Аппроксимация плотности вероятности ортогональными функциями Лагерра и получение аналитических выражений для характеристической функции по параметрам модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аппроксимация плотности вероятности ортогональными функциями Лагерра и получение аналитических выражении для характеристических функции по

параметрам модели

Прохоров С.А., Дегтярева О.А. ([email protected])

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет

Аппроксимация плотностей вероятности и получение аналитической модели /а (х)

возможно различными способами. Один из них - аппроксимация ортогональными функциями Лагерра. Этот метод аппроксимации применяется в двух вариантах:

-совмещение областей определения модели плотности распределения и ортогональных функций;

-разделение модели плотности на левую и правую ветви относительно моды. После подбора оптимальных параметров в первом случае модель плотности вероятности может быть представлена в виде:

fa (x)=^ßkLk (x - Х min,a), Q)

k=0

где x min - минимальное значение абсциссы области определения плотности вероятности,

ад

ßk =а\ fa (Х + Х min)Lk (X a)dx , (2)

х

а \

о

а ортогональные функции Лагерра определяются в виде

к

- И I I - 1/1 I ~

(к ' л.,\2 * 2

Для повышения точности рекомендуется вместо коэффициента вк использовать коэффициент Ьк, имеющие вид:

Т ( ) k! (-ax) -f

Lk (xa)=Z(-S) • w e (3)

/а (Х т1п) -^Рк

Ьк =Рк +-(4)

т +1

Аппроксимация плотности ортогональными функциями Лагерра представлена на рисунке 1. Полученные аналитические выражения для плотности вероятности могут служить для расчета характеристических функций.

Характеристическая функция имеет следующий вид:

+ад

Рх (1) = Ыег0[ = \ вш/х (х)ёх (5)

—ад

и получила широкое применение в теории вероятностей в силу следующего свойства: -если Х1 и Х2 - независимые случайные величины, а У=Х1+Х2, тогда

Рт (1) = Рх<$) + Рх2(1) (6)

При суммировании независимых случайных величин их плотности распределения преобразуются по формуле свертки, которая весьма неудобна для исследования и реализации, гораздо проще ее заменить простым перемножением характеристических функций.

В общем случае характеристическая функция является комплексной функцией и представляется в виде:

Рх 0) = Яе Рх 0) +*1т Рх 0) > где Яе (рх ) =| cos(гx)/х (х)ёх; 1т (рх ) =| sin(гx)/х (х)ёх;

(7)

или

где

Рх 0) = (х 0^рф),

\Рх($)| Ч(ЯеРх«))2 + (1т(х«))2 .

(8) (9)

а) Совмещение областей определения плотности вероятности и ортогональных функций Лагерра

1

б) Разделение плотности на две ветви относительно моды

Рисунок 1. Аппроксимация плотности вероятности ортогональными функциями Лагерра

Таким образом, формула (5) с учетом выражений для модели плотности вероятности /а (х) (1), (4) выглядит следующим образом

P

m

(t) = J Z bkLk (x — xm , a) exp(itx)dx

(10)

к=0

Формулы для аналитического интегрирования функций Лагерра выглядят следующим образом:

+œ 1

J Lk ( x, a) exp(—itx)dx =-

a

— + it 2

it — -

a 2

a

it + — 2 у

(11)

+œ 1

J Lk (x, a) exp(itx)dx =-

1 Г. — Л it + — 2

a it . a

-- it--

2 1 2

(12)

Если сделать замену х — хm = v, тогда выражение (10), с учетом формул (11), (12) примет вид:

Pa

m

(t ) = JZ bkLk (v,a)exp(itv)exp(itxm)dv

0 к=0

exp(itxm )Z bk J Lk (v,a)exp(itv)dv = exp(itxm ) —— Z b

^ m / / i k | к

к=0 0

— it k=0 2

it + — Л

—

2

it — a

—

2 У

(13)

Обозначим tgр = —, тогда а

2 1 m

Ра (t) = - еХР(11Хт ) "—-— X Ьк а 1 — ltgр к=о

2

СОБР

= - exp(itxm) . . Z k

a cosp — i sinpk~0

■Z b

/ \k itgP +1

itgP — 1

/. . \k i sinP + cosP

vi sinP — cosPу

2

СОБР

= — ехр(11хт)-—— X к

а ехр(—1р) к=о

Таким образом

2

Г exp(ip) Л — exp(—íp)

(14)

Ра(1) = -ехр(1гхт)собрХЬк(—1)к ехр(1(2к + 1)р) (15)

а к=0

Так как характеристическая функция является комплексной, то представим ее в следующем виде, воспользовавшись формулой (7):

Pa

2

(t) = — cos p(cos txm + i sin txm )Z bk (—1)k [cos(2& + 1)p + i sin(2k + 1)P]

a к=0

(1б)

и введем следующие обозначения: A(t) = cos txm, B(t) = sin txm,

m m

C = 2 bk (-1)* cos(2k + 1)p, D = 2 bk (-1)k sin(2k + 1)p

k=0

к=0

Тогда вещественная и мнимая части запишутся в виде:

m

к

к

к

' i

Re(pa (t) = -cosp[A(t) • C - B(t) • D], а

Im pa (t) = — cos p[A(t) • D + B(t) • C ], a

2t

(17)

(18)

где (р = ат^— .

а

В другом случае модель плотности вероятности получается методом двусторонней аппроксимации плотности распределения с максимумом Ат в точке хт и имеет вид

( тж тп ^

fa (x) = Am Z Рк,пLk (Xm - X аЛ )1(Xm - x) + Z вк,пLk (x - Xm , ап )1(X - Xm )

V к=0

к=0

где

Ркп =ап { fa (X + Xm )Lk (Х ап )dX ,

0

Рк,п =ал { fa (Xm - x)Lk (х,ап )dx

(19)

(20) (21)

1( X) =

1, X > 0

-1, X = 0 и 1(-x) = < 2

0, X < 0

0, X > 0

-1, X = 0 2

1, X < 0

(22)

Рекомендуется использовать коэффициенты

тп (л)

b

= Рк ,п( л) + '

к,п(л) У к ,п( л)

' т / t г к,п(л) к=0_

тп( л) + 1

(23)

Имея аппроксимирующее выражение (19) для плотности вероятности с учетом формулы (23) получим аналитические выражения для характеристической функции. Выражение (10) будет выглядеть следующим образом:

+<» (тл тп \

- х,

Ра (0 = | Ат ЭД.А.л ((Хт - Х,аЛ )1(х - Хт ) + А,п (х - Хт -п )1(Хт-Х) ЫрЦ^ . (24)

у к=0 к=0

Сделаем замены Хт - х = и и х - Хт = V, получим

Pa

т

тп

(t) = Am JZ Ьк ,п Lk ^^^pQ^^pQ^m )dv

0 к=0

+

m л

+ Am bk,лL

к,n (u, ал) exp( -itu) exp( itXm )du .

0 к=0

(25)

Проделав преобразования, аналогичные преобразованиям (14-16), получим

2 тп

Ра 0) = Ат -С08 Рп (С^ + 1 sin ^т Ьк,п (-1)к [c0s(2k + 1)Рп + ' sin(2k + 1)Рп ] +

ап к=0

2

+ Am-C0S Рл (C0S tXm + i Sin tXm )Z Ьк,л [c0s(2k + 1)Рл - i sin(2k + 1)Рл ]

m

ал к=0

Введем следующие обозначения: B(t) = cos tXm, C(t) = sin tXm

тп (л)

Dn(л) = ZЬк,п(л)(-1)к cos(2k + 1)Рп(л):

к=0

п(л)

Eп(л) = ZЬкм.л)(-1)к ^п(2к + 1)p

к=0

п(л)

а) действительная часть б) мнимая часть

Рисунок 2. Характеристическая функция закона Релея с параметром 5=1

а) действительная часть б) мнимая часть

Рисунок 3. Характеристическая функция закона Лапласа с параметрами а=1, ц=1

а) действительная часть б) мнимая часть

Рисунок 4. Характеристическая функция закона Симпсона с параметрами a=0, Ь=1

Теперь можно записать:

2 2 ЯеРа(1) — Ат собРп[[) • Бп — С(1) • Еп] +—Ат С0БРЛ [) • Бя + С(1) • Ел], (27)

ап

ал

22 1тРа(1) = — Ат С0БРп [В(1) • Еп + С(1) • Вп]--Ат собРл [В(1) • Ел — С(1) • Вл], (28)

ап

21 21

где Рп = ат^—, рл = ат^—.

ап ал

ал

Рассчитанная по данным формулам характеристическая функция для трех типовых законов в сравнении с теоретической характеристической функцией представлена на рисунках 2, 3, 4. Получены следующие результаты:

- для закона Релея с параметром 5=1 СКО вещественной части составило 0,2556, а максимальная погрешность 0,0481; СКО мнимой части - 0,1006, максимальная погрешность - 0,0291;

- для закона Лапласа с параметрами а=1, ц=1 СКО вещественной части - 0,2479, максимальная погрешность - 0,0576; СКО мнимой части - 0,4144, максимальная погрешность 0, 1166. При ручной корректировке параметров аппроксимации плотности вероятности можно достичь для мнимой части СКО=0,2402, максимальной погрешности= 0,0483;

- для закона Симпсона с параметрами a=0, Ь=1 СКО вещественной части - 0,1810, максимальная погрешность - 0,0392; СКО мнимой части - 0,1341 максимальная погрешность - 0,0271.

Литература

1. Прохоров С.А., Иващенко А.В., Графкин А.В., Автоматизированная система корреляционно спектрального анализа случайных процессов. Уральск: «Экспо», 2003г. -287с.

2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебное пособие. - М: Гардарика, 1998г. - 323с.