Значение n-поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана, Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2010, том 53, №10____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.Р.Лангаршоев

ЗНАЧЕНИЕ п -ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

В работе вычислены точные значения бернштейновских и колмогоровских п -поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, определяемых модулем непрерывности, в весовом пространстве Бергмана.

1. В последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции полиномами посредством усредненных модулей непрерывности их произвольной производной в различных пространствах аналитических в круге функций (см., например, [1-6]). Данная работа посвящена вычислению точных значений бернштейновских и колмогоровских п - поперечников некоторых классов функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана.

Напомним, что аналитическая в единичном круге и = ^ е С :| z |< 1} функция

где у(\ 2 |) - положительная весовая функция, da - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега.

Очевидно, что норму (1) можно записать в виде

Символом B R (1 < q < ад, 0 < R < 1) обозначим пространство Бергмана B аналитических в круге \ z \< R функций f (z), для которых

Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/4, Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]

Bq •/ ,1 < q <ад

Институт математики АН Республики Таджикистан

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.09.2010 г.)

принадлежит весовому пространству Бергмана B , 1 < q < ад, если

(1)

(1)

|/ОІІ в, ,л =и(Щ вд, < да’ 1 < 9 < да’ 0 < * < 1 ■

Величину

<°(/,Ъв =1 к |<^ир

ґ і і2л V79

— 11 РУ(Р) 1 / {ре(і+к)) - /(Р^) Г dPdt

у2п о о

(2)

назовем интегральным модулем непрерывности в пространстве в г,/ ’ 1 < 9 < да . Легко проверить, что

функция (2) обладает всеми свойствами модуля непрерывности.

Пусть С - множество комплексных чисел, N - множество натуральных чисел. Для любых п є N и а є С , к=0,1, • • •,п ; через

п I

к I

р =|Рп(2) : Рп(2) = Еак2

к=0

обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени < п . Величину

Еп(/)в/ = іпґ{ЦУ-Рп-1ІВ/ :Рп-1(2)^-1}

назовем наилучшим приближением функции /(2) є Вс г,Г’ 1 < 9 < да множеством Р_1 ■ Для г є N

обычную производную г -го порядка функции /(7) обозначим /(г)(2) = ёг/ / ёгг, а через /г)(^) = дг/(рей) / д1г обозначим производную г -го порядка по аргументу, причем //и=/'(г). *, лт=(гт; для г > 2. Всюду в дальнейшем введем обозначения:

апг = п(п - 1)(п - 2) • • • (п - т + 1) = п!{(п - г)!}-1, п > г,

= {/(7) 6 БЧ,у :||/{а ^ < Я < ^

К/ = {У(2) є В/ :||2 У(г\г < да}’ 1 < 9 <

В работе [7] доказано, что для произвольной /(2) є В К, (1 < q < да, 0 < ^ < 1) , у которой

производные /г) (2), ъг / (2) є в у, 1 < Я <да при любых г, п є К, справедливы точные неравен-

ства

->п пі п

*

Е (/)в <-^г Г о(/(г),0« dt, (3)

п^ ^ч/Д Апг-1 Г ^а ’ Ув9,г ’ у 7

’я/* Д™

ТА* о

пВп пп

Еп (/Кл <-^Г I °(2/{Г) ’ °в^, п - Г (4)

4^п,г 0

и знак равенства в неравенствах (3) и (4) реализует / (7) = гп. Для любых г, п е N определим классы функций

ка = | /(2) є В'/',: У а(/(г), t)в/ dt < 1

< 1

= |/(7) 6 В ■/«(/,Ов„ <* <

Пусть функция Ф(и) определена, неотрицательна и выпукла вниз на отрезке [0, ж], причем Нт{Ф(и) : и ^ 0 +} = Ф(0) = 0. Определим следующие классы функций:

Ж? (ф) = |/(2) є В/)„ : 7 “(Я’’ t)в, /Л < ф(п ! и)|>

Ж

( г )

(ф) = |/(2) є В// : } а( 2'/">, t <ф(п/ и)1

2. Пусть £ - единичный шар в пространстве в, 1 < 9 < да • М - некоторое центрально-

симметричное множество в в ; Ли с в у - п -мерное подпространство. Величины

ьп№в9/) = 8ир{зир{£ > 0: оЛи+1 с ШГ}: Ли+1 с В/

(МЪв„) = тД зир{ тД||/ -,, : д єЛп):./ , М}: Ли с В^}

называются соответственно бернштейновским, колмогоровским п - поперечниками. Указанные поперечники удовлетворяют неравенство

Ьп (М, в, < , (М, в, (5)

Также полагаем

Еп (М)в„ = §ир{, С, єМ}■

Теорема 1. Для любых п, г є N, 0 < Я < 1 справедливы равенства

*п

ь„ ка, в,/я )=dn (жпа, в,/*)=—х, (6)

,Rn

b, (ЩГ , Bq ,R ) = d, (W«, Bq/R ) = — • (7)

Доказательство. Прежде всего в силу неравенства [7]

Еп (В,,г>л ) < Яп • Еп (/^

соотношения (6) и (7) достаточно доказать для случая Я = 1, то есть достаточно доказать соотношения

к (¥1:1 , в,. ,)=dn «:>, в,,,)=—1—, (6)'

4пг 1

К (К' , в,, ,) = dn (Ж(г), В„) =. (7)'

пг

Не умаляя общности, докажем, например, равенство (7)'. Из неравенства (4) с учетом определения класса Жг) получаем оценку сверху для колмогоровского п -поперечника

< В,г ) < Еп (Ж . (8)

пг

С целью получения соответствующей оценки снизу для бернштейновского п -поперечника, в пространство В у вводим в рассмотрение (п +1) -мерный шар полиномов

S-1 ={ Р”(z) є?” ^ P^b„< }

и покажем, что SH+1 с Wr). Таким образом, требуется доказать, что для любого рп (z) с SB+1 имеет место неравенство

л/п

j ®(zrP(r), t)в„ dt < T

о

Используя рассуждение работы С.Б.Вакарчука [4], легко доказать, что для любого полинома рп (г) е Рп1 справедливо неравенство

®( ^Р” ), t) B..

_ . nt || || Л .

ипг •2sinv•Рп\\в , 0 <t<Tl:

2 В|,г (9)

2anr 'Pn\\B > * ^л/n

Из неравенств (9) для любого рп (z) е SB+1 имеем

ж/п ж/п

I ®(^). 0в„ ^ < 4«п^|р^1, ’{ sinТ<* (т)< 1.

<?, У

0

Этим включение ^ 1 ^ Ж^г) доказано. Согласно определению бернштейновского «-поперечника, имеем оценку снизу

Ь, (Ж,г) , в,. у ) > Ь, (5„1, в, , у) = ^. (10)

^пг

Сравнивая неравенства (8) и (9), получаем (7)' и вместе с ним равенство (7).

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть функция Ф(и) для любых Л е [0,1], хе [0, ж] удовлетворяет неравенству

„ . 2 ж . Ф(Лх) Л / ч

2sm2— Л <—-—-<--------------------------------. (11)

4 Ф(х) ж/ 2- (ж/ 2 — 1)Л

Тогда справедливы равенства

ЯП

ь, ЖП2 (Ф), в, , )=d, (Жп';>(Ф), в,У У Я)=—1 -Ф(ж/ П), (12)

,Яп

ь, Ж >(Ф), в,. ^у, ) = d, (Ж,' >(Ф) , в, у у я ) = -Ф(ж/ п). (13)

^пг

Доказательство. Как и в теореме 1, не уменьшая общности, докажем соотношение (13), поскольку (12) доказывается аналогичным образом. При этом, в силу высказанного выше, полагаем

Я = 1. Согласно неравенству (4) и определению класса Ж^г) (Ф) , имеем

dп (ЖТ) (Ф), В,у у) < Еп (Ж() (Ф) , В, у уУ < -Ф(ж/ п) , (14)

^пг

и оценка сверху для колмогоровского п -поперечника получена. Для получения оценки снизу, используем рассуждения работы Л.В.Тайкова [1].

Рассмотрим (п +1) -мерный шар полиномов

°П„ =|рп(^:||Рп||в„ <-П•Ф(ж/П)|

и покажем, что <хи+1 ^ Ж^г) (Ф) . Если т < п , то из неравенств (9) получаем

П +1 П

ж/т ж/т

| ^гр(г),0в,у ^ < 4^пЛрЛвЯу- ^ «п^[Пт] =

= 4«ПЛрХ -{1 -собжП 1 = 2эт2 жП^Ф(ж/п). (15)

Полагая ж/т = Лх, ж/п = х, из (15), согласно левой части неравенства (11), будем иметь

ж/ т

Г о(ггр{^). і)в Л < 2біп2 -Ф(л! п)

: ч.у 4т

жЛ

= 2 біп — Ф(х) < Ф(Лх) = Ф(ж / т). Пусть теперь т > п . Тогда используя неравенства (9), получим

ж/п

Г «(УрГ.% л = Г «о^.Ъв л + Г «о^.Ъв л <

•« Ч .У V Ч .У V Ч .У

ж/п

(16)

ж ж

п т

<

4+!

ґ

1 - п 11-Ф(ж/ п) < Ф(ж/ т). т Л

(17)

Из неравенств (16) и (17) следует, что <ги+1 ^ Жг)(Ф), а потому, согласно определению бернштей-новского поперечника, имеем:

К Ж )(Ф). ву > Ьп (Б^. ву >^п- Ф(ж/ п).

п

4а„

(18)

Сравнивая неравенства (14) и (18), приходим к равенству (13), чем и завершаем доказательство теоремы 2.

В [1] доказано, что условию (11) удовлетворяет, например, функция Ф„ (и) = иж/2 .

Следствие. В условиях теоремы 2 справедливы равенства

рп

К (К' (Ф- )■ В, У) = Л (Ж« (Ф,). Вч. у ) = ■ (ж / п)

ж/2

пРп

Ьп (К) (Ф-). В, У у) = Лп (Ж() (Ф-). В, У у) =—• (ж / п)”2.

Поступило 16.09.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1977, т.22, 4, с.285-295.

2. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 1995, т.57, 1, с.30-39.

3. Шабозов М.Ш. - ДАН России, 2002, т.383 ,2, с.171-174.

4. Вакарчук С.Б. - Укр. мат. журнал, 2004, т.56, 9, с.1155-1171.

5. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2006, т.410, 4, с.461-464.

6. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.

7. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. - Изв. Ан РТ., 2009, т.136, 3, с.7-23.

о

М.Р.Лангаршоев

ЦИММАТИ n -ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН Бя>г, 1 < q <*

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

^иммати аники к,утрх,ои бернштейнй ва колмогоровии баъзе синфи функсиях,ои дар дав-раи вох,идй аналитикй, ки ба воситаи модули бефосилагй муайян карда шудаанд, дар фазои вазндори Бергман х,исоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули бефосилагй - наздиккунии беутарин - фазои вазндори Бергман - бисёраъзогии комплексии алгебравй - n -цутр^о

M.R.Langarshoev

THE n-VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE WEIGHT BERGMAN’S SPACE

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

In the article the exact value of Bemshtayne’s and Kolmogoroff s widths of some classes of analytical functions whose defined by modulus of continuity in the weight Bergman’s space are calculated.

Key words: analytical function - modulus of continuity - best approximation - weight Bergman’s space -analytical algebraic polynomial - n -widths.