CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №9_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 511.524
Д.М.Фозилова
АСИМТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА В КУБИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ЭСТЕРМАНА С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ
Институт математики АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 12.09.2011 г.)
Доказана асимптотическая формула для количества представления достаточно большого натурального числа N в виде суммы двух простых чисел р, р2 и куба натурального числа т, с
условиями | рі — N / 3 |< Н, \т3 -Ы /3\<Н, Н > И5/61п2 N.
Ключевые слова: круговой метод - тригонометрическая сумма - Ь-ряды Дирихле - сумма Г.Вейля -функция Мангольдта.
Эстерман [1] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения
р1+р2+т2 - Ы,
(1)
где р , р2 — простые числа, т — натуральное число. В работах [2,3] эта задача исследована с более жёсткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений (1) с условиями
N
»—
<ни = 1.2,
2
т -
N
<Н: Н>К~ 1п N.
Теорема. Пусть N— достаточно большое натуральное число, 1(Ы,Н)— число представлений N суммою двух простых чисел р , р2 и куба натурального т с условиями
N
р~1
<Н, і = 1,2,
тъ —
N
где /9( А'', р)—число решений сравнения к ' = Ы(тос1р). Тогда при Н > Н61п2 справедлива асимптотическая формула:
/(#,#) =
3&н2
ты іп2 N
-о
, е=П
\+Р(Х,р)'
р V
СР-1Г
Адрес для корреспондентции: Фозилова Давлатбахт Миралибековна. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail:[email protected]
Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди, Литлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Основу доказательства составляют леммы 1 и 2 о поведении коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля
Т(сс\х,у) = ^ е(ап3)
Х-у<П<Х
- когда ОС приближается рациональным числом с малым знаменателем, и лемма 3 о поведении суммы
Б{а\х,у) = V К(п)е(ап), а = — + Я, (а,д) = 1, \Я\<—, 1 <д<г
х-у<п<х Ч
- когда ОС также приближается рациональным числом с малым знаменателем, и устанавливается ее связь с плотностными теоремами для нулей Ь -рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.
Лемма 1. Пусть т > Зп(п-Т)х" 2 у,
тп = <
пЯдх" 1 - пЯ дхп 1
пЯдхп~1 + пЯ дхп~1
Тогда имеет место соотношение
Т (а; х, у) = ■% {а, д)ут (Л; х, у) + О(д),
ут (Л; X, у) = \е (Я(х - уі)п - т^х у^
о V Ч
<іі.
Доказательство см. [4].
Лемма 2. Пусть т >2п{п-Х)хп 2у, {пЯхп~1} < —^—, Я> 0 или {пЯхп~1}> 1 ——Я< 0,
то-
гда имеет место соотношение
Т(а, х, у) = Т(Я; *, у) + 0(Ч1/2+е),
Ч
а при выполнении условия {пЯх"~1} > —^—, Я > 0 или {пЛх"~1} < 1 — —, Я < 0 имеет место соотно-
2С 2 С
шение
Т (а, X, у) = Т(Я; х,у) + 0
Ч
І0.1 1
д ” 1пд + д2 пх2
Доказательство см. [5].
п-1
Лемма 3. Пусть х>х0, /г<1п х, у >кх* ехр(1шс) ’ , т>у 1хк, д<И, Ъ> 224 —произвольное фиксированное положительное число. Тогда справедливо равенство:
8{а-ЛУ)=1М^е
(р(д) ял
( ґ Я
х-У-2
\л
+ 0 у ехр(— 1п41п х) .
V V
Доказательство см. [6].
Схема доказательства теоремы. Не ограничивая общности, будем считать, что Н = К5/6 1п2 N / Пусть <2 = £5, т = Н2 I N <2 , ЭЗт — 1. Имеем
1-аэ
1{Ы, Я) = | Я2 (а; Ж, Н)ТУ (а; Ж, Н)е(-аЫ)ёа,
81(а;Ы,Н)= X е{ар)\ Т1{а-,Ы,Н)= X е(ап3).
\р-Ы/3\<Н \пъ-Ы13,\<Н
При \р — N /3 |<Я, пользуясь формулой Лагранжа о конечных приращениях, легко показать, что 1п р = \п N / 3 + ()(Н / А' ). Поэтому
, N ( N '
Б1(а;Ы,Н) = ІіГ1—£ а;— + Н,2Н
з V з _
+ 0
К* у
(2)
Пользуясь соотношением
±Н
уЗ
\
= N. ±НХ + <3(Я2ЛГ5/3)Ж1 = з/—,НХ =
N
Я
/
^Ш2
для 7|(а;Л^,Я), имеем
Т,(а;Ы,Н) = Т сс,Ы1+Н1,2Н1 +0(Н
(3)
Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждая а из промежутка [—3§1 —ЗЕ^ представима в виде
(Л 1
а- — + Я, (а,д)-\, 1<д<г, Щ<—. д дт
(4)
Легко видеть, что в этом представлении 0 < а < д — 1, причём а = 0 лишь при д = 1. Через ЭД! обозначим те а, для которых д<0 в представлении (4), через Ш - обозначим оставшиеся а . Множества М состоят из непересекающихся отрезков. Разобьём множество М на множества М1 и М2:
Шх = <а:а є Ш,
а
а — Я
<
с_
я
с
.2
= < а: а є Ш,— < 2 Я
а
а — Я
<
дт
ее
1
Обозначим через I(Mj) , I(M2) и I(m) соответственно интегралы по множествам Mj, M2 и m . Будем иметь
I(N, Н) = /(SEJlj) + І(Ж2) + / (m).
В последней формуле первый член, то есть доставляет главный член асимптотической фор-
мулы для I(N,H) , а / (2) и /(ш) входят в его остаточный член.
Поступило 15.09.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Estermann T. - Proc. London Math. Soc.,i937, v ii, рр. 50і-5і6.
2. Рахмонов З.Х. - Матем. заметки, 2003, т.74, вып. 4, с.564-572.
3. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А. - ДАН РТ, 2009, т.53 5 , с. 325-332.
4. Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. - ДАН РТ, 2011, т. 54, 8 (54), с.
5. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. - ДАН РТ, 2011, т. 54, 4, с. 257-2б4.
6. Шокамолова Дж.А. - Изв. АН РТ. Отд.физ.-мат.,хим.,геол. и тех. наук, 2010, 1(138), с.27-40.
Д.М.Фозилова
ФОРМУЛАИ АСИМПТОТИКЙ ДАР МАСЪАЛАИ КУБИИ ЭСТЕРМАН БО ЧАМЪШАВАНДА^ОИ ЦАРИБ БАРОБАР
Институти математикаи Академияи илм^оиЧ ум^урии Тоцикистон
Барои микдори тасвирх,ои адади кифоя калони натуралии N дар намуди суммаи ду ада-ди соддаи рх, р2 ва куби адади натуралии т, ки шарти \pj-N/3\<H, \т3 -N /3\<Н,
- 2 _
Н > N" In N -ро капоат мекунанд, формулаи асимптотикй исбот карда шудааст.
Калима^ои калиди: методи доиравї - муцоиса - суммаи тригонометрії - L-цатор^ои Дирихле -сумммаи Г.Вейл.
D.M.Fozilova
AN ASYMPTOTIC FORMULA IN THE CUBIC ESTERMANN’S PROBLEM WITH ALMOST EQUAL ITEMS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The asymptotic formula is proved for the number of representations sufficiently large integer N as a sum of two primes p] . p2 and the cub of a natural number m the terms \pi—N/3\<H,
\m2 - N / 3\< H , H > Nhn2 N .
Key words: circle method - congruence - trigonometric sum - L-Dirichlet series - the sum of G.Weyl’s.
7i8
