Контрвихревое ползущее течение Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК

МГСУ-

УДК 627

Г.В. Орехов, А.Л. Зуйков, В.В. Волшаник

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

КОНТРВИХРЕВОЕ ПОЛЗУЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ

Аналитически исследовано одно из сложнейших пространственных неравномерных течений жидкости и газа, так называемое ползущее контрвихревое течение. Контрвихревым будем далее называть течение, формирующееся при взаимодействии двух или более спутных медленных коаксиальных циркуляционно-про-дольных потоков, закрученных во взаимно противоположных направлениях.

Ключевые слова: вязкое течение, ползущее течение, уравнения Навье — Стокса, разложение Фурье — Бесселя, азимутальные скорости течения, вихрь скорости, циркуляция.

Ползущие течения имеют место во многих конструктивных элементах машин, механизмов, оборудования и приборов, если поперечные размеры каналов или скорости течения малы или вязкость протекающей жидкости велика. В частности, на основе этой модели построена гидродинамическая теория смазки. При малых скоростях течения и значительной вязкости жидкой среды оказывается практически допустимым не учитывать в уравнениях Навье — Стокса инерционные конвективные слагаемые:

и2

г

" (1)

пренебрегая ими в сравнении с вязкими. Систему уравнений, описывающую ползущее течение, с учетом сказанного можно существенно упростить, приведя к виду

диг д

диг дг >гие диг диг \-их—- -дх

дщ + ие дие дие + их — + дх

дг

дих + ие дих _ дих + их—-, дх

дг ' где

дг ди е

дих

дг

дг

Г Р ^

—-п + 8

1Р ;

VЧ -^- 2^

г г2 г2д0

д Г р ^

— -п + 8

г д0 1Р ;

д дх

Р-п

+ sV2ux

V2и0- и2 + 2 диг г

г 2 д0

(2)

В (1) и (2) обозначены иг, ие, их — радиальная, азимутальная и аксиальная скорости движения жидкости, записанные в цилиндрической системе координат г - 0 - х; г, 0, х — радиальная, азимутальная и аксиальная координаты; Р и П — давление и потенциал внешних массовых сил; г и е — плотность и кинематическая вязкость жидкости; V2 — оператор Лапласа; г — текущее время.

Умножим теперь первое уравнение системы (2) на г, продифференцируем по г и разделим на г, второе уравнение продифференцируем по 9 и разделим на г, а третье уравнение продифференцируем по х, после чего все сложим. С учетом уравнения неразрывности

d(rur) due du

- +

+ -

rdr rdQ dx в результате находим

= 0,

dr2

P-П

V p

rdr

P-П VP

r 2 S92

P-П VP

dx

P-П VP

= 0.

Таким образом, давление в ползущих течениях удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является гармонической функцией.

Уравнения, определяющие поля скоростей, также получают из системы (2), ротируя ее. Например, вычтем из первого уравнения системы (2), предварительно продифференцированного по х, последнее уравнение (2), продифференцированное по г, в результате получим

д ' du r -dun' = £ "d2 ( dur d +-- ( dur -dux_N

dt K dx dr j dr 2 K dx dr j rdr K dx dr j

(dur д 2 | 'dur

у dx dr j r 2de2 y dx dr j

dx2

( dur dux ^ + 2 f (du* due N

y dx dr j r 2dQ у rde dx ,

или учитывая, что

ди

rot rU = wr =

r r rdQ

+ Гт dur

rotqu = юе = —r dx

rot U = ®x =

due dx

dux .

dr

d(rue) du r dr

_r_

rde''

находим

5юй

dt

= 8

( rs2

dr 2

дюр rdr

Юр

d 2 Юр

r 2cf2

d 2 юе cx 2

.2

r2 ae

Аналогично находят две другие компоненты вихря, таким образом, общая система уравнений движения для ползущих течений имеет вид

С®г („2 ®г о дю

■ = Е| V юг - 2

dt

дюе f 2 юе

—e = 81 V2rae--f -

dt { e r2

—х = 8V<ax. dt х

r 2 de

, 5Юг ' r2 de

(3)

x

При установившемся течении (д/дг = 0) уравнения движения сводятся к уравнениям Лапласа. В этом случае кинематическая структура ползущих течений не зависит ни от вязкости среды, ни от давления, ни от внешних массовых сил.

Наиболее просто определение поля скоростей производится для двумерных (плоских) течений (это плоскопараллельные или осесимметричные потоки). В частности, при установившемся осесимметричном (д/ддд = 0) цирку-ляционно-продольном ползущем течении вторые уравнения систем (2) и (3)

= 0;

приводятся к

д \ + дие и2 + д 2U2

дг 2 гдг Г 2 ' дх2

д 2®q д<ае + дЧ

дг 2 гдг r 2 дх2

+ 0.

(4)

Оба уравнения решаемы операторным путем, причем из первого непосредственно получают распределение азимутальных скоростей и2, а решение второго уравнения относительно &2 затем используют для отыскания распределений функции тока, а в дальнейшем радиальных и аксиальных скоростей. Так, поскольку азимутальная компонента вихря равна

, Гт dur dux

rot eU = юв =—----,

dx dr

а функция тока Т в двумерном течении определяется равенствами

дТ дТ

ur =--, их =-,

rdx rdr

то в результате записывается уравнение Пуассона

д2Т д2Т дТ

—т~ + —5---= -юв.

дх дг гдг

Таким образом, определив по второму уравнению (4) распределение , далее из уравнения Пуассона находят распределение функции тока Т, удовлетворяющее граничным условиям, а затем простым дифференцированием находят распределения скоростей иг и их .

В качестве примера рассмотрим решение первого уравнения (4) относительно азимутальных скоростей. Уравнение будем рассматривать в нормированном виде, т.е. будем полагать все переменные безразмерными, причем линейные размеры будем полагать приведенными в долях от радиуса трубы и изменяющимися в пределах: 0 < г < 1, 0 < х <&>, а окружные скорости ие — приведенными к характерной скорости течения, например, расходной V, и изменяющимися в пределах от 0 до некоторого положительного либо отрицательного конечного значения (значений).

Положим азимутальную скорость произведением двух функций ие = фф, где один из сомножителей зависит только от текущего радиуса: ф = ф(г), а второй — только от осевой координаты ф = ф(х). Тогда, разделяя переменные, приводим первое уравнение системы (4) к равенству

1 dV

Ф дх2

(

д 2ф дг 2

дф г5г

выполнение которого обеспечивается только в том случае, если его правая часть, являющаяся произведением функций от х, и левая часть, являющаяся произведением функций только от г, одновременно не зависят ни от х, ни от г, т.е. обе части равны одной и той же постоянной (константе) п. То есть мы приходим к задаче Штурма — Лиувилля с системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

д 2Ф

öx2

-ПФ = 0;

а2ф дф ( 1 , .

дГФ+Тфг +Гг? |ф=°

(5)

имеющей три решения в зависимости от того, п > 0, п = 0, п < 0.

В первом случае положим п = > 0, тогда система (5) приводится к виду

' 2ф-^ Ф = 0;

дх2

д 2ф дф —;т + —+ дг гдг

ь2 - Л 1Ф = о.

Первое уравнение этой системы имеет решение

Фп = С ехР(^пх) + с2 ехр(-^х), а второе является однородным уравнением Бесселя [1], имеющим частное решение

ф„ = АА(Х „г X

где Ап — постоянная; (X „г) — функция Бесселя 1-го рода 1-го порядка. Тогда, используя полную систему частных решений, находим

и$=фф= £ А„(X„г)[С ехр(Х„х) + С2 ехр(-Х„х)].

„=1

Во втором случае при п = 0 находим д 2ф

(6)

дх2 д 2ф дг 2

= 0;

0

гдг г 2

откуда

Ф = С3 х + С4;

ф = С5г +

r

и

Ua =

C5Г + С I(С3X + С4). r

(7)

В третьем случае п = -^2- < 0 . Тогда (5) приводится к

Ц?^2<р=0.

дх

а2ф дф ( , 1

дг2 гдг [ " г2 / .

Можно видеть, что второе уравнение этой системы представляет собой модифицированное уравнение Бесселя, имеющее только мнимые корни. На этом основании случай п < 0 следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

Если рассматривать далее течение, закрученное на входе трубу, то в качестве общего решения задачи можно положить распределение (6), где константу С2 положим вошедшей в постоянную А а С1 следует принять равной нулю, ибо в обратном случае окружные скорости должны были бы только нарастать до ие (г, ж) ^ж при х ^ ж . Таким образом, запишем

«е(г,х) = ЁАп'71(Хпг)ехР(-'кпх) . (8)

п=1

Полученное в качестве решения задачи течение Куэтта (7), в котором по тем же соображениям следует принять С3 = 0 и С4 = 1, можно принять как граничное условие на входе в трубу

С

ие (г,0) = С5г + — . (9)

г

В качестве граничных условий следует также положить окружные скорости равными нулю (ие = 0): на оси вращения потока при г = 0, на твердых границах вследствие вязкого прилипания жидкости к стенкам трубы (г = 1), а также на бесконечном удалении от входа (х = ж), где циркуляция вырождается, т.е. имеем

ие (0, х) = 0 для 0 < х <да; 1 ие (г,0) = О0г + Г0/г для 0 < г < 1; 1

ие (1, х) = 0 для 0 < х <да;ие (г, да) = 0 для 0 < г < 1,

где Г0 = С6, = С5 — константы, определяющие свободную и вынужденную составляющие входного вихря.

Можно видеть, что все граничные условия распределением (8) удовлетворяются полностью, если Хп — один из действительных корней функции Бесселя первого рода первого порядка J1(Xп) = 0 . Таким образом, остается найти только неизвестные постоянные Ап в соответствии с первым граничным условием, по которому при х = 0

Т"1 ж

Ц,г + = 1 Ап^ (X пг). (10)

г п=1

Воспользуемся условиями ортогональности функций Бесселя [1], согласно которым если X. и X. — два нуля функции Бесселя Jm(Xn) = 0 действительные, то

1

| Ут (кГУт (к= 0 еСЛИ ' * ),

0

| Ут (к Г Ут (X= -2[ Ут (X, )]2 , еСЛИ I = ].

0 2

Тогда, умножая правую и левую части (10) последовательно на г^1(А,1г ")йг, (X2г)йг , ..., тЗх (Xпг)ёг и далее до гЗх (Х„г)йг и интегрируя по интервалу от 0 до 1, согласно условиям ортогональности получим систему равенств 1 1 1 Ц | г 2 31 (V )йт + Г01 31 (А,1г )йт = А1131 (Х1г) 31 (Х1г )гс1г; 0 0 0

Q0 J r 2 3l(X2 r )dr + Г0 J 3x(X2 r)dr = A2 J 3x(X2 r )3^X2 r )rdr;

Q J r 23j (X„r)dr + Го J 3j (X„r)dr = An J 3X (X„r) J (X„r)rdr;

1 1 1 Ц | г 2 31 (Х„ г )йг + Г0131 (Х„ г )йг = Ах\ 3Х (Х„ г) 3Х (Х„ г )Ыг, 0 0 0 Откуда для произвольного «-го частного решения в результате интегрирования находим

Q,

32 (X n ) +Г 1 - 3 o(X n ) An . 2

" + -:-= ~ 31 (X n J :

Х« Х« 2

где 30(Х г) и 3 2 (Х г)— функции Бесселя первого рода нулевого и второго порядков.

Воспользуемся теперь рекуррентными соотношениями, связывающими цилиндрические функции различного порядка между собой [1]. Поскольку согласно этим соотношениям при условии 31 (Хп) = 0 справедливы равенства

31(Х п) = 30(Х п) = -32(Х„)/ найденное выше соотношение принимает вид

2Г0[1 - 30( Х«)] 2Ц

AM = ■

Xn3o2 (Xn ) X n30 (X n )

Вводя далее константы Ап в исходное уравнение (8), запишем распределение азимутальных скоростей в исследуемом циркуляционно-продольном ползущем течении

Ме(r,x) = 2]г'0" -3°(X"2 -Q3o(Xn)3i(Xnr)exp(-XnX).

n=1 Xn3 0 (Xn )

(11)

Расчетные распределения окружных скоростей в циркуляционно-продоль-ных ползущих течениях при различных соотношениях свободного и вынужденного входных вихрей показано на рисунке. В частности, на рис. а приведены профили, имеющие место при Г0 = 1 и Ц = 0 на расстояниях х = 0,1Л; 0,2^; 0,4Л и 0,8Л от входа в расчетный участок; на рис. б — при Г0 = 0 и Ц = 6; на рис. в — при Г0 = 1 и Ц = 5; на рис. г — при Г0 = -1,1 и Ц = 3,8. Последний режим, при котором периферийные слои и слои в ядре течения имеют взаимно противоположную закрутку, относится к случаю контрвихревого взаимодействия коаксиальных противоположно закрученных ползущих потоков, т.е. к течению, исследованию которого посвящена настоящая работа.

0

0

Азимутальные скорости в циркуляционно-продольных ползущих течениях

Отметим, что в целом циркуляционно-продольные ползущие течения теряют начальную закрутку достаточно быстро — к створу 0,8^ от локального завихрителя. Это результат их высокой вязкости, когда собственно ее реальное значение уже не оказывает влияния на распределение скоростей. Еще быстрее аннигилирует закрутка взаимодействующих внешних и внутренних слоев с противоположной циркуляцией. Высокая интенсивность гашения циркуляции при взаимодействии коаксиальных противоположно закрученных потоков будет показана ниже, в наших следующих работах. Здесь же необходимо сказать, что применение контрвихревого взаимодействия ползущих течений для достижения положительных технологических эффектов пока не представляет практического интереса, ибо в таких течениях в силу их вязкости не обеспечиваются процессы интенсивного массообмена коаксиальных слоев, а происходит их вязкое торможение. В силу этого более детальное рассмотрение гидродинамики ползущих течений в рамках этой работы считаем нецелесообразным. Однако авторы не исключают случаев, при которых контрвихревое взаимодействие ползучих течений могло бы сыграть положительную роль, например, при разработке космических технологий.

Библиографический список

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1970. 720 с.

2. Зуйков А.Л. Анализ изменения профиля тангенциальных скоростей в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ 2012. № 5. С. 23—28.

Поступила в редакцию в феврале 2013 г.

О б а в т о р а х : Орехов Генрих Васильевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой гидроэнергетики и использования водных ресурсов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499) 182-99-58, [email protected];

Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, заведующий кафедрой гидравлики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8495) 287-49-14 вн. 14-18, [email protected];

Волшаник Валерий Валентинович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидроэнергетики и использования водных ресурсов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499) 182-99-58, [email protected].

Для цитирования: Орехов Г.В., Зуйков А.Л., Волшаник В.В. Контрвихревое ползущее течение // Вестник МГСУ 2013. № 4. С. 172—180.

G.V. Orekhov, A.L. Zuykov, V.V. Volshanik

CREEPING COUNTER VORTEX FLOW

The authors have performed an analytical research into one of the most complex types of heterogeneous 3D flows of fluids and gases, that is, a creeping counter vortex flow. The "creeping counter vortex flow" is the flow that is formed as a result of interaction between two or more slow concurrent co-axial circulatory longitudinal flows swirling in the opposite directions.

Creeping flows are typical for numerous structural elements of machines, mechanisms, items of equipment and devices, if the flow velocity or cross dimensions of channels are small or, alternatively, if the viscosity of the fluid is high. This model designed by the coauthors, serves as the basis for the hydrodynamic theory of lubrication. If the flow velocity is small and the viscosity of the liquid media is substantial, inertial convective summands can be ignored for Navier — Stokes equations.

The coauthors believe that the research into the phenomena of the creeping counter vortex flow as one of the types of heterogeneous 3D flows of fluids and gases has a strong potential in space technologies, and it may be elaborated in further research projects to be developed by the coauthors.

Key words: viscous flow, creeping flow, Navier — Stokes equation, Fourier — Bessel decomposition equation, azimuthal velocity, vorticity, circulation.

References

1. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Reference Book of Mathematics for Researchers and Engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 720 p.

ВЕСТНИК AI-iMt.

4/2013

2. Zuykov A.L. Analiz izmeneniya profilya tangentsial'nykh skorostey v techenii za lokal'nym zavihritelem [Analysis of Changes in the Profile of Tangential Velocities of the Flow Shaped Up by the Local Swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 5, pр. 23—28.

About the authors: Orekhov Genrikh Vasil'evich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Chair, Department of Hydroelectric Engineering and Use of Aquatic Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 182-99-58;

Zuykov Andrey L'vovich — Doctor of Technical Sciences, Chair, Department of Hydraulics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (495) 287-49-14, ext. 14-18;

Volshanik Valeriy Valentinovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor, Department of Hydroelectric Engineering and Use of Aquatic Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 182-99-58.

For citation: Orekhov G.V., Zuykov A.L., Volshanik V.V. Kontrvikhrevoe polzushchee techenie [Creeping Counter Vortex Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 4, pp. 172—180.