Анализ алгоритмов управления разгоном тела в магнитоплазменном электродинамическом ускорителе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.384.6-52:539.1.07:531.576

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ РАЗГОНОМ ТЕЛА В МАГНИТОПЛАЗМЕННОМ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОМ УСКОРИТЕЛЕ

© 2008 г. Е.В. Кириевский, С.Г. Январёв

В последние годы активно развивается технология разгона тел с помощью магнитоплазменных электродинамических ускорителей (ЭДУ) [1]. Одной из основных проблем при проектировании ЭДУ является достижение управляемости разгона и стабилизации заданной скорости тела на выходе ЭДУ с помощью системы автоматического управления. В работе [2] для решения этой задачи предложен алгоритм управления, основанный на использовании в процессе разгона нескольких коррекций расчетного значения момента выдачи команды системы управления ЭДУ на шунтирование входа рельсового канала для прекращения подвода энергии при достижении заданного значения скорости разгоняемого тела. Особенностью этого алгоритма является использование в нем механизма памяти и многократного уточнения расчетных значений моментов шунтирования входа рельсового канала с расчетом на каждом шаге коррекции значений ускорения разгона. Такой сложный алгоритм управления позволяет при невысокой точности исходных данных, в том числе результатов измерения скорости разгона, получать малую ошибку управления разгоном (не более 3 %). Другими словами, высокая точность управления описанного в [2] алгоритма управления разгоном и стабилизации скорости тела на выходе ЭДУ обеспечивается за счет существенного усложнения алгоритма управления.

Представляется более перспективным другой подход к повышению точности управления разгоном и стабилизации скорости тела на выходе ЭДУ, основанный на простых алгоритмах управления, не требующих в процессе разгона использования механизма памяти и многократных коррекций расчетного значения момента выдачи команды на шунтирование рельсового канала ЭДУ. В таких алгоритмах управления разгоном достаточно однократного расчета значения указанного момента времени, а повышение точности управления разгоном обеспечивается не усложнением алгоритма управления, а за счет повышения точности измерения скорости тела в процессе разгона. Это, в свою очередь, приводит к задаче измерения мгновенной скорости разгоняемого тела в режиме реального времени. Метрологические характеристики измерителя скорости как элемента системы управления ЭДУ должны обеспечивать требуемое качество управления. Целью управления ЭДУ является обеспечение разгона тела до определенного заранее заданного значения скорости VЗ, а качество управления характеризуется относительной ошибкой управления разгоном:

В статье исследуются два простых алгоритма управления разгоном тела в ЭДУ, анализируется взаимосвязь между относительной ошибкой управления ЭДУ и относительной погрешностью 8„ измерения скорости, а также формулируются требования к точности измерителя скорости, исходя из заданной допустимой ошибки управления ЭДУ.

На рис. 1 приведена структура системы управления магнитоплазменным ЭДУ. Прямую цепь системы управления образуют формирователь импульса тока (ФИТ), устройство предварительного ускорения (УПУ), рельсовый канал (РК), состоящий из двух проводящих направляющих, которые определяют траекторию движения разгоняемого тела, шунтирующий ключ (ШК), устройство управления (УУ).

5 v = Vt " V3

V3

V,

Vт = VЗ(1 + 5 Кз), (1)

3

где V- - реальная скорость тела на выходе ускорителя.

Рис. 1. Структурная схема системы управления ЭДУ

Управление разгоном тела в ЭДУ заключается в ограничении его скорости на заданном уровне за счет прерывания в определенный момент времени процесса передачи электрической энергии от ФИТ к РК, обусловливающей ускорение тела. Это осуществляется посредством шунтирования с помощью ШК цепи питания РК. ШК срабатывает по сигналу, получаемому от УУ. Момент /кш выдачи команды на шунтирование РК определяется заранее на основе математической модели ускорителя [2], исходя из начальных условий разгона и параметров рельсового канала, и соответствует теоретической оценке интервала времени, в течение которого тело разгоняется до заданной скорости V....

Так как существующие математические модели магнитоплазменных ЭДУ имеют низкую точность [2], а на процесс разгона тела влияют многие случайные и неопределенные факторы, необходимо обеспечивать измерение скорости тела и определение момента 4ш непосредственно в процессе разгона.

Обратная связь системы управления ЭДУ образована (рис. 1) измерительно-вычислительной подсистемой (ИВПС), в которую включены устройство из-

мерения скорости (УИС) движения плазменного поршня (ПП) и вычислительное устройство (ВУ) для расчета момента /кш. ПП толкает разгоняющееся тело, их движения синхронны, поэтому значения их скоростей в любой момент времени совпадают. ШК срабатывает с некоторым запаздыванием, характеризующимся временем задержки тшк, в течение которого тело будет продолжать разгоняться уже после выдачи команды на шунтирование РК ускорителя. Вследствие этого момент 4ш не может определяться как момент времени, когда скорость v разгоняемого тела достигает значения УЗ, а должен быть предсказан заранее, исходя из закона движения v(t).

До момента достижения телом заданного значения скорости можно выделить интервал времени, когда его движение пренебрежимо мало отличается от равноускоренного. Именно внутри такого интервала времени следует выполнить все необходимые вычисления и измерения для определения момента 4ш. Будем называть этот интервал критическим, а момент времени его начала - критическим моментом 4р. Таким образом, закон движения тела от момента 4р начала критического интервала времени пренебрежимо мало отличается от линейной функции с постоянным ускорением a (рис. 2 а):

v (t: t > t кр ) = v кр + a (t -1 Кр)!

(2)

a _ a н(1 + ^ a ); :р _ v кр н (1 + ^ v—, ) •

(3)

(4)

_ VЗ - v кр + _

з _ a +t кр _

VЗ - v крн(1 + ^ v„ )

■ +t кр. (5)

Теоретическая оценка расчетного значения момента tкш выдачи командного сигнала на шунтирова-

ние входа рельсового канала ЭДУ совпадает с теоретической оценкой момента ^ достижения телом заданного значения скорости согласно (5) с точностью до времени задержки тшк срабатывания ШК:

V - v

3 кр

t _ t — т __-_— +1 -т

'кш V3 ьшк a кр 'шк '

(6)

к

V..................................

v^B _

£ vH

У

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ t

tV3

где vкp - скорость тела в момент

Ускорение тела, с которым оно движется в течение критического интервала времени разгона, и его скорость в начале этого интервала можно выразить через соответствующие номинальные параметры aн и н, ожидаемые, исходя из номинальных технических характеристик ускорителя, и соответствующие коэффициенты и кр относительного отклонения a и vкp от своих номинальных значений:

кр б

toy t%m tV3

v А

a(Tra+Ty) I

Ниже рассматривается анализ взаимосвязи между погрешностью измерения мгновенной скорости и ошибкой управления в контексте двух простых алгоритмов контроля скорости разгона.

1. 1-й алгоритм, предполагает, кроме непрерывного измерения скорости разгона, определение ускорения тела в критическом интервале времени и вычисление расчетного значения момента времени выдачи команды на шунтирование РК. Выражение для теоретической оценки расчетного значения момента V достижения телом заданного значения скорости УЗ вытекает из закона (2) движения (см. рис. 2 а) с учетом (4):

Рис. 2. Иллюстрация алгоритмов управления разгоном тела в ЭДУ: а - закон движения тела в течение критического интервала времени; б - 1-й алгоритм управления разгоном тела; в - 2-й алгоритм управления разгоном тела

Ускорение тела рассчитывается с использованием измерительного дифференцирования [3] как отношение приращений скорости и времени по результатам последовательных измерений двух значений скорости vкp, vоу, соответственно (рис. 2 б), в моменты времени 4р и tоу > (индекс «оу» соответствует словосочетанию «оценка ускорения»):

(7)

At

ГДе At _ t оу - tкр•

v

t

а

v

в

v —v

оу кр

a

a =

Подставляя (7) в (6), получим

^ кш

Уз - О At

v — v

оу кр

- +1 — т

кр шк

Оценка реального момента t кш выдачи команды на шунтирование РК, рассчитываемая в ВУ в процессе разгона, содержит неточность, обусловленную значениями скорости V кр и V оу, измеренными с некоторой погрешностью 8„:

t кш

(Уз — v*p) At

v — v

оу кр

- + t — т

кр шк

(8)

"шк

и в момент времени ^у оценки ускорения:

v*p =v кр(1 -8 v); V *у = v оу(1 + 8 v ).

(9)

(10)

тервала и ускорение a:

% = % + a At.

(11)

[Уз — v^ (1 — 8 v )]At

a At + (a At + 2v4J5v

+1 — т

кр шк

(13)

* * УТ = + a (t *ш — tкр +T шк).

кр

(14)

Оценку реального времени задержки т шк срабатывания ШК можно представить как:

*

тшк = тшк(1 + ^тшк) , (15)

где шк - относительное отклонение тшк от номинального значения.

Подставляя (13) и (15) в (14) и опуская промежуточные преобразования, получаем окончательное выражение для скорости тела V- на выходе ЭДУ:

а¥3 А/ + 2vKр(a А/ + vKр)5у

УТ =-

a At + (a At + 2 v )5v

- + aTшк. (16)

Приравнивая правые части (16), (1) и разрешая это уравнение относительно 8„, получаем выражение, характеризующее требование по точности к измерителю скорости разгона тела при реализации 1 -го алгоритма контроля в виде ограничения сверху диапазона допустимых значений относительной погрешности 8„ измерения скорости:

8 <-

aAt[y38 У3 — a Т шк ^т„J

Результаты измерения скорости, произведенные с относительной погрешностью 8„, соответственно, в

момент времени /кр начала критического интервала

Здесь разные знаки при 8„ в выражениях для V оу и V кр выбраны из условия наихудшего случая.

Учитывая линейный характер разгона тела в течение критического интервала, его скорость V оу в момент /кр оценки ускорения можно выразить через *

скорость V кр в момент /кр начала критического ин-

av крА - [aAt + 2v Kp](F3(l + 8 Уз ) - ах шк - v ^J

(17)

2. 2-й алгоритм контроля скорости разгона тела не требует расчета ускорения в режиме on-line и предполагает только непрерывное измерение скорости в критическом интервале времени. В этом случае момент 4ш не рассчитывается заранее, как в 1-м алгоритме, а совпадает с моментом достижения разгоняемым телом определенного значения скорости , когда выдается команда на шунтирование РК. С учетом задержки х шк срабатывания ШК это значение несколько меньше V3. Теоретическая оценка момента ¿кш выдачи команды на шунтирование РК соответствует моменту достижения телом заданного значения скорости V3 за вычетом того ее приращения, которое произойдет в течение времени проведения измерения xv и времени срабатывания ШК (рис. 2 в):

tкш : v(tкш) = vкш = У3 — a(T шк + Т v ) .

(18)

Подставляя (11) в (10), получаем выражение для

*

V оу:

V; = ^Кр + а А/)(1 + 8 у). (12)

Используя (9) и (12), можно уточнить выражение (8) для оценки реального момента выдачи командного сигнала на шунтирование РК:

Выражение для скорости тела vкш в момент выдачи командного сигнала на шунтирование РК следует из закона движения (2):

v = v

кш кр

+ a(t кш — t кр +Т v )■

(19)

Сопоставляя (18) и (19) и раскрывая а с учетом (3), получим формулу для расчетного значения момента /кш выдачи команды на шунтирование РК:

v — v

кш кр

+t кр =

У3 — a (т шк +Т v ) — v

кр

a a

У3 — a н(1 + ^ a )(т шк +Т v ) — v к

+t кр =

- + t„

Стабилизированное значение скорости тела VI после прекращения действия разгоняющей силы будет прямо зависеть от момента / кш выдачи команды на шунтирование РК и времени задержки т шк срабатывания ШК:

(20)

а н(1 + 1 а) кр

В качестве упомянутого выше предполагаемого значения ускорения, используемого при расчете выбирается номинальное ускорение ан. С этим допущением связано возникновение дополнительной методической погрешности 2-го алгоритма контроля скорости. Значение рассчитанное согласно (18), но с использованием ан, обозначим как V кш. Таким образом, значение момента выдачи командного сигнала / кш, содержащее упомянутую дополнительную методическую погрешность, определяется как

t кш : v(t кш) = v кш = У3 — a н(т шк +Т v )

(21)

С учетом указанного допущения выражение для значения момента / кш выдачи команды на шунтирование РК будет совпадать с (20), но с заменой значения реального ускорения на номинальное значение в

числителе:

У3 — a н(т шк + т v) — v кр

t - = 3_н4 шк v/ кр +1 (22)

кш _ /л , 'f \ """'кр ■ lZZJ

a» (1 + 1 a )

Сравнивая (20) и (22), видим, что в знаменателе (22), так же как и в (20), сохраняется фактическое ускорение. Это обусловлено тем, что та составляющая числителя дроби в (22), которая совпадает с правой частью (21), является заранее рассчитываемой величиной для реализации рассматриваемого алгоритма. Сам же момент времени t кш в отличие от 1 -го алгоритма является не рассчитываемой, а фактической величиной. Наличие некоторой погрешности измерения скорости 5у обусловливает дополнительно к методической погрешности инструментальную погрешность косвенного определения Значение момента выдачи командного сигнала t кш на шунтирование РК, содержащее методическую и инструментальную погрешности, определяется как

** / * * \ * / * \ ** /л с* \

1 кш: кш) = V (1 кш) = Укш(1 + 5 V) =

= V кш = УЗ - ан(т шк + Т V ). (23)

При этом выражение для оценки реальной скоро**

сти тела V кш в момент выдачи команды на шунтирование РК с учетом (23) имеет вид:

** _ V кш _УЗ - а н(т шк + Т V )

1+ 8Г

1 + 5,

(24)

Заменяя в (20) vкш на V кш и используя (24), получим выражение для оценки момента выдачи команд** ^

ного сигнала 1 кш, содержащей методическую и инструментальную погрешности:

+ Т V ) - V кр(1 + 5 V )

V3 - aн(тш

+ t

(25)

а н(1 + Е а) (1 + 5 V) кр ' '

Используя методику получения формулы (16) и опуская промежуточные преобразования, получим с помощью (25) формулу для стабилизированного значения скорости тел УТ после прекращения действия разгоняющей силы:

VТ = v кр + а н(1 + Е а )(1 кш - 1 кр + т ЩшД =

Уз + антШк[(1 + Еа)(1 + Ет„,Д1 + 5V) -1] - алт V

1 + 5 v

(26)

5 v ^

Vз(1 + 5 V3 ) - a н т шк(1 + ^ a )(1 + ШК)

(27)

ях Еа. На рис. 3 в приведена поверхность значений функции двух переменных I §„ I, %

—м— 1 1 VKP = 0'1

0 9 Е vKp = 0

-

-ОД -0,075 -0,05 -0,025

0,025 0,05 0,075

I 8„ |, %

—ьз— 1 1 Е / £ в=од ,=0

0 9

0,5

-ОД -0,075 -0,05 -0,025

0,025 б

0,05 0,075 ОД 0,125

Приравнивая правые части (26), (1) и разрешая это уравнение относительно 5у, получаем выражение, характеризующее требование по точности к измерителю скорости разгона тела при реализации 2-го алгоритма контроля в виде ограничения сверху диапазона допустимых значений относительной погрешности 5у измерения скорости:

а н{т шк[(1 + Е а )(1 + Ет шк) -1-т V} - VЗ 5 VЗ

Количественную оценку выражений (17) и (27) иллюстрируют соответственно рис. 3 и 4.

Группа графиков на рис. 3 отражает зависимость допустимой погрешности измерения скорости тела от параметров Еа и Е кр при реализации 1-го алгоритма управления разгоном. При этом на рис. 3 а показаны графики функции 5у(Еа) при трех значениях Е кр, а на рис. 3 б - графики функции 5у(Еу кр) при трех значени-

Рис. 3. Графики зависимостей допустимой погрешности 5у от Еа и кр при реализации 1-го алгоритма управления при |5 Уз | = 0,03: а - графики зависимостей 5у от Еа при кр = - 0,1; 0; 0,1; б - графики зависимостей 5у от кр при Еа = - 0,1; 0; 0,1; в - поверхность значений функции 5у от Еа и Е кр

Аналогично группа графиков на рис. 4 отражает зависимость допустимой погрешности измерения скорости тела от параметров Еа и ту при реализации 2-го алгоритма управления разгоном. При этом на рис. 4 а показаны графики функции 5у(Еа) при трех значениях ту, а на рис. 4 б - графики функции 5у(ту) при трех значениях Еа. На рис. 4 в приведена поверхность значений функции двух переменных 5у(Еа, ту). В обоих случаях использовались следующие значения параметров: ан = 104 км/с2; УЗ = 10 км/с; укр н = 7,5 км/с; тшк = 2 мкс. При количественной оценке (17) дополнительно использовались параметры: А1 = 100 мкс; 5Уз = + 0,03; Ет шк = + 0,01 (знаки «+» при значениях 5Уз

а

в

и шк выбраны из условий наихудшего случая). При количественной оценке (27) также использовались параметры: 8Уз = - 0,03; шк= - 0,01 (здесь знаки «-» при значениях 8Уз и шк также выбраны из условий наихудшего случая).

-ОД -0,075 -0,05 -0,025 0 0,025 0,05 0,075 0,1 а

5V, %

2,95

2,8

2,75

—2т7—

-0,1 -0,075 -0,05 -0,025 0 0,025 0,05 0,075 0,1 б

о/о

2,95

5.

ТУ, МКС

в

Рис. 4. Графики зависимостей допустимой погрешности 8У от и ту при реализации 2-го алгоритма управления при |8рз | = 0,03: а - графики зависимостей 8У от при ту = 1; 2; 3 мкс; б - графики зависимостей 8У от ту при = - 0,1; 0; 0,1; в - поверхность значений функции 8У от и ту

Как видно из рис. 3, при использовании 1-го алгоритма управления разгоном допустимая погрешность 8г, составляет всего лишь 0,6 %, что затруднительно для реализации на практике. Как видно из рис. 4, при использовании 2-го алгоритма допустимая погреш-

ность 8v примерно в 4,5 раза больше (2,75 %), поэтому 2-й алгоритм управления является предпочтительным.

Заметим, что при необходимости дальнейшего повышения точности управления разгоном до значений порядка 1 % (например, для решения баллистических задач), может быть рекомендовано сочетание предложенного в [2] сложного алгоритма управления с памятью и измерения мгновенной скорости.

Выводы

1. Анализ двух простых алгоритмов управления разгоном тела в магнитоплазменном ЭДУ показал очевидное преимущество алгоритма с непрерывным измерением скорости без расчета ускорения, заключающееся в существенном снижении требований к точности измерения скорости по сравнению с алгоритмом управления, предусматривающим расчет ускорения в режиме on-line. Показано, что для обеспечения приемлемой для большинства задач ошибки управления разгоном не более 3 % допустимая погрешность измерения скорости при использовании алгоритма управления с непрерывным измерением скорости без расчета ускорения в режиме on-line составляет 2,75 %. В тех же условиях для алгоритма с расчетом ускорения это значение оказывается меньше 1 %, что существенно затрудняет техническую реализацию измерителя мгновенной скорости.

2. Достоинством алгоритма с непрерывным измерением скорости без расчета ускорения является то, что погрешность управления слабее зависит от отклонений ускорения тела от номинального значения, чем при алгоритме с расчетом ускорения.

3. Реализация алгоритма управления разгоном с измерением скорости без расчета ускорения в режиме on-line, также как и алгоритма управления с расчетом ускорения, требует по условиям достоверности результатов перехода от измерения средней на интервале скорости к измерению мгновенной скорости в каждый момент времени.

4. При необходимости дальнейшего повышения точности управления разгоном (с ошибкой управления до 1 %) может быть предложено совместное использование алгоритма управления с памятью и измерения мгновенной скорости.

Литература

1. Кириевский Е.В. Измерение параметров движения тел в плазменных электродинамических ускорителях (Параметрический и структурный синтез измерительных преобразователей). Ростов н/Д., 2005.

2. Azanov I.B., Alexandrov V.A., Obydennikov S.S., Tyutin V.K., Khrustalev M.M., Yudas V.I. Macroparticle Launch Velocity Control in Rail Accelerators//IEEE Trasactions on Magnetics, January 1997. Vol. 33. №1. P.213 - 218.

3. Левидов В.А., Тихонов О.Н., Цивирко Г.П. Измерение скоростей (измерительное дифференцирование). М., 1972.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)_

14 октября 2007 г.