Асимптотика решения краевой эллиптической задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

СО СМЕШАННЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ГРАНИЦЕ

Найдена равномерная асимптотика двумерной эллиптической задачи со смешанными краевыми условиями.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение Лапласа, асимптотическое разложение, смешанная задача.

1. Постановка задачи

В некоторой ограниченной односвязной области П С К2 с гладкой границей дП задано уравнение Лапласа Ап(х, е) = 0, где х = (х\, х2). На почти всей границе, кроме малого участка границы 7, задана производная по нормали —— = ф(х).

На участке 7 задана функция п(х,є) =

х — х0

є

где Хо

дп

центр участка 7.

Будем считать длину участка 7 равной 2є, где є > 0 — малый параметр, ф и р — непрерывные функции, причём ф задана на всей границе, а р — только на участке 7. Задача состоит в нахождении асимптотики решения п(х, є) при є ^ 0.

2. Построение асимптотики

Без ограничения общности можно считать, что центр участка 7 совпадает с началом координат. Будем считать, что граница области совпадает с осью абсцисс на некотором конечном участке АВ так, как показано на рисунке.

Таким образом, наша задача примет вид:

Ап = 0, х Є П,

= ф(х), х Є дП\^,

дп

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 10-01-96012-р_урал_а, НШ-6249.2010.1) и ФЦП 02.740.110612.

и(х1, 0) = ^х^^ , х\ € [—е,е]. (3)

€ [—

Будем искать асимптотику решения и(х,е) при е ^ 0 методом согласования внетттного и внутреннего разложений [1]. Как выяснится в дальнейшем, правильный вид внешнего разложения следующий:

СО ОО / \

и = ^ екик(х, е) = £ ек (ок 1п - + Ь,к(х)\ . (4)

к=0 к=0

Подставляя этот ряд в уравнение(1) и граничные условия(2) и (3), приходим к выводу, что и0(х) — решение предельной задачи, которую определим следующим образом:

Ди0 = 0 в области П,

—0 = ф(х) по всей границе дП. дп

Для коэффициентов ик (х, е) естественными являются следующие постановки задач:

дик

Дик(х,е) = 0 при х € П, —— (х,е) = 0 при х € дП, к = 1, 2,...

дп

Однако для исследования поведения всех функций ик(х,е) вблизи точки (0,0) необходимо построить внутреннее разложение и провести согласование всех рядов. Внутреннее разложение вблизи участка 7 будем искать в переменных £1 = —1

е

и £2 = —, £ = (£^£2). Следовательно, около точки (0,0) внутреннее разложение

е

можно искать в виде

О

V (£) = £ е* V* (£). (5)

3=0

Рассмотрим этот ряд. Функции V* (£) будем считать определёнными в верхней полуплоскости, заданной неравенством £2 ^ 0. Уравнение (1) и краевые условия исходной задачи (2) и (3) переходят в уравнение

Дvj = 0 при £2 ^ 0

и условия

зд(£ъ 0) = ^(£1) при Ы ^ 1,

V(£l,0) = 0 при 1£1| ^ 1,з ^ 1,

д?(£ъ 0) = 0 при |£1| > 1, д£2

д 3 д

д* (£Ъ 0) = ^ —У^(£Ь 0) при |£1| > 1,j ^ 1, д£2 <=0 д£2

где полиномы Уг*-г мы определим позднее.

Введём обозначения г = \]х2 + х2, Р = \/£2 + £2. Заметим, что 1п г — гармоническая функция, а её производная порядка I имеет вид Х[(х)т-21, где ХДх) —

однородный гармонический полином степени I. Сформулируем следующие леммы, необходимые для построения асимптотического разложения.

Лемма 1. Пусть Z(х) — линейная комбинация функций вида Х[(х)г-21 таких,

что Х1 (х1,х2) — чётные относительно х2 функции. Тогда существует посто-

г

янная С и функция и(х, е) = и(х) + Z(х) + С 1п - такая, что и Е Сте(П) П С(П),

е

ди

Ди = 0 при х Е П, — = ф(х) при х Е дП. дп

Доказательство. Искомая функция и(х

ди

П и удолетворять краевому условию ——

дп

ф(х) — (х) + С 1п . Для

*€дП дпУ £)

существования функции и(х) необходимо и достаточно, чтобы

должна быть гармонической в области д г'

(ф(х) — (х) + С 1п -^^8 = 0.

е дП

Таким образом, для доказательства леммы надо подобрать постоянную С та-

/г дZ I' д 1п г

ф(х)йБ — -7—(x)dS — С ——dS = 0. Заметим,

дп дп

дП дП дП

ато для любой области П, граница которой проходит через начало координат,

/—— 1п гdS = — —— 1п — dS = п, поскольку в этом случае он равен интегралу

дп дп -

дП дП

Гаусса или потенциалу двойного слоя с единичной плотностью [2, с. 128].

В качестве С можно взять — [ (ф(х) — дz(х)^ dS. За и(х) возьмём одно

п У V дп )

дП

ди д

из решений следующей задачи: Ди(х) = 0 в П, —— (х) = ф(х) — — ^(х) + С 1п г)

дп дп

при х Е дП. □

Лемма 2. Пусть функция и(£) — ограниченное решение следующей задачи:

ди

Ду(0 = 0 ЩШ £2 > 0, дТ-(£Ъ 0) = 0 при £1 Е [-—, —], и(£1, 0) = р(£1) щш

д?2

£1 Е [——, —], где р(£1) — непрерывная функция. Тогда справедливо асимптотическое разложение:

и(0 = Х0 + Х! Х3(0р-2, Р , (6)

3 = 1

причём все Хз (£) — гармонические полиномы, чётные относительно £2.

Доказательство. Прежде всего заметим, что функция и(£) существует и единственна (см., напр. [3]). После чётного продолжения относительно оси £1 функция и(£) остаётся гармонической вне круга радиуса г = 2 с центром в начале координат. Для такой функции справедлива асимптотика (6), это следует, например, из представления функции в виде потенциала простого слоя. □

Лемма 3. Пусть У (£) — какой-нибудь гармонический полином. Тогда существует функция и(£) = и(£) + У(£) такая, что

и(£) Е С~({(£ь£2) : 6 > 0}) П С({(6,&) : £2 ^ 0}),

ди дУ

ДИ(£) = °; и(£) = 0 при £ Е [(——, 0) ( —, 0)], 77(£) = ^(£) при 161 > — £2 = 0 и

д£2 д£2

для функции и(£) справедливо асимптотическое разложение (6). Доказательство. Достаточно построить ограниченную функцию ь(£) такую, что

1) Ди(£) = 0 в {(£1,£2) : £2 > 0},

2) и(£) = —У(£) при £ Е [(——, 0) ( —, 0)],

ди

3) 7^~(£) = 0 при 1£1| > —, £2 = 0. д£2

Такая задача, как известно, разрешима (см. [3]), и

и(£) Е С^({(£ь £2) : £2 > 0}) П С({(£ь£2) : £2 ^ 0}). □

Замечание. При построении асимптотического разложения мы будем прибавлять к функции и(£) функцию /(£), равную С 1п |£ + ^/С, 2 — —1, где С = £1 + г£2, а С — произвольная постоянная. Это гармоническая функция, возрастающая на

д1

бесконечности как 1п |£|, причём 1(£1, 0) = 0 при £1 Е [——, —] и ——-(£1, 0) = 0 при

д£2

£1 Е [——, —].

Перейдём к построению асимптотических разложений. Итак, и0(х,е) — это решение предельной краевой задачи, выписанной в начале пункта, если оно существует. В противном случае определим и0(х,е) в соответствии с леммой 1 как

г

сумму и0 (х) + С01п -, где С0 — однозначным образом выбранная постоянная.

В

Остальные функции ик(х, е) при к ^ — будем строить, в соответствии с леммой 1,

г к

как ик(х) + гк(х) + Ск 1п-, где гк(х) = ^ Zjkк(х)г-23, Zj,к(х) — однородные по-

е 3=1

линомы степени ], чётные относительно х2, которые будут определены позднее.

ди

При этом Дик = 0 при х Е П, —— (х,е) = 0 при х Е дП. Естественно, ик(х,е)

дп

здесь определяются с точностью до постоянного аддитивного слагаемого. Гармонические функции и к (х) также можно разложить в ряды Тейлора в нуле. В результате получим

к

ик(х,е) = ^ Zj,к(х)г-23 + Ск 1п е + Х0 ,к + ^ Хз, к(х), г ^ 0. 3=1 з=1

Здесь полиномы Хз , к (х) степени ], кроме Х0, к, и постоянная С к согласно лемме 1 однозначно определяются по ещё не выбранным Z^, к(х), г = —, к.

Аналогично, согласно лемме 3, строим функции иг(£) при г ^ —:

г

цг(£) = X! У3,г(£) + 1пР + X! ^з',г(£)Р-23, Р ^ (8)

3=0 3=0

Здесь опять полиномы Ж/Дж) степени 3 однозначно определяются по ещё не выбранным Уц(С), 3 = 0, г и коэффициенту Ог.

Подставим теперь асимптотические разложения (7) и (8) в ряды (4), (5) и применим условие согласования Ам,£Ам,хи = АмхАм^V, учитывая замену переменных х = еС. Здесь Ам,х обозначает оператор взятия частичной суммы асимптотического ряда до еМ включительно при условии, что коэффициенты ряда — это функции от переменной х [1].

Так как

N /к М-к

АмЛАм,хи = ^ е^ е-3ZJ^k(С)р-23 + Ск 1пр + ^ еXк(С)

к=0 \3=0 3=0

М / г М-г

Ам,хАм,?V = е^ е-3У3,г(х) + Бк 1п Г- + е3Жг(х)т-23

г=0 \3=0 3=0

то, следовательно, должны выполняться равенства

Ск = О к, Z0 , к + Х0 , к = У0 , к + Ж0 , к при к ^ °

¥3,к (С) = Хк-3 (£) при к ^ 1, 1 ^ 3 ^ к,

Zз,к (С) = Жк-3 (С) при к ^ 1, 1 ^ 3 ^ к,

где все Z0 ,к = Ж0,к = 0 при к ^ 0. Чтобы этого добиться, можно формально

переобозначить Х0 ,к = Х0 ,к + Z0 ,к, У0, к = У0 ,к + Ж0 ,к, поскольку для дальнейшего

построения асимптотики важны только суммы Х0,к + Z0,k и Уо,к + Ж0,к.

Отсюда последовательно находятся все полиномы и коэффициенты перед логарифмами. За цепочкой определения функций Пк(ж) и Уг(С) удобно следить по таблице согласования рядов (7) и (8). Таблица устроена стандартным образом [1, гл. 5].

и\У ^0(С ) е^1(С) е2Ь2(С)

и о х, ) С01п р + У0;0 Уц (С) У2,2(С)

С п ^ |п + 0 0 Х1,0(х) (х) о, с*

еи1(х, е) Ж1,0(С)р-2 е(С1 1п Р + У0,1) е2У1,2(С)

еZ1)1(x)r 2 е(С1 1п “ + Х0,1) еХм(х)

е2и2(ж,е) Ж2,0(С)р-4 еЖ1,1(С)Р-2 е2 (С2 1п р + Уо,2)

е2Z2)2(x)r-4 е2 Z1)2(x)r-2 е2(С2 1п п + Хо,2)

е3и3(х,е) Жз,0(С)р-6 еЖ2,1(С)р-4 е2Ж1,2(С)р-2

е3Zз)з(x)r-6 е3 Z2)з(ж)r-4 е^1;3(х)г-2

Итак, сначала заполним первую строчку асимптотическим разложением и0, являющимся решением внешней предельной задачи. Если она имеет решение, то

1 [ дф

С0 = 0. Иначе С0 = — / . Ввиду неединственности постоянная Х00 не

п У дп

дП

определена, все остальные коэффициенты однозначно определяются. Вследствие того, что производная от постоянной — С01п е равна нулю, функция и0(х), определяемая по лемме 1, не зависит от е, соответственно, не зависят от е и полиномы Х3, 0. Заметим, что от е зависят только ик, причём только в качестве аддитивной постоянной вида —Ск 1пе. Далее, найдём функцию у0 как ограниченное решение

ди

следующей задачи: ДУо = 0 при С2 > 0, г>о(Съ 0) = р(6) при |^| ^ 1, (С1, 0) = 0

дС,2________

при |С1| > 1. Функцию у0 определим как сумму у0+С01п |С1+гС2 + \/(С1 + *С2)2 — 11. Первый столбец заполняется асимптотическим разложением у0, после чего можно определить Х0,0 = У0,0. Также заметим, что найденное таким образом у0 является единственной функцией, удолетворяющей следующим условиям: Ду0 = 0 в верхней полуплоскости, на отрезке [(—1, 0), (1, 0)] у0(Съ 0) = р(С1), вне этого отрезка

г\

(С1, 0) = 0, Уо(С) = Со 1пр + 0(1) при р ^ ж.

дС2

Затем по Z1)1 однозначно определяется коэффициент перед логарифмом С1 и вся вторая строка с точностью до постоянной Ход. Второй столбец согласно лемме 3 и замечанию заполним асимптотическим разложением решения следующей задачи: Д^1 = 0, на отрезке [(—1, 0), (1, 0)] ^1(С) = 0, вне отрез-ду дУ

ка 77(С1, 0) = (С1, 0), У1(С) = У1,о(С) + С11пр + 0(1), р ^ ж. Положим

дС2 дС2

Х01 = У0д. По Z2)2 и Z1)2 заполняется третья строка с точностью до постоянной Х0,2. По У2,2, У1,2 и постоянной С2 определяется второй столбец, при этом определяется Х0,2 = У0,2 и т. д. Таким образом, построение формальной асимптотики закончено.

Теорема. Для всех натуральных N справедлива оценка

1АМ,хи + АМ,£V — АМ,хАМ,£V — u(x, е)| < МеМ+1 (9)

всюду в П, где и(х,е) — точное решение нашей задачи, а и и V — построенные выше ряды (4), (5).

Доказательство. Обозначим ТМ(х,е) = АМ,хи + АМ^V — АМхАМ^V — и(х,е) и оценим значения Тм (х,е) на участке 7 и её нормальную производную на всей остальной границе.

По построению функция Ам,£V точно равна <р(С) на участке 7, а из асимптотических разложений вытекает, что там же (и где г ^ Ме)

Ам,хи — Ам,£ Амхи = о( ^ ек гМ-к+Ч = 0(еМ+1). (10)

к=0

Следовательно, ТМ(х,е) = 0(еМ+1) на 7.

С остальной границей несколько сложнее. Обозначим конечный участок, где дП совпадает с осью абсцисс, через АВ. Вся граница без отрезка АВ уже “достаточно далеко” от 7, поэтому аналогично можно доказать, что на дП\АВ д

т^(Ам,хи — и(х,е)) = 0, а дп

М

д.(Ам ,у — ЛмхЛм,(V) = 0 -п. £ егр-М+-1 ) = 0 е+2) , С11!

г=0

и, следовательно,

На оставшемся участке не только

дТ

N

O (є

N+2

удовлетворяют

ClTN ( О) ство —— (x, О)

д

дn

дп

АВ\7 по построению краевым условиям

все пи, но и уг, поэтому здесь равен-

Действительно, по-прежнему,

-^—(An,xU — u(x^)) дn

д i {с\ д

dn ^Є^(С) — зП

i=0

О выполняется точно.

дд = gnAN,xU — Vp(x) = 0, а gn (AN,iv — An, xAn,nV)

N / k N-k

є-jZjk (C)p-2j + Ck in p + V є3X

j=0

д

N

^k £ є3Yjk(Qp

-2j

j, k (C)

= 0 из-за чётности полиномов Yjk (С) по £2,

дп^~ \ ^ ~ 3,1 к=0 \3=к+1

доказанной в лемме 2.

И последнее, что необходимо сделать, это оценить норму обратного оператора для смешанной краевой задачи с уравнением Лапласа. Будем рассматривать задачи, заданные на областях только нашего типа, т. е. на односвязных кусочно-гладких областях без заострений с единственным отрезком 7 длиной 2є, где задана функция и который лежит на прямом участке границы. Прежде всего заметим, что для любой смешанной задачи с уравнением Лапласа обратный оператор существует, это доказано в [3, с. 314]. Как и для любой другой линейной задачи, достаточно рассмотреть только решение, мало отклоняющееся от нуля. Также в силу линейности уравнения можно рассмотреть решение, которое имеет ненулевые граничные условия только на участке 7 или только на всей остальной границе.

Итак, рассмотрим вначале следующую задачу:

Ау = 0 в П,

ду = 0,

дП\7

,7 = р(ж) = О(^), где ц — некоторый малый параметр.

Из принципа максимума следует, что тах |у| = тах |р(ж)| = О (і), посколь-

жЄП

ду

ку ни максимум, ни минимум не могут достигаться на участке дП\у, где —— = 0.

дп

Иторая задача, которую мы должны рассмотреть, имеет вид Аіп = 0 в П,

dn v

dw

dn n\7 wI = О.

^(x) = O(^),

Можно непрерывно доопределить функцию ф(х) на участке 7 таким образом, чтобы, во-первых, ф(х) по-прежнему являлось O(^£-1), во-вторых, f ^{x)dS = 0. В таком случае мы можем воспользоваться устойчивостью фак-

дП

торизованной задачи Неймана (см., например, [4]), т. е. при таких условиях max w — min w = O(^£-1), где w — решение задачи Неймана с граничной функци-

дП дП

ей ф(х). Вычитая некоторую постоянную, можно добиться, чтобы й)1х^1 = f (х) =

Следствие. Ряд (4) является равномерным асимптотическим разложением и(х,є) задачи (1)-(3) при х Є П, г ^ Мє1, а ряд (5) является равномерным асимптотическим разложением того же решения при г ^ Мє1, где 7 — любое число, такое, что 0 < ^ < 1-

Доказательство. Из соотношения (10) вытекает, что А—,хи — А—,%А—,хи = О(єі(—+1)) при г ^ Мє1, а из (11) (если не дифференцировать по нормали) следует, что А—^V — А—>хА—^V = О(є(1_7)(—+1)) при г ^ Мє1. Эти оценки вместе с оценкой (9) приводят к утверждениям, сформулированными в следствии. □

Список литературы

1. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — М. : Наука, 1989.

2. Ильин, А. М. Уравнения математической физики / А. М. Ильин. — М. : Наука,

3. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1973.

4. Олейник, О. А. Об устойчивости задачи Неймана / О. А. Олейник // Успехи мат. наук. — 1956. — 11:1(67). — С. 223-225.

О(є—+1),

—— = О(є—+2), получим оценку (9).

дп хедП

□

2009.