Асимптотика решения краевой задачи для уравнения Лапласа Со сменой типа граничного условия на двух малых участках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 2, вып. 3. С. 266-281.

УДК 517.955.8

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА СО СМЕНОЙ ТИПА ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ НА ДВУХ МАЛЫХ УЧАСТКАХ

А. А. Ершов1'2", М. И. Русанова26

1 Институт математики и механики имени Н. Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург, Россия

2 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия а[email protected], [email protected]

Рассматривается гармоническая функция в трёхмерной ограниченной области. Почти на всей границе задана нормальная производная кроме двух малых участков, на которых задается значение самой функции. Для такой гармонической функции методом согласования асимптотических разложений построена и обоснована двух-масштабная асимптотика по малому параметру, характеризующему размер этих малых участков. Приведено физическое приложение полученного разложения.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение Лапласа, асимптотическое 'разложение, смешанная задача, малый параметр, метод согласования, электрическое сопротивление.

Введение

Смешанная задача для уравнения Лапласа в случае, когда значения искомого решения заданы на одном малом участке границы, а на остальной части границы задано значение нормальной производной, рассматривалась в работах [1; 2]. В них была изучена и более сложная задача исследования собственных функций и собственных значений такой задачи для оператора Лапласа. При наличии нескольких участков смены граничных условий асимптотическое поведение решения усложняется по сравнению со случаем одного участка. В статье [3] была построена асимптотика решения в двумерной области в случае двух участков смены граничных условий. Настоящая работа посвящена исследованию трёхмерного случая.

Отметим, что частный случай нулевых граничных условий почти на всей границе был рассмотрен в работе [4]. В данной работе изучены более общие краевые условия, при которых асимптотическое разложение решения усложняется. В данной работе оно начинается с отрицательной степени малого параметра, в то время как в [4] оно начиналось с нулевой степени.

1. Постановка задачи

В ограниченной односвязной области 0 С К3 с гладкой границей дО задано

д2 д2 д2

уравнение Лапласа Аи(х,е) = 0, где х = (х1,х2,х3), А = 7—2 + +

дх2 дх2 дх3;

Исследование выполнено за счёт средств гранта Российского научного фонда (проект № 1511-10018).

малый положительный параметр. Почти на всей границе задано второе краевое условие на функцию и(х,е), а на участках и 7| задано первое краевое условие. Будем считать, что линейный размер участков 7Ц и 7| порядка е. Задача состоит в нахождении асимптотики решения и(х, е) при е ^ 0.

Мы рассмотрим случай, когда участки 7^ и 7| лежат на некоторых конечных плоских участках Г и Г2 (рис. 1).

Введём две системы прямоугольных координат так, чтобы их центры совпадали с центрами 01 и 02 участков 7Ц и 7|. Систему координат 01 х1 х2 с центром в точке 01 будем считать основной. Вторая система координат 02у1 у2 отличается только поворотом и параллельным переносом. Оси 01 х3 и 02у3 направим внутрь области О перпендикулярно границе дО. Заметим, что в этих координатах участки 71 и 7| можно описать следующим образом. Пусть множества 71 и 72 — замыкания ограниченных односвязных областей на плоскостях х3 = 0 и у3 = 0 соответ-

Рис. 1

ственно, д71, д72 Е С^. Тогда 7Ц = {х : е 1 х Е 71}, 7| = {у : е 1 у Е 72}. Таким образом, задача имеет вид

ди дп

А и = 0 в области О,

= ф (х) на границе дО\{71е и 7!},

/ ^ \ (х1 х2 \ _

и(х1, х2, 0, е) = ^—, —у при х Е 71,

и(х(у1, у2, 0), е) = —, ^ при у Е 7|,

(1) (2)

(3)

(4)

где п — внешняя нормаль к О, ф Е С^(дО), Е С(71), Е С(72).

Заметим, что решение и Е С ^(О) П С (О) такой задачи существует и единственно [5, с. 86, утв. 22.1; 6].

2. Построение асимптотики

Будем искать асимптотику решения и(х, е) при е ^ 0 методом согласования внешнего и внутреннего асимптотических разложений [7]. Как выяснится в дальнейшем, правильный вид внешнего разложения следующий:

и = V екик(х, е)

(5)

1

Подставляя этот ряд в уравнение (1) и граничные условия (2), (3) и (4), приходим к выводу, что и0(х) — решение предельной задачи, которую определим следующим образом:

Аи0 = 0 при х Е О,

ди° = ф(х) при х Е дО\{01 и О2}. (6)

Для остальных коэффициентов (х) естественными являются следующие постановки задач:

Аик = 0 при х € О,

С\

^ = 0 при х € д0\{01 и 02}, дп

к = -1,1, 2,...

Однако задача для ио(х), вообще говоря, не имеет гладкого решения в замкнутой области О, а решения задач для остальных коэффициентов (х) не единственны. Поэтому для исследования правильного поведения всех функций необходимо вблизи точек х = 0 и у = 0 построить внутренние разложения и провести согласование всех рядов. Внутреннее разложение вблизи участка 7^ будет рассматриваться в переменных = х1/е, £2 = х2/е и £3 = х3/е, £ = (£ь £2, £3) а вблизи участка 7| — в переменных П1 = У1/е, П2 = У2/е и П3 = У3/е, п = (П1, П2, П3).

Внутреннее разложение около точки х = 0 будем искать в виде

V(£,е) = £ е?V?(£),

?=-1

а около точки У = 0 — в виде

W (п, е)

^ е?Щ (п). ?=-1

Функции V?, и? будем считать определёнными в верхних полупространствах, заданных неравенствами £3 > 0 и п3 > 0 соответственно. В новых переменных участки и 7! перейдут в 71 и 72.

В соответствии с методом согласования краевые задачи для коэффициентов внутреннего разложения можно определить следующим образом:

Аv-1 = 0 при £3 > 0,

= 0 пРи £ € 7ъ —-1 = 0 при £3 = 0 £ € 71,

д£3

Аv0 = 0 при £3 > 0,

= ) при £ € 71,

дvо

— = 0 при £3 = 0 £ € 71, д£3

А^ = 0 при £3 > 0,

^(£) = 0 пРи £ € 7ъ

П0)

дщ

д£3

д

Х?'к-з(£) пРи £3 = ^ £ € 7ъ

£3 ?=1

'12)

Аи— = 0 при п3 > 0, и-1(п) = 0 при п € 72,

ди-1 п п -

—— = 0 при П3 = 0, п € 72, дп3

Аи0 = 0 при п3 > 0, ио(п) = ^2 (п) при п € 72,

д^о п п ,

-т— = 0 при п3 = 0, п € 72, дп3

)13)

Awk = 0 при Пз > 0, wk(п) = 0 при n е 72,

dwk д ^

дГ Z^Yj'k-j(П) пРи Пз = ° П е 72.

:i5)

дпз

дпз z j=i

Здесь и всюду далее посредством Хк, Ук, Рк, будем обозначать однородные гармонические полиномы степени к. Полиномы Х^к— (С) и У^к— (п) степени ^ в задачах (12) и (15) мы определим позднее. Для того чтобы решения задач (11)-(15) были единственны в классе функций из С П С (О), необходимо задать ещё поведение на бесконечности функций Ук (С) и и>к (п). Его мы определим с помощью так называемых условий согласования [7, с. 19].

Введём обозначения Г1 = /х"^ + х2 + х2, Г2 = л/у2 + у2 + Уз, Р1 = \/С2 + С2 + Сз, р2 = -у/п2 + п2 + П2. Верхнее полупространство {С : С3 > 0} (для любых систем

координат) обозначим через .

Из [3, лемма 3] следует существование решений Е1, Е2 Е С° краевых задач

\д7 П C

AEi = 0 при f е R+, Ei(£) = 1 при f е 7i, дЕ

—- = 0 при f3 = 0, f е 7ъ

д|ъз

E1(f) ^ 0 при р1 ^ то,

AE2 = 0 при п е R+, E2(п) = 1 при п е y2, д£2

-— = 0 при пз = 0, п е 72, дпз

E2 (п) ^ 0 при р2 ^ то.

Данные функции имеют асимптотические разложения вида

С С

Е1(С) = + ... при р1 ^ то, Е2(п) = —^ + ... при р2 ^ то. Р1 Р2

Коэффициенты С71 > 0 и С72 > 0 называются ёмкостями дисков 71 и 72 (см., например, [8, гл. 2, § 1; 9, гл. 2, § 3]). Известно (см., например, [10, гл. 1, § 4]), что, если 71 — единичный круг, то

2

Ei(f) = -arctg п

2

Lp2 - 1 + ((Р2 -1)2 + 4f2)1/2J

1/2

C

71

2

п'

а если 71 — эллипс с осями а и Ь вдоль координатных осей С1 и С2 соответственно, то

те

а Г (И „а

E1(f)

2K(c/а) У ^(í + a2)(í + b2)í МО

C

71

K(с/а)

n/2

где с = Vа2 — b2, K(z) =

dí

— полный эллиптический интеграл I

\A — z2 sin2 í

рода, h(f) — наибольший действительный корень кубического уравнения

f1 1 f2 1 ?з

+

+ ^ = 1.

а2 + к Ь2 + к к

Перейдём к непосредственному построению асимптотических разложений (5), (8) и (9). За цепочкой определения функций ик (х), Ук(С) и и>к(п) удобно следить по табл. 1 согласования рядов и и V и табл. 2 согласования рядов и и Ш.

Таблица 1

и\У £_1г_1(£) го(£) £«1(£) £2г2(£)

£_1и_1 (ж) £_1А_1 0 0 0

£_1А_1 0 0 0

ио(х) £_1Сор_1 Ао £Х1,о(£) £2Х2,о(£)

Со гГ1 Ао Х1,о(х) Х2,о(х)

£и1 (ж) £_1Р1;1(£)Р_3 С1Р_ 1 £А1 £2Х1,1(£)

£Р1,1(х)г13 £С1Г_1 £А1 £Хм(х)

£2«2(х) £_1Р2,2(е)р_5 Р1,2(е)р_3 £С2Р _ 1 £2А2

£2р2,2 (х)г _ 5 £2С2Г_ 1 £2А2

Таблица 2

и\Ш £ 1(п) ^о(п) £^1(п) £2^2(п)

£_ 1и_ 1(х(у)) £ _ 1А_ 1 0 0 0

£ _ 1А_ 1 0 0 0

ио(х(У)) £ _ 1^оР2_1 Во £^1,о(п) £%о(п)

До г_1 Во *1,о (У) ^2,о(у)

£и1(х(У)) £ _ ^(пК3 ДоР _1 £В1 £2^1,2(п)

£Д1Г_ 1 £В1 £>м(у)

£2М2(х(У)) £ _ ^(пК5 ^1,2(П)Р __ 3 £^1Р_ 1 £2В2

£2 ^(уК5 ^(уК3 £2 А^1 £2В2

Табл. 1 устроена стандартным образом [7]. В каждой строке, начинающейся с £кПк(х), стоят члены асимптотического разложения этой функции при х ^ 0. В верхней строке таблицы выписаны члены ряда внутреннего разложения (8). В каждом столбце в верхней части каждой ячейки помещены члены асимптотического разложения соответствующей функции при £ ^ то. Согласование асимптотических разложений состоит в том, что внутри каждой ячейки таблицы, которая ограничена двойными линиями, функция, стоящая в верхней части ячейки, равна функции, стоящей в нижней части ячейки. Табл. 2 для согласования рядов и и Ш устроена аналогичным образом.

По некоторой аналогии с [3] в качестве решения задачи (7) при к = —1 возьмём и-1(х) = А_1, где А_1 — пока неизвестная постоянная. Тогда в соответствии с методом согласования получаем следующие условия:

г_1(£) ^ А_1, р1 ^ то; м_1(п) У А_1, Р2 ^ то. Этим условиям и условиям задач (10) и (13) удовлетворяют следующие функции:

гм(£) = А_1(1 — Е (£)), Ш_1(п) = А_1(1 — ЗД)).

Данные функции имеют следующие асимптотические разложения:

г_1 (£) = А_1 — А_1 ^ + ^Ц® + ..., ш_1(п) = А_1 — А_1 + + ...

Р1 Р1 Р2 р2

Отметим, что здесь полиномы Р1;1(£) и ^\д(п) не являются окончательно определёнными, пока мы не установим значение постоянной А_1. Переписывая эти асимптотики в переменных х = ££ и у = £п, получаем вид главных членов особенностей коэффициентов внешнего асимптотического разложения, в частности:

ио(ж) = —А_1 ^ — А_1 ^ + ..., „1(х) = + + ...

Г1 Г2 Г3 Г3

Будем искать функцию и0(х) в виде

ио(х) = — А— 1С71 г-1 — Д-1С72 г-1 + ио(х) + Но,

где функция и0(х) Е С— решение краевой задачи

Аи0 = 0 в О,

^ = ф(х) + А— 1С1 ^Г-^ + А—1С72^Г-^ на дО\{01 и 02}, (16)

дп дп дп

ио(01) = 0,

постоянная Н0 пока не определена.

Условием разрешимости задачи (16) в классе функций из Сявляется равенство

дг1-1 дг2-1

(дг дг \

ф(х) + А-1С71 + А-1С72 "д^) ^ = 0. (17)

дП

Известно (см., например, [11, гл. 6, § 7]), что

1

[ "Г--^ = —2п.

дп

дП\01

Отсюда и из равенства (17) следует, что

А—' = 2П(СД С,) / Ф(х)<К (18)

дП

Тем самым мы окончательно определили функции у— 1(С), 1(п) и соответствующие столбцы в табл. 1 и 2. В частности, определены постоянные

Со = = — ^

1 2 дП

—о = —А—^ = — МС^/ ^

1 2 дП

стоящие на пересечении второй строки и первого столбца табл. 1 и 2.

Для определения асимптотики функций уо(С) и и>о(п) на бесконечности выпишем асимптотические разложения функции и0(х) = С0г—1 + —ог—1 + и0(х) + Н0, а затем перепишем их во внутренних координатах:

С До

ио(х) =--+ ° , + Но + Х1,о(х) + Х2,о(х) + ... при п ^ 0,

г1 |0102| — С

ио(х(у)) = —0 + 0 + ио(02) + Но + У1,о(у) + У2,о(у) + ... при г2 ^ 0,

г 2 1О1О21

С —

ио(еС) = — + + Но + еХ1,о(С) + е2Х2,о(С) + ..., ер1 |0102|

— С

ио(х(еп)) = —0 + ,^ ° , + ио(02) + Но + еУ1,о(п) + £%о(п) + ... ер2 |0102|

Отсюда следует, что

го(£) ^

ОП

|0102|

+ Но при р1 ^ то,

^о(п) ^

Со

|0102|

+ ио (О2) + Но при Р2 ^ то.

Этим условиям и условиям задач (11), (14) удовлетворяют следующие функции:

го(£) = Ао(1 — Е1(£))+ го(£), ^о(п) = Во(1 — Ег(п)) + г&о(п),

где постоянные

О С

Ао = + Но, Во = ^^г + ио(02) + Но,

|0102|

|0102|

Г19)

функции г)о е С~(К+\71) П С(Е+) и гйо е С~(Е+\7 2) П С (К+) являются решениями задач

Аго = 0 при £3 > 0,

го = ) при £ е 71, дго

— = 0 при £3 = 0, £ е 7ъ

го(£) ^ 0 при р1 ^ то,

Агуо = 0 при п3 > 0, го = ^2(п) при п е 72,

дго _ ^ /

-— = 0 при п3 = 0, п е 72, дп3

го(п) ^ 0 при р2 ^ то.

В соответствии с [3, лемма 3] функции го(£) и гуо(п) имеют следующие асимптотические разложения:

~ Со , ~ < \ Оо .

го(£) =--+ ... при р1 ^ то, г«о(п) =--+ ... при Р2 ^ то,

Р1 Р2

где Со и Оо — некоторые постоянные, значения которых мы будем использовать в дальнейшем.

Из разложений

го(£) = Ао + ((Со — АоС71 )р_1 + ..., го(п) = Во + (Оо — ВоС72)р_1 + ... заполняющих вторые столбцы табл. 1 и 2, получаем соотношения

С1 = Со — АоС71 = Со —

Оо

|0102|

+ Но ) С71

О1 = Оо — ВоС72 = Оо —

Со

|0102|

+ ио(02) + Но С.

72 •

С другой стороны, условием разрешимости задачи (7) при к =1 является равенство С1 + О1 = 0. Отсюда, получаем уравнение

/"У

Со — (+ иЛ С71 + Оо — (—+ ио(02) + иЛ С72 = 0,

|0102|

из которого находим

|0102|

Но = (Со + О о — +СоС72 — ио(02)С

С71 + С72

|0102|

72

Тем самым мы окончательно определяем функцию м0(х) и вторые строки таблиц. Кроме того, подставляя это выражение в (19), мы находим постоянные —0 и В0 и тем самым окончательно определяем функции г>0(£) и и>0(п), разложениями которых заполняются вторые столбцы табл. 1 и 2.

Перейдём к заполнению третьей строки и столбца для табл. 1 и 2. Учитывая вид третьей строки табл. 1 и 2, будем искать функцию м^х) в следующем виде:

( ) Рм(х) + С1 + ^1Д(у(ж)) + + „ ( ) + н

МЦх) = -3--1---1--3--1---+ М1(х) + Яь

Г3 Г1 Г3 г2

где м1(х) является решением из Сте(П) краевой задачи

Ам1 = 0 в П,

-г— = -3--1---1--3--1--при х е дП\{^1 и О2}, (20)

дп дп V г3 г1 г3 г2 /

{¡1(01) = 0.

Отметим, что в силу [3, лемма 1] все полиномы Pj,k(х1, х2,х3) и Fj,k(у1, у2,у3) являются чётными относительно третьей переменной. Отсюда следует, что краевые условия задачи (20) гладкие в том смысле, что имеют лишь устранимые особенности в точках 01 и 02.

Функция м1(х) имеет следующие асимптотические разложения:

-<х) = ^ + С + ^ + ^ + Я1 + Х»<х> + ... при г. - 0,

Мх) = ^ + £ + Р^ + ^^ + *(02) + Я + (у) +... при Г2 - 0.

Сопоставляя их с третьими строками табл. 1 и 2, получаем соотношения

л ^Д^О , А . тт К Р1, 1 ( 02 ) С1 , ~ /П \ I и ГоТ\

-1 = 1П П |3 + 1П П I + Я1, В1 = IПП|3 + 1П 1 I + м1(02) + Я1. (21)

Согласно таблицам согласования функции (£), и^ (п) имеют на бесконечности асимптотики следующего вида:

С2

= Х1,о(£) + -1 + — + ... при р1 - то, (22)

Р1

В2

^1(п) = Уцо(п) + #1 +---+ ... при Р2 — то. (23)

Р2

Этим условиям и условиям (12) удовлетворяют функции

) = ХМ(0 + -1(1 - )), ^1(п) = Ум(п) + ВД - Е|(п)).

Используя эти выражения, можно получить асимптотики

АлС

г>1(0 = Х1,1 (О + -1 - —^ + ... при р1 — то,

Р1

^1(п) = Уи(п) + В - + ... при р2 — то.

Р2

Сопоставив их с разложениями (22) и (23), получим соотношения

С2 = —А1С1 = —(^ + ^ + ^Н • С24'

О2 = = — (рО^ + + Й1(°2> + Н1)С» ■ (25)

С другой стороны, условием разрешимости задачи (7) при к = 2 является равенство С2 + О2 = 0, с помощью которого и выражений (24) и (25) можно найти постоянную

Н=— с;ТС2 I тоо?-+ютоо^;+Ч тоад + тОЩ+и(°2>); -(26)

Тем самым мы окончательно определили функцию и1(х), а её разложениями мы можем заполнить третьи строки табл. 1 и 2. Кроме того, подставляя (26) в (21), мы находим постоянные А1 , В1 и, в свою очередь, однозначно определяем функции г1 (£) и г1(п), разложениями которых заполняются третьи столбцы табл. 1 и 2.

Повторяя приведённую выше процедуру, получаем справедливость следующего утверждения.

Лемма 1. Существует формальный ряд и вида (5), ряд V вида (8) и ряд Ш вида (9), коэффициенты которых ик е Сте(П\{О1 и О2}), гк е Сте(К+\71) П С(Е+), гк е Сте(Е+\72) П С(К+) являются решениями краевых задач (6), (7), (10), (11), (12), (13), (14), (15), и имеют место асимптотические разложения

и _ 1(х) = А_ 1,

те

ио(х) = Ао + ^^Х3,о(х) при х ^ О1,

3=1 те

ио(х(у)) = Во + ^ У?',о (у) при х ^ О2,

3=1

к те

ик(х) = ^^ Р3;к(х)г_ 23 _1 + Ак + ^^ Х3-)к(х) при х ^ О1, к =1, 2,..., 3=о 3=1

кте

ик(х(у)) = ^ 3(у)г_23 _1 + Вк + ^ 3(у) при х ^ О2, к =1, 2,...

3=о 3=1

те

г_ 1(£) = А_ 1 + Сог _ 1 + ^ (£)р _ 23 1 при р1 ^ то

3=1

те

го(£) = Ао + С1Г _ 1 + ^ Р3,3+1 (£)р _ 23 1 при р1 ^ то,

3=о

кте

гк(£) = Х3,к_3(х) + Ак + Скг _1 + ^ Р,-3+к _ 1(£)р _ 23 _1 при Р1 ^ то,

3=1 3=о

те

1(п) = В_ 1 + Оог_ 1 + ^ 3(п)р_23_1 при Р2 ^ то,

3=1

(п) = Во + Аг2 1 + ^ 7+1 (п)р2 27 1 при р2 ^ то,

^(п) =

.7=0

к оо

(п) = .7(у) + Вк + ^кГ- 1 + ^ Е,-,7+к-1(п)Р2 27 1 при Р2 ^ то, к = 1, 2,...

7=1 7=0

При этом выполнены условия согласования разложений

где N — натуральные числа; А^ обозначает оператор взятия частичной суммы до степени включительно асимптотического ряда, переписанного в переменных г = (г1,г2,^з) (см. [7, с. 19]).

3. Обоснование асимптотики

Теорема 1. Для всех натуральных N справедлива оценка

|А^жи + V - V + А^„Ш - А^„Ш - Цж,е)| < Ме^1 (27)

всюду в П, где и(х,е) — точное решение задачи (1)-(4), а и, V и Ш — построенные выше ряды (5), (8) и (9).

Доказательство. Обозначим Т^(х,е) = А^жи + А^V — V + А^пШ —

А^пШ — и(ж,е) и оценим значения Т^(х,е) на участках 71, 72 и её нормальную производную на всей остальной границе.

По построению функция V тождественно равна на участке 71. По-

скольку г1 = О(е) на участке 7^, то на нём из асимптотических разложений следует оценка

А^и - А^А^*и = O (£ ек^-к+М = 0(ем+1). (28)

\к=0 /

Также на нём верна оценка

N

Ш - А^А^Ш = О[ £е>-^-1 ) = О(^+1), (29)

,г=0

поскольку на участке 7^ радиус г2 ^ М, вследствие чего р2 ^ М/е, где М — некоторая положительная постоянная. Следовательно, TN(х,е) = O(еN+1) на 7^. Аналогично можно доказать, что Т^(х,е) = O(еN+1) на 7|.

д

Теперь рассмотрим участок границы дП\{Г1 и Г2}. По построению — (А^хи -

д П и(х,е)) = — А^жи - ф(ж) = 0. Кроме того, на этом участке границы г1 ^ М1 > 0,

г2 ^ М2 > 0, где М1 и М2 — некоторые постоянные, не зависящие от е, поэтому на нём

^(А^сV - V) = о(А £е>-^-1) = O(еN+2),

г=0

£(А^Ш - А^А^Ш) = ^дп £е>-^-1) = O(еN+2),

г=0

д

= O(eN+2)

Наконец, рассмотрим участок границы ГД7^. По построению выполняется ра-

и, следовательно, — TN(ж,е) = O(e + ). дп

венство

Также

дд dn(An,xU - и(ж,е)) = —An,xU - ^(ж) = 0.

N

дд -(An,?v - aN,*aN,?v) = d"E£iVi(e,e)-

дп V ■

дп

N k

i=0

N—k

E^i E P -'Pj,k(^)P -1 - 2' + CkP-1 + ^ Xj,k(0

k=0 j=1

j=0

N

^ХЛ £ j(f)pi

k=0 j=N - k+1

- 1 - 2j

0

из-за чётности полиномов Р3>к (£) по £3. Поскольку на участке ГД71 величина г2 ^ М3 и, следовательно, р2 ^ М3/£, то

N

д (An,4W - AN,yAN,nW) = O ( дП 5]eip2-N+i-M = O(eN+2).

дп

i=0

д

Следовательно, — (х,£) = О(£ + ) на ГД72. дп

Таким образом, Т^ удовлетворяет нулевым граничным условиям с точностью О(£м+1) на участках 7^, 7| и с точностью О(£м+2) на всей остальной границе. Заметим также, что по построению Т^ — гармоническая функция. Перейдём теперь непосредственно к оценке её по модулю. Итак, рассмотрим следующую задачу:

Аг = 0 в П, дг д

— = ^(х, £) = — Тм(х, £) при х е ди 72}.

дп

дп

Можно непрерывно доопределить функцию ^ (ж,е) на участках 7f и таким образом, чтобы, во-первых, -0(ж, е) являлось O(eN), во-вторых, J = 0.

да

В таком случае мы можем воспользоваться устойчивостью факторизованной задачи Неймана [12], т. е. при таких условиях max v(x,e) - min v(x, е) = O(eN), где

жбдП жбдП

v е Сте(П) U C(П) — решение задачи Неймана с граничной функцией -0(ж,е). Вычитая некоторую постоянную, можно добиться, чтобы v|xe7£ = fi(ж, е) = O(eN), i = 1, 2. '

Вторая вспомогательная задача, которую мы рассмотрим, имеет вид

' Aw = 0 в П,

ди>

— = 0 при же д П\(7^ U 72},

wUe7f = -f1 (ж^^ х wUe7f = f2(ж,е).

Если гармоническая функция достигает максимального значения в граничной точке, то её производная по нормали в этой точке не равна нулю. Следовательно,

максимум модуля функции т Е Сте(П) и С(П) достигается на участках 7^ и 7|. Поэтому

|т(х, е)| ^ шах < тах |/1(х, е)|, тах |/2(х, е)| > = O(еN).

[жет! жет| ]

Функция Т^(х, е) есть сумма решений этих задач. Таким образом, мы доказали, что (х,е)| = O(еN), откуда непосредственно следует оценка (27). □

те

Следствие 1. Ряд и = ^ екмк (х) является равномерным асимптотическим

к=-1

разложением решения м(х,е) задачи (1)-(4) при х € П, г1 ^ Ме7, г2 ^ Ме7, ряд

те

V = ^ ег^ (£) является равномерным асимптотическим разложением того же

г= —1

те

решения при г1 ^ Ме7, а ряд Ш = ^ ег^(п) является равномерным асимпто-

г=0

тическим разложением решения при г2 ^ Ме7, где 7 — любое число, такое что 0 < 7 < 1, М — некоторая положительная постоянная.

Доказательство. Из соотношения (28) вытекает, что

А^и - АN,5А^и = O(е7(N+1)) при п ^ Ме7,

а из (29) следует, что

А^пШ - А^пШ = O(е(1—7)(N+1)) при Г2 ^ Ме7.

Аналогично

А^*и - А^пА^*и = O(е7(N+1)) при Г2 ^ Ме7,

V - V = O(е(1—7)(N+1)) при п ^ Ме7.

Эти оценки вместе с оценкой (27) приводят к утверждениям, сформулированным в следствии. □

4. Пример

Рассмотрим проводник цилиндрической формы

П = {х = (х1, х2, х3) : х1 + х2 ^ а2, 0 ^ х3 ^ Л,}

и удельной электрической проводимостью а [Ом-м]. По торцам данного цилиндра подключены два круглых контакта 7^ = {х : х2 +х2 ^ е, х3 = 0} и 7| = {х : х2+х2 ^ е, х3 = Л,} (рис. 2).

Пусть на первом контакте установлен электрический потенциал = 1 [В], на втором контакте потенциал = -1 [В] и, кроме того, с остальной поверхности проводника происходит потеря потенциала в отрицательно заряжённую среду с плотностью тока 0.01 [А/м2].

Требуется приближённо вычислить силу тока, проходящего через первый и второй контакт, а также установить зависимость этих значений от размеров цилиндра и контактов.

Итак, обозначим через м(х, е) электрический потенциал внутри проводника. Его можно смоделировать решением следующей краевой задачи [10]:

Дм = 0 в области П, м(х,е) = 1 при х € 7^, м(х,е) = -1 при х € 7|,

дм 0.01 , ^ _

при х € дП\{7{ и 7|}.

дп

а

Согласно лемме 1 и теореме 1, вне окрестности контактов

и(х, £) = £ 1 и_1 (х) + ио(х) + £и1 (х) + О(£2)

где

и_1 (х) = А_1, С О

ио (х) =--1---Ъ гхо (х) + Но,

Г1 Г2

и1 (х) =

Р1,1 (х) + С1 + (у(х)) + О1 + г (х)+ Н -5--1---1--3--1---+ (х) + Н1.

Г1

г

Х3

п

к

Рис. 2.

1=

г23 г2

Применяя формулы Грина [11, § 6.1], вычислим силу тока, протекающего через первый контакт:

11 = *

ди дх3

71

= 2п* • |Со + £С1| + О(£2).

(30)

Аналогично сила тока, проходящего через второй контакт, есть

/2 = 2п* • |Оо + £О1| + О(£2). (31)

Заметим, что поскольку 71 и 72 — круги

2

единичного радиуса, то С71 = С72 = —. По фор-

п

муле (18) вычислим

2п (С71 + С72)

- [ ^(х)^ = —

0.01па(а + Л)

4*

д п

Отметим, что значение ио(О2) = 0 в нашем случае в силу симметричности условия соответствующей краевой задачи (16).

Следуя алгоритму построения, описанному в § 2, последовательно получаем

С _ л С 0.01а(а + Л) О С = 0.01а(а + Л.)

Со — —А-1С71 — ---, Оо — — А-1С72 — -

2*

2*

22

Со = -, Оо = — -, п п

Но = „ 1 „ (Со + Оо — ОоС71 +. С°С72 — ио(О2 )С,

С71 +1- С72 Оо

О021

2

Ао = ^ | + Но = 0 С1 = Со — Ао С71 = -, О1 |О1021 п

Подставляя эти значения в (30) и (31), получаем, что

0.01а(а + Л) 2* Л

—С1 = — 2.

п

0.01а(а + Л) 2 ^, 2. _

/1 = -^-¿+ + О(£2 ), /2 =

2* п

0.01а(а + Л) 2

-^-— £—

2* п

+ О(£2 ).

1

5. Заключение

Отметим, что численно мы могли бы вычислить Д и 12 в нашем примере при любых фиксированных a, h, а и не слишком малых е; однако численными методами нам было бы сложно установить характер зависимости Д и 12 от параметров, и, кроме того, мы бы не смогли быть уверенными, что найденные численным подбором формулы верны при всех значениях параметров.

Полученное асимптотическое разложение позволяет выводить приближённые аналитические формулы для интересующих нас физических характеристик проводников, подключённых к малым контактам, и учитывать потери потенциала через изоляцию. Однако отметим, что более точный учёт таких потерь можно получить, построив асимптотику решения задачи с третьим краевым условием, что может быть направлением дальнейших исследований.

Список литературы

1. Гадыльшин, Р. Р. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закреплённой на малом участке границе / Р. Р. Гадыльшин // Сиб. мат. журн. - 1993. - Т. 34, № 3. - С. 43-61.

2. Гадыльшин, Р. Р. О возмущении спектра Лапласиана при смене типа граничного условия на малой части границы / Р. Р. Гадыльшин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1996. - Т. 36, № 7. - С. 77-88.

3. Ершов, А. А. Асимптотика решения уравнения Лапласа со смешанными условиями на границе / Р. Р. Гадыльшин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2011. - Т. 51, № 6. - С. 1064-1080.

4. Гадыльшин, Р. Р. Об асимптотической формуле для электрического сопротивления в проводнике с малыми контактами / Р. Р. Гадыльшин, А. А. Ершов, С. В. Репь-евский // Уфим. мат. журн. - 2015. - Т. 7, № 3. - С. 16-28.

5. Миранда, К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К. Миранда. - М. : Изд-во иностр. лит., 1957. - 256 с.

6. /а^шЬя, S. Sur un problème mixte relatif a l'équation de Laplace / S. Zaremba // Bulletin de l'Academie des sciences de Cracovie. Classe des sciences mathematiques et naturelles. Serie A. - 1910. - P. 313-344.

7. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. - М. : Наука, 1989. - 336 с.

8. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сегё. - М. : Физматлит, 1962. - 335 с.

9. Ландкоф, Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. — М. : Наука, 1966. - 518 с.

10. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учеб. пособие для вузов : в 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2005. - 656 с.

11. Ильин, А. М. Уравнения математической физики / А. М. Ильин. — М. : Физмат-лит, 2009. - 192 с.

12. Олейник, О. А. Об устойчивости задачи Неймана / О. А. Олейник // Успехи мат. наук. - 1956. - Т. 11, № 1 (67). - С. 223-225.

Поступила в редакцию 15.08.2017 После переработки 15.10.2017

Сведения об авторах

Ершов Александр Анатольевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела динамических систем, Институт математики и механики имени Н. Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург, Россия; доцент кафедры вычислительной математики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Русанова Мария Игоревна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 3. P. 266-281.

ASYMPTOTICS OF A BOUNDARY-VALUE PROBLEM SOLUTION FOR THE LAPLACE EQUATION WITH TYPE CHANGING OF THE BOUNDARY CONDITION ON TWO SMALL SITES

A.A. Ershov1'2'", M.I. Rusanova1b

1 Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, Russia

2 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "[email protected], [email protected]

We consider a harmonic function in a three-dimensional bounded domain. The normal derivative is given on almost the entire boundary, excepting two small sections, on which the value of the function itself is specified. For such a harmonic function, by the method of matching asymptotic expansions, a two-scale asymptotics with respect to a small parameter characterizing the size of the mentioned boundary sections is constructed and justified. The physical application of the obtained decomposition is given.

Keywords: boundary value problem, Laplace equation, asymptotic expansion, mixed problem, small parameter, matching method, electrical resistance.

References

1. Gadyl'shin R.R. Splitting a multiple eigenvalue in the boundary value problem for a membrane clamped on a small part of the boundary. Siberian Mathematical Journal, 1993, vol. 34, iss. 3, pp. 433-450.

2. Gadyl'shin R.R. On the perturbation of the Laplacian spectrum when the boundary condition type changes on a small part of the boundary. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1996, vol. 36, no. 7, pp. 889-898.

3. Ershov A.A. Asymptotics of the solution of Laplace's equation with mixed boundary conditions. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, vol. 51, no. 6, pp. 994-1010.

4. Gadyl'shin R.R., Ershov A.A., Repyevsky S.V. On asymptotic formula for electric resistance of conductor with small contacts. Ufa Mathematical Journal, 2015, vol. 7, no. 3, pp. 15-27.

5. Miranda K. Equazioni alle derivate parziali di tipo elliptico. Berlin, Gottingen, Heidelberg, Springer-Verlag, 1955. 222 p. (In Italian).

6. Zагеmba S. Sur un probleme mixte relatif a l'equation de Laplace. Bulletin de l'Académie des sciences de Cracovie. Classe des sciences mathématiques et naturelles. Série A, 1910, pp. 313-344.

7. Il'in A.M. Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems. Providence, Rhode Island, AMS, 1992. 281 p.

8. Polya G., Szego G. Isoperimetric Inequalities in Mathematical physics. Princeton, Princeton Univ. Press, 1951. 279 p.

9. Landkof N.S. Foundations of Modern Potential Theory. Berlin, Springer, 1972. 424 p.

10. Landau L.D., Lifschitz E.M. Theoretical Physics. Vol. VIII. Electrodynamics of Continuous Media. Oxford, London, New York, Paris, Pergamon press, 1960. 417 p.

11. Il'in A.M. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 192 p. (In Russ.)

12. Oleinik O.A. Ob ustojchivosti zadachi Nejmana [On the stability of the Neumann problem]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of mathematical sciences], 1956, vol. 11, no. 1 (67), pp. 223-225. (In Russ.)

Accepted article received 15.08.2017 Corrections received 15.10.2017