CC BY
44
УДК 532.517.4
А.Л. Зуйков
ФГБОУВПО «МГСУ»
МОДЕЛЬ ТРАНСФОРМАЦИИ МОДИФИЦИРОВАННОГО ВИХРЯ КУЭТТА ПО ДЛИНЕ КАНАЛА
Рассмотрено изменение по длине цилиндрического канала азимутальных скоростей и числа закрутки Хигера — Бэра турбулентного неравномерного циркуля-ционно-продольного течения, описываемого моделью модифицированного вихря Куэтта. Показано, что модель модифицированного вихря Куэтта и модель свободно-вынужденного вихря Бюргерса — Бэтчелора при расчете показывают практически одинаковые результаты и в равной мере могут быть рекомендованы для использования в инженерной практике.
Ключевые слова: турбулентность, циркуляционно-продольное течение, азимутальные скорости, вихрь Куэтта, вихрь Бюргерса — Бэтчелора, число закрутки.
В одной из более ранних статей [1] рассмотрено установившееся равномерное циркуляционно-продольное течение, создаваемое в цилиндрической трубе непрерывным завихрителем (шнековым, ленточным или др.). Это течение называют вихрем Куэтта. Там же показано, что вихрь Куэтта можно модифицировать и получить формулу радиального распределения азимутальных скоростей, соответствующую профилям неравномерного движения в трубе циркуляционно-продольных потоков, формируемых локальными завихрителями (лопастными или тангенциальными). Классический пример такого профиля приведен в [2] (рис. 1), тот же симметричный относительно оси трубы профиль показан и в более ранних работах [3—9].
A.L. Zuykov
TRANSFORMATION MODEL OF MODIFIED COUETTE VORTEX ALONG THE CHANNEL
The article is a further research of a circular-longitudinal flow created in a cylindrical pipe by a continuous swirler called Couette vortex, which the author started to study in his previous works. The key question is how Couette modified vortex is transformed along the channel (pipe). The author regards variation of azi-muthal velocities (u) and the Heeger-Baer's swirl number (Sn) in turbulent irregular circular-longitudinal flow, which is described by the model of modified Couette vortex along the cylindrical channel.
It is confirmed that the model of the modified Couette vortex and free-forced Burgers — Batchelor vortex show almost similar results in calculations and both vortex models can be equally used in engineering practice in calculations and the analysis of circulating and longitudinal flow operating modes (vortex flows).
Key words: turbulence, circular-longitudinal flow, azimuthal velocity, Couette vortex, Burgers — Batchelor vortex, swirl number.
In one of my previous articles [1] I regarded steady regular circular-longitudinal flow created in a cylindrical pipe by a continuous swirler (strap, tape or other). The flow is called Couette vortex. I also showed that it is possible to modify Couette vortex and find azimuthal velocities radial distribution formula, corresponding to irregular motion profiles of non-uniform motion of circular-longitudinal flows in a pipe, formed by local swirl-ers (bladed or tangential). The classical example of such profile is given in [2] (fig. 1), the same profile symmetrical about the pipe axis was considered in previous works [3—9].
© Зуйков А.Л., 2014
147
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2014
Рис. 1. Профиль азимутальных (тангенциальных) скоростей в турбулентном цир-куляционно-продольном течении
Fig. 1. Azimuthal (tangential) velocity profile in turbulent circular-longitudinal flow
Модифицированный профиль Куэтта описывается формулой
Modified Couette profile is given by
u = u
r (R2 + ï ) R ( + r2 )
(1)
в которой и и иЯ — азимутальная скорость на текущем радиусе г и скорость на границе турбулентного ядра течения с пограничным слоем толщиной 5; г, гт и Я — текущий радиус, радиус максимума азимутальных (тангенциальных) скоростей (ит) и радиус цилиндрической трубы.
Однако в [1] остался открытым вопрос, который является ключевым. Как трансформируется по длине канала (трубы) модифицированный вихрь Куэтта? Для ответа на него обратимся к [10—12], в которых наряду с вихрем Куэтта рассматривается вихрь Бюргерса — Бэтчелора [13, 14]
where u and uR — azimuthal velocity on the reference radius r and velocity on the border of turbulent flow core with a boundary layer ô thick; r, rm and R are reference radius, radius of peak azimuthal (tangential) velocities (um) and cylindrical pipe radius.
However, the key question hasn't been solved in [1]. How Couette modified vortex is transformed along the channel (pipe). For that, we should address to works [10—12], where Burgers — Batchelor's vortex is considered together with Couette vortex [13, 14]
R r
1 - exp
r
r
n -
V rm У
(2)
где иЯ0 — азимутальная скорость на границе пограничного слоя на входе в канал, т.е. непосредственно за локальным завих-рителем, формирующим неравномерное (затухающее по длине цилиндрического канала) циркуляционно-продольное течение; п — константа, равная п = 1,256.
where uR0 — azimuthal velocity on the border of a boundary layer at the channel inlet, i.e. directly behind the local swirler forming irregular (fading along the cylindrical channel) circular-longitudinal flow; n — constant, equal to n = 1256.
Свободно-вынужденный вихрь Бюргер-са — Бэтчелора (2) при турбулентном режиме движения жидкости, как известно [10, 15], получают в результате трансформации по длине цилиндрической трубы свободного вихря с распределением азимутальных скоростей по закону динамического вращения
Free-forced Burgers — Batch-elor's vortex (2) in turbulent flow, as it is known [10, 15], is a result of transformation along the free vortex cylindrical pipe with azimuthal velocity distribution by the law of dynamic rotation
ur = uR 0 R = const.
Известно также [11], что модифицированный вихрь Куэтта (1) и свободно-вынужденный вихрь Бюргерса — Бэтчелора (2) при расчетах дают практически одинаковый радиальный профиль азимутальных скоростей. При этом для вихря Бюргерса — Бетчелора характерны следующие соотношения [12, 15]:
(3)
It is also known [11] that Couette modified vortex (1) and free-forced Burgers — Batchelor vortex (2) give almost identical azimuthal velocity radial profile in calculations. Thus, the following ratios [12, 15] are typical of Burgers — Batchelor's vortex
r2
m
u r
nR2 * R = uR 0R [1 - exp( -n) ] = 0,7152^ 0 R = const,
(4)
(5)
где x — универсальная постоянная, равная where х is a universal constant
для воды x = 0,2; 1 — коэффициент гидрав- equal to х = 0.2 for water; X — flow
лического сопротивления по длине. frictional resistance.
Но, согласно (1) для модифицирован- But, according to (1) for Cou-
ного профиля Куэтта имеем ette modified profile it is
R2 + r2
u r = u„-
mm R
и
u = u
2R
and
2r r
m
2 2 ' r + r
(6)
(7)
Тогда, принимая равенства (4) и Then, taking equalities (4) and
(5) справедливыми не только для вихря (5) valid not only for Burgers —
Бюргерса — Бэтчелора, но и для модифи- Batchelor vortex, but also for Cou-
цированного вихря Куэтта, получим ette modified vortex, we obtain
u = u
2rR [1 - exp(-n)] nx^TkzR + r2 '
(8)
Формула (8) описывает радиальное распределение осредненных по Рейнольдсу азимутальных скоростей в турбулентном циркуляционно-продольном потоке в произвольном сечении трубы. Для расчета тре-
Formula (8) describes Reynolds-averaged azimuthal velocity radial distribution in turbulent irregular circular-longitudinal flow in any pipe section. For that, it is
буется знать лишь значение коэффициента гидравлического сопротивления по длине X. Как показала практика, для турбулентного циркуляционно-продольного течения коэффициент X можно назначать в соответствии с эквивалентной равнозернистой абсолютной шероховатостью стенок трубы к по известным формулам [16] Прандтля — Никурадзе
only required to know the value of flow frictional resistance A. In practice, for turbulent irregular circular-longitudinal flow, A can be defined according to an equivalent even-grained absolute pipe wall roughness by the formulas Prandtl — Ni-kuradse [16]
Ж=21g
D_
v К j
+1,14
или Б.Л. Шифринсона
or Shifrinson
ii Л0'25
X = 0,11
V D у
(9)
(10)
where D is a pipe diameter, D = 2R.
Thus, flow friction happens not only in axial, but also in azimuthal direction.
Fig. 2, a shows normal azimuthal velocity radial profiles (u/uR0) in turbulent irregular circular-longi-
где D — диаметр трубы, D = 2R.
При этом гидравлическое трение будет иметь место не только в аксиальном, но и в азимутальном направлении.
На рис. 2, а показаны расчетные радиальные профили нормированных азимутальных скоростей (и/и ) в турбулентном циркуляционно-продольном потоке в tudinal flow in seven sections along семи сечениях по длине трубы на рассто- the pipe at a distance z = 25, 50, янии z = 25, 50, 100, 200, 400, 800 и 1600 100, 200, 400, 800 and 1600 mm мм от локального завихрителя. Труба from the local swirler. The pipe has имеет диаметр D = 50 мм, материал сте- the diameter D = 50 mm, the mate-нок трубы — полированное органическое rial of the pipe walls is a polished стекло с эквивалентной равнозернистой organic glass with equivalent even-абсолютной шероховатостью, равной grained absolute pipe wall rough-k3 = 0,02 мм. ness, equal to k = 0.02 mm.
25 20 15 10 5 0
Sn/Sn0
1,0л
0,1
z, мм
1600
Рис. 2. Радиальные профили азимутальных скоростей (а) и снижение чисел закрутки Хигера — Бэра (б) по длине трубы
Fig. 2. Azimuthal velocity radial profiles (а) and reduction of Heeger — Baer swirl numbers along the pipe
r, мм
Рассмотрим изменение по длине цилиндрического канала интегральной характеристики циркуляционно-продольного течения — числа закрутки Хигера — Бэра [8, 15, 17]
Let's consider changing in variation along the cylindrical channel of circular-longitudinal flow integral characteristic — Heeger — Baer swirl number [8, 15, 17]
a=M,
RI
(11)
где M и I — соответственно момент количе- where M and I are angular momen-ства движения и количество движения цир- tum and circular-longitudinal flow куляционно-продольного течения. momentum respectively.
M =
R
^pruvlnrdr:,
(12)
R
I = J pv21%rdr = pa 0QV,
(13)
где р — плотность жидкости; V — аксиальная скорость течения на текущем радиусе г; а0 — коэффициент Буссинеска; Q — объемный расход потока; V — среднерасход-ная скорость, V = Q/pR2.
Согласно (11) и (13) изменение числа закрутки Бп с точностью до корректива Буссинеска а0 связано исключительно с вызванным гидравлическим трением падением момента количества движения цирку-ляционно-продольного течения по длине канала. При этом соотношение момента количества движения циркуляционно-про-дольного течения в произвольном сечении трубы к его начальному значению на входе в трубу за локальным завихрителем равно
p — liquid density; v — axial flow velocity on reference radius r; a0 — Boussinesq's coefficient; Q — volume flow rate; V — average flow rate velocity, V = Q/pR2.
According to (11) and (13) changing in swirl number Sn to the accuracy of Boussinesq's a0, is connected only with the reduction of circular-longitudinal flow momentum because of flow friction along the channel. Thus, the ratio of circular-longitudinal flow momentum in any section of pipe to its initial value at the pipe inlet behind the local swirler is equal to
Sn M
Sn Mn
(14)
Найдем момент количества движения циркуляционно-продольного течения в произвольном створе по длине трубы, взяв интеграл (12) с радиальным распределением азимутальных скоростей по формуле (7) и принимая радиальное распределение аксиальных скоростей равномерным V = V
Let's define circular-longitudinal flow momentum in any cross-section of a pipe, taking azimuthal velocity radial distribution integral (12) by formula (7) and axial velocity radial distribution proportional to v = V
R R 2
M = prav2nrJr = 2лри г V —--dr2 = 2pu г О
|г г m m 122 у m
J J r + r
0 m
1--m ln
R2
f R
i+R
\ r
V 111 7
. (15)
Но плотность р, расход Q и произведение итгт — это константы, которые одинаковы в любом сечении водовода, в т.ч. в его начальном сечении, где гт стремится к нулю, ит стремится к бесконечности, а их произведение является конечным числом, равным итгт = ид0Д[1 - ехр(-п)]. Тогда начальный момент количества движения цир-куляционно-продольного течения в начальном створе трубы за локальным завихрите-лем согласно (15) составит
М = 2ритгт<2 = 2ри, 0Я<2 [1 - ехр( - п)] • Отсюда по (14) находим
Sn = 1-
Sn„
R
i+4
2 Л
But, density p, volume Q and product u r — are constants, identical
m m
in any cross-section of the pipe, including its initial section where rm goes to zero, um goes to infinity, and their product is a finite number equal to ujm = u^[1 - exp(-n)]. Then the initial circular-longitudinal flow momentum in the cross-section of the pipe behind the local swirler according to (15) is
According to (14)
(16)
(17)
или с учетом (4)
-Sn = 1 -nxV2x Z ln
with regard for (4)
Sn
R
1 +
R
Sn Sn
= 1 - ln2 = 0,3069.
(18)
График изменения числа закрутки Хигера — Бэра по длине цилиндрического канала для расчетного случая показан на рис. 2, б.
Анализ полученных результатов показывает, что при следовании потока вдоль трубы по аксиальной координате г азимутальные скорости и и число закрутки Бп падают. Причем при 2 = л/пх>/2Х максимум тангенциальных скоростей достигает стенок трубы, при этом согласно (17) и (18) имеем г = R и
Следовательно, соотношение Бп/Бп0 < < 0,3069, которое соответствует значению параметра 2 > я/ , характеризует вращение жидкости по закону твердого тела, т.е. стадию вырождения циркуляционного течения. В расчетном примере квазитвердое вращение наступает при г > 564 мм, что составляет более 11 диаметров трубы. Полное
Fig. 2, 6 shows the graph of variance of Heeger — Baer's swirl number along the cylindrical channel for a loading case.
The analysis of the obtained results shows that azimuthal velocity u and swirl number Sn reduce in axial flow z along the channel. And at z = r/nxV2x the maximum of tangential velocity reaches pipe walls, in this connection, according to (17) and (18) we have rm = R and
(19)
Therefore, Sn/Sn0 < 0.3069 ratio, corresponding to z > R , characterizes liquid rotation by the solid-state theory, that is a stage of circulation flow degeneracy. In the example, rigid rotation starts at z > 564 mm, which makes more than 11 pipe diameters. Full
затухание закрутки потока наступает при Sn = 0, что достигается, только при z ^ œ. Таким образом, затухание азимутальных скоростей и числа закрутки Хигера — Бэра по длине канала в потоке, имевшем на входе свободное (динамическое) вращение, невозможно иначе как путем постепенного перехода к квазитвердому вращению.
В целом, отметим, что полученные результаты по трансформации модифицированного вихря Куэтта по длине цилиндрического канала близки аналогичным характеристикам изменения параметров свободно-вынужденного вихря Бюргерса — Бэтчелора. Как первая, так и вторая модель вихря в равной мере могут использоваться в инженерной практике при расчете и анализе режимов движения циркуляционно-продольных течений (закрученных потоков).
Библиографический список
1. Зуйков ^.^Модифицированный вихрь Куэтта // Вестник МГСУ 2010. № 4. С. 66—71.
2. Chinh M.T. Turbulence Modeling of Confined Swirling Flows. Roskilde. Riso National Laboratory. 1998. Riso-R-647(EN). Р. 32.
3. Fernandez-Feria R., Fernandez de la Mora J., Barrero A. Solution Breakdown in a Family of Self-similar Nearly Inviscid Oxisymmetric Vortices // Journal of Fluid Mechanics. 1995. No. 305. Рр. 77—91.
4. Delery J.M. Aspects of Vortex Breakdown // Progr. Aerospace Sci. 1994. Vol. 30. No. 1. Р. 59.
5. Kitoh O. Experimental Study of Turbulent Swirling Flow in a Straight Pipe // Journal of Fluid Mechanics. 1991. Vol. 225. Pp. 445—479.
6. Сабуров Э.Н., Карпов С.В., Осташев С.И. Теплообмен и аэродинамика закрученного потока в циклонных устройствах : монография. Л. : ЛГУ, 1989. 176 c.
degradation of vortex flow comes at Sn = 0. Therefore, degradation of azi-muthal velocity and Heeger-Baer's swirl number along the channel flow, running free at the inlet, is only possible differently by gradual transition to rigid rotation.
As a whole, the obtained results of modified Couette vortex transformation along the cylindrical channel are close to similar parameter change characteristics of free-forced Burgers — Batchelor vortex. Both vortex models can be equally used in engineering practice in calculations and the analysis of circulating and longitudinal flow operating modes (vortex flows).
References
1. Zuykov A.L. Modifitsirovannyy vikhr' Kuetta [Modified Couette Vortex]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, pp. 66—71.
2. Chinh M.T. Turbulence Modeling of Confined Swirling Flows. Roskilde. Riso National Laboratory, 1998, Riso-R-647(EN), p. 32.
3. Fernandez-Feria R., Fernandez de la Mora J.,Barrero A. Solution Breakdown in a Family of Self-similar Nearly Inviscid Oxisymmetric Vortices. Journal of Fluid Mechanics. 1995, no. 305, pp. 77—91.
4. Delery J.M. Aspects of Vortex Breakdown. Progr. Aerospace Sci. 1994, vol. 30, no. 1, p. 59. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/0376-0421(94)90002-7.
5. Kitoh O. Experimental Study of Turbulent Swirling Flow in a Straight Pipe. Journal of Fluid Mechanics. 1991, vol. 225, pp. 445—479. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/ S0022112091002124 (About DOI).
6. Saburov E.N., Karpov S.V., Ostashev S.I. Teploobmen i aerodinamika zakruchen-nogo potoka v tsiklonnykh ustroystvakh [Heat Transfer and Aerodynamics of Swirling Flow in Cyclone Devices]. Leningrad, Leningrad State University Publ., 1989, 176 p.
7. Vatistas G.H., Lin S., Kwok C.K. An Analytical and Experimental Study on the Core-size and Pressure Drop Across a Vortex Chamber // AIAA Paper. 17th Fluid Dynamics, Plasma Dynamics, and Lasers Conference. 1984. No. 84—1548. 24 p.
8. Gupta A.K., Lilley D., Syred N. Swirl Flows. London : Abacus Press. 1984. 475 p.
9. Escudier M., Bornstein J., Zehnder N. Observations and LDA Measurements of Confined Turbulent Vortex Flow // Journal of Fluid Mechanics. 1980. Vol. 98. No. 1. Рр. 49—64.
10. Зуйков А.Л. Радиально-продольное распределение азимутальных скоростей в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ 2011. № 2. С. 119—123.
11. Зуйков А.Л.Аппрокси-мирующие профили циркуляционных характеристик закрученного течения // Вестник МГСУ 2011. № 5. С. 185—190.
12. Зуйков А.Л. Анализ изменения профиля тангенциальных скоростей в течении за локальным завих-рителем // Вестник МГСУ 2012. № 5. С. 23—28.
13. Burgers J. M. A Mathematical Model Illustrating Theory of Turbulence // Advances in Applied Mechanics. 1948. No. 1. Pp. 171—199.
14. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. New Ed. 2002. 631 p.
15. Зуйков А.Л. Гидродинамика циркуляционных течений : монография. М. : Изд-во АСВ, 2010. 216 с.
16. Справочник по гидравлическим расчетам / под ред. П.Г. Киселева. 4-е изд., переработ. и доп. М. : Энергия, 1972. 312 с.
17. Зуйков А.Л. Критерии динамического подобия циркуляционных течений // Вестник МГСУ 2010. № 3. С. 106—112.
7. Vatistas G.H., Lin S., Kwok C.K. An Analytical and Experimental Study on the Core-size and Pressure Drop across a Vortex Chamber. AIAA Paper, 17th Fluid Dynamics, Plasma Dynamics, and Lasers Conference. 1984, no. 84—1548, 24 p.
8. Gupta A.K., Lilley D., Syred N. Swirl Flows. London, Abacus Press, 1984, 475 p. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/0010-2180(86)90133-1.
9. Escudier M., Bornstein J., Zehnder N. Observations and LDA Measurements of Confined Turbulent Vortex Flow. Journal of Fluid Mechanics. 1980, vol. 98, no. 1, pp. 49—64. DOI: http:// dx.doi.org/10.1017/S0022112080000031.
10. Zuykov A.L. Radial'no-prodol'noe raspredelenie azimutal'nykh skorostey v techenii za lokal'nym zavikhritelem [Radially-longitudinal Distribution of Azimuthal Velocities in the Flow Behind Local Swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 2, pp. 119—123.
11. Zuykov A.L. Approksimiruyushchie pro-fili tsirkulyatsionnykh kharakteristik zakruchen-nogo techeniya [Approximating Profiles of the Circulation Characteristics of a Swirling Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 5, pp. 185—190.
12. Zuykov A.L. Analiz izmeneniya profilya tangentsial'nykh skorostey v techenii za lokal'nym zavikhritelem [Analysis of Changes in the Profile of the Tangential Velocities in the Flow Behind Local Swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 5, pp. 23—28.
13. Burgers J.M. A Mathematical Model Illustrating Theory of Turbulence. Advances in Applied Mechanics. 1948, no. 1, pp. 171—199.
14. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. New Ed. 2002, 631 p.
15. Zuykov A.L. Gidrodinamika tsirkulyat-sionnykh techeniy [Hydrodynamics of Circulating Currents]. Moscow. Association of Building Institutions of Higher Education Publ., 2010, 216 p.
16. Kiselyov P.G., editor. Spravochnik po gi-dravlicheskim raschetam [Handbook of Hydraulic Calculations]. 4th Edition. Moscow. Energiya Publ., 1972, 312 p.
Поступила в редакцию в апреле 2014 г.
Об авторе: Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 287-49-14 вн. 14-18, zuykov54@ mail.ru.
Для цитирования: Зуйков А.Л. Модель трансформации модифицированного вихря Куэтта по длине канала // Вестник МГСУ. 2014. № 7. С. 147—155.
17. Zuykov A.L. Kriterii dinami-cheskogo podobiya tsirkulyatsionnykh techeniy [Criteria of Dynamic Similarity of Circulating Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 3, pp. 106—112.
About the author: Zuykov Andrey L'vovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaro-slavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Zuykov A.L. Model' transformatsii modifitsirovannogo vikh-rya Kuetta po dline kanala [Transformation Model of Modified Couette Vortex along the Channel]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 7, pp. 147—155.
