Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2010, том 53, №5_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511.524

Дж.А.Шокамолова

АСИМТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА В ЗАДАЧЕ ЭСТЕРМАНА С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

Институт математики АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 12.03.2010)

Доказана асимптотическая формула для количества представления достаточно большого натурального числа N в виде суммы двух простых чисел р, р2 и куба натурального числа т, с

условиями | рі - N / 3 |< Н, \т2 - N / 3 |< Н , Н > Ы3/41п2 N.

Ключевые слова: круговой метод - тригонометрическая сумма - Ь-ряды Дирихле - сумма Гаусса -функция Манголъдта - функция Мебиуса.

Эстерман [1] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

р1+р2+т2 = Ы, (1)

где р , р2 — простые числа, т — натуральное число. В работе [2] эта задача исследована с более

жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений (1) с условиями

N

Рг“7

< ни = 1,2,

2 N

т------

3

<H;H>NV4J?,£ = \nN.

Теорема. Пусть N— достаточно большое натуральное число, 1(Ы,Н')— число представлений N суммою двух простых чисел р , р2 и квадрата натурального т с условиями

N

<Н, і = 1,2,

т

N

3

<Н.

Тогда при Н > N4£2 справедлива асимптотическая формула:

е = Є (К) = П

тн) = -^+0

Ґ Я2 Л

■Jn /31: { 4nI,

'і Гжл і+ —

. VP.

о-I)2

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Основу доказательства составляет лемма 1 о поведении коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля

1

p

Адрес для корреспондентции: Шокамолова Джилва Абдуназаровна. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

Т(а;х,у) = ^ е{апт), у = хв в <1

\х,у) =

х-у<п<х

-когда ОС приближается рациональным числом с малым знаменателем, и лемма 2 о поведении суммы S(a;х,у) = У] А(п)е(ап), а = — + Л, (a,q) = 1, \Л\<—, 1 <q<r

х~у<п<х q q?

-когда ос также приближается рациональным числом с малым знаменателем, и устанавливается ее связь с плотностными теоремами для нулей L -рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Лемма 1. Пусть т>Ау, q<r, а—^+Л; (a,q) = 1, \Л\<^. Тогда при {2 Лх} Л>0

или {2Лх} >1—^, Л < 0 имеет место соотношение

Т(а,х,у) = S(a,q} Т(Л-,х,у) + 0(q112 Inq),

q

а при выполнении условия {2 Лх} > . Л > 0 или {2 Лх} < 1 — , Л < 0, имеет место соотношение

Т(а,х,у) _ q) т^2;х,у) + 0(q1/2 Inq + x1'2).

q

Доказательство см. [3].

Следствие 1.1. Пусть т>4у, q<r, а = f + Л; (a,q) = 1, \Л\<^ . Тогда имеет место соотношение

0.5

T(a,x,y) = — S(a,q)y(X,x,y) + 0(qV2\nq), у(Л;х,у) = [ е(Л(х - у / 2 + уи)2) du.

q -0.5

Следствие 1.2. Пусть т>4у, q<r, а = f + Л; (a,q) = 1, <| Я |< . Тогда имеет место

оценка

Т (а, х, у) <К qm In q + xm.

Пусть N(a, T, x) -число нулей р = (3 +iy L(s,x)~ функции Дирихле по модулю q в области Res >а> 0.5, | Inis \< Т . Если % -главный характер, тогда А'(сг, Т, %) = N(cr, 7) - число нулей функции Римана ^(s) в указанной области.

Определение. Пусть с> 2, В> 1 абсолютные постоянные, Т>Т0> 0, Тв <Н <Т, в>0, тогда оценки вида

X [N{aJ + H,x)-N{a,T,x)-\^{qTy(-l-a\\nqT)B (2)

Xmodq

называются плотностными теоремами в коротких прямоугольниках критической полосы.

Цан Тао [4] доказал, что если Н > Т1/3, то соотношение (2) выполняется при с = 8/3, 5 = 216.

Приведем теорему, устанавливающую связь плотностных теорем для нулей L-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы с оценками линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых принимает значение из коротких интервалов, то есть с суммами вида:

8(а;х,у) = £ А (п)е(ап),

х-у<п<х

а = а/д + /1, (а,д) = 1,| X |< 1/ дг,1 < д < г.

Лемма 2. Пусть х>х0>2, Н < х2с ехр(—(1п х)0’76), у>кхс ехр(1пх)0’76, т>у2 /хк, Ь > 2В + 8 — произвольное фиксированное положительное число,

ехр(- 1п41п х) если д < (1п х)ъ,

р(а х! = *\

|(1п х)в+3 если д > (1п х)ь.

Тогда справедливо равенство:

Щщх,,).*$=&.* Л *Нг +ОфР(я,х).

Доказательство см. [5].

Следствие 2.1. Пусть х>х0, И < х17' ехр( -(1п л')0’76). у > Их* ехр(1п Л')0 76. т>у2/хк, Ь > (т + \ )(К + 6) — произвольное фиксированное положительное число. Тогда справедливо равенство:

<р(д) ял

{

Я

Х-У

\Л

■О

г \

-1нР(,ъх) КЧ )

Лемма 3. Пусть X произвольное целое число, а = -^ + -^-, (а,д') = 1, </>1, | в |< 1. Тогда при любом вещественном у> 1 справедлива оценка

Т(а;х,у) = ^ е(ст2)<к[уд~У2+у^2+дУ2)фпд.

х-у<п<х

Доказательство леммы проводится методом Г.Вейля.

Лемма 4. Пусть действительная функция /(и) и монотонная функция g(и) удовлетворяют условиям: /’(и) — монотонна, | /’(и) |> т > 0 и | ^(и) \<М . Тогда справедлива оценка:

\я(и)е(/(и))ёи<^—. •’ т

а

Доказательство см. [6].

ь

Доказательство теоремы. Не ограничивая общности, будем считать, что Я = 2М3/41?. Пусть <2 = , т = Н2 / N <2 , элг = 1. Имеем

1—Ж

1(Ы,Н)= \ «; Л\ Н)/](«; .V, Н к! « V к/«,

е(ар)', Т1(сг,Ы,Н)= ^ е(ап2).

\р-Ы/3\<Н \пъ-Ы!3,\<Н

При |_р —7У73|<Я, пользуясь формулой Лагранжа о конечных приращениях, легко показать, что 1п/? = 1п7У/3 + 0(7//ТУ). Поэтому

N

+ 0

(3)

3^3

Пользуясь соотношением (Ы/ 3 ± Н) — Ы1+Н1 +0(Н2Аг ' 2) , А', = VN13 , Н1=Н / (2>/А'' / 3 ) для Тг(а',К,Н), имеем

Т^а-ЫЯ) = Т а;N. +Н1,2Н1 + 0(Я2ЛГ3/2). (4)

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое от из промежутка [—злу1 — з/£] представим в виде

а 1

а = —+ А, (а,д) = 1, 1 <д<г, | Л. |< —.

(5)

Легко видеть, что в этом представлении 0 < а < — 1, причем а = О лишь при с/ = \ . Через ЭД1 обозначим те ОС, для которых <(2 в представлении (5), через Ш- обозначим оставшиеся а. Множества М состоит из непересекающихся отрезков. Разобьем множество М на множества М1 и М2:

Ш1,= а:ае Ш1,

<■

я

£

■2

= < а: а є Ш1,— < 2 Я

<■

Обозначим через /п , /12 и /2 соответственно интегралы по множествам М1, М2 и т. Будем иметь

І(М,Н) = Іи+Іи+І2.

В последней формуле первый член, то есть /п доставляет главный член асимптотической формулы для 1(Ы,Н) , а /12 и /2 входят в его остаточный член.

Вычисление интеграла /п . По определению интеграла /п имеем:

1

9-1

/ц = | 82(а;Ы,Н)Т1(а;Ы,Н)е(-аЫ)ёа = ^ ^ /(а,д),

ал,

<?<£> а=0

(а,<?)=1

(6)

/ Л - + Я;Ы,Н / ^ - + Л;Ы,Н ( / Л а , — + Л \

1(а,д)= | 82 ?! е - N

Щ<Г2!Н и V уУ ) У

йХ.

Согласно соотношению (3) и следствию 1 леммы 2, для а е М ] имеет место (0.5 < с < 1)

(7)

а

\

- + Я;А^,Я

1 //(д) бш 2яЯЯ

У

1п(А^ / 3) <£>(д) яЯ, Возводя обе части получившейся формулы в квадрат, найдем

V -3 У

+яг

- + Я;Аг,Н

кЯ

Л <и2(д) &т22жШ (2ШЛ

<р\д) (ю1)21п2(Д^/3)

у

V 3 у

При <:/ < (9 для суммы Т (Х\ Л'г| + Я,, 2Я, и сге Ш11, выполняется условие следствия 1 леммы 1. Согласно этой леммы и соотношению (4), найдем

Т1(а;К,Н) =

8 (а, д)Н ду/Ы/З

у{Л\Ы1 +НХ,2Н^) + Д^ К5<^у[д\пд +

Н2

(9)

Подставляя значение Б2 а/ д + N, Н и 1\{а\ N,11) соответственно из (8) и (Ы.Н)Ы.Н):) в формулу (7), найдем

1(а,д) =

Я

/и2{д)8{а,д)

у/Ы /3 \п2(Ы !3) д(р2(д)

а#Г’ _

----N Д0<*+^4,

V Ч У -0.5

(10)

где

до= |

бш2 2пЛН (тгХ)2

( г Я

27У

>/л^7з+/

я

V V

л/туТз

-ТУ

йЛ,

уу

Д, <<

Г?

н

я2 я

-Д,+-1____:Л2+Д,Л,

тт2

«I —Р= ехр(-с 1п4 Г).

4й

Переходим к вычислению интеграла ¥() . Имеем

С г

Я0= 1

эт 2пЯН

(тгЛ)2 1

2 Ж

3яг

ёЯ = — |

Бт2 и

\1\<£ЧН \--~j \ V У у

Интегрируя обе части этого равенства по / от —0.5 до 0.5, получим

с1и + 0 (н2/*Л

К71 , { N )

3

л тт 2я£ • 3

4 Н Г 81П и

ёи + О

-0.5

п ~ и

{Н2^

N

4Н “г віп3 и

с1и + 0

п * и

Воспользовавшись формулой ( см. [7] стр. 174 ), найдем

0.5

Подставив это в формулу (10) и пользуясь оценкой Б(а,д) <К д12, найдем

1(а, д) = ■

3 Я2

/л2(д)8(а,д)

2л/а^ / з 1п2 (Л^ / 3) др2(д)

Подставляя правую часть этого равенства в (6), получим

/ ИТ-Л аИ +о

К Ч )

Я2

>/л^ ср2{д)^д

ЗН2

1и 24Й73 1п2 (Ы / 3) Й дер2 (д)

н2 л 4ы/*

д-1

а=0

(а,<?)=1

/ аЛ^л

V Ч у

(11)

Сумму по д в (11) заменим близким к ней бесконечным рядом, не зависящим от Q, а затем ,поступая аналогично как в работе [2], найдем

2 ф^) = Я(*0- Я(Ю, Я(Ю = Е тйгт ф^)« г 1

9<е ?0>2(?)

9>6

49 (ч)

!л\д)

' (М'

1+ —

V \Р;

(Р-1)2

Отсюда с учетом (11) получим

НЕЕ1+0

11 ~ /ТТТГ ^*2

і4м із £2 \ 4йг

Оценка интеграла /12. Оценим Тг(а,Н,Н) для от из множества 9Я12. Если /72 1

---<1 Я |<-----, то, согласно следствию 1 леммы 1 при х = N. + Н,, _у = 2Н,, имеем

Я 4^

Т(а,Ы1+Н1,2Н1) = 8 (а, д)у{Л\Ы1+Н1, 2 Нх) + <3(д1/21п д),

Ч

Применяя к оценке интеграла у(Л; + Н}, 2 Нх) лемму 4, полагая / (и) = Я(Л,,| + 2Н1и)2 и имея в

виду, что

| /'(и) |=| 4АЯ|(Л' + 2Я,//) |> 41А | Я, (Л' - Я, ) > 21А | Л'Я, >| Я | Я > Г\

находим

0.5

1

\Г(Л;М1+Н1,2Н1)\<ХГ2.

Следовательно,

та,Ы1+НМ<-^ + 0-£«^,

Если----<| Л |< —, то, согласно следствию 2 леммы 1 при х = + Н1, у = 2Н1, имеем

4с/М} qт

3

Т(а,Ы1+Н1,2Н1)«у[¥1+^2\^«Ы-=^-^-^-^.

Отсюда, с учетом (4), имеем

я, *

з’ 1 2y/N / 3 ’

1

/12 « max I Ty(a,N,H) | [| S^N^H) \2 da « H2N~21г/Г\

аеЕл-> J

О

Оценка интеграла /2. Оценим 1\{а\ N ,Н) для а из множества Ш. Если а е /77. то

a = al q + Л, (a,q) = 1, Q<q<r, \Л\<\! qT.

Согласно соотношению (4) и лемме 3, имеем

Tx{a',N,H)«

Следовательно,

Я

■ +

/2 « шах | Ty(a,N,H) | [| S,(a-,N,H) \2 da « Н2Ы~т/Гъ.

aem J

О

Теорема доказана.

Поступило 15.03.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Estermann T. - Proc. London Math. Soc.,1937, v 11, pp. 501-516.

2. Рахмонов З.Х. - Матем. заметки, 2003, т.74, вып. 4, с.564-572.

3. Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А. - Доклады АН РТ, 2009, 3 (53), с. 4-10.

4. Zhang Tao - Acta Math. Sinica, 1991, vol.7, 3, pp.259-272.

5. Шокамолова Дж.А. - Известия АН РТ.Отд.физ-мат.,хим.,геол. и техн.наук, 2010, 3(136), с. 4-10.

6. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1987, 368 с.

7. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. ч. 1. Основные операции анализа, Изд. 2-е. Перев. с англ., -М., Физматгиз, 1963.

Ч^-Шокамолова

ФOРМУЛAИ AOTMnTOraKH ДAР ПРOБЛЕМAИ ЭСТЕРМAН БAРOИ Ч,AМЪШAВAНДAX,OИ КДОИБ БAРOБAР

Институти математикаи Академияи илмои Цум^урии Тоцикистон

Формyлаи асимптотикй барои микдори тасвири адади кифоя калони натyралии N дар намуди сyммаи ду адади соддаи р, р2 ва квадрати адади натyралии m, ки шарти

\ pt - N / 3 \< Н , \т2 - N13\<Н , Н > N3/4 In2 N -ро каноат мекунанд, исбот карда шудааст.

Калимао^и калиди: суммауои тригонометрії - методи доирави - L-цатор^ои Дирихле - суммаи Гаусс - функсияи Манголдт - функсияи Мебиус.

J.A.Shokamolova

AN ASYMPTOTIC FORMULA IN THE PROBLEM ESTERMANN WITH ALMOST EQUAL ITEMS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The asymptotic formula is proved for the number of representations sufficiently large integer N as a sum of two primes p]. p2 and the square of a natural number in the terms \ pt - N /3\<H,

\m2-N/3\<H , H > TV374 In2 N.

Key words: trigonometric sum - circle method - L -Dirichlet series - Mobius function - the sum of Gauss -function von Mangoldt.