CC BY
39
ВЕСТНИК
_МГСУ
проектирование и конструирование строительных систем. проблемы механики в строительстве
удк 532.5
А.Л. Зуйков
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ПРОФИЛЯ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ В ТЕЧЕНИИ ЗА ЛОКАЛЬНЫМ ЗАВИХРИТЕЛЕМ
Рассмотрена трансформация турбулентного свободно-вынужденного вихря Бюргерса — Бэтчелора по длине прямой цилиндрической трубы, на входе в которую установлен локальный завихритель.
Ключевые слова: неравномерное циркуляционно-продольное течение, турбулентное движение, тангенциальные скорости, вихрь Бюргерса — Бэтчелора, число закрутки.
Профиль тангенциальных скоростей турбулентного циркуляционно-продольного течения (рис. 1), формируемого локальным завихрителем в створе, близком к входу в цилиндрический канал, радиусом R, характерен радиальной зональностью, при которой вращение жидкости изменяется от вынужденного по закону твердого тела (forced vortex or rigid-body rotation) в центре потока вблизи оси канала до свободного или потенциального (free or potential vortex) на периферии ближе к стенкам трубы. граница между зонами вынужденного и свободного вращения лежит на радиусе r , на котором тангенциальная скорость имеет максимальное значение u .
1
.Pi
Ö- ---
_____——
- Пограничный слой boundary layer
^Свободное (потенциальное) вращение free (potential) rotation
Точка максимума тангенциальной скорости maximum tangential velocity point
_Вынужденный вихрь (вращение по закону
твердого тела)
forced vortex (rigid-body rotation)
Тангенциальные скорости tangential velocity
рис. 1. радиальный профиль тангенциальных скоростей на входе в трубу [1]
Аппроксимация показанного на рис. 1 профиля свободно-вынужденным вихрем Бюргерса — Бэтчелора
и = С [1 - ехр(-С2г2) ], (1)
где г — текущий радиус, рассмотрена нами ранее в [2], где константа
с = и кК 1 1 - exp(-C2 К2)
ВЕСТНИК
5/2012
определялась условием равенства тангенциальной скорости ее значению у стенок трубы (и = иЯ), при этом толщина пограничного слоя 5 полагалась малой по отношению к радиусу Я.
В данной работе С будем искать, полагая её общей константой для потока в любом сечении цилиндрического канала, по длине которого иЯ имеет переменное значение. Для этого прежде найдем значение константы С2 из условия положительного экстремума тангенциальных скоростей на радиусе г = г . Замечая, что точка максимума тангенциальной скорости по радиусу (см. рис. 1) определяется уравнениями
— = 0 и -у- < О,
д г дг
Находим
1 + 2ц = ехр(ц), (2)
где п = С2г2 = С2г2 .
Можно видеть, что ц согласно (2) является константой, имеющей значение
ц = С2 г2 =1,256, (3)
следовательно,
с 1,256
4 г2 г2 '
т т
при этом распределение Бюргерса — Бэтчелора принимает вид
С Г ( Г 211 С Г ( Г 211
и = — 1 -ехр -ц—г =— 1 -ехр -1,256 — . (4)
г V I Г2 )\ г V I г-)_
Найдем теперь функцию изменения числа закрутки потока [3] по длине цилиндрического канала
М \~iurv2nrdr
5л = — = —--,
Я1 /?| ру22кгс1г
где М и I — момент и количество движения циркуляционно-продольного течения; р — плотность жидкости; V — продольная скорость течения.
Если приближенно положить продольные скорости постоянными по радиусу и равными среднерасходной
Q
(5)
V = V« =■
пЯ2
(6)
где Q — пропускаемый каналом расход, то в результате интегрирования (5) по радиусу от г = 0 до г = Я момент М, количество движения I и число закрутки потока (или число Хигера — Бэра) Бн определятся формулами
«=РСС,
1-ехр
Я
-рее а -
1,256Я
1-ехр
Я ' -1,256—^
1 = РQ0,
=М =С
Я1 ЯУп
1-
ПЯ
1-ехр
Я 1
-п-т
. = А.
ЯУл
1 -
1,256Я
1-ехр
V
Я2 1
-1'256 ЯТ1
(7)
Замечая, что если после локального завихрителя поток на входе в цилиндрический канал имеет закрутку, соответствующую свободному вращению, при котором, с одной стороны, его момент равен произведению
М = рQuЯ,
где и0 — тангенциальная скорость у стенки на входе в канал, а с другой стороны, при этом г = 0 и тогда согласно (7)
М = рQCl,
то значение константы С1 должно быть равно деленной на 2л циркуляции на входе
2
2
2
2
В
С1 = "оК = г0.
Тогда в нормированном виде распределение Бюргерса — Бэтчелора (4) и число Хигера — Бэра (7) запишутся как
u = R
"о г Sn Sn,
1 - exp
/ 2 А r
-П "Г v r».
= 1--^
л R2
R
r
, I Rl
1-exp -r| —
1 - exp
r2
-1,256 rT r
= 1--
1,256/?
1 - exp
R2\ -1,256 —
(8) (9)
(10)
где Sn0 — число закрутки потока на входе в канал
Sn0 = M = I«L = U>. 0 RI Rvo v
Наглядное представление о функциях (8) и (9) можно составить по рис. 2, где показаны распределения нормированных тангенциальных скоростей u/u0 по радиусу цилиндрического канала (r/R) и числа закрутки потока Sn/Sn0 в функции параметра
гЦhß2, который варьировался от ГЦ2 = 0,04, далее 0,08; 0,16; 0,36; 0,64; 1,0; 1,44;
1,96; 2,56; 3,24, до гЦ hß2 = 4,0.
Sn/Sn
Ч -Г
8 7 6 5 4 3
о.и
1.11
2.0
3.0
4.0
0.0
1.0
3.0
4.11
'■5 . 2.0 2 5 >■„; 8; т|Я2
а б
Рис. 2. Радиальные профили тангенциальных скоростей (а) и снижение чисел закрутки Хигера — Бэра (б) в функции параметра ^^2
Полученные графики показывают, что с ростом параметра г^/^^2 тангенциальные скорости и и числа закрутки Хигера — Бэра 8п снижаются. Проанализируем полученный результат.
Выражения (8) и (9) содержат лишь одну неизвестную функцию аксиального изменения радиуса г , на котором тангенциальная скорость принимает максимальное значение и . Сопоставляя (8) и (9) с решениями (10) и (11), полученными в [4], можно видеть их полную тождественность при условии
2 2 2 о
_ Г_ = V„T_ или = £
rl 4е,z n^2 Re R'
(11)
где ег — вихревая вязкость; г — текущая аксиальная координата; Re( — турбулентный аналог числа Рейнольдса
уО
Re, =
(12)
здесь О — диаметр цилиндрического канала; О = 2К.
Если турбулентный аналог числа Рейнольдса записать согласно [5] как
ВЕСТНИК 5/2012
Reí = = (13)
' е, XV ^
где с — универсальная постоянная, равная для воды 0,2; 1 — коэффициент гидравлического сопротивления по длине [6], то зависимость (11) перепишется в виде
2
£ 1
Равенства (11) и (13) определяют взаимосвязь виртуальной вязкости е или коэффициента гидравлического сопротивления по длине 1 со скоростью изменения г по аксиальной координате г. При этом можно видеть, что по мере продвижения потока по длине трубы, т.е. с ростом г, радиус г нарастает, и, следовательно, экстремумы тангенциальных скоростей смещаются от центра (г = 0 при г = 0) к периферии трубы
и в виртуальную область за ее пределы (гт —> оо при z —>■ оо). Согласно (3) и (11) при z = 0,0995 Re, R (14)
максимум тангенциальных скоростей расположен на стенках трубы, т.е. um = uR при rm = R. При z > 0,0995ReR поле тангенциальных скоростей более не будет содержать экстремумы в толще потока, при этом вращение жидкости практически будет соответствовать закону вращения твердого тела, когда u/r = const.
Любой закрученный на входе в трубу поток по мере продвижения по аксиальной координате в результате приобретает характерные особенности квазитвердого вращения. Поэтому участок от входного створа до z = 0,0995ReR можно полагать как участок интенсивной или активной трансформации течения, на котором форма профиля тангенциальных скоростей претерпевает значительные изменения, а последующий участок — как участок пассивной трансформации, где структура профиля тангенциальных скоростей уже не меняет свой характер и соответствует вращению по твердому телу. Причем, чем ниже значения чисел Рейнольдса (чем выше вязкость) или чем выше коэффициент гидравлического сопротивления по длине, тем скорее жидкость приобретает вращение по твердому телу.
Анализ показывает, что с ростом радиуса r тангенциальные скорости и и число закрутки Sn неизменно падают, что и имеет место при следовании потока по аксиальной координате z. Причем при изменении значения rm от 0 на входе в канал (при z = 0) до виртуального rm ^ ж (при z ^ ж) число закрутки Хигера — Бэра изменяется от Sn = Sn0 до Sn = 0. Заметим, что при свободном вихре на входе в канал Sn/Sn0 = 1, а при квазитвердом вращении, когда максимум тангенциальных скоростей достигает стенок трубы при rm = R. имеем согласно (9)
— = l--[l-exp(-ri)] = l--— [1-ехр (-1,256)] = 0,4306. (15)
Si1q г| 1,256
Следовательно, соотношение Sn/Sn0 < 0,4306 при rm > R, которое соответствует
значению параметра лR2 > 1/ц = 1/1,256 = 0,7962, характеризует вращение жидкости по закону твердого тела, т.е. стадию вырождения циркуляционного течения, полное затухание которого наступает при Sn = 0. Однако полное вырождение циркуляции достигается, как видим, только при виртуальном r ^ ж при z ^ ж. Тогда можно полагать, что циркуляционно-продольный поток полностью циркуляцию никогда не потеряет, и, обобщая, можно заключить, что потоков, абсолютно лишенных циркуляции, в природе, очевидно, не существует, поскольку при движении всякой вязкой жидкости всегда есть силы, побуждающие завихренность, а с ней согласно теореме Стокса 2пГ = | rot U dS
S
локальную или общую циркуляцию.
Таким образом, затухание циркуляции (тангенциальных скоростей, числа закрутки Хигера — Бэра) по длине канала в потоке, имевшем на входе свободное вращение, невозможно иначе как путем постепенного перехода к квазитвердому вращению, обусловленному нарастанием радиуса rm.
Продолжая анализ, заметим, что из (8) следует
um rrn = u0 R [1 - exp (-h)] = u0 R [1 - exp (-1,256)] = 0,7152u0 R = const. (16)
То есть произведение максимальной скорости um на радиус rm, на котором она располагается, всегда сохраняется постоянным в любом сечении трубы, значение этого произведения зависит только от начальной циркуляции, равной 2лГ0 = 2puR, но не зависит от аксиальной координаты z и от виртуальной вязкости er. От последней зависит лишь насколько быстро изменяется радиус rm (11), а с ним обратно-пропорционально изменяется значение максимальной скорости um.
Библиографический список
1. Trinh C.M. Turbulence modeling of confined swirling flows // Roskilde, Riso National Laboratory, 1998, Riso-R-647(EN).
2. Зуйков А.Л. Аппроксимирующие профили циркуляционных характеристик закрученного течения // Вестник МГСУ 2011. № 5. С. 185—190.
3. Зуйков А.Л. Критерии динамического подобия циркуляционных течений // Вестник МГСУ 2010. № 3. С. 106—112.
4. Зуйков А.Л. Радиально-продольное распределение азимутальных скоростей в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ 2011. № 2. С. 119—123.
5. Зуйков А.Л., Волшаник В.В. Аналитическое исследование структуры потока вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе. М. : МГСУ, 2001.
6. Справочник по гидравлическим расчетам / под ред. П.Г. Киселева. 4-е изд., перераб. и доп. М. : Энергия, 1972.
Поступила в редакцию в марте 2012 г.
Об авторе: Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, заведующий кафедрой гидравлики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 287-4913, вн. 14-18, [email protected].
Для цитирования: Зуйков А.Л. Анализ изменения профиля тангенциальных скоростей в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ 2012. № 5. С. 23—28.
A.L. Zuykov
ANALYSIS OF CHANGES IN THE PROFILE OF TANGENTIAL VELOCITIES OF THE FLOW SHAPED UP BY THE LOCAL SWIRLER
The profile of tangential velocities of a longitudinal turbulent rotational flow (Fig. 1) at the inlet of a cylindrical tube with a local swirler is characterized by radial zoning. The fluid rotation pattern transforms from a forced vortex in the center of the flow alongside the tube axis into a free vortex at the periphery. The boundary between the zones of forced and free rotation represents the radius rm, where tangential velocity reaches its maximum value um. Analysis of the profile approximation in Fig. 1 through the application of the Burgers-Batchelor (1) free and forced vortex methodology makes it possible to identify the following regularities. It is proven that the distribution of the tangential velocity u and the change in the number of swirls Sn are described by functions (8) and (9), where u0 and Sn0 stand for the tangential velocity and the number of swirls at the tube inlet immediately after the local swirler, where R is the radius of the tube, r is the radial coordinate, h is a constant value equal to 1.256. The author has identified that functions (8) and (9) represented in Fig. 2 depend on parameter r^/nR2 = 8 z/Re R , where z is the axial coordinate, Ref is the turbulent analogue of the Reynolds number, calculated in accordance with formula (12). The author demonstrates that if z > 0.0995 Ref R, the tangential velocity is not maximal, the fluid rotates as a rigid body, and its rotation pattern corresponds to the stage of rotation degeneration, in which the Sn/Sn0 ratio falls below
BECTHMK 5/2012
0.4306. The analysis demonstrates that the result of multiplying the maximal velocity um at radius rm
in any section of the tube remains constant and it is equal to 0.7152 u0 R.
Key words: irregular longitudinal rotational flow, turbulent flow, tangential velocity, Burgers-
Batchelor vortex, swirl number.
References
1. Trinh C.M. Turbulence Modeling of Confined Swirling Flows. Roskilde, Riso National Laboratory, 1998, Riso-R-647(EN).
2. Zuykov A.L. Approksimiruyushchie profili tsirkulyatsionnykh kharakteristik zakruchennogo techeniya [Approximating Profiles of Circulation Charactertistics of a Swirling Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 5, pp. 185—190.
3. Zuykov A.L. Kriterii dinamicheskogo podobiya tsirkulyatsionnykh techeniy [Criteria of Dynamic Similarity of Circulating Flows]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 3, pp. 106—112.
4. Zuykov A.L. Radial'no-prodol'noe raspredelenie azimutal'nykh skorostey v techenii za lokal'nym zavikhritelem [Radial-Longitudinal Distribution of Azimuthal Velocity of the Flow behind the Local Swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 2, pp. 119—123.
5. Zuykov A.L., Volshanik V.V. Analiticheskoe issledovanie strukturypotoka vyazkoy ne-szhimaemoy zhidkosti v tsilindricheskoy trube [Analytical Study of the Structure of the Flow of Viscous Incompressible Fluid in a Cylindrical Tube]. Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2001.
6. Spravochnik po gidravlicheskim raschetam [Handbook of Hydraulic Calculations]. Edited by Kiselyov P.G. Moscow, Energiya Publ., 1972.
About the author: Zuykov Andrey L'vovich — Candidate of Technical Sciences, Chair, Department of Hydraulics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, [email protected], +7 (495) 287-49-14, ext. 14—18.
For citation: Zuykov A.L. Analiz izmeneniya profilya tangentsial'nykh skorostey v techenii za lokal'nym zavihritelem [Analysis of Changes in the Profile of Tangential Velocities of the Flow Shaped Up by the Local Swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 5, pp. 23—28.
