Аттракторы системы уравнений пограничного слоя обобщенно ньютоновской среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аттракторы системы уравнений пограничного слоя обобщенно ньютоновской среды

В.Н. Самохин,

д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой ВМ

Г.М. Фадеева,

студентка 5 курса МГУ

Г.А. Чечкин,

профессор МГУ

В работе установлены условия существования автомодельных решений системы уравнений пограничного слоя обобщенно ньютоновской среды. Выведено обыкновенное дифференциальное уравнение, решения которого применяются для построения автомодельных решений рассматриваемой системы уравнений. Доказано, что при определенных условиях решения уравнений пограничного слоя независимо от начального профиля скоростей стремятся к автомодельному решению, то есть автомодельные решения носят признаки аттракторов множества решений уравнений пограничного слоя.

В работах [1, 3] изучалась система уравнений двумерного пограничного слоя для модели маловязкой неньютоновской среды, предложенной в книге [2]. В статье [3] доказана непрерывная зависимость решений уравнений пограничного слоя от начального профиля продольной скорости и асимптотическая устойчивость при неограниченном продвижении вниз по потоку. В данной работе указаны условия существования автомодельных решений задачи и с помощью методов, примененных ранее в [4, 5], доказана асимптотическая устойчивость решений и дается оценка скорости сходимости решений к автомодельному.

Стационарная система уравнений пограничного слоя обобщенно ньютоновской среды имеет вид

if

dy

1 + k

f du^

w

dy

2 ^ ^ du

dy

du du 1 dp du dv „ ,„.

-u--v— = —S — + — = 0 (1)

dx dy p dx dx dy

и рассматривается в области D={0<x<X, 0<y<+<»} с граничными условиями

40.y) = u0(y), u(x,0) = 0, v(x,0) = v0(x), u(x,y) ^U(x) при y^+да, (2)

где U(x) и p(x) связаны уравнением Бернулли pU^(x) + 2p(x) = const.

Будем далее считать p = 1 и рассмотрим задачу (1), (2) в переменных Р. Мизеса:

(

j-JW

1 + 3k\W 4 Idy

2 Л

d w dw , xdw -,dp

—т---v0(x)— = 2—,

dy2 dx dy dx

(3)

(х,у)е^= {0<х<X, 0<у<+да}, решение уравнения (3) рассматривается с условиями

\0,у) = \0(у), \\(х,0) = 0, \\(х, у) при у^+да. (4)

Здесь \(х, у) = и1(х,у).

В работе [1] при некоторых условиях доказана однозначная разрешимость задачи (3), (4) при любом Х> 0. Ниже приводятся некоторые результаты относительно поведения решений задачи (3), (4) при х^ да. При этом будут использоваться автомодельные решения задачи, которые, как показано в [6], играют важную роль в теории пограничного слоя, равно как и в других разделах математической физики, так как дают наиболее простые решения математических моделей.

Применяя методы, изложенные в п. 2.4, гл. 2 книги [5], можно доказать, что задача (1), (2) имеет автомодельное решение вида

и(х, у) = и(х)Г (|, р(х)), 1/(х, у) = 1/0 (х) - уиА С1,

0 9х

где функция Дг|,р(х)) при любом фиксированном х является решением обыкновенного дифференциального уравнения

(1 + 3Шх)Г/8(х) )2)Г+ ff"+ р(х) (1 - {Г )2) = 0, обобщающего известное уравнение Фолкнера-Скэн, с граничными условиями

Д0) = Г(0) = 0, f'(r|)^ 1 при

d

Теорема. Пусть U(x) = Uy = const, w,(x,y), w2(x,ц) - два решения задачи (3), (4) с начальными условиями w/0,ц) = w10(y), w2(0,y) = w20(ц). Если

то

(■У^Сху) Чщи у))2 < с(1 + х)-1/4

при 0 < у0 < у < у-, < да, где выбор постоянной зависит оту0 и у. Доказательство. Рассмотрим систему уравнений

ff

dy

1 + k

f duЛ

2 ^ ^ du

w

dy

dy

du du du dv „ = u— +v—, — + — = 0 dx dy dx dy

в области D={0<x<X, 0<y<+<»} с граничными условиями

U0,y) = u0{y), Ux,0) = 0, 0) = v0(x), Ux,y) при y^+да.

Автомодельное решение этой системы имеет вид

~Ux,y) = Uff (r|), V(x,y) = v (x) + iduUx,t) dt,

0 dx

где n = y

U

——1—-, а функция fn) удовлетворяет уравнению 2v(1 + x)

f

1 +

3kU3

,,\2

Л

f)

f+ff = o

(5)

(6)

(7)

2v(1 + x)

(аналог уравнения Блазиуса) с граничными условиями /(0) = 0, f(0) = 0, f'(ri) ^ 1 при

Решение системы (5), задаваемое формулами (7), соответствует некоторому решению w(x,у) уравнения (3) с условиями

w(x,0) = 0, w(0, у) ^ 0, w(x, у) ^U2 при Поскольку u= — = U|f'(r), то

o

d

Следовательно, л = f

:-1

-=X= (1 + x)-1/2

47Щ

, то есть

f ff

w(x, y) = U2(f'(n))2 = U2 f' Г1

V VV

y= (1 + x)-1/2

^Yi

Sjj

Из результатов работы [1] следует, что f">0. Тогда Дц) = Оц2) при 0, поскольку f(0) = f,(0) = 0. Следовательно, = 0(ц) при 0 и Л1(<;) = а41), 0. Отсюда получаем, что при

больших значениях х и малых у функция \(х,у) удовлетворяет двойному неравенству

Су(1 + х)-1/2 < Мх, у) < С2у(1 + х)-1/2. (8)

Решения уравнения (3), соответствующие различным начальным функциям \0(у), могут быть оценены сверху и снизу с помощью автомодельного решения и для них имеют место оценки вида (8). В работе [ 3] нами была получена оценка

J 7w(x,y) -у/w2(x,y) dy <

P(0) Px)

1/2 0

J WM W20 (y) dy

где P(x) = p(0)-p(x) + — max(w10(y), w20(y)). Поскольку по условию тео-

2 0<y<w

ремы U(x) = U1, а функции и связаны соотношением 2p(x) + U(x) = const, то в нашем случае Px) = const и, следовательно,

J y]w1(x,y)-Wxy) dy<p = const.

0

Отсюда получаем, что при y>y0 >0 (7 w(X,y0) w2(X, y0) )2 =

ш d / I- I-\ 2

J w1(x, y) - V w2(x, y) j |x=x dy < y0 dy

< max

x=X,y>y0

1 dw1(x, y)

Jw1(x, y) dy

1 dw2(x, y)

7w2(x,y) dy

2

0

0

+

X

X J WX) -\l W2(x,y) oV<

Vo

(

<P -max

V>Vo

1 öW|(x, y)

Jw,(x,v) öy

1 öw2(x, v)

y]w2(x,v) öy

(9)

В силу оценок (8) имеем

öw,

öy

< C3(1 + x)-1/2 при v>v0 > 0.

Отсюда и из (9) получаем, что при у>у0 >0 имеет место неравенство

(•WX/y) -Wx)) <

<P ((1±х)1/4Сз(1 + x)-1/2 + ^СзО + x)-1/2 W(1 + x)-1/4. I. \lCm vC2Vo

Теорема доказана.

Полученное неравенство характеризует не только скорость сближения решений при движении вниз по потоку, но и скорость притяжения всех решений к автомодельному, которое можно считать некоторым эталонным решением, имеющим характер аттрактора во множестве решений системы уравнений пограничного слоя. Здесь рассмотрен простейший случай. Автомодельные решения существуют также, например, при U(x) = Axm. В этом случае имеет место аналогичный результат.

Библиографический список

1. СамохинВ.Н. Модификация О.А. Ладыженской уравнений Навье-Стокса и теория пограничного слоя / В.Н. Самохин, Г.М. Фадеева, Г.А. Чечкин // Вестник МГУП. - 2009. - № 5. - С. 127-143.

2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М. : Наука; Физ-матлит, 1970.

3. СамохинВ.Н. О непрерывной зависимости решения уравнений пограничного слоя от профиля начальных скоростей / В.Н. Самохин, Г.М. Фадеева, Г.А. Чечкин // Вестник МГУП. - 2010. - № 4. - С. 64-71.

4. Хуснутдинова Н.В. Об асимптотической устойчивости решений уравнений пограничного слоя / Н.В. Хуснутдинова // ПММ. -1970. - Т. 34. - № 3. - С. 526-531.

5. ОлейникО.А. Математические методы в теории пограничного слоя / О.А. Олейник, В.Н. Самохин. - М. : Наука; Физматлит, 1997.

6. ЛойцянскийЛ.Г. Ламинарный пограничный слой / Л.Г. Лой-цянский. - М. : Физматгиз, 1962.

+