Научная статья на тему 'О поперечниках классов аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана'

О поперечниках классов аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
76
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ / МОДУЛЬ ГЛАДКОСТИ / ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ / ПОЛИНОМ / МАЖОРАНТА / N-ПОПЕРЕЧНИКИ / BEST APPROXIMATION / MODULE OF SMOOTHNESS / WEIGHTED FUNCTION / POLYNOMIAL / MAJORANT / N-WIDTHS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лангаршоев М. Р.

В весовом пространстве Бергмана измеримая весовая функция, вычислены точные значения бернштейновских и колмогоровских -поперечников некоторых классов функций, аналитических в единичном круге. Полученные результаты обобщены на более общее пространство

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On the diameters of classes of analytical in unit disc functions in the weighted Bergman’s space

In the weighted Bergman’s space where is weighted function, the exact value of Bernshtein and Kolmogorov’s -widths of some classes of analytical in unit disc functions are calculated. The results were summarized in a common space.

Текст научной работы на тему «О поперечниках классов аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №5_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.Р.Лангаршоев

О ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.05.2014 г.)

В весовом пространстве Бергмана , 1 < q <х>, у> 0 - измеримая весовая функция, вычислены точные значения бернштейновских и колмогоровских п -поперечников некоторых классов функций, аналитических в единичном круге. Полученные результаты обобщены на более общее пространство 0 < Я < 1.

Ключевые слова: наилучшее приближение - модуль гладкости - весовая функция - полином - мажоранта - п-поперечники.

К настоящему времени в задаче вычисления значения поперечников классов аналитических в единичном круге функций достигнут значительный прогресс (см., например [1] и приведённую там подробную литературу).

В настоящей работе получены новые результаты, связанные с вычислением точных значений п -поперечников классов функций, аналитических в единичном круге, принадлежащих весовому пространству Бергмана, усредненный модуль гладкости которых мажорируется заданной функцией.

Пусть N - множества натуральных чисел, Ж - множества целых неотрицательных чисел

Ж - множества положительных чисел, и С - множества комплексных чисел. Известно, что аналитическая в единичном круге функция

ад

/ (г) = £ екгк, г = рви, 0 <р< 1

к=0

принадлежит весовому пространству Бергмана B у Л — Ч <х>, если [2]

q,r

f У7 q

± {{к \z \ )\f (z) I qda

I z\<1

1 — q (1)

где у(\ г | ) - положительная весовая функция и интеграл понимается в смысле Лебега. Переходя к полярным координатам, норму (1) запишем в виде

q,r

Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

1к \\д,/

( 1 1 У'9

- ¡¡Г(р)\/(реи рЛрЛ

К2л о о

Равенством

®2(/5 =

Г Л 12л Л1'9

= Бир

Щ<8

1 1 2 Л

-11 РУ(Р) \ /(ре1 Ь)) -2/р) + /(ре'А)) \9 йрйг

К2л о о

(2)

определим модуль гладкости в пространстве В у , 1 < 9 <ю. Легко проверить, что функция (2) обладает всеми свойствами модуля гладкости [3, с.151]. Символом

п

к

¿? = {р„(2)--Рп(2) = ?,ак2к, пеП, ак е С} к=0

обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени п. Величина

Еп(/):= {II/ - Рп-Лч,7 ■ Рп-1 е рп-}}

называется наилучшим приближением функции /(г) е ¿¡&ч , 1 < с/ < х элементами множества .

Для г е N обычную производную г -го порядка функции / ( г ) обозначим /(г) (г) ■= <^г/ ' (/(0) (г) ■= /(z)), а через /г) (г) ■= 3г/(ре" ) ' г обозначим производную г -го порядка по аргументу. При этом

/(г) = /'(г)гв и /') (г) = {/"-1) (г > 2.

Всюду далее полагаем

ски г = п(п — 1)... (п — г +1), п>г, и, г е N.

В работе [4] доказано, что для произвольной функции /(г) е В г, 1 < 9 < ю, у которой производные (г), и гг(г) также принадлежат этому пространству, при любых г, п е Н справедливы точные неравенства

1 л'(2п)

Еп(/),-2)Иг-1 { ^(/Г;(3)

л'(2п)

Еп (/)', < I ^ (г"/(г); 2?) ч, Л, п > г, (4)

п,г О

которые обращаются в равенства для функции (г) = а г", аеС, иёЖ

Приведем необходимые обозначения и определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Пусть X - банахово пространство; S - единичный шар в X; N - выпуклое центрально-

симметричное подмножество в X; Ли с X - п -мерное подпространство. Величины Ъп (Ж, X) = sup {sup {s> 0: ^S n Лп+, с Ж}: Лп+, с X},

dn (ЭТ, X) = inf {sup {inf {||f - 4 X :^еЛп}: f е 9Г }:Лп с X}

называют соответственно бернштейновским и колмогоровским п -поперечниками. Между указанными величинами выполняется неравенство [5, с. 13]

Ъ„ (N, X) < dn (N, X). (5)

Пусть Ф(и) - положительная неубывающая выпуклая вниз функция, определённая для u > 0 и удовлетворяющая условию lim Ф(и) = Ф(0) = 0.

Если N - некоторый класс функций, принадлежащий пространству B , то требуется найти

q,Y

величину

En:= sup{En(Л„: f *

Положим также

(1 - cos t\ := {1 - cos t, еслиО < t < ж; 2, если/1 > ж).

Приведённые выше неравенства (3) и (4) дают нам возможность вычислить точные значения некоторых n -поперечников классов функций, модуль гладкости которых мажорируется заданной функцией. Определим классы функций:

W(r)(Ф) = j f е :, J r);2t)q /dt < Ф(к) j

W(r)(Ф) = | f е : 1 { а2(zrf(");2t\,dt — Ф(й)|,

где re Z+, «gN и Ае R . Нам понадобится следующая

Лемма [4]. Для произвольного полинома рп (z) е P справедливы точные неравенства

®2(Рп,}а; 2t)q,r< 2(1 - cos nt).-nr\pn\q,7> 0 < nt — Л (6)

^(z^; 2t)q7— 2(1 - cos nt\-an\\\pn\\gj, 0 < nt — л (7)

м знак равенства в (6) и (7) реализуется функцией qn(z) = az", а е С.

Теорема 1. Пусть мажоранта Ф при любых п е N и к е удовлетворяет ограничению

Ф(к) 1 л пк

Ф(л'(2п)) л-2 пй

Тогда при любых г е 1 < ц < х имеют место равенства

ъп Ж г)(Ф), в,)=< (((ф), В,

л 1 л

л

— Г (1 -СОБX).Ж. (8)

ии ^

Еп(Жа(г)(Ф)) =-л----Ф

^ 2(л- 2) пг

к 2п

(9)

ъ (Ж(г)(Ф), ВТ _ Г) = й„ (К (г)(Ф), ВТ _ г

= Е (Ж(г)(Ф)) =—---- фГл]. (10)

п( ( 2(л-2) «,г 12пJ ( )

Множество мажорантных функций Ф, удовлетворяющих ограничению (8), не пусто. Доказательство. Покажем справедливость равенств (10), поскольку получение соотношений (9) основано на практически аналогичных соображениях. Для произвольной функции / е Ж(г) (Ф) из неравенства (4) получаем

л 1

^ 2пж'(2") ^

Еп--I ^г/(г);21),

2(л- 2) ап

Чл о

<

< л 1 ( л |

< 2(л- 2) V 2п /

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из этого неравенства и соотношения (5) получаем оценку сверху для перечисленных выше п -поперечников

Ъп (Ж(г)(Ф), < йп ((М(Ф), <

< Еп (Ж(г )(Ф)) <—---- ф(—\ (11)

п( ( ))9,г 2(л-2) «п,г К2пJ ( )

С целью получения оценки снизу для указанных п -поперечников в множество р о Вчу вве-

дем в рассмотрение шар

рпе р 1 р„||„< -л^) ~ Ф( ,

и покажем, что 5и+1 принадлежит классу Ж(г) (Ф).

В самом деле, используя определение класса Ж(г)(Ф) из неравенства (7) при любом к < с учётом ограничения (8), для произвольной р (г) е 5и+1 имеем

к к

1 ®2(ггр{п);2г)?,Л < 2«п,г ■ || Рп\1г ■1 (1 - совпО.л < к 0 к 0

1 / \ пк

1 _ ( ж 1 ж

< —

Ф| — 1-—I (1 - сов г). Л <Ф(к),

ж - 2 I 2 п ^ пк

0

откуда и следует включение £и+1 с Ж(г) (Ф). Следовательно, согласно определению бернштейнов-ского п -поперечника

» <Ж<')(Ф), в,) > » К, в,)> -¿«-(ж} <'2>

Сопоставляя оценку сверху (11) и оценку снизу (12), получаем требуемые равенства (10). Непосредственным вычислением убеждаемся в том, что условию (8) удовлетворяет, например, функция

Ф* (к) = ка, где

ж

а=- (1.75 <а< 2).

ж-2

Следствие. В условиях теоремы 1 имеют место равенства

ъп (жГ(ф*), в?,)=лп ((Ф*), в?

/■ \2(ж-1)/ (ж-2)

-Еп (ЖГ(Ф* ^(и (ж-2)-1 п

ъ„ (Ж (г)(Ф*), в?, ) = Л (( М(Ф*

/- \ 2(ж-1)/(ж-2)

= Еп (Ж с )(Ф*) 1г = (ж - 2)-1< п-ж/(ж-2).

В работе [4] доказано, что для произвольной функции /(г) е В К, 1 < ? < ад, 0 < Я < 1, у

которой /(г) (г) е В /, г/(Г) (г) е В у 1 < ? < при любых г, п е N имеют место точные неравенства

Еп (г)в,л < я"п-ге„ (/?%,, (13)

е„(1)в,л <ЯЧ-Х(гГ/(%,п >г, (14)

в которых знак равенства доставляет функция = аг", аеС. Используя неравенства (13) и (14),

распространим результат, полученный в теореме 1, на более общее пространство В К.

Теорема 2. Пусть г и мажоранта Ф при любом к е удовлетворяет условию (8). Тогда для произвольной й е N и 0 < /{ < 1 имеют место равенства

Ъп (Жа(г)(Ф), л.) = йп VТ Ягл) =

q,y,R У n ( a V 7? q,y,R

ж Rn r

= Е№Г)(Ф)) =—ж--—Ф

^ 'qуR 2(ж- 2) nr

Ъя (W(r (Ф), ЩууЛ ) = J ((Г),^

ж 2n

:En (W ( r )(Ф) ) = фЖ

"V v '}q'r'R 2(ж- 2) anr 12n J

Поступило 06.05.2014г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге. - Мат. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.

2. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана В2,У - Докл. РАН, 2007, т.412, №4, с. 466-469.

3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977, 511 с.

4. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. н., 2009, №3(136), с. 7-23.

5. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.

М.Р.Лангаршоев

ОИДИ ЦУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАР ДОИРАИ ВО^ИДЙ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар фазой вазндори Бергман Bq , 1 < q < ю, ки у > 0 - функсияи вазнии ченшаванда

мебошад, кимати аники n -к,утрх,ои бернштейнй ва колмогоровии баъзе синфи функсиях,ои дар

доираи вох,идй аналитикй х,исоб карда шудааст. Натичах,ои ба даст овардашуда дар фазои уму-

митари &qyR 0<R < 1 чамъбаст карда шудаанд.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули суфтагй - функсияи вазнй - бисё'раъзогй -

мажоранта - n -цутр^о.

M.R.Langarshoev

ON THE DIAMETERS OF CLASSES OF ANALYTICAL IN UNIT DISC FUNCTIONS IN THE WEIGHTED BERGMAN'S SPACE

Tajik National University In the weighted Bergman's space Bq , 1 — q < ад, where y> 0 - is weighted function, the exact value of Bernshtein and Kolmogorov's n -widths of some classes of analytical in unit disc functions are calculated. The results were summarized in a common space &qyR 0 < R — 1.

Key words: best approximation - module of smoothness - weighted function - polynomial - majorant -n-widths.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.