Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2011, том 54, №3____________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 511.524

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, А.З.Азамов

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА В ПРОБЛЕМЕ ВАРИНГА ДЛЯ ЧЕТВЕРТЫХ СТЕПЕНЕЙ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

Институт математики АН Республики Таджикистан

Доказана асимптотическая формула для количества представления достаточно большого

натурального числа N в виде суммы четвертых степеней натуральных чисел х1, / = 1,17 с условиями | х, - (И 117)1/4 \<Н, Н> Ы13/54+е.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма Г.Вейля - функция делителей - диофантово уравнение

- тригонометрический интеграл.

В 1770 г. Варинг [1] выдвинул гипотезу, что при каждом целом п> 1 существует число г = г(п). что всякое натуральное число N может быть представлено в виде

х;+х2и+...+х; = ту (1)

с целыми неотрицательными х1,...,хг. Эта гипотеза получила название проблемы Варинга, и в 1909 г. она была решена Гильбертом [2]. Харди и Литтлвуд [3] дали новое доказательство этой теоремы. Они ввели функцию (}(п) - наименьшее к такое, что (1) разрешимо при N > /V,, (я), и доказали, что

n<G(N)<n2" 1 /г; lim /г = 1.

оо

Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при г>(п — 2)2” 1 + 5 для числа J(N) представлений числа N в виде (1) нашли асимптотическую формулу вида

У(ІУ)= ^1 + 1/”^ Ы"~1& + 0(Ы"~1~с(п'г)), (2)

Г (г / п)

где & - некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число сх(п,г) и сх{п,г) > 0 .

В 1924 г. И.М.Виноградов [4,5] применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм и доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда имеет место при г > 2\п2(2\пп + 1п1пи + 3)]. В 1934 г. он доказывает [6] также, что С(п) < и(61пи + 10), затем несколько раз уточняет эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказывает [7], что

Адрес для корреспондентции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

G(n) <и(21пи + 41п1пи + 21п1п1пи + 13).

А.А.Карацуба [8] применил к оценке G(n) свой p -адический метод и получил более точный результат

G(n) < и(21пи + 21п1пи + 12).

Вули [9] доказал, что

G(n) < n\nn + n\r)kin + 0(\).

Величина G(n) известна только для к=2 и к=4, именно G(2)=4, G(4)=16, что соответственно доказали Лагранж и Давенпорт [10]. Ю.В.Линник [11] доказал, что G(3)< 7 . Вон [12] доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (2) имеет место при г — 8 и /7 = 3, В работе [13] доказана асимптотическая формула для числа представлений N в виде (1) при г = 9 и /7 = 3 с почти равными слагаемыми х,, | xt-(N/ 9)1/3 |< Н, Я > Nvw+S.

Обозначения. N - достаточно большое натуральное число, £ - произвольное положительное число, не превосходящее 0.0001, q — натуральное число, L= In N . /V, = TV /17 ' 4,

( 4 Л

an

n=1

S(N) = Y.T.

q-1 ОІ7

s1'(«,</)

q= 1 a=o

(a,<7)=l

T(a\x,y) = ^ е(сш4), y(A;x,y) = ^e(A(x-y/2 + yu)4)du.

x-y<n<x

Теорема. Для числа ./(А', //) представлений N суммою 17 четвертых степеней чисел /=1,2, ...,17 с условиями | д:; - |< Н, при Н > Ы13/54+е справедлива асимптотическая формула:

7-16

DLT

J(N,H) = — &(N) + 0

ґ Н16 Л

kn3/4l%

где В - абсолютная положительная постоянная, &(И) - особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное.

Последнее утверждение теоремы о том, что сумма особого ряда &(Ы) больше некоторого положительного постоянного непосредственно следует из теоремы 4.6 монографии [14].

Лемма 1. Пусть действительная функция /(и) и монотонная функция g(и) удовлетворяют условиям: /'(и)- монотонна, |Г(и)| >т> 0 и | %(и) \<М . Тогда справедлива оценка:

\g(u)e(f(u))du<^—. J т

a

Доказательство см.[15].

ъ

Лемма 2. Пусть (а, ц) = 1, q- натуральное число, тогда имеем

\ Ч ]

Доказательство см. [15].

Лемма 3. Пусть х>х0>0, ^[х < у < 0,01х , а- вещественное число, \а - а / q\<l / q2. (а, q) = 1, тогда

Г •, •, \ш

1 1 q

УУ Ч У )

Т(а;х,у)<6уие Доказательство см. [16].

Лемма 4. Пусть т>24х2у, тогда при {4Ах3}<-^, Л> О или {4Лх3} > 1 — А< О имеет место соотношение

Т(а, х, у) = ^^-Т(А; х, у) + 0(Ч1/2+е),

Ч

а при выполнении условия {4Ах3 } >-^, А > 0 или {4Ах3} < 1 — А < О имеет место соотношение

’) ........

/^1 С „3/4 1__ „1/4 „1/2

Т(а,х,у)~------ —Т(А',х,у) + 0^ \nq + q х

Ч

Доказательство см. [17].

Следствие 1. Пусть т > 24х2у и \ А 1^-^т, тогда имеет место соотношение

0,5

Т(а,х,у) = — 5(а^)/(А;х,у) + 0(дУ2+е), у(А\х,у)= [ е(А(х~ — + у1)4)(М.

Ч -15 2

Следствие 2. Пусть г > 24 х2 у и <\А\<-^, тогда имеет место оценка

Т(а, х, у) <К с^!41п q + д1/4х1/2.

Лемма 5. Пусть х и у —натуральные числа, \[х<у< 0,01х, тогда имеет место оценка

||Г(ог; х,у)^в сіа « у12+к.

Доказательство см. [18].

Доказательство теоремы. Не ограничивая общности, будем считать, что

13 | Г- _1 ~

Н = Ы54 . Пусть О = 0,5НЬ , т = 48( Л', + Н) Н, жт — 1. Легко можно показат, что

0

1-ЭВ

Н)= | Г17 (а; N. + Н, 2 Н)е(-аН) сІос + О

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [-ЗЕЇ \-Щ представимо в виде

(Л 1

а- — + Л, (а,</) = 1, 1 <</<г, \Л\<—. q qт

(3)

В этом представлении 0<a<q — \, причем а- 0 лишь при <7 = 1. Через Ш обозначим те а, для которых q <Q в представлении (3), а через Ш оставшиеся а . Множество ЭДТ состоит из непересе-кающихся отрезков. Разобьем множество М на множества М1 и М2:

а

а — Я

Ш1 = : а є Ш,

Ш2 = \ а: а є Ш,3 <

<ё\, д =

1

8^ + Н)3

а

а---

Я

<

qт

Обозначая через J(Ш;) , J(Ш2) и J(т) соответственно интегралы по множествам , Ш2 и т, будем иметь

Л^Ы, Н) = ЛШг) + ЛШ2) + У (ш) + О

Г Н16 Л уК3/4Ь%

(4)

В последней формуле первый член, то есть J(Ш)) , доставляет главный член асимптотической формулы для Л^Ы,Н), а J{Ш2) и ./(Щ) входят в его остаточный член.

Вычисление интеграла J(Ш)) . По определению интеграла J(Ш)) имеем:

9~1

« = \т17 - + Л-,К1+Н,2Н

-1 q

N

<ІА.

(5)

Из соотношения а11 —Ь11 < 17 | а — Ь | (| а |10 + | Ь |10) следует, что

|16 , I т |16>

Т1

а

+ Л,К1+Н,2Н

(2Н)и8и(а,д)

у17 (Л; + Н, 2Н) + К,

(6)

Я «

Т

а

- + Л,Ы1+Н,2Н

КЯ ,

2Н$(а, д)

у(Л-Ы1+Н,2Н)

Ґ Т ( \ а - + Л,Ы1+Н,2Н \б + 2та,9)г(я.л+н,2Н) 1бЛ

V и Я )

сВ

1

Пользуясь следствием 1 леммы 4, находим

Т

а

- + Л,Ы1+Н,2Н

КЯ .

2 Ж(а, д)

у{Л\Кх+Н,2Н)<^д112+е.

Следовательно,

Я « дУ2+Е ґ Т ( \ о - + Л,Ы1+Н,2Н 16 + іта,9) н н,2Н) 1бЛ

V и ^ Я )

Подставляя эту оценку для Я в (6), а затем найденное выражение для Т17(а/д + Я; Л'', + Н,2Н) из (6) в (5), найдем

дщ) = (2Н) ©(Л',0)1 (Л')++/г2,

(7)

6<вд)=хЕ

д-1 о17

Яи(а,4)

д<д а=0 д

(а,<¡0=1

/ лтЛ

аЫ

к Я ,

3(ІУ)= | /7 л-ы.+нан е -ЛЫ сіл,

9-1 ^

4«е|,в*11 I

Г - + Л;Ы1+Н,2Н

и .

16

¿/А,

^<<2 а=0 ¿7

(а.<7)=1

Р,?)= ||гС^і+Я’2Я^-

Оценим Кг. Имея в виду, что д <\/ дт, £/<0 = 0,5///. 1 и ШТ, состоит из непересекающихся отрезков, а затем, пользуясь леммой 5, находим

1—¿£?

« б1/2+" | +Я,2Я)|16 сіа « я2— «

Я16

ж3/418 ■

Оценим . Пользуясь леммой 1 для оценки интеграла у (Л; + Я, 2 Я), имеем

Г(Л;Ы,+Н,2Н)= \е(1(Ы,+2Н„?),1и^тт{\А\Х\-'), «?,= '_

0 5 ол (7У1 г!)

Подставляя эту оценку в выражение для $(А\ д) и имея в виду, что 80 < 8, находим

д) « + Г 816Л-16с1Л < — 80 « —^.

0 / 0 15 0 ЯМ3

— ев

о

Воспользовавшись этой оценкой и леммой 2 для оценки Л’(£/, ц). найдем

г_г15 г_г15

^ «'Т7Г Е ^_3’5+г « 77577 «

і

АГ4 Л^3/418

Часть интеграла 3(Л'') соответствующая отрезку [-<)', ]. 31— Ь(81Ш1) ' <8. обозначим через

I (Ы) , а отставшую часть 12 (Ы) . Оценим сверху интеграл 12 (Ж) . Пользуясь леммой 1 для оценки интеграла у(Л\К1 +Н, 2Я), дг <\ Я \< д, найдем

у{Х\Ы1+Н,2Щ<ктсЫЦ%\^\Н{К1-Ну\ «\\ЦНЩ) .

Подставляя эту оценку в выражение для 12 (Ы) , имеем

X

(Ж) «------1—- [VіСІЛ <---------

(Ш.!3)17 •> с™

(яд/;)17 16^;° яд/"4/.1

1 1

«с

16

3/4 г16 •

Теперь найдем асимптотическое поведение ^(Л^). Полагая Л = (8А^3Я) V, и воспользовавшись известной формулой (см. [19] стр. 174) при т — 1 и /7 =17. имеем цепочку равенств

1 /ж • 17 ,

з, (ло = —— л+ост16)

1 4лІЇН\і і11

Ы3/4Н

-^г + 0\Г

в =

4-16!

£(-1)‘С‘(17-24)

к=0

Отсюда и имея в виду найденную оценку для 32 (N) , находим следующую асимптотическую формулу для особого интеграла 1(Ы) :

Ж3/4Я

Вычислим теперь двойную сумму &{Ы, О) . Сумму по £/ заменим близким к ней бесконечным рядом, не зависящим от () . Воспользовавшись леммой 2 для оценки | Л(£/, с/)\. имеем

„л (

Я (а, д)

-17

<И

« Е Е^-425 < Е^-325 « б"1« ш~1-

V у /

9>е

Поэтому

°° 9-1 <?1?ґ77 /7^

Є(ЛГ,0) = &{Ы) + О^Я1), Є(Л0 = £ £

/ лтЛ

аЫ

д=\ а= 0 С[

(ая)=1

V у У

Подставляя найденные оценки для /^2 и значение З(А'). &( А/,0) в соотношение (7), найдем

■/(ад,)^-8бу’(1+о(Г)).

Сумма особого ряда ©(Л^) превосходит некоторое число с{К! ) и с{К! ) > 0 (см. [14], теоремы 4.6).

Оценка интеграла J(9Л2) . Оценим Т(а',Ы1+ Н,2Н) для ОС из множества Ш12. Если а е Ш12, то то в представления (3) <5 <| А и 1 ^ Ч ^ 0.5Н171. Согласно следствию 2 леммы 4, имеем

/ лг I пт о тт\ » 3/4 -I . 1/4 дт-1/2 >> тт-3/4 т-1/4 . тт-1/4 д 7-1/8 г—1/4

1 (а,М1 + Н,2Н) <К д 1пд + д <КЯ ь + Я Ту ь =

^ (^у'_216_1а8£+е2£33/4 _|_ ]у~~36~Ше+е2 1 . Н

МШЬ« [ j ^3/4^8 •

Пользуясь этой оценкой и леммой 5, находим

1-ж ТТ^

J(Ш2)< шах|Г(а;+ Я, 2Я)| | |Г(а;+ Я, 2Я)|16 ^ .

2 -ее ^ ^

Оценка интеграла /(т) . Оценим Т(а;Ы1 +Н,2Н) для а из множества Ш. Если ает, то в представление (3) 0.5//Л 1 < с/ <т ~ 48(Д/'| +Н)2Н. Согласно лемме 3, имеем

Г(а;Ж1+Я,2Я)«Я

\ + В

1 1 т

—I------------1 j

Q Я Я4

f т 1 лг2 Л

Z 1 К

----1-----1---г

~ ~ у кН Н Н\

«Я1

7 I р 1 5,о Я4 ^ Г - 1 _ 623р,с.2 _677 с-,р2 ^ fj4 ^

« Я*+£1 + Ж“Я*+£ = ^ ^ “£ £ L9 + Ж £ Z «

Ж3/4181 J Ж3/418 '

Как при случае оценки J (ОТ2) пользуясь этой оценкой и леммой 5, находим

1 -ее

J(m) < max \T(a; Nx + Я, 2Я)| J |Л>; + Я, 2Я)|16 ¿/а.« .

-ж ^

Поступило 18.01.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Waring E. — Meditationes algebraicae. - Cambridge, 1770.

2. Hilbert D. — Math. Ann., 1909, bd. 67, s.281-300.

3. Hardy G.H., Littlwood J.E. — Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math. - Phys. Kl., 1920, s.33-54.

4. Виноградов И.М. — Матем. сб., 1924, т.31, 3-4, с.490-507.

5. Виноградов И.М. — Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - М.: Наука, 1980, 160 с.

6. Виноградов И.М. — Изв. АН СССР. Сер. физ-матем., 1934, вып. 10, с.1455-1469.

7. Виноградов И.М. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1959, т.23, 5, с.637-642.

8. Карацуба А.А. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1985, т.49, 5, с.935-947.

9. Wooley T D. — Ann. of Math., 1992, v.135, 1, pp.131-164.

10. Davenport H. — Ann of Math., 1939, 40, pp. 731-47.

8

11. Линник Ю В. — ДАН СССР, 1942, 36, с.179-180.

12. Vaughan R.C. — J. fur die reine und angewandte Math., 1986, 365, pp.122-170.

13. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. — ДАН РТ, 2008, т.51, 2, с.83-86.

14. Вон Р. — Метод Харди-Литтлвуда. - М.: Мир, 1985, 184 с.

15. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. — Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987, 368 с.

16. Хуа Ло-ген — Метод тригонометрических сумм. - М.: Мир, 1964, 190 с.

17. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров — ДАН РТ, 2010, т.53, 10, с.737-744.

18. Азамов А.З. — ДАН РТ, 2011, т.54, 1, с.13-17.

19. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. — Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. -М.: Физматгиз, 1963, 342 с.

ЗД.Рах,монов, А.З.Азамов ФОРМУЛАИ АСИМПТОТЙ ДАР МУАМОИ ВАРИНГ БАРОИ ДАРА^А^ОИ ЧОРУМ БО чамъшавандаои ЦАРИБ БАРОБАР

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Барои микдори тасвирх,ои адади натуралии кифоя калони N ба намуди суммаи дарачахои чоруми ададхои натуралии хп /' = 1,17, бо шартхои | х1(N/17)1,'4 \< Н, Н > дг13/54+£5 формулам асимптотй исбот карда шудааст.

Калима^ои калиди: суммауои тригонометрии Вейл - функсияи тацсимшавй - муодилаи диофанти

- интеграли тригонометри.

Z.Kh.Rakhmonov, A.Z.Azamov AN ASYMPTOTIC FORMULA IN WARING’S PROBLEM FOR FOURTH POWERS WITH ALMOST EQUAL SUMMANDS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan An asymptotic formula is obtained for the number of representations of sufficiently large natural number N by a sum fourth powers of natural numbers xt, /' — 1,17 with conditions | xt — (N /17)14 |< H,

H > N13,54+e.

Key words: exponential Weyl ’s sums - divisor function - Diophantine equation - exponential’s integral.