CC BY
52
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2012, том 55, №2_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.Р.Лангаршоев
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
В работе изучается асимптотическое поведение наилучших полиномиальных приближений в весовом пространстве Бергмана. Строится функция, принадлежащая заданному классу функций, для которой погрешность приближения ведёт себя так, как и погрешность полиномиального приближения рассматриваемого класса функций.
Ключевые слова: аналитическая функция - модуль непрерывности - наилучшее приближение - комплексный алгебраический полином - весовое пространство Бергмана.
1. Пусть X - произвольное банахово пространство; Ьп - подпространство размерности п, принадлежащее X;
- наилучшее приближение функции f Є X элементами подпространства Ln в метрике пространства
Известно [1], что точные оценки верхних граней (1) наилучших приближений, полученных на том или ином классе функций 9М, не гарантируют того, что для каждой конкретной функции этого класса порядок приближения не окажется лучшим. Поэтому весьма важным является построение функции / € М, не зависящей от п, для которой погрешность приближения элементами конкретного рассматриваемого п -мерного подпространства асимптотически ведёт себя так, как и погрешность приближения класса элементами этого же подпространства. Задачи такого типа рассматривались многими математиками (см. напр. [2], [3] и литературу, приведенную в них).
Указанные задачи представляют определённый интерес и для аналитических в круговых областях комплексных функций, а именно рассмотрим следующую задачу. В какой степени последовательность величин {Е(9М, Ь )х)и=1 характеризует соответствующие аппроксимативные свойства
Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Дехоти, 1/2, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 04.12.2011 г.)
X. Для множества :М Є X полагаем
E(ОТ, L, )x d=sup{E(f,L, )x : f є ОТ}.
(1)
{Е(/, Ьп )х}да=1 отдельных функций /(г) € X? В данной статье дан ответ на этот вопрос, в случае когда X является весовым пространством Бергмана аналитических в единичном круге функций [4].
Зв/
Пусть и = {г € С :| Г |< 1} - единичный круг в комплексной плоскости С, а А(и) - множество аналитических в и функций. Для произвольной функции / € А(и) при 0 < р < 1 положим
(Ле/
мц (/,р) =
2л
1 / (2 л) || / (ре") иг
1/д
таХ 1 I (РЄ ) |,
0<ґ < 2л
, если 1 < д < да, если д = да,
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Через £ = Ь (и), 1 < д < ^ обозначим банахово пространство комплекснозначных в и функций /, имеющих конечную норму
л1/д ( 12л \1/д
1 / (2л) Ц | 4(2) |д = I 1 / (2л)11 р 14(ре) |д йрЖ
0 0
Пусть /(| г |) - некоторая неотрицательная измеримая и суммируемая на множестве и ве-
Ле/
совая функция. Через = = £ (и,/), 1 < д <да обозначим множество комплекснозначных в
и функций /, для которых уУд/ € £ (и),
У1д 1 , • Под Ву = В (иу\ 1 < д <да
Ле/
д у
понимаем банахово пространство функций / € А(и) таких, что / € Ь . При
этом
Ґ1
л1 / д
V 0
в
В частном случае / = 1 пространство В = В , является известным пространством Бергмана. Сим-
д д ,1
волом В д, 0 < К < 1 обозначим пространство аналитических в круге | г |< К функций /(г), для которых |^(0||^ ^ =|/(К)||^ ^ < да, 1 < д < да.
2. Для произвольной / € А(и) производную г -го порядка функции /(г) по аргументу ^
комплексной переменной г = рви обозначим через /г)(г). При этом /("(г) = / (г) • 21,
Г(1),
Я’(2) = {/Г"(г)}„, г > 2^ Для любой / є А(и) запишем модуль непрерывности
Г(Г-1)
Ь
д
д ,у
д
В
и обозначим через Жг^(Вг) - класс функций / є А(и), у которых г -е производные
г( г )
/ г (2) є В и удовлетворяют условиям
д ,у
л/и
и
4
I ®(/аг),і)в Лі <Ф(л/ и), Уи є М,
0
где Ф(і)(і > 0) - произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что
1іт{Ф(і) :і ^ +0} = Ф(0) = 0.
Через Рп обозначим подпространство алгебраических полиномов комплексной переменной г степени < и — 1 •
Теорема 1. Существует функция /(г) є ЖфГ)(В 7), г є М, для которой
Ііт = 1.
Е (Жф г,)( В^ ), Ри ) В,
д ,у, к
Доказательство. Будем следовать схеме рассуждений работ [5], [6], а также понятиям и определениям, приведенным в них. Пусть Ы = {^ }(еА - семейство полунорм Ы, определенных в банаховом пространстве У и индексированных элементами t множества А С (0,1], имеющего нуль своей предельной точкой и содержащего точку I = 1. Очевидно, что функция
(р(Х) = 8ир{^(/) :11 /II < 1}, t € А, при любом 0 < 7 < 1 удовлетворяет условию
8ир{<^(/): і є (а, 1] п А} < да. (2)
В пространстве У рассмотрим классы
N = {/ є У :зир{Ц(/) :і є А} < 1}, (3)
^ = {/ є N: Ііт Ц (/) = 0}. (4)
г ^0
Нам понадобятся следующие вспомогательные факты.
Теорема Л [6]. Пусть число /3> 1. Если множество плотно в N то для любой по-
следовательности полунорм Рп, ограниченных на У, и элементов / є N таких, что Р (/) ^ 0, и є М и Ііт / = 0 существует элемент / є N для которого
.. и \\у
и^-да" ,,У
1т Р/ > 1.
П^да Рп (/п ) Р
Утверждение В[6]. Пусть п0,п,•••,пк - целые неотрицательные числа, для которых
n Ф ц при i Ф j. Тогда
тГ
—II
;=і
ciz
: Cj є C, j = І, k
, І < q < да.
В качестве У возьмём множество функций /(г) € В г, у которых Г -я производная
/(а г) € В . Введя в У норму
а q ,у
def
Y = IIK IIX
/>(г) 11 ■
/а | }, превратим его в банахово пространство.
Функциональный класс Жфга(В г) определим в У как класс N вида (3) посредством семейства полунорм
Зв/ 1 *
К (f)
4t Ф(жt)
j 0)( fa r) ,T)B, у dT,
(5)
. Зв/ I 1 I
где t € А = 1 — г . При этом условие (2) для полунорм (5) выполняется. Покажем, что множество
m
mєN
N вида (4), порожденное полунормами вида (5), плотно в N. С этой целью для произвольной ана-
да
литической функции / ( г ) = £ С, (/) / € Вд/ сопоставим вспомогательную функцию
k=0
f„ (z) = '£vic„ (f) zl, где V = 1, vk= sin Ih / (lh), h > 0, l e N. Очевидно, что fh ( z ) явля-
k=0
ется аналитической в единичном круге и функцией и, как легко проверить, представима в виде
h
fh(z) = І і (2h) j f (ze'T)dr.
В силу инвариантности нормы пространства В , и неравенства Минковского для интегралов имеем
h\\B„
J (2ж) jj/(|z |) | fh (z) |q dxdy
• Іі q
U
h
і. і (2ж) jj /| z I) IІ і (2h) j f (zen')dT |q dxdy
\^q
<
h
А I
< 1 / (2А) | 1 / (2ж) Ц>(| г |) | /(гг") |д йхйу
- А
\1/д
йт <
<
и (2ж) Ц/Цг|) | /(г) |д ахду
\1/д
поэтому / (г) € В г> причём, как легко видеть,
(6)
йв/
Положим /(г) = /(рв ) = ¥(р, t). Имеем:
/(2))а = 1 /(2А)| /а (ре'<™>)йт = :1} ¥(р,t + т)йт =
= [¥(р, t + А) - ¥(р, t - А)] / (2А) = [/(гвгА) - /(гв-*)] / (2А).
Отсюда сразу вытекает неравенство
(А(2))а||в <1 со(/,А)в^ 1 < д <да.
Вд,/ А д,/
(7)
С учётом очевидного равенства (/ (г))аг = (/а г(г))к, для любой функции /(г) € У будем иметь ®((Л)(Г),т)д < ^(//,т)5 . Тогда при любом t € А для произвольного элемента /(2) еЖфГ>(Вд/ ) имеем:
1 1 Л1 4
— | °}((/Н )(аГ), т)Вд, < “Г , „, "Г , ^Т < — Ф,),
а это означает справедливость включения /(г) € !УфГ)(В г). Снова, воспользовавшись интегральным неравенством Минковского и инвариантностью нормы относительно поворота, запишем
(/,£> (гвм)-(/а^(гв-"'2)^ < | Ц/Г^в")
дд -1/2
(/, )\: "1 = '|\/г ))* I
йт =
= t
т(1)
(8)
Из последнего неравенства в силу определения модуля непрерывности с учётом неравенства (7) получаем
д>у
1
®(( /и )Г І ) В, у< И ' \ И)в„ у.
(9)
Из неравенств (5) и (9) следует оценка сверху
у ( / ) М/"’, А)
при любом t € А. Поскольку Кт{'Ы (/) :t € Д, } = 0, то это означает, что / (г) € N. На осно-
^0
вании неравенств (6)-(9) для произвольной / € В запишем
/-/4 <®(/,а)в„, л1"’-д)д, д"\А)вд,д
откуда следует, что
І ітІІ/—
^..у = Й? та* |/ — /Лх, /Г — (/,)!
0.
Отсюда следует, что множество плотно в N. Введём в рассмотрение функцию
Ле/
/ (г) = рп (Іи) г Ф(л/ и)ги ги . Тривиально проверяется, что / (г) є Жфг)(В уц ) причём
(10)
ЕФФЖ,), п\г, = Е(/0, Рп )в,>г>1 = КпФ(^/п) / п",
откуда сразу следует, что Нт /А = 0. Если теперь в утверждении теоремы А в качестве полунорм
И^даН ' У
Рп (/) выбрать последовательность наилучших полиномиальных приближений Е(/, Р, В л), то все условия теоремы А выполнены и мы в силу (10) запишем
е/Р\гК у е/гп)ВчгК
Ііт зир---------------ду— = Ііт зир-----------------—
Е / Рп ) В... и-да ХЕ (К^Вду ) Р ) В,>м
> 1,
(11)
Вд, гу
где /,(г) - некоторая функция из класса Щр"а(В г). С другой стороны, очевидно, что
Е (/., Р к
д , у, к
Е (ЖФ % Вду у), р )Вд
< 1.
(12)
д, у, к
Из сопоставления неравенств (11) и (12) вытекает утверждение теоремы.
Замечание. Из утверждения теоремы в случае у(| г |) = 1 вытекает результат С.Б.Вакарчука
Поступило 05.12.2011г.
д. у
д. у
д. у
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1946, т.10, 5, с.393-410.
2. Темляков В.Н. — Изв. АН СССР. сер. мат., 1977, т.41, 3, с.587-606.
3. Темляков В.Н. — Матем. сборник, 1979, т. 110(152), 3, с.399-413.
4. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. — ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.
5. Вакарчук С.Б. — Укр.мат.журн., 2004, т.56, 9, с.1155-1171.
6. Давыдов О.В. — ДАН СССР, 1989, т.306, 4, с.777-781.
М.Р.Лангаршоев
ОИДИ РАФТОРИ АСИМПТОТИКИИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ ФУНКСИЯИ ИНДИВИДУАЛИИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола рафтори асимптотикии наздиккунии бех,тарини полиномиалй дар фазой вазндори Бергман омухта шудааст. Функсияе сохта мешавад, ки он ба синфи додашудаи функсиях,о тааллук дошта, барояш сах,ви наздиккунй ба монанди сах,ви наздиккунии полино-миалии синфи функсиях,ои муоинашаванда рафтор мекунад.
Калимаои калиди: функсияи аналитики - модули бефосилаги - наздиккунии беутарин - бисёраъзо-гии алгебравии комплексы - фазои вазндори Бергман.
M.R.Langarshoev
THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF BEST APPROXIMATION OF INDIVIDUAL FUNCTIONS OF CERTAIN CLASSES OF FUNCTIONS IN WEIGHTED BERGMAN SPACE
Tajik National University In this note the asymptotic behavior of the best polynomial approximation in the weighted Bergman space is explore. We construct a function that belongs to a given class of functions for which the approximation error behaves as on error of polynomial approximation of this class.
Key words: analytical function - modulus of continuity - best approximation - analytical algebraic polynomial - weight Bergman’s space.
