Возникновение невырожденной ударной волны в воздухе при рефракции ударной волны в океане Текст научной статьи по специальности «Физика»

Далее до момента £к = 1.4502 управляемый аппарат движется под действием солнечного паруса, в момент подлета к неуправляемому аппарату его положение и скорость в безразмерных координатах определяются соотношениями:

X = 0.3756, Х2 = 1.4725, х = 0.0009, (2 5)

V = -1.1077, У2 = 0.5555, ^з = -0.0008. ( )

Величина второго импульса, который осуществляется в этот момент времени, и его безразмерные координаты определяются соотношениями:

Кк1 = 0.3224, Кк2 = -0.7564, Кк3 = -0.0369, К = 0.8231. (2.6)

В результате сообщения второго импульса безразмерные координаты вектора скорости управляемого аппарата принимают значения, совпадающие с координатами скорости неуправляемого аппарата:

VI = 0.7853, у2 = -0.2009, ^з = -0.0377. (2.7)

Функционал качества процесса управления (1.5), обеспечивающего мягкую встречу двух аппаратов, I = 2.5031.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Жд 1201-00 165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М,: Наука, 1975. 304 е.

2. Сапунков Я. Г. Решение задач оптимального управления космическим аппаратом с ограниченной и импульсной тягой в КЯ переменных // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. 3. С. 73-78.

3. Поляхова Е. Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы, М,: Наука, 1986. 304 с.

УДК 519.257

Г. П. Шиндяпин, A.A. Матутин

ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОЗДУХЕ ПРИ РЕФРАКЦИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ОКЕАНЕ

Для различных режимов нелинейной рефракции ударных волн (УВ) на поверхности океана с образованием волны разрежения или отраженной УВ методами асимптотической теории коротких волн [1] установлены области существования режимов с невырожденным фронтом преломленной У В в воздухе.

1. При падении УВ AR,BR (рис.1, а-/) относительной интенсивности (pi-po)/(роСо)под углом а к вертикали на свободную поверхность AF океана, разделяющую воздух и воду с газосодержаниями 7 +,7возникают различные режимы рефракции [2]: NR - нерегулярный (a); RR -регулярный (&); RRW —регулярный с У В EBi, замыкающей область разрежения (c); FNR - Free Neumann Refraction (d); RW - регулярный с отраженной УВ (e); TNR - Twin Neumann Refraction (/). AD - фронт преломленной У В.

Рис.1. Режимы рефракции ударных волн

Установлены основные параметры [3] для относительно сла-AR, BR

£<< 1,£ = Ьо(7 )е10 = Яо(7 )Р1о,Р1о = (Р1 - Ро)/Во(7 );

во = ро(7")со(7-),^о(7-) = РоЯо( 7 ")/во(7-),^10 = (Р1 - Ро)/Ро.

При использовании модели гомогенной локально-равновесной пузырьковой среды с газосодержаниями 7- = шц/ш\ для жидкости и 7 + = то для газа были установлены [4] в точке А два инварианта рефракции

I : = с-а, II : ^ = V(1)

В переменных теории коротких волн [1] (для областей больших градиентов)

X/cot = С = 1 + 5X, У/cot = П = 51/2У; %t = 1 + ё5,в = ё1/2У ; 5 = X + iП C0 = ^ C0 = r3/2R, ^ = рюр<1\ f = pioH<1>. 1 ;

Течения в областях возмущения (за фронтами У В AB, CB, AC, A'B) описываются системой уравнений коротких волн

— 25 )]г + Vy + 3д = 0, д = Vy, д = P(1) = H(1). (3)

Решение (2) для волны разрежения АЕВ1 имеет вид

м = - 1 г2 + ¿а, V = 3г3 - мУ + А, г = (X - Ха)/У. (4)

На фронтах УВ, ограничивающих область возмущений (АР,ЕР1,АС, А'Р), X = X*(У), имеем условия (м', V7 - значения перед фронтом)

х - ф^ у = 2 (Ф"2 + м + м'), Ф = ;

^^^ * — ¿у ;

(м - м') • (Ф* + У) = V - V', Р(1) = Н(1) = м.

(5)

В точке за фронтом АВ имеем ма = Я ~ перед передним фронтом волны разрежения, ма = Я + _ за задним фронтом волны разрежения,

т. е.

Я = (Ра - Ро)/(Р1 - Ро), Я+ = (Р+ -Ро)/(Р1 - Ро) Решение (3) за фронтом Маха (АР, АС, А'Р) имеет вид [5

м

= 1 -- V = 1 + (т2-1) • (У-Ув),Ув = а'-1,1 -т2 = ¿а (6)

в случае ХР.

2. В переменных (2) теории коротких волн инварианты I, II (1) имеют вид [3]

(I) : = 2С7 + а"2 - Я0/ь + я-,= ^ш/с1/2, а" = ^а/с1/2, (7)

(II) : • рс • = -(2Ха - 2Я+ )3/2 + А.

3

(8)

Исключая из (7), (8), получим для режимов ХР, РР, РРЖ, РЖ выражение для нахождения

Я+2(рс)2 (2С7 + а^2 - Я7ь + Я-) =

3

(2Ха - 2Я+)3/2 + А

(9)

Здесь параметры подобия имеют вид С = С--|0; Ь = ¿»"/¿0+; а = ^/1/2; рс(р = р»/р+; с = '%+.) (10)

Для режимов РР, РРЖ правая часть (9) имеет вид [3

1 ((^2 + 1) - 2я2)3/2 + - 3 (а"'2 - 1

3/2

(Н)

2

1

2

Для режима Ж Я вид

(2 (д-- ,+))8/2 + (д-)

3/2

Для режима ЯЖ вид

а" —

-1) V'

ау2 -

(12)

(13)

Правые части (11) - (13) совпадают вдоль линии "К" при = 1.0, когда исчезает волна разрежения (ЖЯ, ЯЯ, ЯЯЖ), а отраженная УВ нулевой интенсивности (ЯЖ). В этих случаях линия = 1.0 является границей режимов ЯЯ и ЯЖ; ЯЯЖ и ЯЖ; ТЖЯ. Другие границы согласно (11) - (13) (подчеркнутые выражения) возникают ириа^ = 1.0 между Ж Я и ЯЯ а^ = 2.1 между ЯЯ и ЯЯЖ; при = д- - схлопыва-нии волны разрежения в режиме ЖЯ и переходе к ^ЖЯ; при = а^ -в режиме ЯЖ и переходе к режиму ТЖЯ.

3. Для случая рефракции относительно слабой У В при £ = (р --р°)/р° = 0.01 на повехности океана в диапазоне газосодержаний (0 < 7- < 10-4, 7 + = то) были проведены расчеты интенсивности преломленной волны АД = РА-Р

^ 4 р 1-ри

мости от газосодержания 7- и угла иадения а (0 < а < 15°). Зависимости параметров подобия от газосодержания 7 при фиксированных значениях £ = 0.01 а = 10° будут иметь вид (таблица).

в зависи-о

2

7 0 10-8 10-6 10-4 то

С-у 1.60 • 105 0.51 • 102 -0.09 -80.3

1 0.55 • 10-4 0.17 1.10 1.16 = 0.86

(рб)2 12.4 • 106 10.6 • 106 0.68 • 106 0.72 • 104

а^ 80.8 1.45 0.57 0.56

Основное уравнение (9) относительно / 7, а - третьей степени, при значениях параметра (рс)2~ 106 ^ 104 в рассмотренном диапазоне обычным классическим решением (9) является (в рамках теории коротких волн) = 0. То есть волна преломления нулевой интенсивности (звуковая) однако обращение в ноль скобки в левой части (9) позволяет при газосодержаниях, близких к 7 ~ 10-6 (смена знака С7), позволяет построить нетривиальное решение (9), найти области существования различных режимов ЖЯ, ЯЯ, ЯЯЖ, ЯЖ с = 0. 0.958 • 10-60.958 • 10-6д + = а"2= а"27 = 1.05 • 10-67 = 1.05 • 10-67 = = 10-67 = 10-67 = 0.97 • 10-67 = 0.97 • 10-6а^ = 2.1а* = 2.1а* = 1.0а* = = 1.0д+ = 1.0д+ = 1.0д+ = = = 1.0д+ = 1.0е = 0.01е =

= 0.01а°а°д+д+;

0.9638 • 10-60.9638 • 10-60.965 • 10-60.965 • 10-60.960 • 10-60.960 • 10-6.

Рис,2, Зависимость интенсивности преломленной волны q+ от y, а при различных режимах рефракции

На рис. 2 приведены результаты расчета зависимости q+ - интенсивности преломленной УВ (AD) согласно (9) (при £ = 0.01) от газосодержания водной среды y при различных углах падения а. Построены границы рефракции: "K "при q+ = 1.0 меж дуЯЯи RW; RRW и RW; av = 1.0 между NR и RR; av = 2.1 между RR и RRW; q+ = q- между NR и FNR; q+ = av между RW и TNR.

Результаты помогают объяснить возникновение невырожденной преломленной УВ в воздухе при рефракции УВ на поверхности океана при достижении определенной газонасыщенности воды, порядка 10-6, для различных режимов рефракции. Результаты могут быть обобщены с помощью модели потенциальных адиабатических течений [1] (верной до £2 включительно), для произвольных углов падения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Шипдяпип. Г. П. Нелинейное взаимодействие ударных волн в газах и газожид-костпых средах, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1997, 104 с,

2, Hender-son L. F., Ma J., Sakurai A., Takayama K. Refraction of a Shok Wave at an air-water interface // Fluid Dynamics Research, 1990, .T\"a5. P. 337-350,

3, Шипдяпип. Г. П., Матутип А. А. Анализ нелинейной рефракции ударных волн методами асимптотической теории коротких вол // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С, 150-154,

4, Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. О законах подобия рефракции ударных волн в газовых и газожидкоетных средах // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С, 146-150,

5, Шиндяпин Г. П. Об особенности «сверхзвукового» взаимодействия слабых ударных волн и задача преломления слабой ударной волны в воде на свободной поверхности // Аэродинамика : межвуз, науч. сб. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1974, Вып. 3 (6). С. 92-104.

УДК 629

Д. А. Шишков, Ю. Н. Челноков, И. А. Панкратов

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Представленная работа является развитием [1-2].

Движение центра масс космического аппарата (КА) будем рассматривать в инерциальной системе координат X - геоцентрической экваториальной системе координат ОХ1Х2Х3(Х) с началом в центре О притяжения Земли.

Ось ОХ3 этой системы координат направлена вдоль оси суточного вращения Земли, оси ОХ1 и ОХ2 лежат в плоскости экватора Земли, ось ОХ1 направлена в точку весеннего равноденствия для Земли, ось ОХ2 дополняет систему до правой тройки веторов.

Для решения задачи переориентации орбиты космического аппарата (КА) используем уравнения орбитальной системы координат п в параметрах Эйлера:

dA r . c . d^> c p

2— = А о , Wv = U~ il + %3,~T7 = -o, г = —-, c = const, (1)

dt c г dt г2 1 + e cos 2

где А = Ao+Aii1+A2i2+A3i3 - кватернион ориентации орбитальной системы координат n в инерциальной системе координат X, i1, i2, i3 - вектор-

о

ния, - отображение вектора w на базис n Aj, j = 0,1, 2,3 - параметры Эйлера, характеризующие ориентацию орбитальной системы координат.

Кватернион А связан с кватернионом Л ориентации орбиты КА соотношением

А = Л о (cos | + Í3 sin 2). (2)

Требуется определить ограниченно по модулю управление и: