CC BY
15
Рис. 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Шипдяпип Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкоет-пых средах, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1997, 104 с,
2, Шипдяпип. Г.П., Ковалев А. Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред, В 2 ч, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1990, Ч, II, 108 с,
3, Матутии А.А., Шипдяпип Г. П. Анализ нерегулярного режима рефракции ударной волны с образованием волны разряжения // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 139-142,
4, Маркушип А.Г., Шипдяпип Г. П. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде собразованием волны разрежения // Аэродинамика: Межвуз, сб. научи, тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1991, Вып. 12 (15), С, 24-39,
5, Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F. Shock waves at a slow-fast gas interface // J, Fluid Meeh. 1978. V. 89, part 1. P. 79-95.
УДК 517.984
Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН МЕТОДАМИ АССИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
КОРОТКИХ ВОЛН
Проведем асимптотический анализ [1] процессов нелинейной рефракции (режимы RR, NR, RW [2]) относительно слабых ударных волн (УВ) (е << 1; б = R0(y)Pío, Pío = (pi — p0)/B0,B0 = PoCq). Получены аналитические выражения для основных характеристик (q + = (p3 — po)/(pi — Po), q— = (pa — p0)/(pi — P0),Pa ~ в точке А в режиме NR) в пространстве параметров подобия задач.
1. При падении У В АЩВЕ) относительно малой интенсивности Р1о под углом а к вертикали на свободную поверхность АЕ, разделяющую различные газожидкостные среды (ГАЗ/ГЖС, ГАЗ/ГАЗ, ГЖС/ГЖС) с газосодержаниями 7 +,7- возникают различные режимы рефракции (см. [2]), характеризуемые фронтами У В (АН - падающий, А1) - преломленный, АС - отраженный, АВ - фронт Маха), волной разряжения Б1АБк и изломом свободной поверхности АК. Параметр характеризующий интенсивность преломленной волны, в целом характеризует и весь процесс рефракции, т.е. интенсивность разряжения или нарастания давления в случае К\¥ (р3 = р2).
В [2] было установлено, что для процессов рефракции относительно слабых У В (Р1о << 1) имеют место условия совместности течений на свободной поверхности (в верхней и нижних областях) в точке А — инвариант рефракции: (Индексы +, - соответствуют областям):
I: = С-С-; (1)
II: = V-. (2)
В [2] приведен общий анализ (1),(2) для параметров и, в рамках модели Эйлера и Лайтхилла.
2. Проведем анализ (1), (2) с помощью асимптотической теории коротких волн (ТКВ) (см. [1]). Вводя асимптотическое разложение для области больших градиентов (области коротких волн) в окрестности точке А
£ = 1 + -X, п = -1/2У; Яо/со£ = 1 + ё6,в = -1/2У,
* = х + 1/2У2, ^ = р^ +..., * = РЦ/2 Я/2- +...;
Со Со Со Со
Е-* = Р1о Р(1> + ...,и = + ...,! = -/2 Я; (3)
Бо Со Яо Со Яо
-—— = РюЯ(1>; - = ЯоРю = Ьобю, бю = (р1 - ро)/ро,) Ро
получим решение для волны разряжения в виде
д = - 1/2г2 + = 1/3г3 - дУ + г = (X - ХА)/У. (4)
Условия динамической совместности на фронтах У В х=Х*(У) имеют вид см. [1]) (д', V - значения перед фронтом)
X - ^У = 1/2(^-2 + д + д'), ^ = ^, (^ = ^/-1/2),
(д - д') • (^ + У) = V' - V, Р(1> = Н(1> = д. (5)
За фронтом А11(В11) падающей У В с масштабами интенсивности Р1о, -,
а
ф^ = -а^ = -tgа/б1/2, д1 = 1, V! = а",Ха = 1/2(а^ + 1),Уа = 0. (6)
Значения - , Р1о вычисляются с помощью Яо(7-),Бо(7-). При нерегулярной рефракции N11 на фронте УВ Маха АВ в точке А (р = ра) д- = (Ра - ро)/(р1 - ро) Это значение находится [3] д- = д- (а^) при использовании точного частного решения системы уравнений коротких волн при интегрировании первого уравнения (5) для фронта АВ. Аналогично (6) для \"Н имеем в точке А
Г = -аа = - tg аа/-1/2 = -(д-)1/2,да = д-, Va = (д-)3/2,Ха = д-. (7)
В дальнейшем целях общности построений будем для различных режимов рефракции брать в точке А значения да = д-, при переходе от N11 к Ш1 при а^ = аа = 1 значение д- = 1. При а^ > 1 для режимов И 11,К\¥ д- = 1.
За фронтом АБ преломленной У В интенсивности Р^, наклоненной под углом и, (обл. (3) с 7 = 7+ ) в точке А, вводя свои масштабы Р+, -+, получим согласно (3), (5)
ф" = -= - tgи/б-+1/2,д+ = 1, ^ = и,Х+ = 1/2(и+"2 + 1),У+ = 0.
(8)
На волне разрежения Б1АБк в среде с газосодержанием 7 имеем на
АБ1
(4) выражения для режимов Ш1, К\¥ принимают вид
= ¿1 = 2 - 1, ё = а^ - 1/3К2 - 1)3/2, а^ > 1. (9)
Для режима \ Н
= ¿1 = 0, ё = (д-)3/2, а^ < 1. (10)
На заднем фронте волны разрежения АБк для параметров в обл. (2) д2 = д+ в точке А согласно (4) получим выражения, общие для режимов Ш1, К\У, NR
в£ = ¿к = а/2Ха - 2д +, V2 = 3(2Ха - 2д+ )3/2 + ё. (11)
Совместимость течений в нижней (2) и верхней (3) областях на свободной поверхности АК осуществляется с помощью инвариантов (1),(2).
Записывая I инвариант С-= С+£+ с помощью точных соотношений ударного перехода [2], получим выражение:
c-N1/2(q-Pio)/ cos а = c+N 1/2(Рзо)/cos ы. (12)
В ТКВ при ё1/2, ограничиваясь в (12) членами первого порядка ё,
при p3 = p2:
cos a = 1 - 2av2e, cos и = 1 - ±2e, N(P10) = 1 + q-e, N(P30) = 1 + (q+ /L)e
получим в линейном приближении I инвариант (e = L0(y)£io,£io = (Pi - Po)/Po)
Cn Cn /
ы"2 = 2с7 + а"2 - д+/Р + д-; ы" = tgы/б1/2,с7 = 0 „ 0 , (Р) = Р°/Р+ (13)
с0 б
Второй инвариант II V- = записанный для различиых сред 7+,7- с различными масштабами переменных в соответствии с (3), приводит к условию
^ = VВ = В-, б = ^. (14)
0 C0
д+(3/2)£ ' В
При v+ = д+ы^ + = tg ы/е"+1/2 = ы^^+р-^; V- = ^ получим II инвариант в виде
^ = 1/3(2Ха - 2д+)3/2 + й, В = рб. (15)
Исключая ы" из (13), (15), получим выражение для нахождения параметра д + для режимов Ш1, МИ
д+2р2б2(2с7 + а^2 - д+/Р + д-) = [1/3(2Ха - 2д+ )3/2 + й]2. (16)
Здесь параметры а^, С7, Р, рО являются параметрами подобия задачи.
В случае рефракции К\¥ с отраженной УВ АС условия на волне разряжения (9)-(11) заменяются условиями ударного перехода через фронт УВ АС (для обл.(2)):
Д2 = д+, V2 = а" - (д+ - 1) 2 - д+, (17)
т.е. правые части (15),(16) заменяются правой частью (17).
Следует отметить, что согласно (3) для параметра д3 (за фронтом АБ) в различных системах с масштабными параметрами Р10, б и Р+ б+ имеем связь д- = д+рбд+,д+ = 1. С другой стороны, в силу существования интегралов (5) д± = Р±(1) имеем д- = д+,д+ = 1, т.е. для ТКВ характерны условия, соответствующие слабому отклонению р, б от 1:
рб=1,б=1 + с7 б. (18)
В качестве примера приложения настоящей теории в условиях (18) укажем случаи рефракции на поверхности, разделяющей газовые среды (ГАЗ/ГАЗ).
1. Воздух р+ = 1.293(%/ш3), с+ = 330(т/с), б = 0.880, рб = 1.05; сероводород р+ = 1.539(кд/ш3), с+ = 291(т/с), б = 1.293, рб = 1.035.
2) Азот р+ = 1.251(%/ш3), с+ = 334(т/с), б = 0.870, рб = 1.07: сероводород р+ = 1.539(%/ш3), с+ = 291(т/с), б = 1.230, рб = 1.032.
3) Азот p+ = 1.251(kg/m3), c+ = 334(m/c), с = 0.937, pe = 1.08; Кислород p+ = 1.429(kg/m3), c+ = 313(m/c), с = 1.161, pe = 1.000.
В [4] построено решение (16) при pe = 1 для q+ в пространстве параметров подобия cY, L,av, отмечены характерные особенности поведения границ областей существования RR,NR,RW. В частности, граница между RW и RR, NR при q + = 1.0, q- = 1.0 не зависит от av и дается уравнепием2с7 = 1/L-1. Характерная точка на липни раздела q+ = 1.0 есть cY = 0, L =1. Приведенные примеры газовых сред имеют значения L вблизи характерной точки.
Однако расчет параметров для всех режимов зависит от av и все поверхности av = const (av > 1 RR, av < 1 NR) проходят через линию раздела режимов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин Г.П., Ковалев A.B. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред: В 2 ч. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 4.2. 108 е.
2. Шиндяпин Г.П., Матутин A.A. О законах подобия рефракции ударных волн в газовых и газожидкоетных средах // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10.
3. Шиндяпин Г.П. Об особенности "сверхзвукового"взаимодействия слабых ударных волн и задач преломления слабой ударной волны в воде на свободной поверхности // Аэродинамика: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 3 (6). С. 24-36.
4. Матутин A.A., Шиндяпин Г.П. К теории нелинейной рефракции ударной волны // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 199-203.
УДК 539.3
O.A. Торопова
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ГЛУБОКОВОДНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Потребность в новых источниках энергии привела к необходимости добычи нефти из новых нефтяных месторождений, расположенных под океанским дном. В связи с этим актуальной является задача определения равновесных конфигураций вертикальных нефтеподъемников (райзеров), соединенных нижним концом с помощью сферического шарнира с устьем буровой скважины. Будем считать, что райзер расположен в вертикальной плоскости одномерного потока подводных течений, возможно отклонение верхнего конца райзера на заданную величину в горизонтальном направлении ""u s = usx ¿1. В этом случае модель райзера будет иметь вид
^ = (1 - YiT)(НзР4 - tgр) - НзТ/ cos р + Рз(1 - YiT/2);
