Задача типа Стеклова в полуцилиндре с малым отверстием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 63-89.

УДК 517.929.7:517.929.8:517.984

ЗАДАЧА ТИПА СТЕКЛОВА В ПОЛУЦИЛИНДРЕ С МАЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ

Д.Б. ДАВЛЕТОВ, Д.В. КОЖЕВНИКОВ

Аннотация. В работе рассмотрена задача типа Стеклова для оператора Лапласа в n-мерном полуцилиндре, содержащим малую полость. На боковых границах выставлено любое из трех обычных граничных условий, на границе полости — условие Дирихле, а на основании самого полуцилиндра — спектральное условие Стеклова. Доказаны теоремы сходимости собственных значений этой задачи при стремлении малого параметра («диаметра» отверстия) к нулю. Построены и строго обоснованы полные асимптотические разложения собственных значений по малому параметру, сходящихся как к простому, так и двукратному собственному значению предельной задачи (без малой полости).

Ключевые слова: полуцилиндр, задача Стеклова, собственное значение, сингулярное возмущение, малая полость, сходимость, асимптотика.

Mathematics Subject Classification: 35J05, 35J25, 47A10, 47A55, 47A75, 47F05

1. Введение

Исследование собственных значений краевых задач для эллиптических операторов в области с малой полостью имеет достаточно большую историю. В [1] была получена оценка скорости сходимости собственного значения краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа в трехмерной области с малой полостью. Позднее аналогичные результаты были получены в [2, 3, 4]. Затем в [5] были построены полные асимптотические разложения первых собственных чисел и соответствующих собственных функций классических краевых задач для оператора Лапласа в двумерных и трехмерных областях с малыми отверстиями. Асимптотика решения эллиптической краевой задачи с малым отверстием на спектре предельной задачи получена в работе [6]. Краевые задачи для эллиптических операторов теории упругости в ограниченных областях с малыми отверстиями исследованы в работах [7, 8, 9, 10]. В случае краевых условий Неймана на границе малой полости в [7] построены полные асимптотические разложения собственных значений возмущенной краевой задачи. В работе [8] доказана сходимость собственных элементов краевой задачи Дирихле к собственным элементам соответствующей предельной краевой задачи, а в [9, 10] построены двучленные асимптотики по малому параметру в двумерном и трехмерном случае соответственно. Полные асимптотики собственных значений задачи Стеклова для оператора Лапласа в области с малым отверстием были построены в [11].

В настоящей работе исследуется задача типа Стеклова для оператора Лапласа в n-мерном полуцилиндре, содержащим малую полость. На боковой поверхности задается любое из трех классических граничных условий (Дирихле, Неймана, Фурье), на границе малого отверстия — граничное условие Дирихле, а на основании полуцилиндра — условие Стеклова. Подобные вопросы возникают в краевых задачах для оператора Лапласа

D.B. Davletov, D.V. Kozhevnikov, The problem of Steklov type in a half-cylinder with a small cavity.

© Давлетов Д.Б., кожевников Д.В. 2016.

Работа поддержана РФФИ-Молодежный (проект No. 16-31-00066) и РФФИ-Поволжье (проект No. 14-01-97024) .

Поступила 9 июня 2016 г.

в области, перфорированной вдоль части границы [12]. Похожие задачи в полуполосах и полуцилиндрах сингулярно возмущенными граничными условиями возникали ранее в задачах с частой сменой типа граничного условия [13, 14, 15].

В заключение раздела заметим, что возникновение собственных значений из края существенного спектра для цилиндров с малыми отверстиями и граничными условиями Дирихле на границах этих малых отверстий исследовалось в [16, 17].

2. Формулировка основных утверждений

Пусть 3 ^ п Е N Е — (п — 1)-мерная ограниченная область с гладкой границей, П := Е х (а, +то), —то < а < 0, Еа := Е х {а}, {0} € П, ш — ограниченная, связная область в Ега с гладкой границей, ш£ = {х : £-1х Е и}, 0 <е ^ 1, П£ = П \ ш£. Рассматривается сингулярное возмущение следующей задачи Стеклова на собственные значения

—Аф0 =0, ж € П, 1ф0 := ( Н-^ + к)ф0 = 0, ж € Ш \ Еа,

V ди ) (2.1)

-т— =\офо, х Е Еа, ои

где V — внешняя нормаль, Н, к ^ 0, Н + к = 0, осуществляемое вырезанием в полуцилиндре малого отверстия ш£ и заданием на его границе краевого условия Дирихле:

—Аф£ =0, ж Е П£, {ф£ =0, ж Е дП \ Еа,

дф£ (2.2) ^ = Кф£, х Е Еа, ф£ = 0, х Е дш£. ои

Собственные функции рассматриваются в классе функций, обладающих конечным интегралом Дирихле:

У 1^фо^¿х < то, У 1^ф£12(!х < то.

п п£

Методом Фурье легко показать, что собственные значения Ао,1 < Ао,2 ^ ■ ■ ■ ^ Ао,к ^ ''' и соответствующие ортонормированные в Ь2 (Еа) собственные функции фо^ задачи Стеклова (2.1) определяются равенствами

Ао ,к = лД~к, Фо,к (х) = фк (х')е-^(х"-а), (2.3)

где х' := (х1,...

, хп-\), С,к и фк — собственные значения и соответствующие нормированные в Ь2(Е) собственные функции краевой задачи

^ 52 фк

^ дх2

г=1 1

с.к фк в Е, Iфк = 0 на дЕ. (2.4)

В следующем разделе будет доказана

Теорема 2.1. Пусть отрезок [А-,А+] не содержит собственных значений задачи Стеклова (2.1). Тогда при достаточно малых £ этот отрезок не содержит и собственных значений задачи Стеклова (2.2).

Пусть кратность собственного значения Ао задачи Стеклова (2.1) равна в,. Тогда у задачи Стеклова (2.2) существует ровно <1 собственных значений А« , I = (с учетом кратности), сходящихся к Ао при £ ^ 0.

Для соответствующих проекторов и Т£ в Ь2(Еа) имеет место сходимость Т£ ^ "Ро при £ ^ 0.

Основным содержанием работы является доказательство методом согласования асимптотических разложений [18, 19, 20] сформулированных ниже теоремы 2.2 и теоремы 2.3.

Прежде чем перейти к формулировке этих утверждений, введем некоторые обозначения. Всюду далее, г = |ж|, |5П| - площадь единичной сферы в Мга.

Через (х), д = 0, га, обозначим убывающие на бесконечности гармонические в Мга \ ш функции, удовлетворяющие граничным условиям

^о(х) = 1, zm(x) = хт, т = 1,п на дш. Хорошо известно, что эти функции имеют дифференцируемые асимптотические разложе-

ния

п оо

Zq(х) =cg,or-n+2 + ^ cq,pxpr-n + J] Z\q\x)r-2l-n+2, г ^ ТО, (2.5)

р=1 г=2

где ^^^ (х) — однородные гармонические полиномы степени к с индексом д. Постоянная Со,о = с(ш) > 0 называется гармонической емкостью, а постоянные ст,д, т,д = 1,п, — коэффициентами дипольной формы, ассоциированной с поляризацией [21]. Интегрируя по частям правые части равенств

®= J (Хт — Zm (х))^(хз — zi (х)) j,m =1,п,

{г<Я}\ш

0= J (Хт — Zm (Ж))Д(! — z° (x))dx, т =1,п,

{г<Я}\ш

при R ^ то, легко показать, что

cmj = Cj,m, j,m = 1,п, (п — 2)ст,0 = с0 ,т, т = 1,п. (2.6)

В силу этих равенств га х га-матрицы С(ш) и С(ш) с компонентами ст,д и

C-mfiО) ,q

с(ш)

являются симметричными.

■— __^m,UMj,g _ -j-

C-m,q C-m,q ~ ^ , '^i Q 1,ГЯ

Теорема 2.2. Пусть Ао - простое собственное значение задачи Ст,еклова (2.1), фо -соответствующая нормированная в Ь2(^а) собственная функция.

Тогда собственное значение Ае возмущенной задачи Стеклова (2.2), сходящееся к Ао, имеет асимптотическое разложение

К = Ао + ега-25] ег\п-2+г, (2.7)

г=0

где

Если фо (0) = 0, то

\п-2 = с(ш) |Sra| (п — 2)ф1(0). (2.8)

Ага-2 =0, (2.9)

Ап-1 =0, (2.10)

^п = Чф0(0)С(ш)Щ0(0). (2.11)

Замечание 2.1. Очевидно, что если ш — шар единичного радиуса центром в начале координат,, то

z0(x) = r-n+2, zm(x) = xmr-n, m = 1,n. Отсюда растяжением и сдвигом системы координат легко показать, что в случае, когда ш — шар радиуса R с центром в точке (0,..., 0,t), то матрицы С (ш) и С(ш) являются диагональными, причем,

Со,о =с(ш) = Rn-2, / Л

, (2.12)

=Rn-2 (R2 + (п — 2)t2), Cj,j = ejtj = Сщп = Rn, j = 1,п — 1.

Следовательно, в этом случае равенства (2.8) и (2.11) приобретают вид \п-2 =Пп-2 |£га| (п — 2)ф0(0),

А„ =Дп-2 |5П| Д2|У^с(0)|2 + (п — 2)12

дфа 2\ (2.13)

дхп

(0)

)

соответственно.

Замечание 2.2. Если (к — простое собственное значение краевой задачи (2.4), то в силу (2.3) равенства (2.8) и (2.13) приобретают вид

Хп-2 =с(ш) |^п| (п — 2)е2а^0к(0),

Лп-2 =Пп-2 |ЙП| (п — 2)е2а^ф\(0),

п2

Ап =Кп-2 |^п| е2а^ {К2^'фк(0)|2 + {К2 + (п — 2)*2) (кФк(0)) соответственно, где под V'ф понимается вектор с компонентами

дф

дхз'

1,гс - 1.

В работе строится и полное асимптотическое разложение собственной функции ф£ задачи Стеклова (2.2), соответствующей собственному значению А£. Однако, предельное значение для ф£ в силу теоремы 2.1 известно — единственная (с точностью до знака) собственная функция ф0 предельной задачи Стеклова (2.1).

Замечание 2.3. В работе рассматривается как случай простого собственного значения, так и кратного. Ввиду того, что рассуждения для двукратного значения легко переносятся на случай п-кратного, то для простоты изложения асимптотические разложения будут строиться для двукратного собственного значения.

Если же Ао - двукратное собственное значение задачи (2.1), то из теоремы 2.1 вытекает, что для сходящихся к А0 собственных значений возмущенной задачи (2.2) возможны следующие случаи: либо это два простых собственных значения, либо это одно двукратное собственное значение, либо для разных е имеет место один из этих вариантов. И даже, если к А0 сходится два простых собственных значения а£1) а£2) , то нельзя утверждать, что соответствующие нормированные в Ь2(Еа) собственные функции и имеют пределы. Теорема 2.1 лишь гарантирует, что из любой последовательности е. ^ 0 можно выделить подпоследовательность £.т ^ 0 такую, что на ней имеет место сходимость

ф£з) ^ фО!^ в Ь2(Еа), где ^О^ - ортонормированные в Ь2(Еа) собственные функции задачи (2.1), соответствующие А0. Однако, эти пределы, вообще говоря, могут меняться в зависимости от выбора подпоследовательности е.т ^ 0.

В работе рассматривается случай наиболее общего положения:

|^01)(0)| + |^2)(0)| = 0. (2.14)

Тогда, очевидно, эти собственные функции можно ортонормировать в Ь2(Еа) так, что

4>) = 0, 42)(0) = 0. (2.15)

Будет доказана следующая

Теорема 2.3. Пусть А0 - двукратное собственное значение задачи (2.1), ф01) и ф[02) -соответствующие собственные функции, удовлетворяющие условию (2.14) и ортонормированные в Ь2(Еа) в соответствии с (2.15).

Тогда существуют два простых собственных значения и возмущенной задачи Стеклова (2.2), сходящиеся к А0, и они имеют асимптотические разложения

А^ =Ао + в™-2 £ ^-2+, (2.16)

г=0

оо

А<2) =Ао + ^ (2.17)

г=0

где

а!-2 = с(Ш) |Я| (п - 2) (^01)(0))2 > 0, (2.18)

А™2) = |Я|У42)(0№)У42) (0). (2.19) Соответствующие собственные функции ф^ сходятся к ф^ в Ь2(Еа).

Замечание 2.4. Из теоремы, в частности, следует,, что если выполнено условие (2.14), то двукратное собственное значение А0 при рассматриваемом возмущении расщепляется на два простых собственных значения, а соответствующие собственные функции сходятся к собственным функциям задачи Стеклова (2.1), ортонормирован-ным в Ь2(Еа) в соответствии с (2.15).

Замечание 2.5. Если ш — шар радиуса Я с центром в точке (0,..., 0,1), то в силу (2.12) равенства (2.18) и (2.19) приобретают вид

^-2 = ВТ-2 |Я| (п - 2) (ф01)(0)) ,

2 у (2.20)

а!2) = пп |я| у^2)(0)

> 0,

соответственно.

Замечание 2.6. Если = Сй+1 — двукратное собственное значение краевой задачи (2.4), а соответствующие собственные функции ортонормированы в Ь2(Е) так, что фк(0') = 0, 0£+1(0') = 0, то в силу (2.3) равенства (2.18) и (2.20) приобретают вид

А™-2 =с(ш) |Я| (п - 2)е2а^Ф1 (0'), А1-2 =Яп-2 |Я| (п - 2)е2а^ф2(0'), А™2) =Пп |Я| е2а^ (|У0^+1(0')|2 + (к02+1(0'))

соответственно.

3. Доказательство теоремы 2.1 Определим пространство Н 1(П) как пополнение по норме

(¡ г I У'

1М1я!(п) = I / |^и>| ¿х + 11)2(1х' I (3.1)

\П Еа /

функций из Сте(П), обладающих конечным интегралом Дирихле. Подмножество функций из Н1 (П), обращающихся в нуль на 5П \ Еа, обозначим как Н 1(П; 5П \ Еа). Пространство Н 1(П£) определим как пополнение по норме

1/2

1И|Н1(пе) = \ I 1У^|2 йх + I ^^ I (3.2)

функций из Сте(П£), обладающих конечным интегралом Дирихле. Подмножество функций из Н^П^, обращающихся в нуль на дш£ (на дш£ U 5П \ Еа), обозначим как Н ^П^ дш£) (как Н 1(П£; дш£ U Ш \ Еа)).

Краевые задачи

—AU0 =0, ж Е П, \U0 = 0, ж е Ш \ Е,

dUa ди

+ Uo =f,

и

-au£ =0,

dU£ ди

+ U£ = f£

x е Еа

x е п£,

% Е Еа,

ш£ и£

0,

х Е Ш \ Еа,

х Е дш£,

(3.3)

(3.4)

будем понимать в обобщенном (слабом) смысле. Т.е., пусть ¡£ Е Ь2(Еа). Тогда при к = 0 (при Н = 0) элемент Н:(П) (элемент Н:(П; 5П \ Еа)) называется обобщенным решением краевой задачи (3.3), если для любого V Е Н:(П) (для любого V Е Н:(П; дП\Еа)) выполняется следующее равенство

VU0Vvdx + U0vdx' = fvdx'.

(3.5)

п Еа £а

При hH = 0 элемент Н1 (П) называется обобщенным решением краевой задачи (3.3), если для любого v Е Н 1(П) выполняется равенство

У VU0Vvdx + Н-1h j U0vds + j U0vdx' = J fvdx'. (3.6)

п Ш\£а £a

Аналогично, при h = 0 (при H = 0) элемент U£ Е Н ^П^ дш£) (элемент U£ Е Н1 (П£; дш£ U 5П \ Еа)) называется обобщенным решением краевой задачи (3.4), если для любого v Е Н1 (П£; дш£) (для любого v Е Н1 (П£; дш£ U дП \ Еа)) выполняется равенство

J VU£Vvdx + J U£vdxl = J jevdx'.

(3.7)

При кН = 0 элемент ие Е Н; дш£) называется обобщенным решением краевой задачи (3.4), если для любого V Е Н^П^ дш£) выполняется равенство

(3.8)

у VU£Vvdx + Н-1к у U£vds + у U£vdx' ^ f£vdxl.

Очевидно, что если функцию, принадлежащую Н^П^ дш£) (принадлежащую Н^П^ дш£ и дП \ Еа)), продолжить нулем в ш£, то она будет принадлежать Н:(П) (принадлежать Н1 (П; 5П \ Еа)). Будем сохранять для этих продолжений их первоначальные обозначения.

Подставляя V = и0 и V = и£ в (3.5), (3.6) и в (3.7), (3.8), получаем априорные оценки

Го||я!(П) ^ II/|к(£), ГеНяЧП) ^ (3.9)

Отсюда следует единственность решений краевых задач (3.3) и (3.4).

Используя метод разделения переменных, легко показать, что искомое решение краевой задачи (3.3) представимо в виде

Uo(x) = £ ф3(х>)e-V^^

3 = 1 ^

(з + 1

где (u,v)0 — скалярное произведение в L2 (Е)

(3.10)

0

Покажем разрешимость краевой задачи (3.4). Обозначим через (u,v)1 скалярное произведения в Н1 (П£). Тогда интегральное тождество (3.7) запишется в виде

(U£ ,v)i = j j£vdx'. (3.11)

При любом фиксированном f£ Е L2(E) правая часть является линейным ограниченным функционалом над гильбертовом пространством Н 1(П£; дш£) (над гильбертовым пространством Н 1(П£; дш£ U дП \ Еа)). Поэтому в силу теоремы Рисса существует единственный элемент F£ Е Н 1(П£; дш£) (элемент F£ Е Н ; дш£ U 0П \ Еа)) такой, что

У f£vdx' = (Fe,v)i

для любого V Е Н 1(П£; дш£) (любого v Е Н1 (П£; дш£ U дП \ Еа)). Отсюда и из (3.11) следует, что U£ = F£. Т.е. краевая задача (3.4) однозначно разрешима при h = 0 и Н = 0. Аналогично с использованием интегрального тождества (3.8) доказывается однозначная разрешимость краевой задачи (3.4) при hH = 0.

Обозначим через Т0 : L2(Ea) ^ L2(Ea) линейный оператор, ставящий в соответствие функции f сужение решения U0 краевой задачи (3.3) на Еа, т.е. (см. (3.10))

Toi := £ Ф3 (х'). (3.12)

3 = 1 3

А через Т£ : L2(Ea) ^ L2(Ea) обозначим линейный оператор, ставящий в соответствие функции f£ сужение решения U£ краевой задачи (3.4) на Еа.

Так как f^ ^ f в L2(Ea) при к ^ то, а оператор Т0 компактен в силу компактности вложения Н1 (П) в L2(Ea), то имеет место сходимость

Tofk ^ Tof в L2(Eo) при к ^ то. (3.13)

Лемма 3.1. Пусть v — произвольная функция из Сте(П) (из С^ (П), обращающаяся в нуль на дП \ Еа), обладающая конечным интегралом Дирихле. Тогда существуют функции v£ Е Н 1(П£; дш£) (функции v£ Е Н 1(П£; дш£ U 0П \ Еа)) такие, что ||w — г>£||Я1(П) ^ 0 при £ ^ 0.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что область ш£ лежит в шаре радиуса е с центром в начале координат. Пусть \(t) — бесконечно дифференцируемая срезающая функция, тождественно равная нулю при t ^ 1 и единице при t ^ 2. Легко

проверить, что функции v£(x) = х ^v(x) удовлетворяют утверждению леммы. □

Для R> 0 обозначим П(Я) = Е х (a,R),

( V2

|Н|Я1 (П(Д)) = У |Vw|2 dx + J w2dx' Xp(R) sa J

Так как, очевидно, |М|Я1(п(я)) ^ |Н|я1(п), а |М|^21(П(Д)) ^ С(Д)|М|я1(п(я)) в силу [22, Глава III, § 5, теорема 5], то

Mwi(n(R)) ^ С(Н)ЫН1(П). (3.14)

Лемма 3.2. Если

fs ^ f в L2(Ea) при е ^ 0, то для решений краевых задач (3.3) и (3.4) имеет место сходимость

T£f£ ^ Tof в L2(Ea) при £ ^ 0. (3.15)

Доказательство. В силу слабой компактности ограниченного множества в гильбертовом пространстве (см., например, [23, глава 2, §3]), оценок (3.9) и (3.14) и компактности вложения W^in^R)) в ¿2(Еа) из любой последовательности ^ 0 можно выделить под-

к—те

последовательность (которую, не ограничивая общности, будем считать совпадающей с последовательностью {ек}) такую, что на ней

U£ ^и* в Н ^П) при £ = £к ^ 0,

£ * (3.16)

U£ ^ U* в и(Е0) при е ^ 0,

причем, U* е Н 1(П), если U£ е Н^П^ дш£)) и U* е Н:(П; Ш \ Ё0), если Ue е Н1 (П£; дш£ U дП \ Е0).

Осталось показать, что U* = U0. Тогда из произвола в выборе исходной последовательности ек ^ 0 будет следовать сходимость (3.15). Пусть v произвольная функция из

к—те

Сте(П) (из Сте(П), обращающаяся в нуль на 5П \ Еа), имеющая конечный интеграл Дирихле, функции v£ удовлетворяют утверждению леммы 3.1. Переходя в (3.7) и (3.8) для v = v£ к пределу при е ^ 0 в силу (3.16) и леммы 3.1, получаем в силу определения пространств Н 1(П) и Н 1(П; дП \ Еа), что функция U* является обобщенным решением краевой задачи (3.3). А так как решение краевой задачи (3.3) единственно, то U* = U0. □

Лемма 3.3. При £ ^ 0 имеет место сходимость Т£ ^ Т0 (по операторной норме).

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать справедливость равномерной сходимости

||7£/ - Tof |U2(Ee) ^ 0 (3.17)

£—

для нормированных в L2(Еа) функций f.

Допустим противное. Следовательно, существует число 5 > 0, последовательность £к ^ 0 при к ^ то и последовательность нормированных в L2(Еа) функций Д такие, что

ЦТ£к fk - Tof к Над) >6. (3.18)

Так как ограниченное множество слабо компактно, то, не ограничивая общности, можно считать, что

fk ^f

в L2(Еа). Из (3.18) и неравенства треугольника вытекает неравенство

||7£fc fk - То f ||ад) + Го/ - Tof к ) > 6, (3.19)

которое противоречит (3.13) и утверждению леммы 3.2. □

Так как краевые задачи (3.3) и (3.4) однозначно разрешимы, то существуют обратные

операторы S0 = Т0 и S£ = Т£ 1, определенные в L2(Е). Из этой леммы и [23, глава 4, § 2]

о 1 и Б£ — Т£ 1, следует справедливость следующего утверждения.

Лемма 3.4. При £ ^ 0 оператор Я£ сходится к оператору в0 в обобщенном смысле.

Доказательство теоремы 2.1. Из определения операторов S0 и Я£ следует, что собственные значения Л0 и Л£ этих операторов и собственные значения Л0 и Л£ задач Стеклова (2.1) и (2.2) связаны равенствами Л0 — Л0 — 1 и Л£ — Л£ — 1, а соответствующие нормированные в ¿2(Еа) собственные функции совпадают. Отсюда, из леммы 3.4 и [23, глава 4, теорема 3.16] вытекает справедливость доказываемой теоремы. □

4. Вспомогательные утверждения

Напомним, что Х^ (х), У^ (х) и (х) — однородные гармонические полиномы степени к с индексом д, указывающим функцию, для которой они выписаны.

Лемма 4.1. Для любого гармонического многочлена V существует решение V Е Сте(Еп\ш) краевой задачи

А V = 0, х Е Еп \ ш, V = 0, х Едш, (4.1)

имеющее дифференцируемое асимптотическое разложение

оо

V(х) =У(х) + ^ г(х)г-2-п+2, г ^ ж. (4.2)

г=0

Доказательство. Из (гл. 3, §1, [18]) следует, что краевая задача

Аг; = 0, х Е Еп \ ш, V = — V/, х Е дш.

разрешима в классе убывающих функций при г ^ ж, причем, дифференцируемое асимптотическое разложение решения имеет вид

те

г;(х) = ^ ^(х)г-2г-п+2, г^ж.

г=0

Следовательно, задача Стеклова (4.1) имеет решение V = У + у с асимптотикой (4.2) при г ^ ж. □

Обозначим через А подмножество функций и(х) класса Сте(П\{0}) таких, что и(х)х(гК) является элементом Н*(П) для любого достаточно большого К > 0. Напомним, что ^(¿) — бесконечно дифференцируемая срезающая функция, тождественно равная нулю при Ь ^ 1 и единице при Ь ^ 2.

Лемма 4.2. Пусть А0 — простое собственное значение задачи Стеклова (2.1), У](х) — любой заданный гармонический полином, Р Е Сте (Е0). Тогда существует константа ^, при которой задача Стеклова

—А Е =0, х Е П \{0}, \Е = 0, х Е дП \ Е0,

дЕ (4.3)

— = АоЕ + Р + ^фо, х Е Ео, д

разрешима, и решение ортогонально функции ф0 в Ь2(Е0), причем, Е Е Л и имеет следующее дифференцируемое асимптотическое разложение

те

Е(х) = У3(х)г-2]-п+2 + ^Х,(х), х ^ 0. (4.4)

к=0

Доказательство. Будем искать Е(х) в виде

Е(х) = (1 — х(гЯ)) У] (х)г-2-п+2 + Е(х), (4.5)

где К — достаточно большое положительное число. Подставляя (4.5) в (4.3), получаем задачу на Е(х):

—АЕ = Р, х Е П \{0}, IЕ = 0, х ЕдП \ Ео,

дЕ - (4.6)

— = А0Е + Р + ^ф0, х Е Ео, д

где Р Е С^(П). Используя метод разделения переменных, легко показать существование такого числа ¡л, при котором решение Е(х) задачи (4.6) существует и принадлежит Сте(П) П Н 1(П) и определено с точностью до слагаемого аф0(х) для любого а. Тогда при подходящем выборе а функция (4.5) удовлетворяет утверждению леммы. □

Из определения пространств Н 1(П) и А следует, что для ф0(х) и любой функции Е(х), являющейся решением задачи (4.3), справедливы равенства

£ о

+

Е(х) Ё:(х)

0.

(4.7)

Следствие 1. Существуют функции Ед Е Л, д = 0,п, имеющие при г ^ 0 дифференцируемые асимптотические разложения

Еп =г-п+2

те

+ £ ^ (х), к=0

Ет = хтг п + ^ Хк(х), т =1,П,

(4.8)

(4.9)

к=0

и являющиеся решениями краевых задач

х Е П \ {0},

-АЕд =0,

1ЕЯ = 0,

ж Е Ш \ Еа

дЕд

ди

--\0Ед + Цд фо, X Е Еа

при

№ = \SnKn - 2)ф0(0),

т

(о.

дхг

т

1, п.

Доказательство. В силу леммы 4.2 достаточно убедиться в равенствах (4.11) Покажем справедливость (4.11). Пусть В& — шар радиуса 8 ^ 1 с центром координат. Тогда, интегрируя дважды по частям, получаем:

(4.10)

(4.11)

(4.12)

и (4.12). в начале

0= J А Е0ф0с1х

П(6-1)\Вв

дЕ0 дф0 „ Фо - о-

дх,

дхп

г=&

дЕо ,

фо--т^-т аз + ^о.

дг

дг

(4.13)

Ряд Тейлора функции ф0 (х) в нуле имеет вид:

Фо(х)= ^хЦ>)(х), г^ 0, к=0

Х(0)(х)=ф0(0), Х?\х) = ^ ^(0)хт.

(0)

дф0

(4.14)

т=1

дХт

Подставляя (4.7), (4.8) и (4.14) в (4.13) и переходя к пределу при 5 ^ 0, получаем равенство (4.11). Равенство (4.12) доказывается аналогично. □

Аналогично лемме 4.2 доказывается

Лемма 4.3. Пусть Ао — двукратное собственное значение задачи Стеклова (2.1), ф(1 иф((2) — соответствующие собственные функции, ортонормированные в Ь2(Еа), У](х) —

Х„—¡-ОО

Х„=6-1

любой заданный гармонический полином, Р Е Сте (Е0). Тогда существуют константы ¿(г), при которых задача Стеклова

-АР =0, дЕ

х G П \ {0},

iE = 0, х G дП \ EQ

^ =А0Е + Р + ^1)ф01) +^2)ф02), х Е Ео,

разрешима, и решение ортогонально функциям ф^ в Р2(Е0), причем, Е Е А и имеет дифференцируемое асимптотическое разложение (4.4).

Аналогично следствию 1 (но с использованием леммы 4.3 вместо леммы 4.2) доказывается

Следствие 2. Пусть А0 — двукратное собственное значение задачи Стеклова (2.1), ф01) и ф02) — соответствующие собственные функции, ортонормированные в Р2(Е0) и удовлетворяющие (2.15). Тогда существуют функции Ед Е А, д = 0,п, имеющие при т —У 0 дифференцируемые асимптотические разложения (4.8), (4.9) и являющиеся решениями краевых задач

-А Eg =0,

х G П \ {0},

IEg = 0, х G дП \ EQ

дЕ^ =AcEg+^g2)^02), х g e«,

(4.15)

при

ßQ1) = |SJ(n - 2)^(0)

^Q2) = 0,

и{ г)

д хт

m = 1, n,

1, 2.

(4.16)

В свою очередь из следствия 2 и леммы 4.3 вытекает справедливость следующих двух утверждений.

Следствие 3. Пусть А0 — двукратное собственное значение задачи Стеклова (2.1), ф01) и ф02) — соответствующие собственные функции, ортонормированные в Р2(Е0) и удовлетворяющие (2.15). Тогда функция

Ет(х) = Ет(х) + 5тЕ1(х) Е А, т =1,п, имеет при — 0 дифференцируемое асимптотическое разложение

Ет(х)

хт

+ 5тГ-П + (х)

т

д'Ф02)

дхт

(0)

k=Q

(n - 2)^Q1)(0):

m

1 , n,

и является решением краевой задачи

—АЕт =0, х Е П \{0},

iErn

0, х G дП \ Ea

dEm

=AoEm + ^VQ2),

х G En

(2)

при ¿т , определяемом равенством (4.16).

Лемма 4.4. Пусть А0 — двукратное собственное значение задачи Стеклова (2.1), ф01) иф02) — соответствующие собственные функции, ортонормированные в Р2(Е0), У](х) — любой заданный гармонический полином, ] ^ 1, Р Е Сте (Е0). Тогда существует функция

Е Е А, ортогональная функциям ф^ в Ь2(Еа), являющаяся решением задачи Стеклова -АЕ =0, х Е П \{0}, 1Е = 0, х еШ \ Еа,

дЕ ~

— =Х0Е + Р + х Е Еа,

ои

и имеющая дифференцируемые асимптотические разложения

те

Ет(х)=хтг-п + 5г-п + (х), т =1™, 0,

к=0

при некоторых 5 и р.

5. Доказательство теоремы 2.2

Вне окрестности отверстия приближение и(х, е) (внешнее разложение) функции ф£ естественно искать в виде и(х, е) ~ фо (х). В окрестности же й£ приближение V(х, е) (внутреннее разложение) функции ф£ также естественно искать в виде разложения по функциям, зависящим от переменой £ = хе-1.

Обозначим р = \£\. Переписывая правую часть (4.14) в переменной £, имеем:

и(х, е) « фо (х) =ф0 (0)+е £ (0)^ + £ ^^(О, Р^ = г ^ 0.

т=1 т к=2

Поэтому, следуя методу согласования асимптотических разложений [18], внутреннее разложение будем искать в виде

те

к

V(£,е) = у0(0 + 8У1(0 + ^екУк(О, (5.1)

к=2

где

МО ~40)(0 = Фо(0), У1(0 -х10\о = ^17Г-(0)£т, р^Ж, , л

т=1 °Хт (5.2)

Ук(0 ~х£\0, 2, р^ж.

Подставляя (5.1) в (2.2), переходя к переменной и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем следующие краевые задачи для к

АсУк = 0 ^Е Еп \ й, Ук = 0 ^Едш. (5.3)

Замечание 5.1. Здесь А^ означает оператор Лапласа по переменной Так как всюду в дальнейшем в уравнениях для коэффициентов внутренних разложений оператор Лапласа используется только в таком смысле, то для упрощения обозначений будем в А% опускать этот индекс

Функция

У0(0 = М0)(1 - Zо(0) (5.4)

является решением краевой задачи (5.3), имеющим асимптотическое разложение

те У (0)(£)

ые)=х00) + £ ууй, р ^ ж, (5.5) =0

У(0) = -ф0(0)с(й), ук0)(0 = -Ф0(0)г(Ю)(0, 1, (5.6)

которое уточняет требуемое асимптотическое разложение (5.2) для 0( ).

Переписывая, теперь (5.5) в переменных х = получаем, что

«.К) = *Г + £-'п-2+' ■ — - (5.7)

г=0

С учетом этого равенства и в соответствии с методом согласования асимптотических разложений внешнее разложение собственной функции следует искать в виде

и(х, е) = ^о(х) + £п-2 ^ £гфг+п-2(х), (5.8)

=0

где

фп-2(х) - у0(0)г-п+2 = -^о(0)с(^)г-п+2, т —У 0, (5.9)

фг+п-2(х) - У/0)т-п-2г+2 = -ф0(0)^0)(х)г-2г-п+2, г^ 1, г — 0. (5.10)

Так как внешнее разложение должно описывать поведение собственной функции почти во всей области П (за исключением малой окрестности отверстия), то по аналогии с (5.8) асимптотическое разложение собственного значения естественно искать в виде (2.7).

Подставляя ряды (5.8) и (2.7) в (2.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, получаем краевую задачу (2.1) для ф0 и следующие краевые задачи для остальных коэффициентов внешнего разложения (5.8):

(5.11)

(5.12)

-Афп-2 = 0, х е П \{0} , [фп-2 = 0, х едП \ Еа,

ду = ^0фп-2 + Ап-2ф0, х е Ьа, -Дфп-2+г = 0, х е П \{0} , [фп-2+г = 0, х е дП \ Ьа,

-д—+ = А0фп-2+г + Ап-2+гф0, х е Ьа, 1 ^П - 3, ' '

-Дфп-2+г = 0, х е П \{0} , Ьфп-2+г = 0, х е дП \ Ьа,

дфп-2+% _ х , . , , .

-- = А0фп-2+г + Ап-2+г ф0 + (5 13)

- п+2

+ ^ Ап-2+к фг-к, х е Ьа, - 2.

к=0

В силу следствия 1 функция

фп-2(х) = -ф0(0)с(ш)Е0(х) е А, (5.14)

является решением краевой задачи (5.11) при Ап-2, определяемом равенством (2.8), и имеет дифференцируемое асимптотическое разложение

те

фп-2(х) = У0(0) г-п+2 + ^х|п-2)(х), г — 0, (5.15)

=0

которое уточняет асимптотику (5.9).

Замечание 5.2. Таким образом, доказано существование функций и фп-2(х), являющихся решением краевых задач (5.3) и (5.11) при Ап-2, определяемом равенством (2.8), и имеющих асимптотики (5.2) и (5.9).

Легко видеть, что в классе функций, ортогональных ф0 в Ь2(Ьа), решение фп-2(х) краевой задачи (5.11), имеющее асимптотику (5.9) единственно. Однако, также легко видеть, что решения задач (5.12) и (5.13) по главным особенностям (5.10) в нуле однозначно не определяются: например, можно добавить слагаемое аЕ0(х) для любого а.

Аналогично, легко видеть, что единственное решение У0(£) краевой задачи (5.3), имеющее на бесконечности асимптотику (5.2), определяется равенством (5.4). С другой стороны, также легко видеть, что при к 2 1 решения ук (С) краевых задач (5.3), имеющие на бесконечности асимптотики (5.2), определяются неоднозначно: например, можно добавить слагаемое аг0(х) для любого а.

Таким образом, построены главные члены у0(С), фп-2(х) и Хп-2 асимптотических разложений (5.1), (5.8) и (2.7) и определены главные члены асимптотик коэффициентов ^к(С) и фп-2+к(х) при к 2 1 на бесконечности и в нуле, соответственно.

Дальнейшее согласование рядов (5.1) и (5.8) заключается в построении решений ук(£) и фп-2+к(х) краевых задач (5.3) и (5.12), (5.13) таких, что, если коэффициенты ф0(х) и фп-2+г(х) в (5.8) заменить на их асимптотические разложения при г ^ 0 и перейти к переменной £ = £-1х, а в ряду (5.1) заменить коэффициенты Уг(^) заменить на их асимптотические разложения при р ^ то, то получим два одинаковых ряда.

Ключевым для согласования асимптотических разложений является следующее утверждение.

Лемма 5.1. Пусть

те

У£(х) = Уо(х)+ £п-2 ^ егУг+п-2(х), (5.16)

í=0

Фе(0 = Т1£1ф^) (5.17)

г=0 те

Щх) = ^Хк0)(х), (5.18) к=0

те

Ъп-2+г(х) = ^У^(х)г-2к-п+2 + ^х(Г2+г\х), г 2 0, (5.19)

к=0 к=0 те

Фг(0 = + р-2к-п+2, о <п - 2, (5.20)

к=0

г-п+2 те

Фг(0 = х<0)(£) + £ хкг-к)(0 + £ук(г)(0 Р-2к-п+2, г>п - 2, (5.21)

к=0 к=0

где У^ — произвольные гармонические полиномы. Тогда

= Ф%0. (5.22)

Существуют Ьг Е Сте(Еп\ш), фп-2+ Е А, г 2 0, удовлетворяющие краевым задачам (5.3) и (5.11), (5.12), (5.13) при некоторых \п-2+г и имеющие асимптотические разложения

^(0=Фг(0, Р^то, (5.23)

Фп-2+г (х)=^,п-2+г (х), Г^ 0, (5.24)

где х}00 из разложения в нуле (4.14) функции ф0(х), а остальные Хд \ У}^ — некоторые гармонические полиномы.

Справедливы равенства (2.8), (5.4) и (5.14).

Если фф0(0) = 0, то справедливы равенства (2.9), (2.10), (2.11),

ьо(0 =0, фп-2 (х) = 0, (5.25)

«1® = Е (0)(^ - )), (5.26)

ш=1 °хт

т=1

фп-1 (х) = - Е0(х) £ ^(0)с»^ (5.27)

дхт

Доказательство. Равенство (5.22) проверяется непосредственно заменой х = е£ в Ф£(х).

Справедливость утверждений леммы для Ап-2, у0(^) и фп-2(х), в том числе и равенства (2.8), (5.4) и (5.14) уже доказаны. Подчеркнем, что, так как уже определены функции

ф0(х), ь0(£) и фп-2(х), то, следовательно, определены и гармонические полиномы хк^0,

Ук(0) иХкп-2) ,к ^0.

Из определения Ф1(^) следует, что

те

Ф1(0 =х!0)(0 + х01) + ^¥(1)(0р-2к~1, П = 3, (5.28)

к=0

те

Ф1(0 =Х!0)(0 + ЕУк(1)(С)р"2к-п+2, п> 3, (5.29)

к=0

где

хр)«)=ё дю (0)«»

дхт т=1

в соответствии с (4.14), Х((1) — уже определенная постоянная из Фп-1 при п = 3, а Ук(1) — пока произвольные гармонические полиномы. Из определения функций гд (см. (2.5)) следует, что функция

= £ 1Т0-(0)(^т - + Х01)(1 - ^(0), п = 3, (5.30)

хт 0

т=1

«1(0= £ (0)(Ст - гт(€)), П> 3 (5.31)

х т

т=1

является решением краевой задачи (5.3), имеющим асимптотические разложения (5.23),

(1

к

^ дф0 . „/,Лу(1)

т=1

(5.20), (5.21), (5.28), (5.29) при некоторых гармонических полиномах Ук(1)(£), причем,

^0(1)(0 = - £ д^0(0)ст,0 - С(ш)х01), п =3, (5.32)

т

^0(1)(0= -£ |ф0 (0)С-т,0, П > 3, (5.33)

0 д хт

т=1

п п

^ (0 = - £ дф0(0)£ - х(1)£ , П = 3, (5.34)

д хт

т=1 д=1 д=1

У1(1)(0= - £ дх0 , П> 3. (5.35)

т=1 дхт д=1

Определив Ук(1)(£), в силу леммы 4.2 получаем, что существует функция фп-1 е Л, являющаяся решением задачи (5.13) для п = 3 и задачи (5.12) для п ^ 4 при некотором Ап-1 и имеющая асимптотическое разложение (5.24) при некоторых гармонических полиномах

х^-1)(х).

Далее, определив хкп 1)(х), в силу леммы 4.1 получаем, что существует решение у2 е Сте(Кп\ш) краевой задачи (5.3), имеющее асимптотическое разложение (5.23) при некоторых гармонических полиномах Ук(2)(£).

(2)

В свою очередь, определив У( '(О, в силу леммы 4.2 получаем, что существуют постоянная \п и функция фп е Л такие, что фп является решением задачи (5.13) для п = 4 и задачи (5.12) для п 2 5 и имеет асимптотическое разложение (5.24) при некоторых гармонических полиномах Х^\х). И так далее.

Пусть теперь ф0(0) = 0. Тогда из (5.4), (5.14) и (2.8) вытекают равенства (5.25), (2.9). Следовательно, во-первых,

У}0)(0 =0, (5.36)

у20)(0 =0, (5.37)

а, во-вторых, Х^1' = 0 при п = 3 ив силу (5.32), (5.33), (5.34), (5.35) получаем, что

^ дфо

ут = (0)^ п 2 3, (5.38)

ш=1 °Хт

У1(1)(0 = _ Ё ^(0) £, п 2 3. (5.39)

Ш=1 °Хт д=1

Так как фо(0) = \п-2 = 0, то функция фп-1(х), определяемая равенством (5.27), имеет асимптотическое разложение (5.24), (5.19), (5.36), (5.38) при г = 1. Поэтому согласно следствию 1 является решением краевой задачи (5.12) для п 2 4 и решением краевой задачи (5.13) для п = 3 при \п-1 = 0. Т.е. справедливо равенство (2.10). В свою очередь, так как фо(0) = фп-2 (х) = Хп-2 = К-1 = 0, то функция

п п

фп(х) = _ ^ ^ (0) ^ ст,дЕд(х) + у02)Ео(х)

Охт ,

т=1 4=1

имеет асимптотическое разложение (5.24), (5.19), (5.37), (5.39) при г = 2 и согласно следствию 1 является решением краевой задачи (5.12) для п 2 4 и решением краевой задачи (5.13) для п = 3 при Хп, определяемом равенством (2.11).

□

Обозначим через Х£,м, и1£,и(х), д£,м(О частичные суммы рядов (2.7), (5.8) и (5.1) до степеней N включительно. Из леммы 5.1 вытекает следующее утверждение

Лемма 5.2. Функция и£,м е А является решением краевой задачи

_Аие>м(х) = 0, х е П \{0} , (х) = 0, х едП \ Еа,

К,ми,£,м (х) + 0(ем+1), х е Еа.

ди^(х) V ~ ^ , /-»с^+ь

Имеет место сходимость

(ие,м _ фе)2 Ах' ^ 0, 0. (5.40)

Функция д£>N е является решением краевой задачи

\ (0 = 0, Се Еп \ и, (0 = 0, Седи.

При £2 < г < 2е2 (или что тоже самое е-1 < р < 2е-1) справедливо дифференцируемое равенство

ие,м (х) _ %,М (О = О {гм+1 + £ИТ + р-И-1 + £Ир-1) . (5.41)

Обозначим

ие,м(х) = х(ге-1 )и,£,м(х) + (1 _ х(г£-2 ))%,М (Х) ,

где, напомним ^(¿) — бесконечно дифференцируемая срезающая функция, тождественно равная нулю при Ь ^ 1 и единице при Ь ^ 2. Из (5.40) и теоремы 2.1 следует, что

UeiN^edx' ^ 1, е ^ 0. (5.42)

sa

Лемма 5.3. Функция ue,N G Н1 (П£) является решением краевой задачи

-AU£, n = F£,n, x G П£, !U£,n =0, x G ОП \ Ea,

dUe N ~ „ (5.43)

0 ' = *e,NUe,N + g£,N, x G La, U£,n = 0, x G

OU

где

I9£,N||ад) ^CeN+1, (5.44)

||F,NII 12(П) ^Ce^, (5.45)

supp F£,n С В2£ 1 \B£ 1. (5.46)

Доказательство. Справедливость всех утверждений за исключением (5.45) и (5.46) следует непосредственно из леммы 5.2. Подействовав оператором Лапласа на функцию U£,n, получаем, что

F£,n(x) = - (u£,n (-) - ^£,n(x)) Ax(r£-1)

V Ve/ J x (5.47)

- V (U£,N (^Pj - ^£,n(x)) Vx(re-1).

Отсюда следует (5.46). В свою очередь, из (5.47), (5.46) и (5.41) вытекает оценка (5.45). □

Умножая уравнение (5.43) на собственную функцию ф£ и интегрируя по частям на П£, в силу краевых задач (5.43), (2.2) получаем

( А£ - \£,N) j UeN^dx' = J FEiN^£dx + J g£,N^£dx'. (5.48)

Sa П£ Sa

Так как ||ф£||ь2(Sa) = 1, то в силу (5.44) получаем, что

У geN^edx' = О (eN+1) . (5.49)

Sa

В силу интегрального тождества для функции ф£ имеем:

у |V^e|2dx + U У ^2ds = Ае,

где h = 0, если Н = 0, и h = ^, если Н = 0. Следовательно,

НФеНя^П) = У |We|2dx + J ф£2dx' ^ C.

П. Sa

Тогда, продолжая ф£ нулем в ш£, в силу (3.14) имеем ||ф£||^1(п(д)) ^ C. Поэтому из (5.45) и (5.46) следует, что

/7 ( 2N+n-2 \

F£,Nф£dx = О ( е 4 )

(5.50)

п.

Из (5.48), (5.49), (5.50) и (5.42) вытекает, что

^ ( 2N+п-2 \

Ае - \e,N = О {£ 4 )

Отсюда в силу произвола выбора N следует справедливость разложения (2.7). Теорема 2.2 доказана полностью.

6. Доказательство теоремы 2.3

Всюду далее А0 — двукратное собственное значение задачи Стеклова (2.1), а ф01)(х) и ф02)(х) — соответствующие ортонормированные в Ь2(Еа) собственные функции, выбранные в соответствии (2.15). Ряды Тейлора функций ф0^(х) в нуле имеют вид:

ф01)(х) = £хк0,1)(х), ф02)(х) = £хк0'2) (х), г — 0, к=0 к=1

п ( )

хГ'(х) =ф01)(0), х<0,')(.г} = £ д0-(0)х

д хт т=1

Вне окрестности отверстия внешнее разложение и(1)(х, е) собственной функции ф£1)(х) задачи Стеклова (2.2) будем искать в виде и(1)(х,е) ~ ф01)(х). Переписывая (6.1) в переменной , имеем:

п (1) те — дф() —

т=1 хт к=2

и(1)(х, в) « ф01)(х) = ф01)(0) + в £ д0-(0)£т + £ вкхк0,1)(0, ре = г — 0.

хт

Следуя методу согласования, внутреннее разложение будем строить в виде

те

у (1)(е, ^ = ^(о+* «(1)(£) + £ ^к1)(о, (6.2)

к=2

где

^01)(е) -х00,1)(е) = ф01) (0), р — ж,

~х;0,1)(£) = £ дф^(0)и р — ж, (6.3)

х т

т=1

т

ук1](о -хк0,1)(е), к > 2, р — ж.

Подставляя (6.2) в (2.2), переходя к переменной и приравнивая коэффициенты при

(1)

одинаковых степенях , получаем краевые задачи для к :

41) = 0 Се Еп \ й, 41) = 0 Седи. (6.4)

Функция

41)(е) = ф01)(0)(1 - ¿0(0) (6.5)

является решением краевой задачи (6.4), имеющим дифференцируемое асимптотическое разложение

те у (0,1)(£) -(0,1) , Yi ^

-01)( а =х00,1) + Е"), Р—ж, (6.6)

г=0 И

У0(0,1) = - ф01)(0)с(и), У<0,1)(0 = -ф01)(0)^к0,1)(е), к > 1, (6.7)

которая уточняет требуемую асимптотику (6.3) для 1'01)(С). Переписывая теперь (6.6) в переменных х = , получаем, что

«01)(б = х00,1) + £ - ^г — ж. (6.8)

=0

т

С учетом этого равенства и по аналогии с предыдущим разделом, казалось бы, внешнее разложение собственной функции следует искать в виде

те

и(1\х, в) = ф£\х)+ еп-2 £ еЩ+'п^х),

г=0

где

ф{п%(х) -У0(0,1)г-п+2 = _ф01)(0)с(и)г-п+2, г^ 0, (6.9)

фя-п-2(х) - У(0,1)(х)г-п-2з+2, г^ 0, ]2 1. (6.10)

Однако, так как в рассматриваемом случае двукратного собственного значения Ао есть еще одна собственная функция ф0^2 (х), то внешнее разложение будем строить в виде

те те

и(1)(х, е) = ф01](х) + еп-2 £ е^п^х) + еф[2 (х) £ а+е*, (6.11)

г=0 г=0

где коэффициенты ф(('^п-2(х) имеют асимптотики (6.9), (6.10), а — некоторые постоянные.

По аналогии с (2.7) асимптотическое разложение собственного значения А« будем искать в виде (2.16).

Подставляя ряды (6.11) и (2.16) в (2.2), получаем следующие краевые задачи для коэффициентов внешнего разложения (6.11):

_Аф{п% = 0, х е П \{0} , = 0, х еШ \ Ёа,

гЪ1,(1) (6.12)

бфп-2 = А ф(1) + А(1) ф(1) Ё у '

^ = А0фп-2 + Ап-2ф0 , Х е Ёа,

_Афп%+г = 0, х е П \{0} , 1фп%+г = 0, х ед П \ Ёа, я /(1) —

= А0фп-2+. + ф02) Е ^А^п-2-Р (6.13)

Р=1

+ >№.+ф01) + ^ $-2ф02), х е Ёа, 1 ^г^п _ 3, _Аф{п%+г = 0, х е П \ {0} , 1ф{п%+г = 0, х е дП \ Ёа,

г—п+2

^0ф(п-2+г + У2 Ап—2+к ф(—к +

Яф(1) г-п+2

бфп-2+г = А ф(1) + А1) ф(1) +

—- = А0фп-2+г +2^ Ап-2+кфг-к +

к=0

г— 1

■ ' (2) а(1) \(*)

(6.14)

г-1

+ ф0 ) ^^ ар ) А1+п-2-р+

Р=1

+ >п-2+<ф01) + а1 Я^фР, х е Еа, 12 п _ 2.

В силу следствия 2 функция

ф{п%(х) = _ф{01)(0)с(и)Е0(х), фп—2 е А, (6.15)

является решением краевой задачи (6.12) при АЩ-2, определяемом равенством (2.18), и имеет дифференцируемое асимптотическое разложение

те

фп)2(х) = У0(0,1)т-п+2 + ^Х(п-2,1)(х), г ^ 0, (6.16)

3=0

которое уточняет требуемую асимптотику (6.9).

Замечание 6.1. Таким образом, доказано существование функций ^^(О и ф^-ч (х),

являющихся решением краевых задач (6.4) и (6.12) при Ап-2, определяемом равенством (2.18), и имеющих асимптотики (6.3) и (6.9).

Лемма 6.1. Пусть

тете

Ф£,1(х) =Ф01)(х) + вп-2 £ в*ф(+>п-2(х) +вФ02)(х) £аг(+)1вг, (6.17)

^(хНЕхПх), Ф02)(х)^хк0,2)(х), к=0 к=1

те

Фп-2+ (х) = £Ук(г-кЛ)(х)г-2к-п+2 + £хкп-2+г,1)(х), г £ 0,

к=0 к=0

те

Фе,1(0=£ ^(е), (6.18)

=0

ф(1) (о =х!0,1)(е)^Ук(г д)(е) Р-2к-п+2+

к=0

+ ]^ак+1хй-1(е), 0 <п - 2,

к=0

- п+2 те

ф(1) (о =х(0,1)(£) + £ хГк,1)(0 + £Ук(гД)(С)р-2к-п+2+

к=0

- п+2 те

- ^ -к,1)(С) + ^Ук ^^ --2к-п+2_

к=0 к=0

+ Е ак1+1х1(-12-1 (О, г£п - 2,

к=0

где х(,р\ Уд(:,,1) — произвольные гармонические полиномы, а а(1) — произвольные числа. Тогда

фе,1(£0 = фе,1(0. (6.19)

Существуют у(1) е Сте(Еп\й), фп1! 2+^ е А, г £ 0, удовлетворяющие краевым задачам

(6.4) и (6.12), (6.13), (6.14) при некоторых А^!^ и имеющие дифференцируемые асимптотические разложения

У(г 1)(0=Ф! 1)(0, Р — ж, (6.20)

фп-2+г(х) =Фп-2+г(х), г — 0, (6.21)

где х^0^ — из разложения в нуле (6.1) функций ф05)(х), остальные — неко-

(1) 0

торые гармонические полиномы, а ау — некоторые числа. Справедливы равенства (2.18), (6.5) и (6.15).

Доказательство. Равенство (6.19) проверяется непосредственно заменой х = в Ф£,1(х).

Справедливость утверждений леммы для А^^, фп~2(х), ^^(О уже показана. Напомним, что, так как уже определены функции ф05)(х), ^^(О и фп-2(х), то определены и гармонические полиномы хк , Ук и хк , к £ 0.

Из определения Ф(1)(£) следует, что

те

ф^) =х{0,1) (о+х01,1) + ^у(1Л)(0Р-2к-1, п = 3

те к=0 (6.22)

Ф(11)(0 =х(0,1) (0 + ^¿^(ОР-2к-п+2, п > 3 к=0

и

те

ф?(£) =Х(0,1)(0 + Х(11,1) + Х(2,1) + ^у™ (0Р-2к-1+

+ а[1)хГ(0, п = 3

те

ф{21)(0 = х2°,1\О + Х™ + £г(2,1)(0р-2к-2+

к=0

+ а[1)Х?>,2)(0, п = 4

к=0

2 2 0 к=0 к (6.23)

ф21](0 =х20,1\О + ^У(2,1\0р-2к-п+2+ к=0

+ а{1)Х?>,2)(0, п> 4,

(1,1) (2,1) (0,1) (1) где У к , У к , Х2 — пока произвольные гармонические полиномы, а а1 — произвольная постоянная.

В силу леммы 4.1 существует решение е Сте(Мп\й) краевой задачи (6.4), имеющее дифференцируемое асимптотическое разложение (6.20) при некоторых гармонических полиномах Ук^^(£).

Определив, в частности, У0(1,1)(£), в силу следствия 2 получаем, что существует функция ф(п11 е Д, являющаяся решением задачи (6.14), (6.13) при некоторых А^^ и а^ и

имеющая дифференцируемое асимптотическое разложение (6.21) при некоторых гармо-

( п- 1 , 1)

нических полиномах Хк (х).

В свою очередь, определив а^1 и, в частности, Х^12, получаем, что в (6.23) остались произвольными только Ук2,1. В силу леммы 4.1 существует решение ь^1 е Сте(Кп\й) краевой задачи (6.4), имеющее дифференцируемое асимптотическое разложение (6.20) при некоторых гармонических полиномах Ук2,1)(£).

Определив у02,1 (0 (а ранее и У1(1,1)(^), У2(0,1)(С) ), в силу леммы 4.3 получаем, что существует функция фп2 е Д, являющаяся решением задачи (6.14), (6.13) при некоторых А^ и аи имеющая дифференцируемое асимптотическое разложение (6.21) при некоторых гармонических полиномах Хк',1")(х). И так далее. □

Перейдем к построению формальных асимптотических разложений собственного значения

А£2)

и соответствующей функции ф£2\х). Так как

ф£2) (0) = 0, то по аналогии с (2.7), (2.9), (2.10) и (5.1), (5.25), (5.2) в критическим случаем ф0(0) = 0 для простого собственного значения А0 асимптотическое разложение собственного значения

А£2)

и внутреннего

разложения собственной функции будем строить в виде (2.17) и

те

V(2)(С, е) = е+ £ екь{2\0, (6.24)

к=2

где

п (2)

^(й ~хГЮ = £ «Чи , —ж, (625)

т=1 дхт (6.25)

Л) -хк0,2)(С), к £ 2, р —ж.

Подставляя (6.24) в (2.2), переходя к переменной £ и приравнивая коэффициенты при

(1)

одинаковых степенях , получаем краевые задачи для к :

А? 42) = 0 Се Еп \ й, 42) = 0 Се ди. (6.26)

По аналогии с внешним разложением собственной функции (5.8), (5.25) с критическим случаем ф0(0) = 0 для простого собственного значения А0 и с внешним разложением (6.11) собственной функции ф£1) (х) для кратного собственного значения А0 внешнее разложение собственной функции ф£2) (х) начнем искать в виде

тете

и(2)(х, в) = ф02)(х) + вп-1 £ вЧ(+°п-1(х) + еф01) (х) £ а+е\ (6.27)

=0 =0

Согласование первого слагаемого и последней суммы ряда (6.27) с рядом (6.24) уточняет асимптотики (6.25):

-!2)(0 ~хГ)(е) + а(2)х00,1)

п (2)

£ ^(0«т + а12)ф01)(0), , —ж, (628)

д хт (6.28)

т

д х

т=1

к^) -хк0,2)(С) + £а(2)(О, к £ 2, р —ж. =1

Из определения функций (£) следует, что функция

дх.

п ф(2)

«(2)(0 = £ д0-(0)(£т - ^(0) + а12)ф01)(0)(1 - ^(0) (6.29)

т=1

является решением краевой задачи (6.26) и имеет дифференцируемое асимптотическое

разложение

оо

•!2)(С) = хГ^) + а12)х00,1) ^Ук(1,2) (е)Р-2г-п+2, р — ж, (6.30)

к=0

где

п (2)

У(1,2) = - £ дф0-(0)Ст,0 - а(2)ф01)(0)С(й), (6.31)

д хт

т=1

т

п (2) п

У1(1,2)(0 = - £ дф0- (0) £ ст,^ -а(12)ф01)(0)£ С0,Л, (6.32)

д хт

т=1 д=1 д=1

Ук(1,2)(0 = - £ дф^(0)^кт)(0 - а12)ф01)(0)^к0)(е), к £ 2, (6.33)

п (2) т

к - к - 1 0 к д хт

т=1

(2)

которая уточняет требуемую асимптотику (6.28) для г^ )(£).

(2)

Переписывая асимптотическое разложение на бесконечности функции ег^ ) (£) во внешних переменных, получаем главные члены асимптотик в нуле для коэффициентов

ф(+)п-1(х) внешнего разложения:

фЩ+^х) - у(1,2)(х)г-п-2^'+2, г — 0, 3£ 0. (6.34)

(2)

Подставляя ряды (6.27) и (2.17) в (2.2), получаем краевую задачу для фп-^х):

-Дфп2-1 = 0, х е П \{0} , ф2- = 0, х едП \ Ьа,

дф(2) (6.35)

дфп-1 = А ф(2) + А (2) ф(2) Ь ' '

д^ = А0фп-1 + Ап-1ф0 , х е

где Ап2)1 = 0. Но, если У0(1,2) = 0, то в силу следствия 2 задача (6.35), (6.34) не разрешима ни при каком Ап2)1. Поэтому с учетом (6.31), (6.32) последовательно получаем, что У(1,2) = 0,

фп-1(х) =0, (6.36)

(2) 1 ^ гкы

(0)^т,0, (6.37)

а

1

"'■о

¡л I (2) п л п о , (2)

П(1,2)(0 = - £ ^(0) £+ ± £ (0)ст,о £со,^. (6.38)

9 + Ты ^ (0)Ст>0

т=1 ,= 1 С(Ш) т=1 9=1

(2)

Подчеркнем, что, определив а1, в силу (6.29), (6.31), (6.32), (6.33) окончательно опреде-

(2) лЛ1,2) • ^ п лили ^ и У> , ^ £ 0.

Подставляя ряды (6.27) и (2.17) в (2.2), получаем следующие краевые задачи для коэффициентов внешнего разложения (6.11):

-Дфп2) = 0, х е П \ {0} , 1фп2) = 0, х е дП \ Ьа, д ф(2) (6.39)

дфп- = А0фп2) + Ап2)ф02), х е Ьа,

-Дф<+ = 0, х е П \ {0} , ф2+г = 0, х е дП \ Ьа, д ф(2)

^ = А0фЩ + ф01) £а(2)А(+)п-р (6.40)

р=1

+ аЩф02), х е Ьа, 1 ^ г ^ П - 1,

-Дфп+ = 0, х е П \ {0} , [фЩ = 0, х е дП \ Ьа, д ф(2) - п

^ = А0фпЪ + £ Ап+кф^ + ф01) £ ар2) А(2>п-р + (6.41)

к=0 р=1

+ А& ф02) + а(2) Ап1)ф01), х е Ьа, г £ П.

В силу леммы 4.1 и определения функции г0 легко видеть, что для любого числа У0(2,2) при некотором р,22) существует решение г^ краевой задачи (6.26), имеющее дифференцируемое асимптотическое разложение на бесконечности:

^2)(£) =х20,2)(0 + а^0^) + а22)х00,1)(е) +

+у0(2'2) Р-п+2 + ^ >f2) (е)р-п+2-2^ (6.42)

i=1

где У(2,2) — некоторые полиномы при ] £ 1. Это разложение уточняет асимптотику (6.2

Переписывание асимптотического разложения на бесконечности функции £2ь221 (£) во внешних переменных уточняет асимптотики в нуле (6.34) коэффициентов внешнего разложения:

ф(2)(х) ~у}1,2)(х)г-п + У0(2,2)г-п+2, г ^ 0, (6.43)

фп1(х) -У/+? (х)г-п-2* + У(2,2)г-п-2+2, г^ 0, 32 1.

В силу (6.38) и следствия 3 функция

п г. , (2) п

ф(п)(х) = _ £ ^(0) Е(х)

ОХт

т=1 4=1

1 п Яф(2) п ^

+ Е -фт(0) ст,0 Г (х) еЛ

(6.44)

является решением краевой задачи (6.39) при АЩ2, определяемом равенством (2.19), имеющим дифференцируемое асимптотическое разложение

те

ф(а)(х) =У}1,2\х)г-п + У0(2,2)г-п+2 + ^Х{п,2)(х), Г ^ 0, (6.45)

3=0

при некотором явно вычисляемом у02,2\ Это разложение уточняет асимптотику (6.43). Подчеркнем, что, определив у02,2\ вычислили и а следовательно, окончательно определили ь22)(£).

На следующем шаге согласования из условия разрешимости задач (6.40), (6.41) для

(2) (2) (2) (2) (2) фп+1 в силу леммы 4.4 последовательно определяется , Ап+1, ф/п+1, Щ и уточняются

(2)

асимптотики в нуле коэффициентов внешнего разложения фпри ] 2 1. И так далее. В результате получаем справедливость следующего утверждения.

Лемма 6.2. Существуют ряды (2.17), (6.27), (6.36), (6.24) такие, что коэффициенты рядов (6.27) принадлежат А, являются решениями краевых задач (6.39), (6.40), (6.41) и имеют в нуле дифференцируемые асимптотические разложения

тете

ф01) (х)= ^ХГ (х), ф02\х) = Ехк°Я(х), к=0 к=1

г+1 те

ф%(х)= ^У^ЧхУ-2к-п+2 + Т.Х(Гг,2)(х), г 2 0, к=0 к=0

а коэффициенты рядов (6.24) принадлежат Сте(Еп\й), являются решениями краевых задач (6.26) и имеют на бесконечности дифференцируемые асимптотические разложения

те

(2)

\ —У(0,2)(С\ I \ л \г(г,2) ( С\ п-2к-п+2

(О =хГ»(;:;) + ТуГ(£)р -к=0

+ 1 «г < п,

к=0

>(2) (О =Х(0,2)(0 + ¿2хкг-к,2)(0 + УЕУ?,2)(£)р-2к—п+2 к=0 к=0

+ Еа&х—иа, ¡2 п.

-к-И

к=0

Справедливы равенства (2.19), (6.44), (6.29), (6.37).

Обозначим через А^, (х), г^(£) частичные суммы рядов (2.16), (6.11) и (6.2) до степеней N включительно, а через А|.2), (х), г^2^(£) частичные суммы рядов (2.17), (6.27), (6.36), (6.24). Из лемм 6.1, 6.2 вытекает следующее утверждение

Лемма 6.3. Функция и^ е А является решением задачи

-Дг^(х) = 0, х е П \{0} , [иДУ(х) = 0, х едП \ Ьа,

дм(,!у(х) ^(г) / ч , гМ ^+1ч ^ ^

——— = А(,уи(,у(х) + 0(е + ), х е Ьа. Имеет место сходимость

J («Зу -ф0^^2 ^х — 0, е — 0. (6.46)

Функция г^У е Сте(Еп\и) является решением краевой задачи

д*(0 = 0, еекп\и, г^у(0 = 0, ееди.

При е1 < г < 2е2 (или что то же самое е-1 < р < 2е-1) справедливо дифференцируемое равенство

«2у(х) - ^(0 = О (гу+1 + ^г + р-у-1 + -1) . (6.47)

Обозначим

«Зу(х) = Х(ге-1 ^Зу(х) + (1 - Х(ге-2(х) .

Аналогично лемме 5.3, но с использованием леммы 6.3 вместо леммы 5.2 доказывается справедливость следующего утверждения.

Лемма 6.4. Функция и^ е Н1 (П() является решение краевой задачи

-Дй^ = , х е П£, =0, х е дП \ Ьа,

^ ^^ -г' (6.48)

—— - А^г^У + ¿г)у, х е Ьа, «Ду = 0, х е дие,

где

II1112(2.) ^Сву+1, (6.49)

11*$ 1к(Ие) ^Св^, (6.50)

8ПРР С В2£2 \В(2. (6.51)

Умножая уравнение (6.48) на собственную функцию ф('?') и интегрируя по частям на П(, в силу краевых задач (6.48), (2.2) получаем

( АвЛ - ) / = / + 1 ¿^ф^х. (6.52)

2 а П£ 2 а

Аналогично (5.49) и (5.50) получаем, что

[ д%ф?<Ы = О (ву+1) , [ = О (в^ ) .

(6.53)

П

Из теоремы 2.1 следует, что из любой последовательности ек ^ 0 можно выделить подпоследовательность ект такую, что на ней имеют место сходимости

ф^ ^а?ф(01) +а2)ф02),

{а? )2 +(с2))2 = 1, а^а^ +а21)а22) = 0. Допустим а^а^ = 0. Тогда и а^а^ = 0, а из (6.52), (6.53), (6.46) вытекает, что А£1) - А», = 0 (е ^ ) , А™ _ = О (г *** ) , VN.

Что невозможно, так как |Л£1) _ а£%| 2 се2, где с > 0, в силу (2.16), (2.17) и (2.18).

Следовательно, а = 0. Отсюда в силу произвола выбора исходной после-

довательности к следует, что

_ф0)\\ыъа) ^ 0, 0. (6.54)

И наконец, из (6.52) при = , (6.53) и (6.54) вытекает, что

а£,) _А» = 0 ^).

Отсюда в силу произвола выбора N следует справедливость разложений (2.16), (2.17). Теорема 2.3 доказана полностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самарский А.А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов // ДАН СССР. 1948. Т. 63. № 6. C. 631-634.

2. Днестровский Ю.Н. Об изменении собственных чисел при изменении границы областей // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1964. № 9. С. 61-74.

3. Sh. Ozawa Singular Hadamard's variation of domains and eigenvalues of Laplacian // Proc. Jap. Acad. 1980. V. A 56. P. 351-357.

4. C.A. Swanson Asymptotic variontional formulae for eigenvalues // Canad. Math. Bull. 1963. V. 6. № 1. P. 15-25.

5. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач в областях с малыми отверстиями // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48. № 2. С. 347-371.

6. Ильин А.М. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981. Т. 6. С. 57-82.

7. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. Санкт-петербургск. матем. об-ва. 1998. Т. 6. C. 151-212.

8. Давлетов Д.Б. Сингулярно возмущенная краевая задача Дирихле для стационарной системы линейной теории упругости // Изв. вузов. Матем. 2008. Т. 12. С. 7-16.

9. Давлетов Д.Б. Асимптотика собственных значений краевой задачи Дирихле оператора Ламэ в трехмерной области с малой полостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 10. С. 1847-1858.

10. Давлетов Д.Б. Асимптотика собственного значения двумерной краевой задачи Дирихле для оператора Ламе в области с малым отверстием // Матем. заметки. 2013. Т. 93. № 4. С. 537548.

11. Назаров С.А. Асимптотические разложения собственных чисел задачи Стеклова в сингулярно возмущенных областях // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26. № 2. С. 119-184.

12. Гадыльшин Р.Р., Кожевников Д.В. Об усреднении кравевой задачи в области, перфорированной вдоль части границы // Проблемы математического анализа. 2014. Вып. 75. С. 41-59.

13. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Матем. сб. 1993. Т. 84. № 6. С. 99-150.

14. Чечкин Г.А., Гадыльшин Р.Р. Краевая задача для лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. № 2. С. 271-287.

15. A.G. Belyaev, G.A. Chechkin, R.R. Gadyl'shin Effective membrane permeability: estimates and low concentration asymptotics // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2000. V. 60. № 1. P. 84-108.

16. Назаров С.А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. № 5. С. 1086-1101.

17. Борисов Д.И. О PT-симметричном волноводе с парой малых отверстий // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 2. С. 22-37.

18. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989.

19. Гадыльшин Р.Р. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задачи для оператора Лапласа // Современная математика и ее приложения. 2003. Т. 5. С. 3-32.

20. Бикметов А.Р., Гадыльшин Р.Р. Возмущение эллиптического оператора узким потенциалом в n-мерной области // Уфимский матем. журнал. 2012. Т. 4, № 2. C. 28-64.

21. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физмат-гиз. 1962.

22. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных // М.:Наука. 1976.

23. Като Т. Теория возмущений линейных операторов // М.: Мир. 1972.

Давлетов Дмитрий Борисович,

Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Кожевников Денис Владимирович,

Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы,

ул. Октябрьской революции, 3а,

450000, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]