CC BY
13
Пример гидродинамической интерпретации решения (3) был дан в [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лойцяиский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962. 479 с.
2. Чернов И.Я. Автомодельное решение о крупной эжектирующей струе факельного типа // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та. 2007. Вып. 9. С. 199-203.
УДК 517.984
Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин
О ЗАКОНАХ ПОДОБИЯ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗОВЫХ И ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕДАХ
Для различных режимов нелинейной рефракции ударной волны (УВ) АЯ(ВЯ)- ГШ регулярной (рис.1, а) ; N11 нерегулярной (рис.1, в); К\¥ с отраженной У В (рис.1, с) установлены основные параметры (параметры подобия), определяющие основные характеристики (д+ = (р3 — р0)/(р1 — р0), Я— = (рл — р0)/(р1 — р0); Ра - в т. А на АВ и ударно-волновую структуру течения (в, и, 5 УВ-АВ).
А В С
Рис. 1
При падении УВ АЯ(В11) относительной интенсивности Р10 = (р1 — р0)/£0-, В- = р—с-0 ^од углом а к вертикали на свободную поверхность АЕ, разделяющую различные газожидкостные среды (ГАЗ/ГЖС, ГАЗ/ГАЗ, ГЖС/ГЖС) с газосодержаниями 7 +,7— возникают различные режимы рефракции (рис.1), характеризуемые фронтами УВ (АЯ падающий, АБ преломленной , АС отраженной, АВ фронт Маха), волной разряжения В1 АВк и изломом свободной поверхности АК. Параметр характеризующий интенсивность волны разряжения или отраженной УВ, р3 = р2.
Анализ задач рефракции УВ при относительно малой интенсивности падающей УВ (АГцВЕ) (ё << 1, б = Яо(7-)Рю = £0(7—)бю; ет = (р - ро)/рс), характерных для ГЖС пузырькового типа, как и для других случаев взаимодействия У В, может быть проведен на трех различных уровнях точности: точных соотношений на фронтах УВ и решений для волны разряжения (модель Эйлера); адиабатических потенциальных течений (обобщенная на ГЖС модель Лайтхилла с точностью до Р20 включительно; асимптотической теории коротких волн (ТКВ) до Р10 включительно) [1, 2].
1. Проведем анализ нелинейной рефракции К\¥ с отраженной ударной волной на основе модели Эйлера, используя точные соотношения на фронтах У В (AR.AC.AD) и свободной поверхности АК, разделяющей различные ГЖС с газосодержаниями 7 +,7- (рис.1, с). Для элемента фронта У В в автомодельных переменных £ = ж/с0£,п = у/с0£, описываемого уравнением £ = £(п) интенсивности Р^ = ^ — р«)/В±, В± = с± (г — соответствует значениям перед фронтом, ] — за фронтом) имеем (см. [1, 2]) условия динамической совместности:
Pi
(£ - п£') - (U - £'s)
= N(Pji); ^ =
Pi N(Р,,) - Pji
Po 1 + £'2 v Po N(Р,,)
P. _ Pi P ji
Po
(£ - n£') - - £'
Vc0 coy
(- - -), (1) Co Co
£' f j - «Л = vl - ; N(P.) = 1 +2a (d1 + P,i) (d2 + pji)
v Co Co / Co Co; ji 2 d3 + aPji '
Коэффициенты a, d1, d2, d3 зависят от газосодержання сред 7+ ми 7- (см. [1, 2]).
На фронте AR в точке А (nA = 0£'1 = tg a, Pji = Pio имеем
£- N 1/2(Pio) - N(Pio) -Pio - . (2)
£a =-; P1 = Po atí-d \—б~; « = Co ; v1 = Co tga « (2)
A cos a N(P1o) - P1o £a
На фронте АС в т.А £2 = tg в, Pji = P21 = P2o - P1o, P2o = ^
t = U1V1 - (N(P21)P-/Po)1/2 (U12 + V2 - N(P21)P-/P1)1/2 g в V2 - N(P21)P-/P1 ,
TT j1 с- ЛГ V1 - - П P2 N (P21) U = C- - £a; V = C- - Па ; Па = 0 - = -p-, (3)
C- C- P1 iv (P21) - P21
( ) ( ) 1/2
«2 = «1 P21 cos в (p^/po) V2 = V1 P21 sin в (p^/po) C- = C- + N 1/2(P21) ; C- = C- + N1/2^ ■
На фронте AD в точке A S3 = — tgы, Pj = P30 = (p3 — Po)/B+, В( = p(c(2 S + N 1/2(Рзо) + N (P30) + P30 t (4)
= Cosы ; Р3 = р+ -р-; u3 = c( ; v3 = tgU u3. (4)
COS U N (P30) — P30 SA
Условие совместности течений на свободной поверхности (в верхней и нижней областях) в точке A (n( = nA = 0, XA/t = c0<S) приводит к I инварианту
c( й = саС— ,
или
c+N 1/2(P30) = c— N 1/2(P30). (5)
cos и cos a
Условия на свободной поверхности АК в т.A (p3 = p2, u3n = u2n = un) приводят (см. [1,2]) к записи (n± = 0, Skta = —1/tg 0)
v± — c±n± = Л_ tg 0 = (6)
u ± _ c±t± = t' , tg 0 = c± t±. (6)
u c0 SA SKA c0 SA
Для относительно слабых У В при Pi0 << 1, |u±| << условия (6)
приводят ко II инварианту рефракции:
v+ = v—. (7)
Инварианты I, II имеют место для всех режимов рефракции (RR, NR. RW). Однако для рефракции NR необходимо знать значения в точке А на фронте Маха АВ v—), что связано с построением решения в области возмущения за фронтом АВ (в приближении ТКВ [3]).
Инварианты I (5) и II (7) при подстановке v+ = v3, v— = v2 согласно (3), (4) приводит к записи двух уравнений относительно ы, q+/P10, a, y + , y—. При этом для RR, NR, RW при q— = 1 имеем P30 = q+BP10, P21 = (q+ — 1)P10, В = В—/B + Исключая ы из уравнений для инвариантов I, II, получим уравнение для нахождения q+, определяющей результирующую интенсивность рефракции (интенсивность преломленной У В) c = c—/c+
c2 N(P30) C P 2
P30
P10 sin a P21 sin в
N1/2(Pi0) (p1/p—)1/2N1/2(P21),
2
N (P30)
= 1 "^cos" a. (8)
Здесь Р1/Р-, в определяются согласно (2), (3). В целом (8) представляет зависимость д+/Р10, с, Р, где Р10, а характеризуют интенсивность и наклон падающей УВ, а а, с, Р — относительные характеристики газожидкостных сред, определяемые газосодержаниями 7 +, 7Эти характеристики являются параметрами подобия в задачах рефракции У В.
В1АВк
исследования проводятся аналогично п. 1. Однако вместо условий (3) на У В АС берутся условия на центрированной волне разряжения В1АВк, описываемые на уровне модели потенциальных адиабатических течений (модели Лайтхилла с точностью до Р^) (см. [1, 2]) решением уравнения для потенциала скоростей:
и V
Ф(ж,у,*) = (£,п), с* = с/с0, - = /е, - = /,
с* (/ее + /пп) = (/е — £ )2 /ее + 2 (/е — £) (/п — п) + (/п — п)2 /пп, (9) с*2 = 1 + 2(1 — Я0(т))с, с = / — £/е — п/п + 2 (/е + 4).
Решение (9) для центрированной волны разряжения ^ Q = (п — Пл)/(£ — £л)) имеет вид [1, 4]. Постоянные С,Б для решения находятся из условий на переднем Q = Q1 и заднем Q = Qк фронтах волны разряжения, что позволяет определить параметры и2, -и2 за волной разряжения. Инварианты I, II (5), (7) также имеют место. Расчет параметров с помощью модели ГШ для случая ГАЗ/ГЖС приведен в [4].
3. Для анализа физической адекватности используемых математических моделей приведем сравнение результатов вычислений с помощью модели RR с волной разряжения (п. 2) с экспериментальными результатами [5] Abd-El-Fattah, Henderson. На рис. 2 приведено сравнение результатов расчета для случая ГАЗ/ГАЗ (CH4/CO2) по теории RR (п. 2) в соответствии с формулами (5), (7), (10) зависимости ы/а при ею = 0.28(£ = 0.78), ею = 1/£ — 1. Для газов: Ro(y) = ^, Lo(y) = К+1, Во = рок,
CO2 : к = 1.3, р— = 1.976 (f) , с— = 256 (m);
CH4 : к = 1.28, р— = 0.717 (m?) , с— = 423 (m).
Параметры подобия: е = 0.25; B = 1.0; L = 1.0; с = 0.60.
Сравнение показывает, что теоретические результаты настоящих исследований достаточно хорошо согласуются с экспериментальными результатами во всем диапазоне изменения угла падения а при регулярном режиме рефракции RR с волной разряжения.
В работе [5] для случая ГАЗ/ГАЗ отмечается также существование режимов рефракции: NR,RW и других, характерных для рефракции при падении У В со стороны более плотной среды, описываемых настоящей теорией.
Рис. 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шипдяпип. Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных воли в газах и газожидкоет-пых средах. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1997. 104 с.
2. Шипдяпип. Г.П., Ковалев А. Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. В 2 ч. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. Ч. II. 108 с.
3. Матутии A.A., Шиидяпии Г.П. Анализ нерегулярного режима рефракции ударной волны с образованием волны разряжения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 139-142.
4. Маркушип. А.Г., Шипдяпип. Г.П. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде собразованием волны разрежения // Аэродинамика: Межвуз, сб. научи, тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 12 (15). С. 24-39.
5. Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F. Shock waves at a slow-fast gas interface // J. Fluid Meeh. 1978. V. 89, part 1. P. 79-95.
УДК 517.984
Г.П. Шиндяпин, A.A. Матутин
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН МЕТОДАМИ АССИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
КОРОТКИХ ВОЛН
Проведем асимптотический анализ [1] процессов нелинейной рефракции (режимы RR, NR, RW [2]) относительно слабых ударных волн (УВ) (е << 1; б = R0(y)Pío, Pío = (pi — P0)/B0,B0 = PoCq). Получены аналитические выражения для основных характеристик (q + = (р3 — po)/(pi — Po), q— = (pa — p0)/(p1 — P0),Pa _ в точке А в режиме NR) в пространстве параметров подобия задач.
