Аналоги неравенств Никольского — Стечкина и Боаса для оператора Данкля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 16, 2009

УДК 517.518

Е. С. Белкина

АНАЛОГИ НЕРАВЕНСТВ НИКОЛЬСКОГО — СТЕЧКИНА И БОАСА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ДАНКЛЯ

На основе гармонического анализа Фурье — Данкля доказаны аналоги классических неравенств Никольского — Стечкина и Боаса.

В последние годы в математической литературе появился и стал широко использоваться новый класс дифференциально-разностных операторов — операторов Данкля (см., например, [12] и цитированную там литературу.) С операторами Данкля связан гармонический анализ Фурье — Данкля, который включает в себя интегральные преобразования Данкля и обобщенные сдвиги Данкля. Большой интерес представляет получение аналогов различных классических задач гармонического анализа для гармонического анализа Фурье — Данкля (см., например, [1, 2, 10-12]). В настоящей работе доказываются некоторые аналоги неравенств Никольского — Стечкина и Боаса. Приведем необходимые сведения о классических неравенствах Стечкина — Никольского и Боаса для тригонометрических полиномов.

Теорема 1. Пусть Тп(х) — тригонометрический полином степени п. Для любых чисел Н € (0, п/п) и г € N справедливо неравенство

где Д^Тп — конечная разность порядка г с шагом Н.

Неравенство (1) называется неравенством Никольского — Стечкина. Оно доказано С. М. Никольским [5] для случая Н = 2п и С. Б. Стеч-киным [6] для произвольного Н (см. также [7, гл. IV, пункт 4.8]).

тах

X

(1)

© Е. С. Белкина, 2009

Теорема 2. Пусть Тп(х) — тригонометрический полином степени п. Для любых чисел 6 и Н, удовлетворяющих условию 0 < 6 < Н < п/п, и для любого г € N справедливо неравенство

, , max ДTn(x)| <---------- max |Д!Т„(ж)|. (2)

2sin(n£)y x 1 й пК л< V2sin(nh^ x 1 h n v y

Неравенство (2) называется неравенством Боаса. Доказательство неравенства см. в [7] или [8].

Целью работы является получение аналогов неравенств (1) и (2) для гармонического анализа Фурье — Данкля. Предварительно приведем необходимые сведения из гармонического анализа Фурье — Данкля (см. [9-12]).

Оператором Данкля называется следующий дифференциальноразностный оператор D:

Df ( )_ df ( ) , I , 1 ) f (x) - f (-x) > 1 (3)

_ dx(x) + + 2'-X-’ a> - 2. (3)

Действие оператора D определено для всех функций f G C(1) (R).

Введем обобщенную экспоненциальную функцию

ea(x) :_ ja (x) + i ca X ja+l(x), (4)

где

Ca _ |2(a + 1)) 1, i _ У-Г, ja(x) — нормированная функция Бесселя первого рода, т. е.

2а Г(а + 1) Ja(x)

a

Уа('”^ _ -

ja(x)

где 7а(х) — функция Бесселя первого рода (см. [4, с. 412]). Используя соотношение

■ / «• \ х°а+1(х)

0а(х) = ~0, , П ,

2(а + 1)

которое следует, например, из формулы 8.472 в [3], получим, что функцию еа(х) можно также записать в виде

еа (х) = 0а (х) - (х) . (5)

г

OL

x

Через С(й) обозначим множество всех к раз непрерывно дифференцируемых функций на К, через £ — множество бесконечно дифференцируемых функций на К, а через V — множество бесконечно дифференцируемых функций на К с компактным носителем.

Через ^2,а обозначим гильбертово пространство, состоящее из измеримых функций /(ж) на К (функции рассматриваются с точностью до значений на множестве меры нуль), для которых конечна норма

II/||2,а := (У |/(ж)|2 |ж|2“+1 ¿ж) / .

Преобразованием Данкля называется следующее интегральное преобразование

/(А) = J /(ж) еа(Аж) |ж|2“+1 ¿ж, А € М. (6)

Обратное преобразование Данкля задается формулой

/(ж) = (2“+1 Г(а + 1))—22 I /"(А) еа(—Аж) |А|2“+1 ¿А. (7)

Пусть 5 — пространство быстроубывающих функций на М, т. е. множество всех бесконечно дифференцируемых функций у>(ж), убывающих при |ж| —> вместе со всеми производными быстрее любой степени |ж|— 1. Обычным образом пространство 5 снабжается топологией и становится локально-выпуклым пространством. Известно (см.

[10]), что прямое и обратное преобразования Данкля являются взаимно обратными автоморфизмами пространства 5. Для преобразования Данкля справедливо равенство Парсеваля (/(ж) € 5):

I |/(ж)|2 |ж|2“+1 ¿ж = А I |/(А)|2 |А|2“+1 ¿А, (8)

где

А = (2а Г(а +1))—2 . (9)

Отображение /(ж) — /"(А) продолжается по непрерывности до изоморфизма гильбертова пространства ¿2,а на себя. Продолженное отображение будем также обозначать /(ж) — /"(А) и называть преобразованием Данкля, при этом остается справедливой формула (8), которую можно также записать в виде

|2,а.

(10)

Оператор обобщенного сдвига Данкля Ту/(ж) можно определять различными способами. Для функции /(ж) Є Е оператор обобщенного сдвига Данкля и(ж,у) = Ту/(ж) можно определить как решение следующей задачи Коши (см., например, [10]):

Dxu(x,y) = Dy u(x,y); u(x, 0) = f (x),

(11)

(12)

где Dx и Dy — дифференциально-разностные операторы Данкля, примененные по переменным x и y соответственно.

Для любой функции f (x) € E решение этой задачи Коши существует, единственно и может быть выписано в явном виде (см. [9]):

Tyf (x) = C fe(Jx2 + у 2 - 2|xy| cos ) he(x,y, ^) sin2“

+ J fo(Jx2 + y2 - 2|xy| cos^) ho(x,y, ^) sin2“ <^d<^ , (13)

где

C:

Г(а + 1)

Г(а + 1/2)Г(1/2)"

he(x, y, y>) = 1 — sign(xy) cos <^, (x + y)(1 — sign(xy) cosy>)

h°(x,y,^)

0

•\/x2 + y2 — 2|xy| cos

для (x,y) = (0, 0) для (x, y) = (0, 0),

/е(ж)=2(/(ж)+/(-ж)) > /0(ж)=2(/(ж) - /(-ж)). (14)

По формуле (13) оператор Ту может быть определен и для более широкого, чем Е, класса функций. В частности, оператор Ту/ определен для любой непрерывной функции /. По формуле (12) оператор

Ту продолжается до непрерывного оператора в ¿2,а (см. [1]). Продолженный оператор также будем обозначать Ту.

Обозначим через Т„, V > 0, множество всех функций $(ж), ж € К, удовлетворяющих следующим условиям:

1) $(ж) — целая функция экспоненциального типа < V;

2) $(ж) принадлежит пространству ^2,а.

Функции из будут использоваться в качестве средства приближения. Отметим (см. [1]), что функции из Тц допускают также другое описание: $(ж) € тогда и только тогда, когда д(ж) € ^2,а и ее преобразование Данкля "(А) равно 0 при |А| > V (такие функции мы будем называть функциями с ограниченным спектром порядка V).

При помощи обобщенного сдвига Данкля для любой функции /(ж) € -&2,а определим разности с шагом Н > 0:

Д/(ж) = Д/ (ж) := / (ж) - Т/(ж), ..., Д*/(ж) := Д^Д*-1/(ж)).

Можно также написать, что

Д*/(ж) = (I - Т^/(ж),

где I — единичный оператор.

Приведем некоторые необходимые нам свойства, показывающие связь между преобразованием Данкля, обобщенным сдвигом Данкля и оператором Данкля.

Лемма 1. Пусть / € ^2,а(К) и в > 0, тогда

(Т/)(А) = ва(-Ав) /(А), (15)

где / — / — преобразование Данкля.

Доказательство. См. [1], лемма 2.5. □

Лемма 2. Пусть функции / Ь Д/ принадлежат пространству ¿2,а, тогда

Д/(А) = -*А/(А), (16)

где / — / — преобразование Данкля.

Доказательство. См. [1], лемма 3.3. □

В следующей лемме приведено несколько оценок для функций еа(ж), которые будут использованы в дальнейшем.

Лемма 3. Для ж € К справедливы следующие неравенства

1) 1еа(ж)| < 1, причем равенство достигается только при ж = 0;

2) 1 — еа(ж) < 2|ж|;

3) 1 — еа(ж) > с при |ж| > 1, где с > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от а.

Доказательство. См. [1], лемма 3.4. □

Теорема 3. Пусть Ф(ж) € , V > 0, т € N. Для любого Н € (0,1)

справедливо неравенство

||ДтФ||2,а < С1Н-т||ДтФ||2,а, (17)

где С1 = С1(а, т) — некоторая постоянная.

Доказательство. Из равенства Парсеваля (10) и из свойств (15) и (16) следует, что

||Дт ф||2,а = А|АтФ ( А) | 2,а, (18)

|ДГФ|2,а = А||(1 — ва( —НА))т Ф (А) || 2,а . (19)

Исходя из (18) и (19), можно написать равенство

=

l|Dm Фу2,а = А||АтФ (Л)У2, (Ah)m

(1 — еа(—Ah))r Определим функцию

(1 - еа(-А^)ГФ(Л)

(20)

2,а

^(t) ' (1 - еа(-t))m ' (21)

Так как |ea(t)| < 1 при t = 0 (см. лемма 3, п. 1.), то функция y>(t) определена на множестве R\{0}. Заметим, что

t 1 lim -------; т = ----;—г = — i(2a + 2)'

1 - ea(-t) еа(о) v ^ ;

m

Поэтому существует конечный предел функции <£>(t) при t ^ 0 и, следовательно, функция y>(t) ограничена на множестве [-1,1]\{0}. Пусть

ci = sup |y>(i)|.

0<|t|<1

Так как suppФ С [-v, v], то можно считать, что |А| < v, а так как h € (0,1), то hA € [-1,1]. Из (20) и (19) вытекает, что

||ЯтФ||2,а < cih-mA||(1 - ea(-hA))m$(А)у2,а = cih-m||A^||2,a. Теорема доказана. □

Неравенство (17) является аналогом неравенства Никольского — Стечкина.

Теорема 4. Пусть Ф(х) € Iv, v > 0, m € N. Для любых чисел h и S, удовлетворяющих условию 0 < S < h < 1/v, справедливо неравенство

(Тт||ДтФ||2,а < C2h-m|^||2,a, (22)

где C2 = C2(a, m) — некоторая постоянная.

Доказательство. Пользуясь равенством Парсеваля (10) и свойством (15), можно написать, что

II Дтф II 2,а = A||(1 - еа( —SA))m Ф (А)^2,а, (23)

II Дтф | 2,а = A||(1 - ea(-hA))m Ф (А) || 2,а . (24)

Из (23) и (24) вытекает, что

h А™ (1 - ea(-SA))m s) (1 - ea(-Ah))m

(25)

Пусть * = —НА, в = £/Н. Так как |А| < V, 0 < £ < Н < 1/^, то |£| < 1,

0 < в < 1. Формулу (25) можно переписать в виде

<Тт||ДтФ||2,а = Н-тА|^(в,£)(1 — еа(—АН))тФ (А) || 2,а, (26)

где

^(М):= 8-т (1 — еа(а*)Г . (27)

(1 — еа(*))т ^ ;

Проверим, что функция ^(s,t) ограничена в области 0 < |t| < 1, 0 < s < 1. Действительно, пользуясь неравенством

|1 - ea(st)| < 2|st|

(см. лемма 3, пункт 2), получим, что

2m ят It\т

W-‘)|< s-mгаг =2”и<)|'

где <^>(t) — функция, определенная в (20). А так как функция <^>(t) ограничена при t € [-1,1]\{0}, то функция ^(s,t) тоже ограниченная.

Пусть

C2 = sup |^(s,t)|.

0<|t|<1 0<s< 1

Из (24) и (26) вытекает, что

S-m | ДтФ | 2,а < C2 h-m || ДтФ || 2,а, что завершает доказательство теоремы. □

Неравенство (22) является аналогом неравенства Боаса.

Résumé

Using the Fourier — Dunkl harmonic analysis it is proved analogs of the classical inequalities of S. M. Nikolskii, S. B. Stechkin and R. P. Boas.

Список литературы

[1] Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. I / Е. С. Белкина // Труды ПетрГУ. Сер. Матем. 2006. Вып. 13. С. 3-25.

[2] Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II / Е. С. Белкина // Труды ПетрГУ. Сер. Матем. 2006. Вып. 13. С. 26-37.

[3] Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Наука, 1971.

[4] Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6. № 2. С. 70-82.

[5] Никольский С. М. Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна/ С. М. Никольский // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60. № 9. С. 1507-1510.

[6] Стечкин С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна / С. Б. Стечкин // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60. № 9. С. 1511-1514.

[7] Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. / А. Ф. Тиман. М.: Физматгиз, 1960.

[8] Boas R. P. Quelques généralisations d’une théorème de S. Bernstein sur la dérivee d’un polynome trigonometrique / R. P. Boas // Comp. Rend. 1948. V. 227. P. 618-619.

[9] Mohamed A. M. Transmutation operators and Paley — Wiener theorem associated with a singular differential-difference operator on the real line / A. M. Mohamed, T. Khalifa // Analysis and Applications. 2003. V. 1. No 1. P. 43-70.

[10] Neijb B. S. Mean-periodic functions associated with the Dunkl operators / B. S. Neijb, K. Samir // Integral Transforms and Special Functions. 2004. V. 15. No 2. P. 155-179.

[11] Rosler M. Dunkl operators: Theory and applications / M. Rosler // Lecture Notes in Math. 2002. V. 1817. P. 93-135.

[12] Sundaram T. Convolution and maximal function for Dunkl transform / T. Sundaram, X. Yuan // J. Anal. Math. 2006. V. 97. P. 25-55.

Карельский государственный педагогический университет, физико-математический факультет, кафедра математического анализа и алгебры,

185640, Петрозаводск, ул. Пушкинская, 17