Частотные характеристики ортогональных функций Сонина-Лагерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518.3

С. А. Прохоров, И. М. Куликовских

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ СОНИНА-ЛАГЕРРА

Проведён анализ частотных свойств ортогональных функций в базисе Сонина—Лагерра при изменении

параметров ортогонального базиса. Определены основные соотношения, используемые при построении аналитических моделей корреляционной функции и спектральной плотности мощности.

Один из эффективных способов решения задачи корреляционно-спектрального анализа сводится к построению их ортогональных моделей в том или ином базисе [1].

Наличие широкого ассортимента хорошо изученных ортогональных базисов из числа классических, обладающих большим диапазоном разнообразных свойств и особенностей, обеспечивает возможность создания эффективных алгоритмов аналитической аппроксимации с высокой степенью адаптации к каждому сигналу [2].

В настоящее время наиболее хорошо изучены ортогональные базисы экспоненциального типа, имеющие единичную весовую функцию [1, 2], такие как Лагерра, Лежандра, Дирихле, Якоби. Другим ортогональным базисам с весовыми функциями отличными от единицы уделяется значительно меньше внимания, в частности ортогональному базису Сонина—Лагерра с варьируемым параметром а.

В общем случае ортогональные функции имеют следующее аналитическое выражение:

(а) 1т „Л _ к Ск-8 Нт)6

ґ^к к+а 6!

к+а 6_0 '

ехр

(- ?).

(1)

значение

функций в «нуле» которых і(.а) (0, у) _ 1, а норма имеет вид

(а)

_ / 1(а) (т’ 7) іт (т, г) И(а) (т) Лт _

Г(а+1)

С1аГа+1’

0,

к_ т; к _ т,

(2)

где ^(а) (т) = та — вес ортогональной функции.

Аналитические выражения и свойства ортогональных функций Сонина—Лагерра Ь(а) (т, у) при а = 0, 1, 2 представлены в табл. 1.

Таблица 1

Ортогональные функции Сонина—Лагерра и их свойства

а

іа (т. г)

і

(0)

(т, г) _ і С1-(-^ехр (-Ц-) б_0

4”(т. Г) ^ехр (-И

5_0

2 )

( +1) ( +2)

^к-$ (-ГтУ

£ Ск+~/^ехр (-?)

б_0

(а)

у2( к+1)

4

у3( к+1) ( к+2)

!ІаГ (0,7)

/і(а) (т)

Определим преобразование Фурье ортогонального фильтра Сонина—Лагерра в виде

(І ш) _ ——2 [ ^ (т, Г) Ц{а) (т) ехр (-] шт) Л т.

(а) 2

(а)

^ 0

(3)

Проведя последовательность преобразований, выражение (3) можно привести к виду

(і ш) _ г (а+1

(а)

(і ш + 2 )а+1

2

/ • г і Ш - 2 • У

и Ш +2І

(4)

2

к

2

к

1

1

к

т

2

т

к

к

Выражение (4) имеет альтернативную форму представления, получаемую введением в дан ном выражении замены

2ш

ф = аг^—,

Г

и имеет вид

*(а) ( ) (-1)k2а+ТГ(а + 1) а+Т

W*(o:)( j ш) = - ;cos«+T

L

(а)

Y

а+Т

cos“+T ф exp | - (2k + (а +1)) jф|

(5)

(6)

Определим действительную и мнимую части (6):

(-1)k 2а+ТГ (а +1) а+1

Re Wk j Ш =

L

Y

а+Т

cos“+ фcos [(2k + (а + 1))ф] ;

ImW*^ (jш) = -( Т) 2—2Г(а + Т) cos“+Tфsin[(2k +(а + 1))ф].

L

(7)

(8)

Y

а+Т

Выражения для действительной и мнимой части преобразования Фурье ортогонального фильтра для выбранных значений параметра а представлены в табл. 2.

Таблица 2

Преобразование Фурье ортогонального фильтра Сонина—Лагерра

а ReW*w (jШ ImW;tfl) (jm)

0 (-1)k2cosфcos [(2fc+1)ф] (-1)k+T2cos ф sin [(2k + 1) ф]

1 (-1)k4(k +1)cos2 фcos [(2fc + 2) ф] (-1)k+14 (k +1) cos2 ф sin [ (2 k + 2) ф]

2 (-1)k4(k +1) (k + 2) cos3 фcos [(2k + 3) ф] (-1)k+T4 (k +1) (k + 2) cos3 ф sin [(2k + 3) ф]

Преобразование Фурье ортогонального фильтра часто используют при построении аналитических моделей корреляционных функций (КФ), которое позволяет получить простые аналитические выражения для расчёта коэффициентов разложения конкретных моделей КФ [1, 3]. В общем случае коэффициенты разложения КФ имеют вид

ТО

ek = ——-2 [ Px (т) Lk“) (т, у) 1(а) (т) dт. т(а) Ч k

L>. О

(9)

Представим нормированную КФ (НКФ) рх,5(т) =exp (-А |т|) cosш0т с использованием преобразования Эйлера в виде

P x,5 (т) = Т (exp ( - (Л - j Mo) Т + exp (- (Л + j Mo) т)).

Подставив (10) в выражение (9), получим

ТО

ek,5 =-1—2 ( Lf (т, y) f exp (- (Л - j Mo)) + exp (- (Л + j Шо) ) 11(а) (т) d т.

(а) 2 k

o

L

(10)

(11)

Далее, воспользовавшись методикой, описанной в [3], и вводя обозначения tgф1 = ,

ф1 = аг^ , А1 = ; tgф2 = , ф2 = аг^ , А2 = , получим результирующее выражение

в виде

вк,5 = Г(а +12) Af+Bcos“+TфlCos [(ф2 -фі) k- (а +1) фі],

L

(а)

(12)

где B =

Ат cos фі A2 cos ф2 •

k

2

k

k

Выражения для расчёта коэффициентов разложения модели

Рх,5 (т) =exp( - Л |т|) cosы0т

представлены в табл. 3.

Для определения коэффициентов разложения моделей

Рх,6,7 (т) = e Л|т| cos Шот ± — sin Шо |т| I Шо

достаточно определить величину

Л

Таблица 3

Выражения для расчёта коэффициентов разложения р х5(т)

а

ek,[

Y■ АтBk cosфТ cos [kф2 - (k + і) фТ]

Y2 (k + і) A2Bk cos2 ф1cos [kф2 - (k + 2) фТ]

2у3 (k +1) (k+2) A3Bk cos3 фТ cos [kф2 - (k+3) фТ]

J=

2 j ■

L

(а)

jL(k“) (т, у) exp( - (Л - j Mo)] - exp (- (Л + j Mo)] і(а) (т) d т. (13)

2k Mo o

Отсюда определяются коэффициенты разложения рх>6>7 (т) как

Pk,6,7 = Pk,5 ± /»

где

J = -

Г (а +Т) Л а+і k__________а+1 .

L

(а)

Аа+ B cos“+ ф1sin (ф2 - фТ) k - (а + 1) фТ

Mo

Подставив (15) в формулу (14), получим окончательный результат (см. табл. 4):

вк ,6,7 = Га^2) АГ1 Bk cos“+T фі

L

(а)

cos

(ф2 - фі) k - (а + 1) фі

Л

Т — sin Mo

(ф2 - фі) k - (а + 1) фі

Таблица 4

Выражения для расчёта коэффициентов разложения рx,6,7 (т)

а

f$k ,6,7

вk = г ■ AiBk cos фі cos [ kф2 - (k + і) фі ] т Щ;0 sin ^2 - (k + і) фі ] вk = у2 (k + і) ■ A2Bk cos2 фТ cos [kф2 - (k + 2) фТ] Т Mo sin [kф2 - (k + 2) фТ] вk = r (k+i)(k+2) _ A3Bkcos3фі cos [kф2 - (k + 3)фі] Т Л sin ^ф2 - (k + 3)фі]

(14)

(15)

(16)

Полученные аналитические выражения для расчёта коэффициентов разложения позволяют существенно снизить временные затраты и повысить точность и порядок вычисляемых коэффициентов разложения при расчёте на ЭВМ.

Определив коэффициенты разложения вк, для построения модели КФ необходимо решить задачу определения параметра масштаба у, обеспечивающего минимальную допустимую погрешность аппроксимации. Для ортогональных функций Сонина—Лагерра при а = 0 данная задача решена [4]. Одно из возможных решений, обеспечивающих допустимую погрешность аппроксимации и лучшую сходимость с наименьшими вычислительными затратами, связано с введением ограничения во = 1- Данное уравнение для модели рх,б(т) примет вид

ТО

— f

т(а) 2 J

Ln 0

Iа (т,у) exp (-Лт) та cosM0Tdт = 1.

(17)

Проведя ряд преобразований, соотношение (17) можно записать следующим образом:

а!

L

(а)

(2 + Л + jMor1 (2 + Л - jMor1

= 1.

(18)

Л

k

2

k

k

1

1

2

2

При а = 0 (18) принимает простой вид:

2+л

(2+л)2+m2

= т.

(19)

В результате проведения ряда преобразований и решения квадратного уравнения (19) с учётом того, что параметр масштаба у> 0, получим

J = 2\j Л2 + ш\

(20)

Заметим, что параметр масштаба у, определённый по (20), находится вблизи оптимального значения уопт и обеспечивает погрешности аппроксимации, близкие к минимальным [4]. В подтверждение изложенному ниже представлены графические зависимости относительной погрешности аппроксимации при заданном т = 7 от параметра масштаба у для рассматриваемых значений а (см. рис. 1). Вертикальной штриховой прямой на рисунке указано найденное решение (20). Здесь в качестве КФ взята модель

Рх ,5 (т) = ехр (-|т|) С085т. (21)

Следует отметить, что с увеличением порядка погрешность вычисления коэффициентов разложения, полученных с помощью (12) и (16), уменьшается, что говорит о выполнении равенства Парсеваля [1].

Рис. 1. Зависимости относительной погрешности аппроксимации при т = 7 от параметра масштаба у для различных значений а

Определим преобразование Фурье ортогональных функций Сонина—Лагерра в виде

Wf (jш) =J Та) (т, у) exp (-jшт) dт.

(22)

Подстановкой выражения (1) в формулу (22) получим результирующее выражение

W jш=^м+'а (-Y

Ck+а s=0

которое с учётом (5) можно представить в виде

(2 + j Ш)

s+1,

2cos ф

Y.(-2)s С^а coss ф ■ exp (-[ (s + 1) j ф]).

С1аГ s=0

Определим действительную и мнимую части полученного преобразования Фурье:

ReWf) {jШ) = j (-2)s Cj— cossфcos [(s + 1)ф];

к+аГ s=0

ImW'“) (jш) = -2c°^ f (-2)s Ck-cossфsin [(s + 1)ф]

Ч+аГ s=0

Выражения для действительной и мнимой части преобразования Фурье ортогональных функций для выбранных значений параметра а представлены в табл. 5.

Преобразование Фурье ортогональных функций Сонина—Лагерра может быть использовано при решении разнообразных задач, в том числе при определении длительности ортогональной функции, исходя из выражений

(2)

ТО

= J Lf (т, у) dт = Wf' (0) =

2k —-----£(-2)sC

Ск+а'У s=0 1

s k-s

k +а

или

т!?> =

/(l£° (т. г))

у) d т.

k

1

s

k

U

Таблица 5

Преобразование Фурье ортогональных функций Сонина—Лагерра

lmWla) {]со)

а

ReWf) {]со)

к

£ (-2)5ск 5 С085 Ф С08[(х + 1)ф]

2008 ф ~~ 5=0

Э С085 Ф008 [(5 +1)ф]

£ (-2) 5 ск 5 С085 ф 8Іп[(х +1)ф]

5=0

к

4с08 ф

к

(к+1)(к+2)Г 5^0(-2)5 СШ0085ф008 [(5 + 1)ф]

2с08 ф ~

- Е(-2)5Ск-1 008* ф 8Іп[(5 +1)ф]

і.

4с08 ф

( к+1)( к+2)у

Т. (—2)5 Ск+2 С085 ф 8Іп[(5 +1)ф]

5=0

При построении аналитической модели спектральной плотности мощности (СПМ) также используется преобразование Фурье ортогональных функций. Определив параметры модели КФ у, во, ..., вт в виде

Ка (т) = а"

Е в к ^ (т, у) 1 (т) + £ в к ^ (-т, т) 1 (-т)

=0

=0

оценим СПМ:

ТО 0 г

1 Г О т { ч

Яа м = — Ка (т)ехр (-; ^ т = -^ £ в к (-1")

2П ^ 2П к=0

а2 га

= в .()о).

2П к=0

В табл. 6 приведены модели СПМ при выбранных значений параметра а.

По полученным аналитическим выражениям проведён сравнительный анализ моделей СПМ при рассматриваемых значениях параметра а. В качестве модели КФ используется (21), параметр масштаба для которой определяется из выражения (20). Можно сделать вывод, что с увеличением а СПМ восстанавливается наиболее точно (см. рис. 2), т. е. при а = 1 и а = 2 модели СПМ лучше описывают теоретическую кривую СПМ, однако для этого требуется большее число членов разложения. Так как современные ЭВМ позволяют строить ортогональные модели высоких порядков, данная проблема не препятствует использованию ортогонального базиса Сонина—Лагерра для решения задач аналитической аппроксимации, и, в частности, для построения моделей КФ и СПМ.

Таблица 6

Модели спектральной плотности мощности в базисе Сонина—Лагерра

а

2ах соъф пу

2(7%С08ф пу

4(Ту соэф

Е РкТ.(-2УС% 5 СОв* 0СОв [(5+ 1)0]

к=0

т

5=0

к

Е (Ш} Е (-2)5С£+*С08*фС08[($+1)ф]

.га о к пу -Е, (*7ЩЇ2) Е(-2)*С^С08^С08 [(5 + 1)0]

8

Рис. 2. Модели СПМ в базисе Сонина—Лагерра: 1 — при а = 0; 2 — при а = 1; 3 — при а = 2; 4 — теоретическая кривая

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Прикладной анализ случайных процессов [Текст] / Под ред. С. А. Прохорова. — Самара: СНЦ РАН, 2007. — 582 с.

2. Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. [Текст] / Ф. Ф. Дедус, С. А. Махортых, М. Н. Устинин и др. — М.: Машиностроение, 1999. —357 с.

3. Прохоров, С. А. Частотные свойства ортогональных функций экспоненциального типа [Текст] / С. А. Прохоров / Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006): Тр. научн.-техн. конф. с международ. участием. — Самара, 2006. —Т. 2. —С. 55-62.

4. Прохоров, С. А. Аппроксимативный анализ случайных процессов [Текст] / С. А. Прохоров; 2-е изд., перераб. и доп. — Самара: СНЦ РАН, 2003. — 286 с.

Самарский государственный технический университет, г. Самара т1сЬика@гатЬ1ег.ги

Поступила 23.04.2007