Аналитические выражения для сечений возбуждения и ионизации водородоподобных атомов релятивистскими многозарядными ионами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.1

ГУСАРЕВИЧЕвгений Степанович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имениМ.В. Ломоносова. Автор 34 научных работ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СЕЧЕНИЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ

И ИОНИЗАЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ РЕЛЯТИВИСТСКИМИ МНОГОЗАРЯДНЫМИ ИОНАМИ*

На основе релятивистского обобщения приближения эйконала и метода сшивки рассмотрены возбуждение и ионизация водородоподобных атомов из произвольного начального состояния дискретного спектра ударом голого релятивистского многозарядного иона. Для сечений возбуждения и ионизации получены простые асимптотические по скорости и заряду иона аналитические выражения, аналогичные формулам Бете.

Водородоподобный атом, релятивистский многозарядный ион, ионизация, возбуждение, сечение

При проведении многих, как теоретических, так и экспериментальных, исследований часто возникает необходимость в определении (оценке) сечений ряда изучаемых процессов. Это тем более актуально при проведении таких технически сложных и важных в прикладных аспектах исследований, как столкновение тяжелых релятивистских многозарядных ионов с веществом. Известно [1], что трудно переоценить роль асимптотических формул Бете для сечений неупругих процессов и потерь энергии при столкновениях быстрых заряженных частиц с атомами. Параметры, входящие в эти формулы, либо могут быть рассчитаны, либо получены из эксперимента. Именно последнее, совместно с простотой записи и интерпретации, и обеспечивает исключительно широкую область применимости формул Бете. Основой для получения асимптотики Бете является теория возмущений, которая применима при Z/v << 1, где Z - заряд налетающей на атом частицы, V - относительная скорость столкновения (здесь и везде ниже используются атомные единицы). Однако, как отмечено в [2, 3], для полей, создаваемых достаточно большими зарядами, теория возмущений становится неприменимой даже при сколь угодно больших энергиях столкновения. В таких случаях приходится описывать исследуемые процессы непертурбативными методами, что заметно усложняет расчеты и делает не очевидной возможность получения простых аналитических формул для сечений исследуемых процессов. Несмотря на это, сравнительно недавно появились работы [4-9], в которых на основе разработанного авторами непертурбативного

* Издание осуществлено при финансовой поддержке фонда РФФИ и Администрации Архангельской области в рамках гранта «Эмиссия наночастиц и больших кластеров при ионной бомбардировке твердого тела» (проект 08-02-98801-р_север_а, 2008-2009 гг.).

метода был предложен общий способ получения простых асимптотических по скорости V ^ с (с - скорость света) и заряду Z >> 1 формул, аналогичных формулам Бете, для сечений возбуждения и ионизации атомов ударом тяжелых релятивистских многозарядных ионов. Полученные для водородоподобных и гелиеподобных атомов формулы оказались лишь незначительно сложнее формул Бете. Однако процедура вычисления параметров, входящих в эти формулы, оказалась довольно сложной и даже для водородоподобных атомов была выполнена лишь численно.

Целью данной работы являлось получение полностью аналитических формул, аналогичных формулам Бете, для сечений возбуждения и ионизации водородоподобных атомов из произвольного начального состояния дискретного спектра ударом голого релятивистского многозарядного иона. Эти формулы имеют следующую структуру:

1) для возбуждения (дипольно разрешенный переход) и ионизации

Z2„ Г 2аV2у {32Л

а = 8п —у X

V

У

r\Z О 2

где Л, а и о - постоянные коэффициенты, зависящие от конкретного перехода, Р = v/c,

у = 1/дД-р2 , г = еУе = 1,781 (уе = 0,577216 - постоянная Эйлера);

2) для возбуждения (дипольно запрещенный переход)

, Z2

7 = А V’

где А0 - постоянная, определяемая типом перехода.

Вышеприведенные формулы имеют более широкую область применимости по сравнению с формулами Бете, так как получены в рамках непертурбативного метода [4-9], основанного на релятивистском обобщении приближения эйконала и методе сшивки, то есть на заряды ионов никаких ограничений, связанных с применением теории возмущений, в данной работе не налагается. При V ^ с (большие у) вышеуказанные сечения асимптотически приближаются к сечениям 7 в, рассчитываемым по формулам Бете, а именно: (<г -7в )/ст ~ 1/1пу.

В настоящей работе получены аналитические выражения для сечений возбуждения водородоподобных атомов в состояния дискретного спектра, соответствующие одному и тому же главному квантовому числу П (по орбитальному моменту I конечного состояния и его проекции т подразумевается суммирование), из произвольного начального состояния того же спектра с главным квантовым числом П и орбитальным I' (по проекции начального момента т ведется усреднение) при взаимодействии с голым релятивистским многозарядным ионом. В качестве примера рассмотрены возбуждения атома водорода из состояний 18, 2s и 2р в состояния с фиксированным п. Кроме того, получены аналитические формулы для сечений возбуждения водородоподобных атомов в состояния с фиксированными п и I (по т предполагается суммирование) из состояний с заданными п' и Г (по т' проводится усреднение). Рассмотрены сечения переходов в атоме водорода

18 ^ 28, 28 ^ 38, 28 ^ 3р, 28 ^ 3d под действием удара иона. Представлены выражения для сечений ионизации водородоподобных атомов релятивистскими многозарядными голыми ионами из состояний 18, 28 и 2р.

Результаты данного исследования могут использоваться, например, для оценки сечений возбуждения и ионизации К -, L - и других оболочек легких многоэлектронных атомов ударом голого релятивистского многозарядного иона.

Метод расчета. Рассмотрим столкновение голого релятивистского многозарядного иона с зарядом ядра Z и скоростью V с атомом водорода. Впоследствии все полученные формулы могут быть легко обобщены на случай столкновения иона с водородоподобным атомом. Будем считать, что атом покоится в начале системы координат, а ион движется вдоль оси х. Рассмотрим переход

атома водорода из начального состояния с энергией 8 в конечное состояние |/) с энергией

8 /, вызванного столкновением с голым релятивистским многозарядным ионом. Далее под переходом |^ ^ | будем понимать переход из состояния, характеризуемого главным квантовым числом п и орбитальным моментом /' (по начальным проекциям орбитального момента т' подразумевается усреднение) в любое состояние дискретного спектра с главным квантовым числом п ( п Ф п') и произвольным значением момента I и его проекции т. Для описания такого перехода воспользуемся непертурбативным методом [4-9], основанным на приближении эйконала и методе сшивки. Суть этого метода заключается в следующем. Разобьем весь интервал

0 < Ь < да возможных значений параметра удара Ь на две области:

А) 0< Ь < Ь0, В) Ь0 < Ь < да, (1)

где Ь0 ~ vу/Qn, Опп, = 8/ - £г.|, 8 =-1/(2п2), 8 =-1/(2п'2), соответствующие малым и большим параметрам удара. В области (А) малых параметров удара поле, создаваемое многозарядным ионом в точке нахождения атомного электрона, велико, поэтому для расчета сечения перехода 7^ I' в этой области применим приближение эйконала, позволяющее учесть сильное поле иона непертурбативным образом. В области (В) больших параметров удара поле иона является слабым, поэтому для расчета сечения в этой области воспользуемся теорией возмущений. Вычислив 7*1;г в каждой из областей (1) и сложив их, получим результирующее сечение.

Рассмотрим подробно вклад каждой области (1) в сечение.

А) Вклад области малых параметров удара 0 < Ь < Ь0.

Для нахождения вклада области 0 < Ь < Ь0в сечение перехода атома водорода из состояния |/^ в состояние / при столкновении с голым релятивистским многозарядным ионом воспользуемся эйкональным приближением, которое, согласно [4-9], может быть записано в виде

Ь0 Г . +да ^

7п, (Ь < Ь0) = 2п{\{/\ 1 - ехр] - - |и(Я;г) СХ У /)|2Ь с1Ь . (2)

0 I V -да )

Здесь рассеивающий кулоновский потенциал и(Я; г) = Z|R - Z||Я - Г, создаваемый атомом

мишени, зависит не только от координат иона Я. = (X, Ь), но и от координат атомного электрона г = (х, s), где 8 - проекция г на плоскость параметра удара Ь. Выполнив интегрирование в показателе экспоненты, для эйкональной фазы получим выражение

2 = -^{и(Я;г)СХ = - — 1п • (3)

V •' V Ь

-да

Дальнейшее использование выражения (3) совместно с (2) позволяет выполнить только лишь численный расчет сечения возбуждения атома водорода. Однако, так как целью нашей работы является получение простых аналитических выражений для сечения рассматриваемого процесса, то попытаемся упростить выражение (3), используя тот факт, что при больших Z сечения неупругих процессов, как правило, довольно велики и существенно превышают атомные размеры.

Поэтому, выполняя разложение выражения (3) по малому параметру s/Ь , вместо (2) получим

Ь0 2

7«т(Ь < Ь0) = 2^Ц(/\ехр{-Яг3-)\ ЬСЬ . (4)

2 0

Здесь q = 2ZЬ (vЬ ) имеет смысл импульса, передаваемого атомному электрону голым ионом. Следует заметить, что в случае релятивистского иона параметр сшивки Ь0 достаточно велик, а это, в свою очередь, означает, что интеграл в (4) как функция верхней границы будет логарифмически зависеть от Ь0. Именно это обстоятельство делает невозможным использование приближения эйконала в данной формулировке во всей плоскости параметра удара, что и приводит к необходимости разбиения интервала возможных значений Ь на части и применения в каждой из них своего метода расчета. Исходя из этих соображений, нетрудно показать, что вклад области (А) в сечение окончательно может быть представлен в виде

Z2 ап VЬ

7;, , (Ь < ь0) = 8^—а; г 1п 0, (5)

V Z

где К ч ' = |( /\ г| -)|V3,

Z Г 12 Ь° Г

а; г = & ехР'| 4^ {К/1 ехР{ ^ ^2 Ь СЬ |. (6)

В) Вклад области больших параметров удара Ь0 < Ь < да.

Как упоминалось ранее, взаимодействие иона с атомом мишени в этой области оказывается слабым, поэтому для расчета сечения мы можем воспользоваться результатом теории возмущений, записанным в виде асимптотики Бете [3, 1, 10, 11], тогда вклад области (В) в сечение примет вид

22 Г 1п 2^ Р2Л

(7)

У0Л ^ J

Суммируя вклады (5) и (7) от обеих областей (1), получим результирующее сечение. При этом знание точного значения границы между областями для нас несущественно, поскольку зависимость сечений в каждой области от параметра Ь оказывается логарифмической, что приводит к корректной сшивке вкладов смежных областей и выпадению в окончательном ответе зависимости от параметра сшивки Ъ0. В результате сечение перехода атома водорода из состояния |і в состояние | примет вид

22 .. Г. 2а:г/3'Л

1п-

V ппп, 2 J

(8)

Пусть /;г (я) = |(./| ехР{ ^г| -)| - неупругий формфактор, отвечающий переходу — /).

Тогда вместо (6) для аП,, можно записать

40

— елР17^{ /;г(Ч)~3

2 I К;г 1 4

“" = 1;т 7ехр{к; I1 :'(“) 7} • (9)

где д0 = 22/(уК0). В общем случае І Пу(а) можно представить в виде [1, 12-14]

(„) = а а2 (а + С) V в а2к

І п Г (а) Аа , 2,п \п+а ^ вка ,

(а + ^) к=0

где а = 2п' +1, к0 = 4п' -і' - 3, Б = (1/п ' + 1/п)2, С = (1/п ' - 1/п)2, апкоэффициенты А и Вк зависят как от начального, так и от конечного состояний. Величина же 1, в выражении (9) имеет вид

,п Пг(а) ЛТ) сп-а

г = ііш 2 = АВ0 Б+а. (10)

а^ 0 а Б

Для вычисления коэффициентов а^'і- необходимо сосчитать интеграл, стоящий в (9) под знаком экспоненты. Для этого запишем интеграл в виде

І г;, (а)цЦ = А| вк І Ц + ^1 а '-“лд = А£ В,1к, (11)

^ а и і (а +Б)

где

„(а2 + Б)п

Перейдем в интеграле (12) к новой переменной

-.2

а

у = ^г

а2 + б

Тогда 1к запишется в виде

1 1

1к =1 Бк-2а (1 - г)п-а Iук-1(1 - у)2а-к-1(у + и)п-аСу, (13)

2 ■'

У0

где введено г = С/Б, и = г/(1 - г)и у0 = а02/(а02 + Б).

Рассмотрим случай к > 0.

В этом случае интеграл в (13) сходится на нижнем пределе у0 ^ 0 (при 40 ^ 0), поэтому имеем [15]

1 1

1ІШ 1к = -Бк-2а (1 - г)п-а I ук-1(1 - у)2а-к -1( у + и )п-ас1у-

?0^° 2

=1 Dk-2а (1 - г);-а В(к,2а - к) 2^ ^к, а - п;2а;-1 | (14)

где 2 ^1(а1, а2; Ь1; z) - гипергеометрическая функция, В(х, у)- бета-функция Эйлера. Рассмотрим случай к = 0.

В этом случае интеграл в (13) логарифмически расходится на нижнем пределе у0 ^ 0 (при 40 ^ 0), поэтому имеем

1Б-2а (1 - г)п-а I (у + и)п-а (1 - у)2а-1 Су

2 у у

1 2

= — Б гп-а

п — а Г 1

F21 1,1,1 + а - п;2,1 + 2а;— I - Н2а-1 + 1п Б - 21п ц0

Здесь 3 F2(a1, а2, а3; Ь1, Ь2; 2)- гипергеометрическая функция, задаваемая рядом

г-/ и и \ 'Г (а1)а(а2)*(а3)*2*

3Каа2,а3;Ь1,Ь2;2) = X 1* 2* 3*—,

3 *=0 (Ьі) * &)* *!

где ( . )*- символ Похгаммера [16], а Нр - гармоническое число [17].

Таким образом, формулы (9)-(11), (14) и (15) позволяют представить величины ССп, г, в аналитическом виде. Действительно, согласно (9) и (11) имеем

С

?02 | ^ , *=0 “І ?02

(16)

где для дальнейшего удобства мы ввели величину Jk = АБк1к!Аппг. Подставляя сюда А из (10) и 1к из (14) и (15), получим

Jk = Б(*,2а - *)2^ [ *, а - п;2а;- — |, при * > 0;

2 Б V и)

J 0 =;

-------- 3F2 | 1,1,1 + а - п;2,1 + 2а;---------------| - н2а-1

2 аи V и

+ !п уіБ - !п ?0.

Подставляя (17) и (18) в выражение (16) и определяя предел, окончательно имеем

а

' г =^Т ехРіХ '7* + о

------- 3К, | 1,1,1 + а - п;2,1 + 2а; |- Н2а-1

2 аи V и

(17)

(18)

(19)

2 [ *=1 2

Таким образом, формулы (8), (10) и (19) решают поставленную задачу о нахождении сечения а’-'1' возбуждения атома водорода ударом голого релятивистского многозарядного иона.

Примеры переходов п', I' ^ п

1). Переходы из 1я. В качестве примера рассмотрим сначала переходы в атоме водорода из

основного состояния 1^. В этом случае формфактор ^П ^) и коэффициент Ап1в, соответствующие переходу из основного состояния в любое состояние с главным квантовым числом п, имеют вид [1, 12, 13]:

/: (?)=-

256 ?2 і і + 1 1 7 К к V V п-3

3п3 п +1 У п+3

Ч + |

ч п )

3?3+1 - Аі •

К =

Л.,--' 7 / -,\2п

256 п (п -1

3 (п2 -1)5 Vп +1

(20)

В этом случае а = 3, к = 1,

Б0 = 1 -—, Б1 = 3, С =

п V п

п-1V ^=(п+1

Подставляя эти значения в (19), для а1, получим

1

п

п

п +1

2п

ехр

-9019п + 22216п + 90п4 -135 + 135(п + 1)2п+4/(п-1)2

3840 п6(п2 - 4)

1 п(п - 3)

+ -——-А

(

3 (п -1)

2 3 2

1,1,4 - п;2,7;--

4п

(п -1)2

(22)

V V'- V )_•

Формула (22) справедлива при всех п > 1, однако при вычислении по ней коэффициента а^ его нужно рассчитывать как предел выражения (22) при п — 2. Также можно заметить, что при п — ю а стремится к определенному значению. Действительно, из (20) и (21) видно, что при п — ю:

4

Л

q2 +1

к —

256

3п

(23)

(24)

Подставляя (23) и (24) в выражение (9), получим

со

«“ = Нш< = Нт ^ехр]е" \

п—ю qo ——0 2 I

3q2 +1

^2 +1)6

ехр

q2 +1

dq

q

(25)

Выполнив интегрирование в (25) и устремив, там, где это возможно, q0 к 0, получим

11 + 41е4

__ ехр<! -

>0 2

а; = Нт «°ехрГТТ+Te + 2[й(4) - И(4^)]

256

где Е1(г)- интегральная показательная функция [16]. Учитывая, что при г — 0: £/( г) — уе + 1п г, для а” окончательно получим

а” = — ехр-1 - 11 + 41е +1 (Е(4)-г)1 = 0,523788 . 4 I 256 2Ч ' |

(26)

Используя (26), можно рассчитать сечение перехода атома водорода в высоковозбужденные состояния ( п >> 1):

. г2 -3( Р21

А0 —— п 1п-—-- —

0у2 V г 2 )

(27)

где А0 = 2П^/ (3е4) = 39,28, М = 2а“/ (^Ц“ ) = 1,176.

2). Переходы из 2^. Теперь рассмотрим переходы в атоме водорода из состояния 2^. В этом случае имеем [13]:

гп (q) - 3

3п

q2+(п2-212 п-5

32q2 _ V 2п ) _

2 I п + 2 q + .

1 2п

„ 10 |0 11 1 8 (41 18 141 6

п+5^(! -|8--гк +(^-^+:гlq +

+

-4

е

4

п

2

5 31 10 6

+ ( — +

16 8п2 п4 + п6 Г +1 320 ' 80п2

47 47

+ -

7 1 ]( 1

---------+ -

4п4 п

+ '.4-£]-п2,)

217 п7(п2 -1) (п - 2

Яп 3 (п2 - 4)6 Vп + 2,

Тогда для коэффициентов получим значения: а = 5, k0 = 5,

В0 (4 п2 ] Г п2], В V 320 ' 80п2

47 47

- + ■

7

4п4 п6

1 1( 1 1

5 31 10 6 „ 41 18 14

В2 = — + —- —- + — В3 =--------------------------------- + —

16 8п п п ’ 8 п п ’

В =-(■ -Ч1. В5= 3, с =(¥Т. <• = (пТ

Подставляя эти значения в (19), для а 2 получим

q2 +

п + 2

ап =—Г~ еХР 4п

1

330301440п (п - 1)(п - 4)(п2 - 9)(п2 -16)

|-726150445п18 + 17406803118п16 - 134768774784п14 + 391288861312п12 -

-274380304896п10 + 70414Ш0п8 + 5635768320пб + 16257024000п4 + +8360755200п2 -13005619200 + 4725(49п6 -526п4 -768п2 + 672) х

х (п + 2)2п+б/(п - 2)2п-6)+5 пп-Л 3^2

(

1,1,6 - п;2,11; —

8п

(п - 2)2

(28)

Формула (28) справедлива для всех п >2, однако при нахождении по ней коэффициентов а2х и а2!, их нужно рассчитывать как предел выражения (28) при п — 3и п — 4 соответственно. При п = 1 переход 2з — дипольно запрещен. Это означает, что при расчете сечения такого перехода необходимость в применении метода сшивки отпадает и сечение может быть вычислено непосредственно по формуле (4), в которой интегрирование должно быть распространено на всю область параметра удара 0 < Ь < ю (см. также формулу (32)).

При больших же п для сг'^хопять получаем формулу (27), но с коэффициентами: А = 22(У(3е8) = 368,4, М = 2а“/(^П” ) = 3,912,

ю

а2* =■

1

^ехР^

15941 - 3005 е8

+1 (£/(8) - ^е )1 = 0,435501 .

8л/2 1 [ 40960 2 у

3). Переходы из 2р. Теперь опишем переходы в атоме водорода из любого состояния,

1

2

п

2п

X

соответствующего подоболочке 2р, т.е. мы будем рассматривать переходы из состояния 2р с любым значением проекции момента т', по которому в дальнейшем будет произведено усреднение. В этом случае для формфактора /2”р (?), усредненного по проекциям начального момента т', имеем [13]:

& (?) =-

2 2 ?2 + ^п_21' ч 2п ^ п_5

3п3 ?2 +( 'п + 21 ч 2п ) п+5

(

8 „о| 1 1 1 6 I 19 12 8 | 4

36д _ 48| — I? +1—+ — —4 |д +

4 п 1 I 2 п п

107 392 16 V1 1 1 2 11 1 13111 4Л^

+'Т5 _ 15П2+п4 1 4 _ п214 +14 _ п2 Д 7 _ п2

_ 215 п9(11п2 _ 12) Iп _ 2

2р _ 9 (п2 _ 4)7 ( п + 2

Тогда для коэффициентов получим значения: а = 5, к = 4,

0 |1 1 1711 4 1 1107 392 16 V1 1

д _14_п1(Т_п21 • д _1 75_Т5?+?

Д _19 + 4_Л, *3 = -41_-^1, д, _36.

2 п п V 4 п

С _

п _ 2 2п

D _

п + 2 2п

Подставляя эти значения в (19), для О 2р получим

п + 2 _--------ехр

'2 р

4п

1

330301440п (п _ 1)(п _9)(п _ 16)(11п2 _ 12)

х(_9982325615п18 + 218006342746п16 _ 1312209725504п14

+

+2026519404672п12 _ 923554423296п10 + 14346243072п8 + +79442657280иб + 147056394240л4 _ 162941829120л2 _ 39016857600 + +2835(1453пб _ 19190п4 + 12352п2 + 3360)(п + 2)2п+6/(п_2)2п_6) +

+ 2 п(п _ 5) „

(

5 (п _ 2)

2 3 2

1,1,6 _ п;2,11; _

8п

’ ’ (п _ 2)2

(29)

Формула (29) справедлива для всех положительных п ^ 2, однако при нахождении по ней коэффициентов о2 , о2р и о2р их нужно рассчитывать как предел выражения (29) при п ^ 1, п ^ 3и п ^ 4 соответственно.

2

2

X

В итоге при больших п для <72,р имеем формулу (27) с коэффициентами: А0 _ 11 • Л/(9е8) _ 337,7, М_ 2о“р/(^П“) _ 8,209,

ад

2 -

1 [ 18001 + 8215 е8 1/^/оч ч!

о2р _—■]= ехр^-------------------+ -(£/(8) _ уеН_ 0,913830 .

2р 8л/2 [ 112640 2Ч '\

В заключение отметим, что обобщение формул (8) и (27) на случай столкновения иона с водородоподобным атомом с зарядом ядра 2а производится путем выполнения в этих формулах следующих замен:

Лп

Для фоРмУлы (8): ЛпП1, ^ 2-, аппЧ, ^ аппЧ,1а, ^ Опп,2а,

а

для формулы (27): А0 ^ ^ —.

2а

4). Переходы п',і' ^ п,і. Рассмотрим теперь переход атома водорода из состояния |п' , і', т'^ = |пг., Іі, т^ в состояние |п, і, т^ = |п/, I/, т^, где пр, 1р, тр - главное, орбитальное и магнитное квантовые числа для начального (р = і) и конечного (р =1 состояний. Сечение ст^т,' такого перехода зависит от выбора оси квантования, поэтому далее рассчитаем сечение

спг =1 (2і +1 Есп гт, просуммированное по конечным и усредненное по начальным проекциям

т т

момента, которое уже не зависит от выбора этой оси. Учтем, что

, Г| ,ґ .г 2 422 ад2п І у ч|2 dqdq>a

_піт | \/^пІт /ж_\ л2и І І \ґ^пІт 1 ~У

сп'1'т = І рп'їт (Ь) db = ~Т І I Рп'1 т (Ч) -------------------3“

л у у

где [14]

°ПП‘гт (Ч) = ( n, 1, т |ЄХР (іЧГ )|п' , 1' , т') = ^т (г)єХР О'ЧГ )^п'Гт' (r)d ^

І +г

=°.°і Е ч4*(21,+‘+(2+1)-(я)х

і=|і-і'| V 21 +1

^(-1)к5!(Х + 5 - k )!(2а)5-2к

хЕ с Е-

,=0 к=о(5 - 2к)! к!(а2 + д2)ь+1+5-к

М = т — тт, УМ (Я) - сферическая гармоника, Я = я/у, С1™м і,т, - коэффициент Клебша-Гордона; ,о = п + п — і — і — 2, 5 = і +1 + j +1 — L, = ^ 2j;

о

(-пр+ір+1) ]

г=0 г=0 (2ір + 2) /

.0 = 1, с, = Е = Е , ^р = 1, dP = (2ар)

пі/2

2р а‘р

^ =----------------р—

р (2ір +1)!

(пр + ір )!

пр (пр - ір -1)!

1

, а= а. + а|, а = —, р = і, |

1 Р пр .

Далее для краткости введем обозначения:

0^,(4) - О(я) =£ А,

где

'Ь]к Ь,лк ^

АЬ ,к _ КС'М.т'УМ '(Я) 0ЬЬ ^

Ь/к Ь ЬМ,Гт' Ь \Ч7 / Ь/к/ 2 . 2\Ь+1+з-к

(о + д )

(_1)к^!( Ь + ^ _ к)! (я _ 2к)! к!

С учетом этого получим

|о(Ч)|2-=ц аа-,г _ 11 1„с!тм,г„

Ь,у,кЬ',/ ,к ' Ь,у,кЬ ' ,/ ',к'

дЬ+Ь' Х7]М тм (Я) с,сА,А','к' -

(а2 + д2)

Принимая во внимание, что

11' 9/4-1

11 СЬМ^СЬМ,^*№“ (Я)=^

т__1т' __1 4^

где 5ЬЬ, - символ Кронекера, для 7^ 1 , получим

__п 1

7М,« _

1 472 г2^ м2

^^77^Л X |°(Ч)| -г-

21 ' 1 » 0 0 т,т' —

272 21 +1 1+7 ^ 1,12,, г д2Ь_^д

2 2 , , + , Х Х Гь| С/А.А/к ] (О2 + д2)2Ь+2+*+ *’_к_к’ . (30)

V 21 +1 ь=I_г\/,к,/,к 0(а + д )

Дальнейший расчет и конечный вид сечения 7^ зависит от разности |1 _ 1'|.

I' _ I. В этом случае интеграл в (30) может быть взят непосредственно и необходимость в

применении метода сшивки, рассмотренного ранее, отпадает. После интегрирования выражение (30) примет вид

72

— п1 _

7п,' _ 2

V

X с1с1А11ьчО_”• Вд,. +

},к ,/,к'

1

+2Х *2/ X С1С1 ,Ь2/]кЬ2/]'к'^4/ /=1 },к ,]',к'

где

К =- аи и 2

Г(и/2 - 1)Г(^ - и/2 +1)

шй) ’

Г(z) - гамма-функция. Так, в частности, для перехода 18 ^ 28 (так же как и для 28 ^ 18) получим

28 . ^2 . 131072

— А0—г, А0 —------------п —1,395,

18 ^ V2 295245

(32)

а для перехода 28 ^ 38 имеем

38 „ Z2 „ 227125886976

— Ао“Т, А —----------------п —16,70.

28 V2 42724609375

|/ -/'| — 1. В этом случае переход п' , Г ^ п, / дипольно разрешен, поэтому использовать для расчета сечения опп'г формулу (30) напрямую нельзя ввиду расходимости интеграла в (30) при Ь — 1. Для устранения этой расходимости приходится применять рассмотренный выше метод сшивки. В итоге выражение для сечения примет вид:

7

^т-п/ _ о ^ лп/

°п’Г — 8п 2 ^п'Г

V

1п-

Ц7 О п 2

(33)

где

п/ &

' / ' — ^еХР1

/т -1

2/ +1

4пл;,', 2/' +1

Й) V СУС/ЪЬ'кЪ1/к'а 2НМ2-1

У ,к, / ,к

Х^2*+1 V 'Ь(2г+1)УкЬ(2г+1)/к 'К2(2г+1)

г=1 ] ,к,/,к'

/ — тах(/' , /), Г/ — -—^-+1 й2 V т V ’ п / 4п 2/' +11 ^.

с с .,ЪЛ ,ЪЛ,,.а 2

J J 1 к 1 к

У,к,/,к'

Так, используя (33), сечение для перехода 28 ^ 3^ примет вид

1п-

V

7 2

У

40 —

- 367

6115295232 2а73р 12е_200 ,

п — 78,69, ц — —^ —---------------— 1,075.

244140625

?7 О

/ - /'| > 2. Теперь переход п', /' ^ п, / дипольно запрещен, поэтому необходимость в применении метода сшивки опять отпадает. Используя (30) и вводя А/ = |/ - / '|, получим

а) А/ - четное:

ап Т — 2 2 2/' + 1 V й2г V 'Ъ2г/кЪ2г/' к Ж4

v 2/ + 1 г=А// 2 У,к, /\к'

б) А/ - нечетное:

72 2/ +1 -(А/+:)/2

—-2 — 2 +1 V й2 V ССЪ Ъ Ж

ип'1' 2 9/ ',1 ^ 2г+1 ^ ' (2г+1) /кУ(2г+1)/к'^ 2(2г+1) .

v ^ 1 г=(АЫ)/2 /,к,/,к'

Так, используя (34), для перехода 28 ^ 3d имеем

717527973888

V 42724609375

72

< — 40 2", 40 —

п — 52,76

(35)

Рис. 1. Зависимость удельных сечений возбуждения атома водорода для переходов 18 ^ п/ от

параметра V2/7 для нерелятивистских столкновений. Сплошная линия - расчет по формулам (31) и (33). Эксперимент: О, переход 18 —>28 [18, 19], для удобства сечения умножены на 10“; ®, 18 —>2р [20]; П,

18^-3 р [20]; И, Ъ^Ар [20]; А, 18^-5 р [20]; А, Ъ^бр [20].

Используя формулы (31) и (33), мы рассчитали зависимость удельных сечений /7 (сече-

ний, приходящихся на единицу заряда иона) возбуждения атома водорода из основного состояния в состояния 28 , 2р, 3р, 4р, 5р и 6р от параметра v2/Z для нерелятивистских столкновений с многозарядными ионами. В таком случае, как видно из формул (31) и (33), эти зависимости оказываются универсальными для каждого перехода 18 ^ п1 и независящими от заряда 7 и

скорости V бомбардирующих ионов. На рис. 1 приведены графики вышеуказанных зависимостей в сравнении с экспериментальными данными, где в качестве бомбардирующих снарядов использовались протоны [18, 19] (для перехода 15 ^ 2s) и ионы Не2+, Si(2~9)+, Си(3~11)+ [20] (для переходов 15 ^ 2р - 6р). Энергии ионов в экспериментах принимали значения от 15 до 700 кэВ/нуклон. Следует заметить, что выражения (31) и (33) применимы, если V2/Z >> 1, поэтому расчетные кривые на рис. 1 ограничены слева значением V2/ Z = 3. Из рис. 1 видно, что экспериментальные данные как раз приходятся на граничный диапазон области применимости формул (31) и (33). Найти эксперименты с участием более энергичных ионов, т.е. с большими V/Z, так, чтобы экспериментальные данные приходились не на граничную область применимости формул (31) и (33), к сожалению, не удалось. Несмотря на это, даже имеющиеся опытные данные показывают хорошее согласие с расчетами.

Формулы (31), (33)—(3 5) легко обобщаются на случай столкновения иона с водородоподобным атомом с зарядом ядра Ха с помощью следующих замен:

Z

для формулы (31), (34), (35): Z ^ —;

х 1

для формулы (33): Гп!г ^ , аПГ ^ <‘^а, ^ О^а .

а

Ионизация

Теперь рассмотрим ионизацию атома водорода из связанного состояния с п' и 1' (по т' подразумевается усреднение) при столкновении с голым релятивистским многозарядным ионом. Формфактор, соответствующий такому процессу, равен

1 1

/г*г (а) = ^г^ Ё Л(к 1ехР (7'чг}|п', 1' , т')ГйЗк = (/Л (а)к2ак, (36)

21 + 1 т=_;'

где |ку - состояние непрерывного спектра с импульсом к.

В этом случае для расчета сечения ионизации опять приходится применять метод сшивки, поэтому выражение для сечения примет такой же вид, как и формула (8), а именно [4, 6-9]

т2 (

„i , 24 п'1'у ! Р

(37)

X

<'Г = 8^ — К' т

V

1п2<т v2r р2

где

/' (а) 1 “ “

К'г = = 11т-2 Л/пт(а)к2dk = \хкп,гк2йк, (38)

а а^о а ^ 0

= 1;т тЦхН /п«'(а) 7 \ (3»)

П'пт = ехр | КГ Л Кпт 1п °пк 2йк |, (40)

пк,=—+ 1

2 2п

г 2

Так, в качестве примера, используя формулы (37)-(41), рассчитаем сечения ионизации атома водорода из состояний 15, 25 и 2р .

1). Ионизация из 1*. В этом случае, согласно [1, 12, 13], имеем

/к(а) =

256 а2

1

3д2 + к2 +1

3 к

1 _ ехр I _

|_^^ [(а2 +1 _ к2)2 + 4к2]

(

х ехр | — arctg

к

2к

а2 +1 _ к2

здесь, так же как и в (42) и (43), главные значения аг^ е [0,*).

7* - 256 Я|- = '

1 _ ехр I _

1 Г 4

2*^ (к2 +1)_5 ехр |_ к аг^ к

к

В результате сечение ионизации ст^ представится формулой (37) с коэффициентами = 0,2834, < = 3,264, ^ = 0,7113. *

2). Ионизация из 2*. Согласно [13]имеем

/I (а) =322

1

3к , ( 2п

1 _ ехр| _Т~

а2+1 _ к21 + к2

3а10 _ (8 + 11к 2)а8 +

+ 1 41 + 18к2 + 14к4) д6 + | ^ _ 31 к2 _ 10к4 _ бк6 | д4 +

+

^_47к2 _7к4 _к6 Ц1' ''2 '~2

320 80 4 Л 4

х ехр | _—arctg

32

К, =-

1

(42)

С учетом этого К2* = 0,8232, а2* = 2,938, Ог2* = 0,1913. 3). Ионизация из 2р. В этом случае получим [13]

X

3

_5

2

4

X

к

/2р (а) = 2 а

1

3к , ( 2п

1 _ ехр| _Т

а2 +1 _ к21 + к2

19

2

+1 — _ 12к2 _ 8к4 | а4 +| 107 + 392к2 + 16к4 У1 + к2 I а2 +

11

3

15 15

2

1

ехр |_—arctg 4к2 +

4

к

11

а2 +14 _ к2

ехр( _ ^аг^ 2к |.

В результате К2р = 0,5312, а’2р = 41,38, 02 р = 0,1699.

2 р

“2 р

(43)

Рис. 2. Зависимость удельного сечения (У[51Х ионизации атома водорода из основного состояния от параметра -V2/X для нерелятивистских столкновений. Сплошная линия - расчет по формуле (37). Эксперимент: О, [21-26].

Используя формулу (37) с коэффициентами = 0,2834, а’ъ = 3,264, О'* = 0,7113, мы рассчитали зависимость удельного сечения ионизации атома водорода из основного состояния

от параметра V2/X для нерелятивистских столкновений с многозарядными ионами. Так же как для случая возбуждения, эта зависимость оказывается одинаковой для любых бомбардирующих водород ионов. На рис. 2 построен график этой зависимости в сравнении с экспериментами, в которых в качестве снарядов использовались ионы: С6+ [21]; С(2_4)+, N(2~5)+, О(2~5)+ [22];

2

3

4

П (2~3)+ [23]; С (2~б)+, О (2_6)+, Аг (3~9)+ [24]; а также С (4~6)+, #Ь(23~3б)+, РЬ(52~59)+ [25] и Fel>22)+ [26] для столкновений с Н2 (в этом случае экспериментальное сечение делилось на 2). Энергии ионов в экспериментах менялись от 10 до 4750 кэВ/нуклон. Расчетная кривая на рис. 2 также ограничена слева значением v2/Z = 3. Как видно из рис. 2, наши расчеты достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В заключении следует отметить, что формула (37) легко обобщается на случай ионизации водородоподобного атома с помощью замен

К'

К,,, , а^ а',. X , О!,,, ,Х2

п I гу 2 п I п I а 5 п I п I а .

и

Список литературы

1. Inokuti M. Inelastic collisions of fast charged particles with atoms and molecules - The Bethe theory revisited // Reviews ofModern Physics. 1971. V 43, N° 3. P. 297-347.

2. Eichler J., Meyerhof W.E. Relativistic Atomic Collisions. N.Y., 1995.

3. Eichler J. Theory of relativistic ion-atom collisions // Physics Reports. 1990. V 193. P. 165-277.

4. Matveev V. I., Rakhimov Kh.Yu., Matrasulov D. U. Inelastic collisions of relativistic highly charged ions with atoms // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1999. V. 32, № 15. P. 3849-3862.

5. Матвеев В. И. Столкновения быстрых многозарядных ионов с атомами // Элементарные частицы и атомное ядро. 1995. Т 26, № 3. С. 780-820.

6. Матвеев В.И., Рахимов Х.Ю. Сечения неупругих процессов при столкновениях быстрых многозарядных ионов с атомами // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1998. Т. 114, № 5. С. 1646-1661.

7. Khabibullaev P.K., Matveev VI., Matrasulov D. U. Inelastic collisions of relativistic highly charged ions with heavy atoms and K-vacancy production // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1998. V 31, № 14. P. L607-L611.

8. Матвеев В.И., Гусаревич Е. С. Сечения однократной и двойной ионизации атомов при столкновениях с релятивистскими структурными тяжелыми ионами // Письма в журнал технической физики. 2002. Т. 28, № 12. С. 19-26.

9. Матвеев В.И., Гусаревич Е. С. Сечения неупругих процессов при столкновениях релятивистских структурных тяжелых ионов с атомами // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2003. Т. 123, № 1. С. 42-48.

10. Bertulani C.A., Baur G. Electromagnetic processes in relativistic heavy ion collisions // Physics Reports. 1988. V. 163, № 5-6. P. 299-408.

11. Moiseiwitsch B.L. Scattering of atomic particles at relativistic energies // Physics Reports. 1985. V 118, № 3. P. 133177.

12. Ландау Л.Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика. М., 1989.

13. HoltA.R. Matrix elements for bound-free transitions in atomic hydrogen // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1969. V 2, № 11. P. 1209-1213.

14. Dewangan D.P. First born amplitude for transitions from a circular state to a state of large (l, m) // Journal ofPhysics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2005. V 38, № 2. P. S107-S129.

15. Прудников А.П., БрычковЮ.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., 1981.

16. Справочник по специальным функциям / под. ред. K. Абрамовиц, И. Стиган. М., 1979.

17. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М., 1998.

18. Higgins, D.P., GeddesJ., Gilbody H.B. Formation ofH(2s) atoms by excitation in 10-100 keV H+ -H collisions // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1996. V. 29, № 6. P. 1219-1224.

19. Park J.T. // Adv. At. Mol. Phys. 1983. V 19. P. 67.

20. Detleffsen D., AntonM., WernerA., Schartner K-H. Excitation of atomic hydrogen by protons and multiply charged ions at intermediate velocities // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1994. V 27. P. 4195-4213.

21. Shah M.B., Gilbody H.B. Ionisation of atomic hydrogen by 4,8 MeV C6+ ions // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1983. V 16. P. L449-L452.

22. Shah M.B., Gilbody H.B. Experimental study of the ionization of atomic hydrogen by fast multiply charged ions of carbon, nitrogen and oxygen // Journal ofPhysics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1981. V 14. P. 2831-2841.

23. Shah M.B., Gilbody H.B. Experimental study of the ionization of atomic hydrogen by fast lithium ions // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1982. V 15. P. 413-421.

24. Shah M.B., Gilbody H.B. Crossed-beam coincidence studies of ionization and electron capture in collisions of multiply charged ions with hydrogen atoms // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1983. V. 16. P. 4395-4403.

25. Schlachter A.S. Collisions of fast, highly stripped carbon, niobium, and lead ions with molecular hydrogen / A.S. Schlachter, K.H. Berkner, W.G. Graham et al. // Physical Review A. 1981. V 24, J№ 2. P. 1110-1111.

26. Berkner K.H. Electron-capture and impact-ionisation cross sections for partially stripped iron ions colliding with atomic and molecular hydrogen / K.H. Berkner, W.G. Graham, R.V Pyle et al. // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1978. V 11, № 5. P. 875-885.

Gusarevich Eugeny

ANALYTICAL EXPRESSIONS FOR CROSS SECTIONS OF EXCITATION AND IONIZATION OF HYDROGEN-LIKE ATOMS BY RELATIVISTIC

MULTICHARGED IONS

Excitation and ionization of hydrogen-like atoms from an arbitrary initial discrete spectrum state by bare relativistic multicharged ion are considered on the basis of relativistic generalization of the eikonal approximation and joining method. For the excitation and ionization cross sections simple asymptotic by ion velocity and charge analytical expressions similar to the Bethe formulas are obtained.

Рецензент - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова