CC BY
37
УДК 536.25
АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕРМОКОНВЕКЦИИ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ РЕЗЕРВУАРЕ
В.И. Ряжских, Е.А. Соболева, В.Г. Стогней
Предложены математическая модель кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции в виде линеаризованных уравнений Обербека-Буссинеска и алгоритм их численного интегрирования
Ключевые слова: температурное поле, теплопроводность, конвекция
Известно, что при достаточно малых числах Грасгофа Ог во внутренних и внешних задачах свободноконвективных течений вязкой несжимаемой жидкости наблюдается
кондуктивно-ламинарный режим [1], когда температурное поле практически совпадает с температурным полем «чистой»
теплопроводности, но среда уже не покоится.
Так как в этом случае абсолютное значение скорости мало, то конвективными составляющими в уравнениях Обербека-Буссинеска, записанных в переменных
Гельмгольца, можно пренебречь, тогда:
—=Д0-УТ х вг; дік
ДТ = -0;
^ = -1 ДТ; 5ік Рг
(1)
(2)
(3)
где относительные переменные: О - вихрь; Т - векторный потенциал; Т - температура; безразмерные комплексы: Ог - векторный
аналог критерия Грасгофа, вид которого определяется масштабированием температуры; Рг - число Прандтля, характеризующее теплофизические свойства среды и является инвариантным ко времени и геометрии задачи; 1к - гомохронное число Жуковского; А -оператор Лапласа; V - градиент.
Для осесимметричной задачи естественной конвекции в цилиндрической системе координат г,г система (1) - (3) имеет вид:
50 520 д2 0 1 50 0
дТ
дік ді2 5Я2 Я дЯ Я2 ~ дЯ
д2 Т д2 Т 1 5Т
ді2 дЯ2 Я дЯ
+——+—+°г—; (4)
(5)
= - ЯО;
Ряжских Виктор Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел.(4732) 55-35-54
Соболева Елена Александровна - ВГТА, старший преподаватель, тел.(4732) 55-35-54
Стогней Владимир Григорьевич - ВГТУ, профессор, тел.(4732) 43-76-62
дТ
дік
1
Рг
д2Т + Я дТ_
, , > (6)
5^ Я дЯ У дЯ'
где і = z|r0; Я = г/г0 ; г0 - радиус цилиндра. В предположении отсутствия фазовых переходов и при наличии известного теплового потока через смоченную границу жидкости (это соответствует, например, условиям хранения криогенных жидкостей в стационарных наземных резервуарах типа РЦВ [2]) совокупность граничных условий представлена следующим образом:
0(Я,і,0) = 0(0,і,ік) = 0(Я,0,ік) = 0 ; (7)
5Т(1, і, ік) 52 Т(1, і, ік)
0(1, і, ік ) = -
дЯ
О
д2 Т
(я,#_1, ік)
(8)
Я дZ2
Т( Я, Z ,0 ) = Т( 0, Z, Zh ) = Т(1, Z, Zh ) =
= Т((,0, Zh ) = Х¥{Я,^1^ ) = 0; (9)
ч дТ (Я,0,Zh) дТ (0^ ^, ч Т (Я, Z,0)=---—’- =---------—’- = 0 ;(10)
дZ дЯ
дТ (1, Z, Zh ) дТ (Я,Г\ ^ )
дЯ ~ ~
где % = г0 /h, h - высота столба жидкости.
Интегрирование системы (4) - (11)
осуществлялось по конечно-разностной схеме
О^1 - 0к ■
і , і і,}
0к +, - 20* . + 0* ■ ,
і, і +1 і, і і, і-1
Дік
(Дік )2
0*+, ■ -20* ■ +0* , ■
+ і + 1, ] і, ] і — 1, і +
(ДЯ )2
0+!,, -0^-!, і 0 і
2(ДЯ)2 (ДЯ)2
+Ог
Ті +1, і ~1і-\,,
2ДЯ
Тк+1 - 2Тк +1 +Тк +1
^і, і+1 2^і, і і, і-1
(Ді )2
Тк+1 - 2Тк+1 +Тк+1
^і+1,і 2^і, і і-1, і
(ДЯ )2
хтfk+1 _ \uk+1
*i+1, j * i-1
k+1 -1, j
2iAR
= -iARQ!
k+1
rpk + 1 rpk
Ti, j - Ti, j
AZh
Pr
T-j+1 - 2Tkj + Tkj-1
(AZ )2
rpk r\rpk . rpk rpk rpk
+ Ti+1, j - 2Ti, j + Ti-1, j + Ti+1, j - Ti-1;
(AR)
2
2iAR
qO = Qk = Ok = 0*
^li, j _ 12i0 j _ ^li,0 ~ 0 5
m k - m k
q k = m, j m-2, j m, j
2AR
mk - k + mk
m, j m-1, j m-2,
(AR )
2
mk - 2mk + mk
ok = i,n i,n-1 i ,n-2
Qi,n = ~
iAR (AZ )2
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
m0, =m 0,, = y* =m * = mk m = 0; (18)
rpk rpk
m, j m-2, j
2AR
'T'k . rpk
Ti,n + T i,n-2
2AZ
= -1;
(20)
АЯ = 1 да ; АZ = % '/и ; г = 1,й -1; У = 1,-1.
Расчеты по схеме (12) - (20) показали правомочность принятых допущений и возможность идентификации критического числа Ог при сравнении полученных результатов с решением нелинеарезованной задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по гранту № 07-08-00166.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Кн.1, 2. - М.: Мир, 1991. - 678 с.
2. Фомин Н.В., Буланов А.Б. Жидкостные криогенные системы. - Л.: Машиностроение, 1985. - 247 с.
rpk rpk rpk ____ rpk
T 0 = Ti,n - T i,n-2 T0, j T 2, j
Ti, j =
2AZ
2AR
= 0; (19)
Воронежский государственный технический университет Воронежская государственная технологическая академия
THE ALGORITHM OF NUMERICAL INTEGRATION OF MODEL EQUATIONS OF CONDUCTIVE LAMINAR-FLOW CONDITIONS OF NEWTONIAN LIQUID THERMAL CONVECTION IN A VERTICAL STANDPIPE
V.I. Rjazhskih, E.A. Soboleva, V.G. Stogney
The article presents a mathematical model of conductive laminar-flow conditions of thermal convection in a form of Oberbeck-Boussinesq linearized equations and the algorithm of their numerical integration
Key words: warm-up field, heat-conducting, convection
