CC BY
29
2. Мартинюк, В. В. Модель суперконденсатора с дробно-интегрирующим элементом и метод идентификации ее параметров / В. В. Мартынюк, В. В. Бушер // Приводная техника. - 2011. - № 5 (93). - С. 27-33.
Стаття надійшла до редакції 13.12.2011.
Бушер В. В.
ОПТИМАЛЬНІ АСТАТИЧНІ СИСТЕМИ З ДРОБОВИМИ ІНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦІЙНИМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
Досліджено замкнуті системи з дробовим порядком астатизму від 0,5 до 2. Знайдено параметри дробових пропорційно-інтегральних та інтегрально-диференційних регуляторів для забезпечення оптимальних динамічних та статичних характеристик. Запропоновано методи розрахунку сигналів регуля-
торів з урахуванням використання в мікропроцесорних системах управління.
Ключові слова: астатична система, дробовий інтеграл, дробова похідна.
Busher V. V.
OPTIMAL ASTATIC CONTROL WITH FRACTIONAL ORDER INTEGRAL-DIFFERENTIAL REGULATORS
The research of close-loop systems with fractional integraldifferential regulators with order from 0,5 to 2,0 is carried out. Parameters of regulators for optimal dynamic and static control are defined. Presented methods of numeric solve of fractional equation for their microprocessor’s realization.
Key words: astatic system, fractional integral, fractional differential.
УДК 517.92
Козырев В. Г.
Канд. техн. наук, доцент Севастопольского национального технического университета
РЕДУЦИРОВАННОЕ ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СКОРОСТЬЮ ВРАЩЕНИЯ ВАЛА ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
Предложен редуцированный закон терминального управления скоростью вращения вала электродвигателя, использующий усеченное асимптотическое приближение динамики двигателя и существенно упрощающий алгоритм управления. Моделирование динамики вала с предложенным законом управления показало его эффективность.
Ключевые слова: разномасштабная система, терминальное управление, редуцированная асимптотика закона управления.
ВВЕДЕНИЕ
Для многих электромеханических систем часто необходимо осуществлять перевод электродвигателя (ЭД) в заданный режим работы по скорости за нужное время. Подобная задача относится к задаче терминального управления. Ее особенность состоит в наличии разномасштабных по времени процессов в объекте управления -ЭД - быстрых электрических и медленных механических. Одним из средств решения такой задачи являются асимптотические методы [1]. Они позволяют осуществить декомпозицию закона управления на «быструю» и «медленную» части, соединяя которые затем в единую комбинацию, можно найти асимптотическое приближение исходного закона. Если пренебречь быстрой частью закона управления, заменив ее условиями квазистатики, можно прийти к усеченному и, одновременно, упрощенному (редуцированному) управлению.
Указанный метод применяется в статье для формирования редуцированного терминального управления электродвигателем постоянного тока. На основании сравнения с полным законом делается вывод о достаточной точности редуцированного закона при одновременном выигрыше в простоте алгоритма управления.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью данного исследования является проверка эффективности предлагаемого асимптотического метода и
применение его для построения простого и вместе с тем достаточно точного алгоритма управления типовым динамическим объектом, каким является электродвигатель.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача терминального управления угловой скоростью вращения вала электродвигателя постоянного тока, управляемого входным напряжением и. Процессы в ЭД описываются уравнениями
и - Еа -Ь — = Я1, а Ж
jdQ = Mm - Cfr Q- M.
load ■>
где и - управляющее напряжение, приложенное к якорной цепи электродвигателя; I - ток в якорной цепи; Я и Ь - ее активное сопротивление и индуктивность; о -угловая скорость вращения вала ЭД; Еа = СеО - эдс реакции якоря, пропорциональная скорости О (при условии постоянства потока возбуждения); М т = Ст1 - вращающий магнитный момент, пропорциональный току I (при том же условии); С/г - коэффициент вязкого трения; М1оаж - момент сопротивления (нагрузки) на валу.
Для моделирования выберем микродвигатель постоянного тока с параметрами из работы [2]: Я = 7,9 Ом, Ь =
© Козырев В. Г., 2012
=0,0136 Гн, J = 1,32 • 10-6 кг-м2, C = Cm = 0,0246 В-с/рад, Cfr »0. Номинальные значения переменных также известны- ^иот=400рад/с, U nom = 11,8В, Inom = (Unom —
— Се^ПОт ) / =0,25А, M load_nom = CmI nom = 6,1-10-3 H/M.
Следуя общему подходу [1, 2], выразим разномасш-табность по времени при помощи безразмерного малого параметра. В нашей задаче он должен входить в «быстрое» уравнение - уравнение для электрического тока в качестве множителя при производной тока. Для этого положим L = L0 -X, где ¿0 = 0,136. Тогда Х = 0,1 дает фактическое значение L. Число X будем далее рассматривать как малый параметр, и строить асимптотику задачи по этому параметру.
Введем переменные - отклонения от номинальных значений: ю = Q - 0.nom, i = I - Inom, u = U - Unom и перепишем уравнения ЭД в отклонениях при условии
Mload » Mload nom
= a^ + Ü2Î + mload,
dm dt
л di ■ ,
X — = азю + a4i + bu. dt
C1)
Здесь X - малый параметр, ю - медленная переменная, I - быстрая, т1оаЖ = М1оаЖ - М1оаЖ_пот ~ 0 , а постоянные коэффициенты выражаются формулами
C
ai = -
fr
J
а2
C
R
1
= hrn a3 =----------------- a4 =-----------------------b = —
J
L
L0
L0
Поставим задачу перевести ЭД в номинальный режим по скорости из состояния с начальной скоростью 0(0) за конечное время ґ^.. В терминах переменной ю это эквивалентно переводу системы (1) из начального состояния ю(0) = 0(0) - Опот в нулевое состояние ю = 0. Качество перевода будем оценивать квадратичным функционалом
1 1 f
Jf = 2 f®2(tf) + 2 j (а®2 + q2i2 +ru2) dt,
(2)
где весовые коэффициенты/> 0, ^12 ^ 0, г > 0 выбираются дополнительно из соображений эффективности управления.
Общепринятым способом считается в настоящее время выбор значений указанных коэффициентов обратно пропорционально квадрату размаха допустимых отклонений соответственных переменных состояния и управления от желаемых значений с последующей доводкой в процессе численного моделирования [3]. В рассматриваемой нами терминальной задаче выбирается, в том числе, параметр / Его величина берется обратно пропорциональной квадрату желаемой терминальной ошибки, т. е. ошибки управления по скорости в момент I = ^/. При достаточно большом весе / терминальная ошибка ю(1/) = 0(1 /) - Опот может быть сделана сколь угодно малой: ю(1/) « 0 [4].
Данный способ использован в настоящей статье. Заметим, что точные регулярные методы дополнительной оптимизации системы по коэффициентам функционала качества (2) в настоящее время отсутствуют.
Не вдаваясь в рутинные промежуточные расчеты, сразу назовем выбранные значения коэффициентов:
/ = 0,1, q1 = 1, q2 = 4600, г = 300.
Они обеспечивают
1) отсутствие перерегулирования по скорости вращения вала ЭД;
2) приемлемую амплитуду управляющего напряжения, безопасную для якорной цепи ЭД;
3) достаточно малую терминальную ошибку, т. е. малое отклонение конечной скорости от заданной в 400 рад/с.
Результаты, подтверждающие указанное качество управления, приводятся в конце статьи.
Время // определяется требованиями к скорости управления. Для систем управления с микродвигателями, к которым относится рассматриваемая система с электродвигателем постоянного тока, можно взять время регулирования (/ равным типичному для таких систем значению в 15 миллисекунд.
Закон управления. Перепишем задачу (1), (2) в матричном виде
dx
dt
= Ax + Bu
1 1 ‘f
Jf = —(х'Фх)‘=t + — J (x'Qx + ru 2) dt
где
A=
‘f 2
10
ai a2
X a3 X a4
(3)
(4)
" 0 '
, B = X-1b
S = BR~lB’ =
0 0
0 X- 2s
s = b2 r_1,
H = [1 0],
ф = H’fH =
f 0 0 0
Q =
штрих обозначает
91 0
_0 92 _
транспонирование.
Оптимальное управление для задачи (3), (4) на отрезке 0 < ґ < ґ ^ определяется выражением [4]
и =-г _1Б'К (ґ) х, (5)
где матрица К (ґ) находится из уравнения Риккати
ЛК
— = -кл-лк + кк-д, к|„ =ф
Лґ 4=т
Согласно [4] К представляется с помощью матричного разложения
K = P + W' (M + F~1)~1W,
(6)
X =
0
где матрицы К, Р, Ж, М и Р имеют покомпонентный вид
K= k1 Xk2 , P= Pl XP2
_Xk2 Xk3 w _XP2 XP3 _
Ж = [ 2 ],
М = т и Р = / - скаляры.
В развернутой записи матрица К приобретает тогда
вид
K = k1 Xk2 Pl0 XP2 1 1 Wl
_Xk2 Xk3. _XP2 XP3. + f -1 m + J Xw2
• [ Xw2 ]
Отдельные компоненты удовлетворяют следующим уравнениям, которые для удобства запишем в смещенном времени & = / - ¡у, -1^ < 9 < 0
—9 = -2а1Р1 - 2а3 Р2 + Р - Чъ Р\\9=0 = 0,
X^ = -a2Pl - a4P2 -Xa1P2 - a3P3 + sP2P3, P2Iö=0 = 0, dÖ
dP3 2 I
X"dÖ” = _2Xa2p2 - 2a4P3 + sp3 - q2, P3Ö=0 = 0, (7)
ddÖT = -(a3 - SP2 )w2, wl| Ö=0 = 1,
X= -a2w1 - (a4 - sP3)w2, w21ö=0 = 0, dÖ
-т 2 I /л
d9 = -•W2, т 9=0 = 0.
Асимптотика матриц обратной связи Р, Ж и М. Согласно теореме из [4], компоненты решения системы уравнений (7) при малом X имеют равномерные асимптотические разложения нулевого порядка вида
Р1 (9, X) = Рю(9) + ХО(1),
Рг (9, X) = р,0 (9) + П 0 рг (т) + ХО(1) (I = 2,3), м>1 (9, X) = ^10(9) + ХО(1),
W2(9, X) = ^20 (9) + П0^2(т) + ХО(1),
т(9, X) = т0 (9) + XO(1),
где т =((- ¡у)/ ^ а 0(1) - ограниченные на области
-¡у <9 <0, 0 < X < X0 функции от 9 и X, Xo - некоторое положительное число.
Составляющие типа П0X(т) быстро убывают при т ^ -да [1]. П0X(т) < Сект и, значит, они несущественны вне малой окрестности конечного момента ( = I у (9 = 0). По этой причине в теории разномасштабных
систем они называются составляющими пограничного слоя, или «погранслойными» составляющими. Попытаемся ими пренебречь. Это приведет к потере точности задания коэффициентов обратной связи в законе (5), но лишь в конце промежутка управления (в узком пограничном слое). По нашему предположению такая потеря не должна существенно отразиться на точности управления скоростью ввиду инерционности вала двигателя. Подобное усеченное представление коэффициентов обратной связи в (5) и названо выше редуцированным. Оно имеет вид
Р1(9, X) = рю(9) + X0(1), Р, (9, X) = Рг0 (9) + X0(1) (, = 2,3), м>1 (9, X) = ^10(9) + X0(1), ^2(9, X) = ^20(9) + X0(1), т(9, X) = т0 (9) + X0(1),
где 0(1) - функции от 9 и X, ограниченные на отрезке -г/ < 9 <90 < 0 при 0 <X<Xo, 90 - фиксировано и близко к нулю [4].
Главные члены записанных разложений определяются из уравнений (7), если положить в них X = 0 [4]
-Р10 = -2а1 Р10 - 2аз Р20 + ^20 - Ч1, Р10(0) = 0 -9
0 = -а2Р10 - а4Р20 - а3Р30 + ^20p30,
dw
10
dÖ
0 = -2a4P3o + Sf>3o - q2,
= -(a3 - sp20)w20, w10(0) = 1,
(8)
0 = -a2wlo - (a4 - sp30)w20,
dm0 2 і
= -sw20, m0 Ö=0 = 0.
-9
Уточним, выражения вида X (0) имеют здесь смысл значений функций X (9) при 9 = 0, т. е. при ( = ¡у. Заметим также, так как Р30(9) - постоянная величина, то
Р30(9) = Р30(0) = Р30 \,=1 .
Асимптотика матрицы К и асимптотика закона управления. Используя представленные асимптотические приближения компонент матриц Р, Ж и М, запишем нулевое асимптотическое приближение этих матриц и всей матрицы Риккати К [4]
K0 =
k10 Xk20
Xk20 Xk30
= Po + W0Wo(mo + f 1) 1
p10 V20
Xp20 Xp30
m0 + f
-1
10
Xw.
20
w
10
Xw.
20
-p10 - -2a1 pi0 - 2a3p20 + sp20 - qb p10 (0) - 0 •
-b
Асимптотический закон управления выражается теперь формулой
U0 — —r BK 0 x .
(9)
Для нахождения К 0 в функции времени надо решить уравнения (8). Для этого сначала из алгебраических уравнений системы (8) выразим члены Р30, Р20 и »20 через константы и члены Рю, »щ. Затем подставим их в оставшиеся дифференциальные уравнения и проинтегрируем последние. Из алгебраических уравнений (8) находим
p30 -1 i a4 + д/al + sq2 |- const,
p20 -
l
r(a2 p10 + a3 p30)
a4 + sq2
P20 (0) - і „ 1 (a2P10(0) + a3P30) - ) „ 1 a3P30
a¿2 + sq2
l~2---------(10)
•y a4 + sq2
w20 -
ra2 w10
a4 + sq2
1 a9
w20(0) - 1 a2 w10(0) - ' 2
l
a4 + sq2
і
a4 + sq2
Дифференциальные уравнения для оставшихся ком -понент запишем отдельно
-w
10
-b
-—(a3 - sP20)w20, w10(0) - 1, (11)
-т0 2 I
—— = -•»20, т0 9=0 = °.
-9
Интегрируя уравнения (11) и подставляя их решения в конечные уравнения (10), рассчитаем матрицу К 0 в функции текущего времени. Затем с помощью формулы (9), в силу уравнений объекта (1), найдем асимптотически оптимальное управление И0 и формируемые им процессы в объекте ю 0 и /0. Для нахождения точных оптимальных процессов и, ю и I аналогично решим систему уравнений (7) совместно с (1), (3) при указанной выше величине малого параметра X = 0,1.
Полные значения процессов выражаются через номинальные значения и найденные отклонения:
U U nom + u
тимальные
Q = Qnom + ю, I = Inom + i - точные оп-
процессы;
U0 - Un
+ u0,
Qo = Qnom + ю0, Iо = Inom + io - их асимптотики.
Результаты расчетов матрицы Риккати и процессов управления представлены на нижеследующих рис. 1-3. Оптимальные (точные) компоненты матрицы Риккати обозначены на графиках именами K11 = ki, K12 = Xk2, K 22 = Хкз. Их нулевые асимптотические приближения - K011 = kio, K012 = Xk2o, K022 = Хкзо. Аналогичным образом обозначены и процессы U, Q и I - оптимальное управляющее напряжение, угловая скорость и ток в обмотке соответственно; U 0 = U 0, Q0 = Q0 и 10 = I0-их асимптотические приближения.
Рис. 1. Компоненты матрицы Риккати: K11 = k1 и K12 = Xk2 - точные; K011 = кю и K012 = Xk20
приближенные
асимптотически
1
+
1
1
К matrix : стропе ml
Co nt riel
Ё
OJ
о
ü.
гч
;ч
о
>
Tim? (msec)
Time (msec)
Рис. 2. Компонента матрицы Риккати: K 22 = Xk3 - точная; K022 = Xk3Q - асимптотически приближенная (слева). Управляю -щее электрическое напряжение U и его асимптотическое приближение U0 = Uq (справа)
Angular veloc ity
Current
<
tp
ÜJ
Є
S
b
о
Time (msec)
Time (msec)
Рис. 3. Угловая скорость вращения вала двигателя OMEGA = Q, ток в обмотке I, их асимптотические приближения
OMEGAO = Qq, 10 = I0
Из графиков на рис. 1 и 2 наблюдается определенное расхождение точных и асимптотических компонент матрицы Риккати. Это связано с использованием асимптотики нулевого порядка малости по X, а также с отбрасыванием погранслойных составляющих.
Тем не менее, сами процессы управления близки (см. напряжения и и и0 на рис. 2, справа, скорости микродвигателя О и О0 на рис. 3, слева и токи I и ¡0 на рис. 3, справа). Заметим, что это наблюдается при довольно жестком ограничении на время управления, составляющее в нашем примере всего лишь 15 мс.
Одновременно достигается достаточно точный терминальный переход скорости из нулевого значения в заданное номинальное Опот за указанное малое время 15 мс без перерегулирования (см. рис. 3, слева).
Следует также отметить, что, хотя и происходит бросок пускового тока I до 2,5 А (см. рис. 3, справа), но этот бросок кратковременный. Он не может вызвать перегрева обмотки микродвигателя.
ВЫВОД
Выполненные расчеты свидетельствуют о приемлемой точности упрощенной асимптотики закона управления. Формирование подобного управления осуществляется путем решения более простых уравнений, чем точного, оптимального управления. Его встраивание в управляющий микроконтроллер связано с заданием существенно меньшего числа узловых точек по времени и, вследствие этого, уменьшением расхода объема памяти и времени работы контроллера.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. - М. : Наука, 1973. - 272 с.
2. Yackel, R. A. A boundary layer method for the matrix Riccati equation/ R. A. Yackel, P. V. Kokotovic // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1973. - V. 18. - № 1, Fabruary. -P. 17-24.
3. Kwakernaak, H. Design Methods for Control Systems / O. H. Bosgra, H. Kwakernaak, G. Meinsma. - Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control, 2006. -319 pp.
4. Козырев, В. Г. Редуцированный оптимальный регулятор выхода сингулярно возмущенных систем / В. Г. Козырев // Радиоэлектроника, информатика, управление. - 2005. -№ 1. - С. 134-139.
Стаття надійшла до редакції 27.01.2012.
Після доробки 24.02.2012.
Козирєв В. Г.
РІЗНОМАСШТАБНЕ ТЕРМІНАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ ШВИДКІСТЮ ОБЕРТАННЯ ВАЛА ЕЛЕКТРОДВИГУНА
Запропонований редукований закон термінального керування швидкістю обертання вала електродвигуна, що враховує регулярні компоненти асимптотичного представлення динаміки двигуна і істотно спрощує алгоритм керування. Моделювання динаміки вала із запропонованим законом керування показало його ефективність.
Ключові слова: різномасштабна система, термінального керування, зредукована асимптотика закону керування.
Kozyrev V. G.
MULTI-TIME-SCALE TERMINAL CONTROL OF MOTOR AXIS ANGULAR VELOCITY
Reduced law of terminal control of electric motor shaft speed of rotation utilizing truncated motor dynamics asymptotic approximation and appreciably simplifying control algorithm is proposed. Modeling of the dynamics of the shaft with the proposed control law has shown its effectiveness.
Key words: multi-time-scale system, terminal control, reduced asymptotic of control law.
