Пограничный слой обобщенно ньютоновской среды в окрестности критической точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

Пограничный слой обобщенно ньютоновской среды в окрестности критической точки

В. Н. Самохин

В данной заметке приводятся основные результаты о разрешимости системы уравнений симметрического пограничного слоя маловязкой сплошной среды, реологический закон которой нелинеен и является обобщением реологического уравнения Ньютона. Ранее уже изучалась задача о продолжении пограничного слоя таких жидкостей. Здесь рассматривается задача о динамике среды в окрестности носовой точки обтекаемого тела. Эти задачи отличаются граничными условиями.

1. Постановка задачи

В работе [1| рассмотрена система уравнений пограничного слоя обобщенно ньютоновской среды, модель которой предложена в [2|. Изучалась задача продолжения пограничного слоя. Более полно эта задача иссследована в |3|. Здесь мы рассмотрим симметрический пограничный слой. Для решения этой задачи применим метод, изложенный в статье ¡4].

Система уравнений, о которой идет речь, имеет вид

/ ди\ _ Jdu _ ^ди _ 1 др

\ду J I ду I дх ду рдх'

дх + ду

и рассматривается в области D = {0 < х < А', 0 < у < оо}. Как обычно, ii(x, у) и v(x,y) продольная и поперечная к обтекаемой поверхности составляющие скорости жидкости в пограничном слое, и, к, р положительные постоянные. Здесь функция U(x) означает скорость движения жидкости на внешней границе пограничного слоя и связана с давлением р(х) уравнением Д. Бернулли pU2(x) 4- 2р(х) = С = const. Мы будем предполагать р = 1 и преобразуем систему к виду

ди ди / of (ди\2\ д2и тт, dU{x) итг + ь--» 1+ЗА- — = U(x)—(1.1)

дх ду I \ду) ) ду2 (1х

ди ду _ дх ду

Случаю симметрического пограничного слоя соответствуют граничные условия вида

и{0, у) = 0, и{х, 0) = 0, 0) = 0, (1.2)

и(х,у) —> и(х) при у —> +ос.

При этом предполагается С/(0) = 0, что вместе с условием и(0, у) = 0 определяет точку х = 0 как критическую точку потока. относительно которой пограничный слой симметричен. С физической точки зрения это означает, что изучается пограничный слой в окрестности носовой точки затупленного обтекаемого тела.

Предположим, что и(х) = х¥(х) = х(А+хё(х)), где А > 0 постоянная, с1(х) ^ 0 дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Рассмотрим уравнение

с условиями

а(0) = 0, а(у) —► А при у —► оо . (1.4)

Лемма 1. Задача (1.3), (1.4) имеет единственное неотрицательное решение а(у) такое, что 0 < а(у) < А, а'(у) > О, -А < а"(у) < 0 при у > 0. Если .4i > A¿, то для соответствующих решений а\(у) и а2(у) задач вида (1.3), (1.4) выполняются неравенства o¡(y) > а2(у) при у > 0 и а\(0) > а^О). При различных и А2 соответсвующие им решения а\(у) и а2(у) получаются друг из друга заменой

, V Ах ( [А~Л

«i (у) = ~г "2 \У\ ~г • А2 у V А2 I

Доказтельство этой леммы содержится в работе [5|.

Основным результатом настоящей заметки является следующая

Теорема 1. В области D существует и единственно решение задачи (1.1), (1.2), обладающее следующими свойстваими: и(х,у) > 0 в D, производные функций и(х,у) и v(x,y), входящие в (1.1), непрерывны и ограничены в D: и(х,у) —» 0,

ди(х.у) „ д2и(х,у) „ „ ди(х,у) , .

—U. —-> I) при .г ->- 0: I Л а(у) при оу ay¿ ах

1-4 0, где и(у) решение задачи (1.3), (1.4). Кроме того, если постоянные ,4t и А2 таковы, что < U'(0) < А2, то при достаточно малых х функция и(х,у) удовлетворяет первенствам xai(y) ^ и(х,у) ^ ха2(у), где ci\{y) и а2{у) решения задачи (1.3), (14), соответствующие А\ и .4-2.

Решение задачи (1.1), (1.2) получим как предел при е —> 0 решений ие(х,у), уЕ(х,у) системы уравнений (1.1) в области /Л = {е < х < X, 0 < у < оо}, 0 < е < е0, с граничными условиями

и(0,у) = 0, и(е,0) = ае(у)е, ф,0) = 0, (1.5)

и(х,у)-*и(х) при у+ оо.

Здесь ае(у) — решение задачи вида (1.3), (1.4) с условием 1 „ и(е) <01 (ев) Л п ,

ае{у) ->• Ле при у —У оо, Ае — —1— = —у—- , 0 < в < 1.

£ ах

Из работы |3| следует

Лемма 2. В области И€ существует и притом единственное решение задачи (1.1), (1.5), обладающее следующими свойствами: функции и£(х,у), уЕ(х,у) непрерывны вместе с их производными, входящими в систему (1.1), и£(х,у) > 0 при

ду ду2

Нам нужно доказать компактность семейства решений ис(х,у), ье(х,у), чтобы перейти в задаче (1.1), (1.5) к пределу при £ -> 0. Для этого нужно получить оценки этих решений, равномерные относительно £. С этой целью рассмотрим задачу в переменных Мизеса.

2 . Переход к переменным Мизеса

В задаче (1.1), (1.5) перейдем к переменным Мизеса. Для этого введем новые независимые переменные

х = х, ■ф = 1р(х,у), (2.1)

где

&ф дх/)

и новую неизвестную функцию

и>е{х,гр) = и]{х,у).

(2.2)

В результате система (1.1) с условиями (1.5) сведется к одному квазилинейному дифференциальному уравнению

dw г-(л з, Л ¿и2

в области GE = {е < х < Л", 0 < гр < оо} с условиями

w(e,ip) = wu(%p), и>(х, 0) = 0, w(x,ip) -¥ U2(x) при ip —> +oo.

(2.4)

Функция W\e{ip) определяется из уравнения

( * j а£[т)) dx] j = u2{e, у) = a2e(y) • e2.

Достаточно гладкое решение задачи (2.3), (2.4) дает возможность произвести обращение преобразования переменных (2.1), (2.2) и получить решение задачи (1.1), (1.5). Существование и единственность решения задачи (2.3), (2.4) следуют из Теоремы 1 работы [1]. Кроме того, в работе |3) доказано, что это решение обладает свойствами, позволяющими обратить преобразование переменных (2.1), (2.2), из чего следует существование и единственность решения задачи (1.1), (1-5). Равномерные по е оценки решений задачи (1.1), (1.5) получаются как следствие равномерных оценок задачи (2.3), (2.4).

3. Оценки решений задачи

Лемма 3. При любых хо > 0, фо > 0 функции Wr(x,ip) в области Gof = {е < xq < х < X, гро < Ф < оо} ограничены сверху и снизу положительными постоянными, не зависящими от е.

При этом гро > СXq и в области GоЕ выполняется неравенство wE(x,ip) > С ](xq) - .Tq,- С иС 1 положительные постоянные.

Доказательство. Согласно нашему предположению относительно U(x) имеем U'{x) = .4 + О(х). Пусть постоянные Л\, А2 таковы, что 0 < Л2 < U(x) < А\. Возьмем решения а\(у). а2(у) задачи (1.3), (1.4). найденные, соответственно, при при .4 = А] и .4 = А2■ Рассмотрим функции U\(x,y) = а\(у)х и и2(х,у) = = а2(у)х. Пусть wi(x,iJj) и w2(x,ip) Мизес-преобразоваиия функций ui(x,y) и и2(х,у) соответственно. Например,

Покажем, что при хр > 0 в Gt выполнены неравенства

Далее, если это не вызывает разночтений, индекс е будем опускать.

Из уравнения (2.3) находим

/ v \

w2{x,ij>) ^ wE{x,ip) ^ wх{х, ф).

(3.1)

1 dw\ у/щ дх

д2шх 1

= Л2Х

дф2 у/щ ' 1

и

у/w дх

1 dw

d2w 1 dU2

dip2 y/w dx

Вычитая из первого равенства второе, находим 1 д(уи\ — IV)

у/ю дх

+ ___М _

дх \у/щ

д2(и) 1 — и;) 3 / диз 1 ЗиЛ д{ги\ - ю) д2ю дф2 4 \ дф дф) дф дф2

= Ь^г" ли + (А*х " "

3 , ( с)Ш1 \ 2 З2^! — о - к

4 \ дф ) дф2

Два последних слагаемых в этом равенстве положительны при х > 0 и ф > 0. Перенося все остальные слагаемые в левую часть и учитывая равенство

ди'1 2 —д2Ш1

приходим к неравенству 1 д(и>1 — и')

/ 1 1 \

аё Ы - -

д2{ги 1 — и>)

дф'-

3 , / дгп\ диЛ д2ю

Отсюда следует, что и)\ — и> ^ 0. Действительно, в противном случае разность ьз\ — и> принимала бы в какой-то точке отрицательный минимум. Если эта точка лежит внутри области

„ 11 д\хи\ — и)) п

то в этой точке и!\ — < 0, ,---7= > 0, ---= 0.

у/щ дх

д[ю\ —ги) „ д2{п1\—ш)

--—— = 0,-_ _- > 0 и последнее неравенство выполов дфг няться не может. На границе области (7£ неравенство Ю\ — ю ^ 0

выполнено. 19

Аналогично доказывается, что w2 — w ^ 0. Получаем, что

х2а\ | J J - ^ ф) ^ ttfi = x'Vf | j

ds

xoi(.s)

Лемма доказана.

Лемма 4. При любых Хо > О, С > 0 в области G0о = {^о < х < < X, Cxi < 1р < ос} ]Х1вномерно по е и хо выполнены оценки

dw<r

дф

< Mi,

дик

дх

<М2,

d2wF

дф2

< М3.

(3.2)

Доказательство этой леммы получается с помощью принципа максимума аналогично тому, как это сделано в работах [1] и [3].

Лемма 5. Неравенства (3.2) выполняются равномерно относительно е в области Gо = {хо < х < X, 0 < ф < оо}. При х > xq ¡хгвномерно по е ограничены функции

дх

1/2 < Р < 1.

Доказательство. Для доказательства применим методы, из-

dw

ложенные в леммах 2.1.9 - 2.1.13 работы |6]. Рассмотрим

дх

_Q 11)

или, что то же, ч/й^-—-f в области Gn = < х < А', 0 < Ф <

огрг

< Схц}. При ф = 0 и ф = Cxi неравенства (3.2) выполнены, п ди'е

Для оценки —— = г£ снизу в Gn составим для rf уравнение дх

3 , г- d2w dw дг

дг _ д2г(л 3 , fdw\2\

J_ /г2 _ r dW d?W\ w \~2 ~ 2 ~dx + '

+

гдр Учт{х) и2(х). Далее нужно повторить с несущественными усложнениями рассуждения указанных выше лемм работы [6].

Их полученных оценок следует компактность семейства ррщрчий ю.(х,у) в любой подобласти области С. Согласно замене переменных (2.1), (2.2) имеем соотношения

ди 1ди) д2и \/уод2и) ди 1 /дю ^ дги дф\ ду 2ду ' ду2 2 дф>2 ' дх 2у/ъи \дх дф> дх/

дф 1 Г- [ ,

о

из которых следуют оценки и компактность семейства решений иг(х,у), уе(х,у) в любой подобласти области Б. Отсюда выводим справедливость теоремы 1. Единственность решения доказывается так же, как в теореме 2.1.15 работы [6].

4. Об автомодельных решениях задачи (1.1), (1.2)

В теории пограничного слоя и вообще в гидродинамике важную роль играют автомодельные решения. В случае рассматриваемой нами задачи (1.1), (1.2) это такие решения, компонента и(х, у) которых допускает представление

и(х,у) = и(х)^(г1,Р(х)),

гдр т) ■ у/5(х), а ¿(я) и (3(х) подбираются таким образом, что }{т),р{х)} является решением обыкновенного дифференциального уравнения вида

1 + 3к j г + //" + 0(1 - (Г)2) = О (4.1)

с граничными условиями

/(0) = 0 , /'(0) = 0, /'Ы-Я, т/->+оо. (4.2)

Уравнение (4.1) является обобщением известного уравнения Фолкнера Скэн (см. [G|).

В статье [7| рассматривалось решение задачи (4.1), (4.2) в предположении U(x) = U\ = const.

Если мы предположим, что U(x) = Ах, то уравнение (4.1) примет вид

(l + 3 * .4V(Л2) Г + //" + (1 - (/Г) = О - (4.3)

Из результатов настоящей заметки следует, что задача (4.3), (4.2) имеет и притом единственное решение.

Список литературы

1. Самохин В. Н., Фадеева Г. М., Чечкин Г. Л. Модификация O.A. Ладыженской уравнений Навье -Стокса и теория пограничного слоя // Вестник МГУП. 2009. No 5. С. 127— 143.

2. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. Физматлит, 1970.

3. Самохин В. //.. Фадеева Г. А/., Чечкин Г. А. Уравнения пограничного слоя для модифицированной системы Навье-Стокса // Труды семинара им. П. Г. Петровского. 2010. т. 28.

4. Введенская Н.Д. О решении уравнений пограничного слоя в окрестности критической точки // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. 1967. Т. 7. С. 924-929.

22

5. Самохин В. Н. Решение одного ннтегро-дифференциального уравнения, встречающегося в гидродинамике // Вестник МГУП. 2007. No 7. С. 222 231.

6. Олейник О. А., Самохин В. Н. Математические методы в теории пограничного слоя. - М.: Наука. Физматлит. 1997.

7. Самохин В.Н.. Фадеева Г.М., Чечкин Г. А. Аттракторы системы уравнений пограничного слоя обобщенно ньютоновской среды // Вестник МГУП. 2011. No 1. С. 245 249.

Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова. E-mail: [email protected]. Поступила 09 мая 2011 г.