CC BY
39
УДК 539.182
МАТВЕЕВ Виктор Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, заместитель декана физического факультета по научной работе, директор центра теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 190 научных публикаций
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ВНЕЗАПНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ*
В приближении внезапных возмущений получено решение уравнения Дирака, описывающее поведение водородоподобного атома при взаимодействии с пространственно неоднородным ультракоротким импульсом электромагнитного поля. Соответствующие вероятности переходов выражены через известные неупругие атомные формфакторы, широко используемые в теории релятивистских столкновений заряженных частиц с атомами.
Приближение внезапных возмущений, ультракороткие импульсы электромагнитного поля, уравнение Дирака, релятивистские столкновения
Приближение внезапных возмущений (см., например, [1, 2]) в нерелятивистской квантовой механике является основой расчетных методик, когда возмущение не является достаточно малым для применения теории возмущений, однако время действия возмущения значительно меньше характерных периодов времени невозмущенной системы, что позволяет решать задачу, не ограничивая величину возмущения. Известно много примеров, когда происходит возбуждение или ионизация атома под действием внезапного возмущения. Прежде всего это возбуждение или ионизация атомов при ядерных реакциях [2, 3], например, при р-распаде ядра, когда вылет быстрого р -электрона воспринимается атомными электронами как внезапное изменение заряда ядра, или при ударе нейтрона о ядро, когда происходит внезапная передача импульса ядру, и т.п. Приближение внезапных возмущений применяется при рассмотрении многоэлектронных переходов в сложных атомах, когда переходы, происходящие во внутренних оболочках, воспринимаются сравнительно медленными электронами внешних оболочек как мгновенные (см., например, [4]). Как результат действия внезапного возмущения рассматриваются неупругие процессы при столкновениях быстрых многозарядных ионов с атомами (см. [5-7]) и при столкновениях заряженных частиц с высоковозбужденными атомами [8]. Таким образом, во многих практически важных случаях возмущение не является достаточно малым для применения теории возмущений, однако
*Издание осуществлено при финансовой поддержке фонда РФФИ и Администрации Архангельской области в рамках гранта «Эмиссия наночастиц и больших кластеров при ионной бомбардировке твердого тела» (проект 08-02-98801 -р_север_а, 2008-2009 гг).
часто встречаются ситуации, когда время действия возмущения значительно меньше характерных атомных периодов времени. К подобным случаям можно отнести и эффекты взаимодействия атомов с ультракороткими импульсами электромагнитного поля, которые в настоящее время становятся объектом экспериментальных и теоретических исследований. Под ультракороткими импульсами в рамках данной статьи понимаются импульсы длительностью меньшей характерных периодов времени для атома-мишени, который до взаимодействия может находиться как в основном состоянии, так и в возбужденном, в том числе в высоковозбужденном - ридберговском. Такие импульсы могут иметь различное происхождение [9-12], но могут быть и полями движущихся с релятивистской или ультрарелятивистской скоростью тяжелых ионов [13-16], причем в последнем случае для полей ионов с достаточно большими зарядами теория возмущений неприменима [5,17], даже при сколь угодно больших энергиях ионов. В работе [18] на основе приближения внезапных возмущений была развита нерелятивистская теория, описывающая электронные переходы и излучение атома при его взаимодействии с пространственно неоднородным ультракоротким импульсом электромагнитного поля, получены вероятности возбуждения и ионизации, а также спектры и сечения переизлучения атомом такого импульса. Развитая в [18] методика позволяет произвести точный учет как пространственной неоднородности (на размерах атома-мишени) поля ультракороткого импульса, так и импульсов фотонов в процессах переизлучения.
В настоящей работе на основе приближения внезапных возмущений получено решение уравнения Дирака, описывающее поведение водородоподобного атома при взаимодействии с пространственно неоднородным ультракоротким импульсом электромагнитного поля. Соответствующие вероятности переходов выражены через известные неупругие атомные формфакторы, широко используемые в теории релятивистских столкновений заряженных частиц с атомами.
Амплитуда перехода в приближении внезапных возмущений. По терминологии [1], возмущение, соответствующее полю ультракороткого импульса, имеет характер встряски типа рассеяния. Для иллюстрации приближения внезапных возмущений в этом случае, видимо, проще всего рассмотреть формальное решение уравнения Шредингера (здесь и везде ниже используются атомные единицы):
/Ф = (Н 0 + и(г))Ф , (1)
где внезапное возмущение и (г) действует в течение времени значительно меньшего характерных периодов времени невозмущенной системы, описываемой гамильтонианом Н 0. Тогда при решении уравнения (1) можно (в течение времени действия возмущения и(г)) пренебречь эволюцией волновой функции под действием собственного гамильтониана Н 0 и решать уравнение /Ф = и(г)Ф . Откуда следует, что
г
Ф(г) = ехр{—/ и (г )^}Ф(/о). (2)
*0
Поэтому амплитуда перехода нерелятивистского атома из состояния | / > в состояние | f > в результате внезапного возмущения и (г) имеет вид [1]:
(•+да
а$ =< f | ехр{—/1— и (г)Л} | / > . (3)
Легко видеть, что тот же самый результат может быть получен, если точно решить уравнение (1) с 8 -образным потенциалом и(ї), связанным с потенциалом и(ї) следующим образом:
и (ї) = и „8(1), и„ = \_и (ї )А. (4)
Именно это обстоятельство мы используем ниже для решения уравнения Дирака в приближе-
нии внезапных возмущений.
Поведение электрона водородоподобного атома (с зарядом ядра Z а, на значения которого здесь не будем накладывать ограничений, кроме условий применимости [19] уравнения Дирака) во внешнем поле A, р описываем уравнением Дирака (заряд электрона = - 1 ат. ед.)
1 7
їх¥ = {са(р + - A)-----^ - р- (с 2}Ф, (5)
с г
где члены сар - (с2 - 7а/г представляют собой гамильтониан Н0 изолированного атома, а взаимодействие атомного электрона с внешним полем равно и ^) = и (г, t) = аА - р; р - оператор импульса, а и ( - матрицы Дирака, с - скорость света, Г - координаты атомного электрона. Сначала выберем калибровку потенциалов электромагнитных волн векторного А и скалярного р так, что скалярный потенциал равен нулю. Будем считать, что векторный потенциал поля волны следующим образом зависит от координат Г и времени ї: А = А(г, ї) = А(г), где фаза волны г = сойї — к 0г , здесь волновой вектор к 0 такой, что | к 0 |= со0/с, со0 - круговая ча-
1 Э/
стота. Проведем калибровочное преобразование [18]: А'= А + V/, р р ~ ~, где / = Аг .
В результате А'= —к0(г^А/^г), р= —(Ег), где Е = Е(г,ї) = — | к0| dA/dг . Поэтому в
новой калибровке векторный и скалярный потенциалы связаны следующим образом А'= (к0/|к0|)р . Будем считать ось Z направленной по к0. В этом случае в уравнении (5) взаимодействие атомного электрона с внешним полем равно
и (г) = аА'-р'= -(1 -тт-л-)р'= -(1 - а,)р. (6)
1 к 0 1
Далее будем работать в новой калибровке и штрихи у потенциалов будем опускать. Для решения в приближении внезапных возмущений уравнения Дирака (5) запишем его в виде іх¥ = (Н 0 + и (ї ))¥ и воспользуемся введенной в начале данного параграфа заменой (4), для этого введем
р = —р08(сї — z), р0 = с| р(сї — z)dї. (7)
Соответственно, и(ї) из формулы (6) заменим на и(ї) = —(1 — аг )р или на
и(ї ) = и 08(сї — z), (8)
где
и 0 = с £> (ї )dї = —(1 — а2 р (9)
В результате уравнение (5) примет вид
„ 7 ~
/Ф = {сар----- — рс — (1 — аг )~}Ф. (10)
г
Для получения точного решения уравнения Дирака с таким потенциалом разложим Ф = Ф(г, г) по собственным функциям фк (г) (с энергиями Ек) невозмущенного атомного гамильтониана Н0 = сар - Рс2 - Za /г :
Ф (г, г ) = ^ (гф (г)е-Ек'.
к
Подставляя это разложение в левую часть уравнения /Ф = (Н 0 + и (г ))Ф и интегрируя после умножения слева на какое-либо состояние фу, с учетом ортогональности состояний ф, получаем
daf (г ) ~=",е
= —ief< фг | и (г )| Ф(г, г )>. (11)
Пусть до столкновения атом находился в состоянии ф, тогда
_/Е г
Ф (г, г = —да) = е ]фз (г), (12)
а/ (г = —да) = 8£, (13)
где 5 £ - символ Кронекера. Поскольку и (г) = и05(сг — г), то для решения уравнения (11) достаточно знать значения Ф (г, г) лишь при 2 = &, которые можно найти из уравнения (10) следующим образом: переходим к переменным светового конуса:
г — = (сг — г),
г+ =(сг + г), (14)
и, сохраняя в малой окрестности г — =0 только производные по г — и сингулярный потенциал — (1 — аг)~, получаем уравнение
/с(1 — а) ^ = —(1 — аг )~Ф. (15)
дг
Поскольку ~ = —^05( г—), то, учитывая соотношения (16)
—в( х) = 5(х), —ехр(в(х)) = 5(х)ехр(в( х)),
—х —х
где в(х) = 0,х <0; в(х) = 1,х >0, находим решение уравнения (15):
(1 — а, )Ф (г - + 0) = (1 — а, )ехр[—/ ^ в(г - )]Ф (г - — 0) (17)
с
Отсюда, возвращаясь к времени г и используя условия (13), находим решение справедливое для г < г/с и вблизи г = г/с (т.е. г = г/с + £ ,£ >0 и мало):
(1 — а2 )Ф (г, г) = (1 — а2 )ехр[—/в(сг — г)—]ехр[—/Е г ]ф (г). (18)
г г с 1 1
Подставляя (18) в правую часть (11) и интегрируя по г с учетом начальных условий (13), получаем
+да (-^ & )
аЛ = а,(г = +ю) = 5в — /1 —ге д 1 < фг | 5(г — сг)(1 — аг) х
'в
х ехр[—'в(сї — z)—]\ф >. (19)
с '
Используя соотношения (16), находим
ав = 8в + < ф/ \ (1 — аz )е'(Е/ Е')z/с [ехР(—'—) —1]\ ф > . (20)
Это и есть искомое точное решение уравнения Дирака с потенциалом и (г) = и05(сг — г), соответствующее учету потенциала (6) в приближении внезапных возмущений. Полученное выражение можно переписать в более удобном виде, если воспользоваться легко проверяемым соотношением
< ф|(1 — а )е/(Ед—Е1 )г/с|ф1 >= 5£ . (21)
В результате
а1 =< ф 1(1 — ^ )е/(Е ^1 г/' еХР(—/ —) 1 ф1 > . (22)
с
Вероятности переходов. Для взаимодействия атомного электрона с импульсом электромагнитного поля гауссовой формы (эффективной длительности ~ 21)
Е(г, ї) = Е 0 ехр
ї —
V ®0 J
— X
V
р = гЕ(г, ї) ,р0 = — сяг
где
^(&0ї — к 0Г), (23)
+Г,^/ ч ^ ^ Г ®<2 1 Я = ]dїE(г, ї) = Е0 уехР — 7^7 . (24)
V 4Х J
Вспоминая, что аг = ак 0/к 0 и вводя вектор Q = 2, Qy, Qz) = (<7,0,О £ /с), где О/ = Е/ — Е/., перепишем а^ из (22) в виде
гЛт
а л =< Ф/ К1 - )\ФІ >. (25)
к0
Выбирая теперь ось Z направленной по Q, перепишем
а£ =< ф \ (1 — асозв')е,в:: \фj > — < ф \ (1 — а^тв^е'121 \фj >, (26)
где Q = ^q2 +Q2/с2, cosQ = Qf/^с2q2 +Q2 , sinQ = q/^jq2 +Q2/с2.
Таким образом, пусть до взаимодействия (т.е. при t = —да) с полем ультракороткого импульса атом находился в состоянии ф. с энергией E., тогда вероятность обнаружить после взаимодействия (т.е. при t = +да) атом в состоянии фf с энергией Ef равна
2 2
l«J3 = QQf (|г l^l1 +|G,'|2). (27)
Здесь мы, следуя [20, 21], ввели хорошо известные неупругие атомные формфакторы:
Ff =< ф, | eQ | ф. >= Q- < ф | a;eQ>: | ф >,
^ f
Gf =< ф f | axeQ l Фф >,
широко используемые в теории релятивистских столкновений заряженных частиц с атомами. Поэтому приведенные формулы позволяют [21] рассчитать вероятности возбуждения, ионизации и рождения пар при взаимодействии атома с ультракоротким импульсом электромагнитного поля.
Автор благодарит Министерство образования Российской Федерации (грант Е02-3.2-512) и фонд ИНТАС (грант INTAS-GSI 03-54-4294) за финансовую поддержку работы.
Список литературы
1. Дыхне А.М., Юдин ГЛ. Встряхивание квантовой системы и характер стимулированных ее переходов // Успехи физических наук. 1978. V 125. P. 377.
2. МигдалА.Б. Качественные методы в квантовой теории. М., 1975.
3. ЛандауЛ.Д., Лифщиц Е.М. Квантовая механика. М., 1989.
4. Матвеев В.И., Парилис Э.С. Встряска при электронных переходах в атомах // Успехи физических наук. 1982. V 138. P 583.
5. Eichler J. Magnus approximation for K-shell ionization by heavy-ion impact // Phys. Rev. A. 1977. V. 15, N° 5. P. 1856.
6. Юдин Г.Л. Кулоновская ионизация атома ударом многозарядного иона // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1981. Т. 80. С. 1026.
7. МатвеевВ.И. Столкновения быстрых многозарядных ионов с атомами // Элементарные частицы и атомное ядро. 1995. Т. 26, № 3. С. 780-820.
8. Персиваль И. С. Столкновения заряженных частиц с возбужденными атомами // Атомы в астрофизике / под ред. Ф.Г. Берка, В.Б. Эйспера, Д.Г. Хаммера, И.С. Персиваля. М., 1998. С. 87.
9. HarrisS.E., Sokolov A. V Subfemtosecond pulse generation by molecular modulation // Phys. Rev. Lett. 1999. V 81. P 2894.
10. Christov I.P., Murnane M.M., Kapteyn H. C. Generation of single-cycle attosecond pulses in the vacuum ultraviolet // Opt. Commun. 1998. V 148. P 75.
11. Sokolov A. V., Yavuz D.D., Harris S.E. Subfemtosecond Pulse Generation by Rotational Molecular Modulation // Opt. Lett. 1999. V 24. P. 557.
12. Kaplan A.E., Shkolnikov P.L. Lasetron: A proposed source of powerful nuclear-time-scale electromagnetic bursts // Phys. Rev. Lett. 2002. V 88. P. 074801.
13. BaltzA.J. Exact dirac equation calculation of ionization and pair production induced by ultrarelativistic heavy ions // Phys. Rev. Lett. 1997. V 78. № 7. P. 1231.
14. Moshammer R. Ionization of helium in the attosecond equivalent light pulse of 1 GeV/Nucleon U92+Projectiles / R. Moshammer, W. Schmitt, J. Ullrich et al. // Phys. Rev. Lett. 1997. V 79. № 19. P. 3621.
15. Selin A. V., Ermolaev A.M., Joachain C.J. Optimization of attosecond pulse generation // Phys. Rev. A. 2003. V. 67. P. 012709.
16. VoitkivA.B., NaJJari B., Ullrich J.J. An approach for considering ionization of light atoms by relativistic projectiles generating strong electromagnetic fields // Phys. B: 2003. V. 36. P. 2325.
17. Eichler J. Theory of relativistic ion-atom collisions // Physics Reports. 1990. V. 193. P. 165-277.
18. Матвеев В.И. Излучение и электронные переходы при взаимодействии атома с ультракоротким импульсом электромагнитного поля // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2003. Т. 124. С. 1023.
19. Берестецтй В.Б., Лuфшuц Е.М., nuтаевстй Л.П. Квантовая электродинамика. М., 1989.
20. AnholtR. Calculation of K-vacancy production by relativistic projectiles // Phys. Rev. A. 1979. V 19. P. 1004.
21. Eichler J., Meyerhof W. E. Relativistic Atomic Collisions. N.Y., 1995.
Matveev Viktor
RELATIVISTIC EXTENSION OF THE SUDDEN PERTURBATION APPROXIMATION
We solve the Dirac equation describing the behavior of a hydrogen-like atom interacting with a spatially inhomogeneous ultrashort electromagnetic field pulse in the sudden-perturbation approximation. The corresponding transition probabilities are expressed through the known inelastic atomic form factors widely used in the theory of relativistic collisions of charged particles with atoms.
Рецензент - Воробьев В.А., доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
