn) .

Композиционный образ PInk представляет собой множество перестановок пар (a^ ,b^), т.е. упорядоченных наборов вида h є PInk ,

h = (aip,bii,ai2,bi2’...,ain’bin) , is, Js є Jn , is ^ js ,

s є Jn . Элементы множества PInk отличаются друг от друга только порядком следования пар в наборах. Поскольку каждое множество Zi, i є Jn , содержит единственный элемент, то мощность множества PInk равна мощности базового комбинаторного множества Pnk .

2. Композиционный образ комбинаторных множеств A[Jk , ZpZ2,...,Zn , порожденный множествами {abbi},{a2,b2},...,{an,bn}.Здесь A|fk представляет собой общее множество размещений из n элементов, k из которых различны, по m [4]. Его элементами являются упорядоченные m -выборки из n элементов, k из которых различны. Такой k -

образ множеств обозначим через AIm (Zi ,Z2,..., Zn) или AI[Jk и назовем множеством парных размещений. На основании [5] представим множество AI|fk в виде AIJJj, = Г m (x) с параметрами Z1 (a1 ,b1), Z2(a2 ,b2),...,Zn(an,bn), x = (xp,X2,...,Xn) .

Композиционный образ AI|fk представляет собой общее множество размещений пар (aij,bij), т.е. упорядоченных наборов вида h є AI[Jk ,

h = (aii,bii,ai2,bi2,...,aim,bim) , is, js є Jn , is ^ js ,

s є Jm. Как и в предыдущем случае, мощность множества AI|fk равна мощности базового общего комбинаторного множества размещений Am .

3. Композиционный образ комбинаторных множеств Cm, Zi,Z2,...,Zn, порожденный множествами {abbi},{a2,b2},...,{an,bn} , где Zi = {(apfy)} различны, i є Jn . Здесь cm представляет собой множество сочетаний с повторениями из n различных элементов по m [4], причемдлялюбого h = (gii,gi2,...,gim) єC[f справедливо gii ^ gi2 ^... ^ gim . Предположим при этом, что кратности Pi элементов gbg2>—>gka множества a равны

Pi =Р2 = ... = Pka = m , (1)

а множество в имеет вид:

в = {bb b2’ — bn} = {elPi > e22 > — ,

Pi =Р2 =... = pka = m . (2)

При этом множества Zi можно представить как

Zi = Z2 = ... = Zm = {(gi>ei^ ,

Zm+i = Zm+2 = ... = Z2m = {(g2,e2^ , ... ,

Zn-m+i = Zn-m+2 = ... = Zn = |(gka ,eka ^ .

Этот k -образ обозначим CI[f(Zi,Z2,...,Zn) или CIm и назовем множеством парных сочетаний с повторениями. С помощью [5] представим множество CIm в виде CIm = rC m (x) с параметрами

CIn

Zi(abbi),Z2(a2,b2),...,Zn(an,bn), x = (xi,x2,...,Xn).

Композиционный образ CI[f представляет собой множество сочетаний с повторениями различных

пар (aij,bij), т.е. упорядоченных наборов вида

h є CIm , h = (aii>bii>ai2>bi2>...,aim>bim), is,Js є Jn , is Ф js, s є Jm . При этом выполняется условие ОЧрЦН (ai2,bi2)^ ...^ (aim,bim), где ^ - некоторое бинарное отношение, заданное на множестве пар (ai,bi), i є Jm .

Элементы множества CI[f отличаются друг от друга составом пар в наборе h. Мощность множества CI[f равна мощности комбинаторного множества сочетаний с повторениями Cm .

РИ, 2005, № 1

67

3. Погружение композиций комбинаторных множеств в евклидово пространство

Осуществим отображение k -образов комбинаторных множеств X є IPInk, Aink,CI“J в арифметическое евклидово пространство RN . Здесь N — количество элементов, составляющих один упорядоченный набор h є X • Согласно [3,4] указанное отображение (называемое погружением) зададим в виде:

f : X ^ Rn , Vh = (h1,h2,...,hN) є X , (3)

где x = f(h) = (xi,X2,...,xn) є E c Rn , x; = h;, i є Jn •

В результате погружения f каждому множеству X можно поставить во взаимно-однозначное соответствие подмножество e евклидова пространства Rn . Исследуем свойства образов введенных выше комбинаторных множеств в евклидовом простран -стве, которые обозначим EInk = f(PInk) , EIS = f(AIjfk), SI[f = f(CI|f) •

4. Свойства множества парных перестановок PInk

Рассмотрим о браз множества парных перестановок PInk в пространстве Rn , N = w = 2n, при отображении f вида (3): EInk = f(PInk), EInk c R2n • Элементами множества EInk являются векторы x є R2n вида x = (xbx2,...,x2n) є EInk ,

xj = av xJ+1 = bis , j є {1,3,.,2n - l} , is * ir при s Ф r , is,ir є Jn, s, r є Jn • Из способа построения множества PInk следует, что все его элементы являются также элементами множества перестановок Pwk1 , порожденного множеством

D = {a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}, w = 2n , k1 >k , где k1 - количество различных элементов во множестве D • Это значит, что справедливы следующие соот-

Н°ШеНия: PInk *— Pwkj 9 EInk *— Ewkj , где

Ewkj = f(Pwk1) •

Последние соотношения позволяют распространить на множество EI^ ряд свойств, которыми обладает множество Е^ [3,4] •

2

1 n n ( іП

т = —X(aj +bj) ; r2 = X ai + bi-X(aj + bj)

2n

j=1

i=1

n

V

j=1

/

Исследуем свойства множества EInk , отличные от свойств евклидова множества перестановок Обозначим Iw = {1,3,...,w-1, Iw = {2,4,..., w} , w = 2n •

3^ Множество EI„k симметрично относительно гиперплоскостей вида

xi - xj = 0 , i,j є Iw, i * j , xi - xj = 0 , i,j є Iww, i Ф j • Доказательство проведем на основе доказательства утверждения о симметрии множества Ewk относительно гиперплоскостей

xi - xj = 0 , i,j Є Jw, i * j , (4)

приведенного в [4] В точках множества EI^ координаты х; , i є I'w , принимают значения всевозможных перестановок элементов множества A = {ab a2,..., an} , а координаты х;, i є Iw , - значения всевозможных перестановок элементов множества B = {bb b2,..., bn} • Проводя доказательства, аналогичные доказательству симметрии Ewk относительно гиперплоскостей вида (4), отдельно для координат х; , i є I'w и для х; , i є Iw , приходим к справедливости утверждения•

4^ Точки множества EI^ принадлежат семействам параллельных плоскостей j Ta |, j Tb j вида

{To}: Іxlt = Xajt ,

1 ' t=1 t=1

где it Є I'w , jt є Jn, CT = {i1,i2,...,iJ ; ;t *ip,jt * jp при t Ф p ; t,p є Js, s є Jn ,

{t^} : і xk = Xbjt ,

1 1 t=1 t=1

где it є Iw , jt є Jn , ;t * V jt * jp при t Ф p ; t,p є Js,

1 Точки множества EI^ принадлежат гиперплос-

2n n

кости вида X х; = ^ (aj + bj) в пространстве R2n • i=1 j=1

2^ Точки множества EI^ принадлежат (2n -1) -сфере W , описываемой системой

s Є Jn •

При этом существует 2n -1 семейство каждого вида, а в каждом из семейств содержится не более,

f n ^ й

чем I I гиперплоскостей •

2n n

X х; =Х (aj+ bj);

i=1 j=1

2n

X (X-*)2 = r2,

где

Доказательство, как и в предыдущем случае, может быть построено на доказательстве утверждения о распределении элементов множества Ewk по семействам гиперплоскостей вида [4]:

І І

X xa,j = X gPj , j=1 j=1

68

РИ, 2005, № 1

где Oj, Pj6 Jw, Oj Ф at, Pj t при t Ф j; t,j є Ji,

i є Jw, а множество Ewk порождено элементами {g1,g2,...,gw}. Проводя аналогичные доказательства отдельно для координат xk і є iw и для Хі, і є I^ , точек множества EInk , приходим к справедливости утверждения.

5. Свойства множества парных размещений AI

Рассмотрим множество ElJJk — образ множества Al[j, в пространстве RN , N = 2m = v при отображении f вида (3): Eimk = f(Aimk), Eimk c R2m .

Элементами множества El^Jk являются векторы

Х Є R2m вида Х = (x1;X2,...,X2m) Є El^k , xj = ais , Xj+1 = bis , jє Iv = {1,3,..., v -1}, is ф ir при s Ф r , is,ir є Jn , s,r є Jm . Элементы множества AIjJk, как следует из его построения, являются также элементами множества A^ , порожденного множеством

D = {а1, а2,..., an,b1, b2,..., bn}, v = 2m , k1 > k , где k1 - количество различных элементов во множестве D. Следовательно, справедливы соотношения

AImk с ^, EImk

^ , где Ewkj = f(AVwk1) -

Это значит, что для множества EIjJk справедливы некоторые свойства множества Ew^ [4]. Опираясь на них и используя подход, аналогичный рассмотренному выше для множества парных перестановок EInk , можно доказать следующие утверждения.

1. Множество EIm симметрично относительно гиперплоскостей вида

x - xj = 0 , i,j є Iv, i * j, Iv = {1,3,...,v -1},

x - xj = 0 , i,j є Iv, i * j , Iv = {2,4,...,v} ,

где v = 2m .

2. Точки множества EI^Jk принадлежат семействам параллельных гиперплоскостей j |, j | вида

{Ta}: іxit =іajt ,

1 ' t=1 t=1

где it є Iv , jt є Jn , o = {i1,i2,...,iJ ; it * ip, jt * jp при

t Ф p ; t,p є Js, s є Jm,

{T«b} : І xit =tbjt ,

1 ' t=1 t=1

где it Є IV, jt Є Jn , CT = {i1,i2,...,i^ ;it * ip, jt * jp при t Ф p ; t,p є Js, s є Jm.

При этом существует 2m -1 семейство каждого вида, а в каждом из семейств содержится не более,

чем

m

гиперплоскостей.

6. Свойства множества парных сочетаний с повторениями CIJJ1

Пусть SIm — образ множества CIjf в пространстве RN , N = 2m = v при отображении f вида (3): SIjf = f(CI[f), SIjf c R2m . Элементами множества SIm являются векторы x є R2m вида

x = (x1,x2,...,x2m) Є SI[f , xj = ais, xj+1 = bis , j є Iv , is Фir при s Ф r , is,ir є Jn , s,r є Jm , причем для любого x є SIm выполняются неравенства:

x1 < x3 < ... < x2m-1.

Из способа построения множества CI|f следует, что все его элементы принадлежат множеству Cw, порожденному множеством

D = {a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}

при выполнении соотношений (1), (2). Следовательно, справедливы соотношения: CIjf с Cw , SIm С sv , где sw = f(Cvw).

Основываясь на исследованных свойствах евклидова множества сочетаний с повторениями [4] и используя схему, аналогичную описанной выше для множества парных перестановок, сформулируем следующие свойства множества SIjf .

1. Точки множества SI[f лежат на гиперсфере

£(x-х)2 = r2,

i=1

где r _ '4(hmax _ hmin) , т 2 (hmin ^hmax) ,

hmax = ,max hi hmin = ,min hi hieD , hieD .

2. Точки множества SI[f принадлежат семействам

параллельных гиперплоскостей j T£}, | | вида

{Ta}: Іxit =Іajt ,

1 ’ t=1 t=1

где it є IV , jt Є Jn , CT = {i1,i2,...,i^ ; it * ip,jt * jp при t * p ; t,p є Js, s є Jm,

(aj1 ,Vaj2 ,bj2 —ajs ,bjs , ”, ajm , bjm ) Є SC ,

{Tob} : Іxit =ibjt ,

1 1 t=1 t=1

где it Є IV , jt Є Jn , a = {i1,i2,...,iJ ; it * ip,jt * jp

при t Ф p ; t, p є Js, s є Jm,

(a, ,b; ,a; ,b; ,...,aj ,bj ,...,aj ,bj )є SIjf.

v j1 ’ j1 ’ j2 ’ j2 ’ ’ js ’ js ’ ’ jm ’ jm' n

При этом семейств каждого вида существует не (n + s -1)!

более, чем Card Cn =---------.

n (n - 1)!s!

РИ, 2005, № 1

69

Выводы

Таким образом, получены новые теоретические результаты, касающиеся свойств композиционных образов комбинаторных множеств.

Введены новые классы композиционных образов комбинаторных множеств — множества парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.

Исследованы некоторые свойства введенных комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство.

Полученные результаты могут послужить основой для построения оптимизационных моделей и методов решения задач со сложной комбинаторной структурой, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.

Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с постановкой и решением на основе описанных результатов классов задач оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств.

Литература: 1. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. К.: Наук. думка, 1988. 472 с. 2. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. 558 с. 3. СтоянЮ.Т.,Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О. О. Теорія і методи евклі-дової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 5. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании // Сборник тезисов докладов по материалам 10-й юбилейной междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” Харьков-Туапсе. 2004. С. 253254. 6. KaucherE. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR // Comp. Suppl. 1980. №2. P.33—49. 7. Гребенник И.В., Романова ТЕ. Отображение интервальных комбинаторных множеств в евклидово пространство // Пробл. машиностроения. 2002. № 5, №2. С. 87—91.

Поступила в редколлегию 27.12.2004 Рецензент: д-р техн. наук Романова Т.Е.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-10- 06.

УДК 519.854

БЕЗУМОВНА ЗАДАЧА ОПТИМІЗАЦІЇ ДРОБОВО-ЛІНІЙНОЇ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ НА ПОЛІПЕРЕСТАВЛЕННЯХ: ЗВЕДЕННЯ ДО ЛІНІЙНОЇ УМОВНОЇ НА СПЕЦІАЛЬНІЙ КОМБІНАТОРНІЙ МНОЖИНІ

Потреби практики математичного моделювання, зокрема відносних показників, в яких допустимі конфігурації мають вигляд елементів поліперестав-ної множини, роблять актуальним і необхідним вивчення таких задач, тобто задач оптимізації з дробово-лінійною цільовою функцією на поліпе-реставленнях.

Мета дослідження — вивчення властивостей множини допустимих розв’язків з метою використання їх для розробки методів розв’язування таких задач.

2. Виклад основного матеріалу дослідження

ЄМЕЦЬ О.О, РОМАНОВА Н.Г.

Досліджуються властивості множини допустимих розв’язків, що одержана при переході від задачі макси-мізації дробово-лінійної функції на множині поліпе-реставлень без додаткових обмежень до задачі з лінійною цільовою функцією.

1. Постановка проблеми в загальному вигляді

Розвиток сучасної теорії оптимізації привів до виокремлення в дискретній оптимізації напрямку, який можна назвати ’’евклідова комбінаторна оп-тимізація” (див., напр.[1-4]). Дослідження задач в цьому аспекті відбуваються як за типами цільових функцій та обмежень [1-14], так і за видами комбінаторних множин, що беруть участь в утворенні допустимої області комбінаторної оптиміза-ційної задачі.

Серед великої кількості досліджень останніх років з евклідової комбінаторної оптимізації можна виділити ряд публікацій, в яких, з одного боку досліджуються комбінаторні оптимізаційні задачі з дробово-лінійною цільовою функцією [8,9,11], а з іншого — вивчаються і розв’язуються задачі на поліпереставних множинах [7, 14].

Введемо в розгляд задачу максимізації дробово-лінійної функції на множині поліпереставлень без додаткових обмежень.

Задача. Знайти пару < F(x*),x* > , таку, що

F(x*) = max

xeRk

k

Zcixi +co

i=l_________

k

Z dixi + do ’ i=l k

Zcixi +co

* i=l

x* = arg max

xeR

kk

Z dixi + d0 i=l

(1)

(2)

За комбінаторної умови

x = (xi,...,xk) Є Ekn(G,H) c Rk, (3)

де ci,di є R* 1 Vi є Jk = {0,l,2,...,k}, Rk -k -вимірний евклідів арифметичний простір; ц, n, k,s — задані натуральні сталі; Ejkn(G,H) — множина поліпереставлень [1-4], що утворена з мультимно-

жини G за допомогою спеціальної множини H k —

70

РИ, 2005, № 1